专题03 图形的相似（期末复习讲义，23知识点+16题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学“图形的相似”期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，以知识框架形式呈现成比例线段、相似三角形判定与性质等23个知识点，突出重难点分布及内在逻辑联系，帮助学生构建完整知识体系。 讲义亮点在于分层练习设计，如相似三角形应用中“测量高度”题型，引导学生将实际问题转化为相似模型，培养模型意识与几何直观。每个题型配备解题技巧、典例及变式，基础题巩固知识，综合题提升推理能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

专题03 图形的相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解线段的比与成比例线段的概念，能运用比例性质进行有关计算和证明。 基础考点，常作为相似问题的前置知识出现在选择题或填空题中。 相似图形 理解相似图形的定义，能识别相似图形并理解相似比的意义。 概念考查题，通常要求判断图形是否相似或直接运用相似比。 相似三角形的判定 熟练掌握两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及平行线分线段成比例等判定方法。 核心高频考点，常作为几何证明题的关键步骤，或直接用于求解边长和角度。 相似三角形的性质 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等性质。 必考性质，广泛用于几何计算，常与判定结合在综合题中出现。 相似三角形的应用 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题，建立数学模型。 中考常见应用题，考查将实际问题转化为相似模型并求解的能力。 中位线及其应用 掌握三角形和梯形中位线的定义与性质，并能运用其进行证明和计算。 中档考点，常在几何综合题中作为构造平行和转移线段长度的工具。 位似图形相关概念 理解位似图形的定义，能识别位似中心、位似比，并区分位似与相似。 概念考查点，常以选择题形式出现，要求对位似的本质（对应点连线交于一点）有清晰认识。 位似图形的位似比 能根据位似比确定图形放大或缩小的倍数，并进行相关坐标或尺规作图。 常与坐标系结合考查，要求掌握位似比与坐标变化的关系。 用坐标确定位置 能根据点的坐标在平面直角坐标系中确定其位置，或根据位置写出坐标。 基础技能，是学习图形与坐标变换的前提。 图形的变换与坐标 掌握图形平移、轴对称、旋转（中心对称）及位似变换后，对应点坐标的变化规律。 综合易错点，常在中档题中考查，需熟记各种变换的坐标规则并准确应用。 知识点一、比例的基本性质 1.比例的基本性质 如果 ，那么 ；如果 ，那么 ． 2.比例的基本性质推广 （1）合比性质： ； （2）等比性质： 0） ． 知识点二、成比例线段 1．两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。线段 与线段 的比记作＂＂或" a: b ". 2.对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如 （或 ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ．此时也称这四条线段成比例 ． 易错点： 在通常情况下，四条线段a, b, c, d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使与的单位一致， 与 的单位一致。 线段a, b, c, d成比例，只可以写成 或 ，即四条线段a, b, c, d成比例是有顺序的，不能随便更改位置。 3 ．比例中项 如果 ，那么 叫做 和 的比例中项，当a, b, c为一般实数时，则由 得 同号）；当a, b, c为线段长时，则由 得 ． 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”) 数学语言：如图 ，∵ ， 可简记为： ． 易错点： 1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； 2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 知识点四、 平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 数学语言：如图，若 ，则有 或 或 ． 易错点： 1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况。 2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线 知识点五、 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 易错点： 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 知识点六、 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂ ＂来表示，读作＂相似于＂。例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比，当相似比为1时两个三角形全等 易错点： 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性。 知识点七、 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 易错点： 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图（1）（2）很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图③很像大写字母X，故我们称之为X”型相似(也像阿拉伯数字“8”） 知识点八、 由角的关系判定三角形相似 1.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似 易错点： 由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角，一般地，相等的角是对应角，如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件 2.常见的相似三角形的类型 （1）平行线型：如图①，若 ，则 . （2）斜交线型：如图②，若 ，则 . （3）子母型：如图③，若 ，则 . （4）＂K＂型：如图④，若 ，则 ，整体像一个横放的字母 K ，所以称为“K”型相似. 知识点九、 由边角关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 数学语言：如图，在 和 中，∵ 知识点十、 由三边关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似， 数学语言：如图，在 和 中， 易错点： 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可 应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况 知识点十一、 相似三角形对应线段的比 1.相似三角形对应线段的比 相似三角形对应边上的高的比、中线的比、对应角的平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比 易错点： (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段; (2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序 2.相似三角形周长的比 相似三角形的周长之比等于相似比 知识点十二、 相似三角形面积的比 1．相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方．若 ，且它们的相似比为 ，则 . 易错点： 面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆． 2.相似多边形面积的比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 易错点： 两个相似三角形，各角对应都相等各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点十三、 利用相似测量物体的高度 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 易错点： 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等 知识点十四、 利用相似测量宽度 1.测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 2.常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 易错点： 利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤: 1.利用标杆等构造相似三角形: 2.测量与表示未知量的线段相对应的线段，以及另外任意一组对应边的长度: 3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量 4.检验并得出答案. 知识点十五、 三角形的中位线 1.三角形的中位线的定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 数学表达式：如图，∴D E是 的中位线． 2.三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 数学表达式：如图 3.三角形的中位线的应用 (1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系: 一是位置关系，可以用来证两直线平行; 二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 (2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到 易错点： 1.一个三角形有三条中位线； 2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形； 3.三角形的中位线与三角形的中线的区别:三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段； 4.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 知识点十六、 位似图形的定义 1.定义，两个图形不仅相似，而且对应点的连线所在直线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2.位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线所在直线相交于一点 (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况 易错点： 两个位似图形的位似中心有且只有一个. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部边上或某一顶点处，常见位似图形的构成如图 知识点十七、 位似图形的性质 位似图形具有的性质 (1)位似图形每组对应点的连线所在直线必过位似中心 (2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上) (4)两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 易错点： 利用位似图形的性质，可以把一个图形放大或缩小，同时也可以确定位似中心利用位似图形的性质可以求两个位似图形的相似比 知识点十八、 位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或某一个顶点处); (2)分别连结位似中心和能代表原图的关键点; (3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连结所作各点，可以得到位似图形 易错点： 位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 知识点十九、 平面直角坐标系中的位似 1.位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形的某一顶点坐标为()，则其位似图形对应顶点的坐标为()或()◎这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比 2.位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换 易错点： 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换分两种情况:一种是位似图形与原图形在原点的同侧;另一种是在原点的两侧当时，图形扩大为原来的倍;当时，图形缩小为原来的 知识点二十、 用坐标表示地理位置 平面直角坐标系表示地理位置的方法(1)选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、v轴的正方向建立平面直角坐标系 (2)根据具体问题确定单位长度 (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称 易错点： 建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，要本着方便、简单、美观的原则 知识点二十一、 用方位角及距离表示平面内点的位置 1.定义 确定平面内一个点的位置，可以选择一个参照点，然后用方位角和距离来表示点的位置，这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法 易错点： 1.用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可， (1)该点相对于参照点的方位角；(2)该点与参照点之间的实际距离 2.用方位角和距离表示平面内点的位置和地图上的方向一样，按上北下南、左西右东划分，处于四个直角平分线上的方向分别是东南、东北、西北、西南 2.方法 (1)选取某个点为参照点，过参照点画出表示东西和南 北方向的直线: (2)用量角器量出点M相对于参照点的方位角； (3)用刻度尺量出点M与参照点之间的图上距离，并利用比例尺计算出点M与参照点之间的实际距离；(4)用方位角和距离表示点M的位置 知识点二十二、 平移变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着轴方向或轴方向进行，平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下 (1)若沿轴向右(或向左)平移，则对应顶点的纵坐标不变而横坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位; (2)若沿轴向上(或向下)平移，则对应顶点的横坐标不变而纵坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位 易错点： 将图形左右平移，点的纵坐标不变;上下平移，点的横坐标不变。即右加左减纵不变;上加下减横不变 知识点二十三、 轴对称变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形一般以轴或轴为对称轴进行轴对称变换，变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下: (1)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数; (2)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等 易错点： 关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律:横对称横不变，纵相反;纵对称，纵不变，横相反;关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同 题型一 成比例线段 解｜题｜技｜巧 ☆四条线段a、b、c、d若满足a:b=c:d，则成比例 ◎统一单位后比较长度 ◎利用比例基本性质：若，则ad=bc ◎合比/分比性质可用于拆分复杂比例 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．，不是成比例线段，不合题意； B．，不是成比例线段，不合题意； C．，不是成比例线段，不合题意； D．，是成比例线段，符合题意； 故选：D． 【典例2】已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】此题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． （1）设，则，代入即可求出的值； （2）根据，，得出，求出k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴，， ． （2）解：，， ， ， ． 【变式1】手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ． 【答案】6.69或 【分析】本题主要考查了黄金分割点，矩形的性质等知识，设，，则，，由题意可知，根据黄金分割点的定义可得出，即可进一步求出，，然后根据矩形的面积求解即可． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴，如图， 由题意可知，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵点E、点F都是的黄金分割点， ∴， ∴， 同理， ∴ 故答案为∶ ． 【变式2】已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 【变式3】已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)是的，理由见解析 【分析】本题主要考查了成比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． （1）根据所给长度进行计算即可； （2）根据成比例线段的定义进行计算即可； （3）根据比例中项的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴线段a与线段b的比为． （2）解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∴，即线段d的长为24． （3）解：是的，理由如下： ∵， ∴， ∴b是a和c的比例中项． 题型二 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 ☆平行线截两条直线，所得线段对应成比例 ◎识别“A字型”或“X字型”基本图形 ◎直接写出对应线段比例式，如 ◎求未知线段时，可设x列方程求解 【典例1】如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解： ， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【典例2】如图①是商场摆放的花架，图②是其侧面示意图，已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式2】如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了“平行线分线段成比例”，掌握并运用该知识点是解题关键． 根据平行线分线段成比例，列出四条线段的比例关系，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． 故选：D ． 【变式3】如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【答案】 【分析】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据，是的中点，得到，再证，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， ． 题型三 相似图形 解｜题｜技｜巧 ☆形状相同、大小可不同的图形 ◎判断对应角是否相等，对应边是否成比例 ◎对于多边形，需同时满足角相等和边成比例 ◎常见相似图形：正多边形、圆 【典例1】下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义， 根据“形状相同，大小不同的图形是相似图形”解答即可． 【详解】解：图A，B，C形状相同，只有大小不同，都是相似图形；图D形状不同，大小也不同，不是相似图形． 故选：D． 【变式1】下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的多边形相似．逐一判断每组图形是否满足条件． 【详解】解：∵ ①两个矩形对应角相等（均为），但对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ②两个正方形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ③两个等腰三角形对应角不一定相等（如顶角可能不同），对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ④两个等边三角形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ⑤两个菱形有一个角为，则所有对应角相等（均为、、、），且对应边成比例（四边相等，边长比相同）， ∴ 一定相似． ∴ 一定相似的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【变式2】在下面几组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似图形的定义以及判断，根据定义（相似图形的形状相同，大小可以不同）进行解答． 【详解】解：A.选项：两个图形形状不同，不符合题意； B.选项：两个图形形状不同，不符合题意； C.选项：两个图形形状相同，大小不同，符合题意； D. 选项：两个图形形状不同，不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 题型四 相似多边形 解｜题｜技｜巧 ☆边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形 ◎按顺序对比对应角与对应边 ◎相似比k=对应边之比，面积比=k² ◎已知部分边长，可通过比例求未知边长 【典例1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选：C. 【典例2】如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形AFD中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，得到，推导出，得到，，继而证明，得到，，推导出得到，则，即可解答． 【详解】解：已知在中，，由勾股定理得： ， 设， ∵矩形与矩形全等， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入得 ， 解得， ∵， ∴，即． ∵矩形对边平行且相等，，且，得， ∴， 因此． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 代入，得： ， 解得， ∴． 【变式1】如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是关键． 相似图形中，对应角相等，对应边等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； 六边形的周长：六边形的周长，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，则，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 【变式2】如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例． 先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形矩形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式3】如图，四边形． (1)______°，______°． (2)求的值． 【答案】(1)144；83 (2) 【分析】本题考查相似图形的性质，多边形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据相似图形的性质与多边形的内角和求解即可； （2）根据相似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形， ∴． 故答案为：144；83． （2）∵四边形， ∴， 即， 解得． 题型五 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ☆五大判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线） ◎优先找角相等（AA最常用） ◎有平行线时，直接用“平行得相似” ◎直角三角形注意HL（斜边直角边对应成比例） 【典例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】下列两个三角形不一定相似的是（   ） A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．腰与底的比都是的两个等腰三角形 C．两边对应成比例的两个直角三角形 D．一个内角为的两个直角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定条件（两角分别相等、三边成比例、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理，逐一分析每个选项是否满足相似条件，从而找出不一定相似的选项． 【详解】解：有一个内角是的等腰三角形，只能为顶角，底角均为，故两三角形角均相等，故A项一定相似,不符合题意； 腰与底的比都是的等腰三角形，三边比例相同（），满足此条件的两个三角形三边对应成比例，故B项一定相似，不符合题意； 两边对应成比例的两个直角三角形，虽两边成比例，但夹角不一定相等（如三角形三边和，两边和成比例，但夹角不相等），故C项不一定相似，符合题意； 一个内角为50°的两个直角三角形有两个角分别相等，故D项一定相似，不符合题意； 故选：． 【典例3】如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（   ） A．的值 B．的长度 C．的值 D．的周长 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 通过利用正方形的性质得到角度和边长关系，再结合角的运算证明多组三角形相似，最终推导出线段的比例关系． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形正方形， ． ． ， ． ． ． 又， ． ． 同理可得：，， ． ． ． 又， ． ． ． 故选：B． 【典例4】如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，勾股定理解三角形，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 根据勾股定理得出，再由相似三角形的判定证明即可． 【详解】解：相似，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴ A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； B、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：B． 【变式3】如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由三角形外角的性质可判断A，从而可得答案． 【详解】解：A．根据三角形外角的性质知，故选项A不能判定的相似； B．∵，∴，且不是夹角，由已知条件无法判定两三角形相似故选项B不能判定与相似； C．∵，∴，又，∴，故选项C能判定与相似； D．∵，∴其中不是与的边，故选项D无法判定与的相似； 故选：C． 【变式4】已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（   ）对． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 结合图形给出的条件，根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图所示， ∵，， ∴，符合题意； ②如图所示， ∵，且，即， ∴，符合题意； ③如图所示， ∵，， ∴，符合题意； ④如图所示， 该图中给出条件无法得出阴影部分的三角形与原相似； 综上，阴影部分的三角形与原相似的有3对， 故选：B． 【变式5】如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 【变式6】如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 题型六 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ☆对应元素成比例，面积比=相似比² ◎求边长：利用对应边比例式 ◎求面积：先求相似比，再平方得面积比 ◎求高/中线：对应高之比=相似比 【典例1】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 【典例2】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故选：B． 【典例3】如图所示，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴AD=． 故答案为：． 【典例4】如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 【答案】(1)经过秒或秒时，△与△相似 (2)经过秒或秒时，△的面积等于12厘米 【分析】此题是相似形的综合题，考查了三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先设经过秒，△与△相似，则，，，分两种情况，若△△和△△，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案； （2）设经过秒，分、或时，三种情况讨论，根据三角形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 设经过秒，△与△相似，则，，， ①若△△，则， 即， ， ②若△△，则， 即， 解得：， 经过秒或秒时，△与△相似； （2）解：，， ， 设时间为秒， 当时，点移动到上，点移动到上， 此时，，， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，点移动到上，点移动到上， 过作，垂足为， 此时， ，，， ，， ， △△， ，即，即：， 由题意得， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，点移动到上，且有， 点移动到上，且， 过作，垂足为， ，， ， △△， ， 即，即：， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 综上所述，经过秒或秒时，△的面积等于12平方厘米． 【变式1】两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比． 【详解】解：已知两个相似三角形的周长比为，因此相似比为． 面积比等于相似比的平方，即． 对应高的比等于相似比，即． 故答案为：，． 【变式2】如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质． 根据题意可得，，四边形是矩形，得出，，，设，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意,可得，， , ∴四边形是矩形， ． ， ． ， ， ． 设， ，， ，解得， ． 故选：B． 【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，三点均在格点上． (1)如图一，取格点，在网格中画，使三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） (2)如图二，在线段上取一点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质解题的关键是： （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接，交于点E即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 理由：由题意知， 由勾股定理得，， ∴，， ∴， 又， ∴； （2）解：如图，点E即为所求， 理由：由题意知：，，， ∴， ∴， 即． 【变式4】如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或4秒或秒 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据题意，得，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点D作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，，在中，，在中，，，分三种情况求解：当时；当时；当． 【详解】（1）解：点P沿方向以的速度向由点向点D运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， 点P由点到点D的运动时间为：（秒）， 点由点C到点D的运动时间为：（秒）， 运动时间为t秒， ，， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 的值为秒； （2）①过点D作于点， ， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 运动时间为t秒， ∴， 设， ，， ， ， ， ，即， ，， 存在P、A、D为顶点的三角形与相似， 当时， ，即， 解得：， （秒）； 当时， ∴，即， 解得：， （秒）； 综上所述，t的值为秒或秒时，以P、A、D为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ∴， 在中，， 在中，，， 存在以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去），； 当时，得：， ， 解得：， ； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当t的值为秒或4秒或秒时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【变式5】如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 【答案】(1)， (2)画图见解析，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】（）根据已知条件证明，则对应变成比例，的函数解析式；设将 和 代入即可求得的解析式； （）按画图象的步骤方法画图即可由函数图象写出一条的性质即可； （）函数图象可得自变量的取值范围，由（）所画两函数图象交点横坐标，观察图象的位置关系，即可确定大小； 本题主要考查了正比例函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设， 将和代入可得：，解得： 则， 综上所述：，； （2）经过的点有：，，，，经过的点有：，， 描点、连线，画出函数，图象如下： 如图， 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）由（）中图象可知，，图象交点为，， 当或时，图象在图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围为或． 【变式6】中，，，中，，． (1)如图，当点在中点处时，与数量关系为______；位置关系为______． (2)如图，若不在中点时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请就图进行证明；若不成立，请说明理由． (3)若，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2或或或 【分析】本题属于几何变换综合题，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，解直角三角形，添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形，分类讨论，是解题的关键． （1）由，，得，可得，，得，即得； （2）（1）中结论成立．设直线与直线交于点M，证明，得，，可得，得，即得； （3）由已知可得，分当为斜边时，，当点M在延长线上与当点M在延长线上时，当为斜边时，当在延长线上时与当点在延长线上时，共两大类，四小类情形解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：，成立，理由： 设直线与直线交于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． （3）解：设直线与直线交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴当为斜边时，， 则， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点M在延长线上时， ， ∴； 当点M在延长线上时， ， ∴； 当为斜边时，， ∵， ∴， ∴、C、A三点在同一条直线上， ∵， ∴当在延长线上时， ； 当点在延长线上时， ． 综上，的长为2或或或． 题型七 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题转化为相似模型 ◎测量问题：构造相似三角形，利用影子或反射原理 ◎绘图问题：确定相似比，按比例缩放 ◎注意单位统一与结果合理性检验 【典例1】九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到是解题的关键． 过点作于H，垂足为点H，交于点G，只需要证明，得到，求出EH的值即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于H，垂足为点H，交于点G， 由题意可知：， ∴， ∴， ∵米，米，米 米，米， ∴， ∴米， ∴米． 故选：D． 【典例2】某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：根据题意得四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 【变式1】如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 【变式2】综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 【变式3】清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 【答案】42米 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，平行投影的含义，先证明可得，如图，过点H作于点N，交于点P，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作于点N，交于点P， 设米，则米， 米，（米），米， ∵， ∴， ∴，即 解得：． ∴清风阁的高为42米． 题型八 与三角形中位线有关的求解问题 解｜题｜技｜巧 ☆中位线平行于第三边且等于其一半 ◎求长度：中位线=底边× ◎求角度：利用平行线性质得同位角/内错角相等 ◎多中点时，连中位线构造平行四边形 【典例1】如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 【典例2】如图，，分别是▱两边的中点，连接，交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 连接交于，得到，因为、是平行四边形两边中点，在中，根据三角形中位线定理，能推出这样就构造出了相似三角形和由于是中点，可知，再依据相似三角形对应边成比例，得出利用与的关系以及，通过代换计算出结果． 【详解】解：连接交于点 连接交于点 四边形是平行四边形， ， 、分别是平行四边形两边的中点， 设， 在中， 是中点，是中点， 是中点， ， 又， ， ，即， 又， 故答案为： 【变式1】如图，中，为中点，在的延长线上取一点E，使得与交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等知识．本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 过点作，交于点， 连接， 得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性质证出， 由证明， 得出，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出得出，由平行线分线段成比例定理得出 ， 因此， 即可求解. 【详解】过点作， 交于点， 连接， 如图所示：    ∵为中点 ， ∴为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 为中点， ∴ ∴， ， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 故选：. 【变式2】如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】该题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质和判定，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形即可得出结论． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式3】，，，、分别为、中点，若为矩形，，则 ，若，则 ． 【答案】 5 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质和判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，连接，证明四边形是平行四边形，可得，结合矩形的性质可得，证明是的中位线，设，可得，，证明 ，可得，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作于，连接， 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ，， ， ， 是的中位线， 设， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：． 题型九 与三角形中位线有关的证明 解｜题｜技｜巧 ☆通过中点连中位线，转化线段关系 ◎证平行：证明某线段为中位线，则平行于底边 ◎证线段相等：构造中位线，利用等量代换 ◎常与平行四边形、全等三角形结合 【典例1】如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解： 是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 【典例2】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2  如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．求证：． 证明：连接． 、分别是边、的中点， …… （1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论归纳】 通过进一步探究，可知结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 【拓展应用】 （2）如图②，在矩形中，，，对角线、交于点，点是的中点，连接交于点，则的长为________，的面积为________． （3）如图③，在矩形中，，，点、、分别在边、、上，且，，点为上一动点，连接、、，点为的重心，则线段的最小值为________． 【答案】（1）见解析；（2），4；（3） 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据题意可知，为三角形的中位线，即可证明，根据相似三角形的性质得到，进而得到结论； （2）作于点，求得点为的重心，利用勾股定理结合重心的性质可求得，再证明，求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）当点与点重合时，过点作于点，交于点，同（2）证明，求得，，证得点在线段上运动，当时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D、E分别是边、的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵矩形，对角线、交于点， ∴是的中线，， ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴点为的重心， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为； 故答案为：，4； （3）解：当点与点重合时，过点作于点，交于点， ∵矩形中，，，， ∴四边形也是矩形， ∴， ∵点为的重心， ∴，， 同理，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴点在线段上运动， ∴当时，线段有最小值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【变式1】如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形、矩形与正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．连接，根据三角形的中位线定理和平行公理推论可得，，，，则四边形一定为平行四边形，结论④正确；根据不能得出四边形为正方形，结论①错误；根据可得，则四边形为菱形，结论②正确；根据可得，则四边形为矩形，结论③正确；由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形一定为平行四边形，结论④正确； 当时，四边形不一定是正方形，结论①错误； 当时，则， ∴四边形为菱形，结论②正确； 当时，则， ∴， ∴四边形为矩形，结论③正确； 综上，正确的序号为②③④， 故答案为：②③④． 【变式2】如图，在中，，分别是边，的中线，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握“相似三角形的对应边成比例、面积比等于相似比的平方”是解题的关键．利用中位线定理推导与的相似关系，通过相似三角形的性质（比例线段、面积比），结合同高三角形面积与底的关系，逐一验证结论． 【详解】解：∵、是的中线， ∴，，是的中位线， ∴，． ∵， ∴，， ∴，故①正确． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确． ∵，且， ∴，故③错误． 设， ∵，且， ∴， ∴， ∵与同高， ∴，故④正确． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴，故⑤正确． 综上，①②④⑤正确，共个． 故选：A． 【变式3】如图①，在中，，，点D、E分别在、边上，，连接、、，点M、N、P分别是、、的中点，连接、、 (1)与的数量关系是 ． (2)将绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 【答案】(1) (2)如图②中，仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，构造全等三角形解决问题． （1）先证明，根据中位线定理证明为等腰直角三角形，得到，再进行代换即可； （2）如图，连接，延长交于，先证明，得到，，根据中位线定理证明为等腰直角三角形，得到，再进行代换即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点、、分别是、、的中点， ∴，分别为， 中位线， ， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， 即 ； （2）如图②中，仍然成立． 理由：连接，延长交于点 和是等腰直角三角形， ，，， ， ， ≌， ，， ， ， 、N、P分别为、、的中点， ，，，， ，， 题型十 三角形中位线的实际应用 解｜题｜技｜巧 ☆利用中位线简化不可达距离的测量 ◎在地面构造三角形，取两边中点 ◎测量中位线长度，则底边=中位线×2 ◎适用于河宽、山谷距离等测量场景 【典例1】如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 【变式1】如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 【变式2】如图，A、B两处被池塘隔开，小明想要知道A、B两处的距离．小明先在外选一点C，然后分别步测出，的中点D，E，并测出的长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线性质，能熟记三角形的中位线性质是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵，的中点分别是D，E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3】小明探究：“用刀剪一个三角形分成块，再把它拼成一个长方形（无重叠，无缝隙）”时，遇到了困难．经提示他想到了从特殊到一般的数学思想，于是他先剪一个直角三角形纸片，然后沿其一条中位线剪一刀，分成块（如图），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的长方形． (1)请你在图中用类似的方法把三角形纸片剪一刀分成块，使拼成的图形为平行四边形； (2)请你在图中把三角形纸片剪两刀分成块，使拼成的图形为长方形； (3)请你在图和图中，把正方形纸片剪两刀分成块，然后拼成一个与原正方形面积相等的三角形，要求所拼成的三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形．（请给出两种不同的方案） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了图形的剪拼，中位线定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意把三角形纸片剪一刀分成块，然后拼成平行四边形即可； （）根据题意把三角形纸片剪两刀分成块，拼成长方形即可 （）根据题意把正方形纸片剪两刀分成块，拼成一个与原正方形面积相等的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，根据提示图形，作出三角形的中位线，再按照图示方法即可拼成平行四边形， （2）解：如图，根据提示图形，先作出三角形的中位线，然后过顶点作中位线的垂线，再按照图示方法即可拼成矩形， （3）解：如图，， 题型十一 位似图形的识别与判断位似中心 解｜题｜技｜巧 ☆对应点连线交于一点，对应边平行 ◎延长对应顶点连线，交点即为位似中心 ◎若对应边平行，则位似中心在交点处 ◎注意内位似（中心在图形内）与外位似（中心在图形外） 【典例1】下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据对应边是否平行判断即可． 【详解】解：由各选项图形可知，，，选项的相似图形是位似图形，选项的相似图形不是位似图形． 故选：C． 【典例2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式1】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．两个正五边形一定互为位似图形 B．物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C．取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D．经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 【答案】D 【分析】本题考查位似图形、影子形成、中点四边形和矩形性质．选项A错误，因为位似图形需要特定位置关系；选项B错误，因为影子长度还受光源和物体距离影响；选项C错误，因为菱形的中点四边形是矩形，不一定是菱形；选项D正确，因为矩形是中心对称图形，经过对称中心的直线平分面积． 【详解】选项A：两个正五边形不一定位似，因为位似要求对应点连线交于一点，而正五边形可能旋转或平移； 选项B：影子长度还取决于物体与光源的距离和角度，不仅与高度有关； 选项C：连接菱形四边中点所得四边形，对边平行于对角线，由于菱形对角线垂直，中点四边形是矩形，但只有当对角线相等时才是菱形，故不一定． 选项D：∵ 矩形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，∴ 经过该点的任意直线将矩形分成两个全等图形，面积相等，故选项D正确． 故选：D． 【变式3】如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：连接、并延长，如图：交点即为它们的位似中心， ∴它们的位似中心为， 故选：D． 题型十二 位似图形的相似比 解｜题｜技｜巧 ☆相似比=对应边之比=对应点到位似中心距离之比 ◎直接测量对应边求比值 ◎在坐标系中，若位似中心为原点，则坐标比=相似比 ◎相似比大于1为放大，小于1为缩小 【典例1】如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于轴对称，画出； (2)若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； (3)已知，则点坐标为_____． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了作图——位似变换、轴对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作点关于轴的对称点，然后连线即可； （）由（）及位似的性质进行作图即可； 根据平面直角坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由平面直角坐标系可得：点坐标为 故答案为：． 【变式1】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质．本题核心是理解位似图形与相似图形的关系（位似是特殊的相似），以及相似三角形面积比与相似比的数量关系（面积比为相似比的平方）．通过明确相似比，进而求出面积比是解题关键．位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离比；而相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此可逐步推导． 【详解】解： 与是以点为位似中心的位似图形，， 与的相似比为， 与的面积之比为，对应选项A．   故选：A． 【变式2】如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【分析】本题考查位似图形与相似图形的关系、位似图形的性质（对应边平行、周长比等于位似比），运用逐一分析验证法．解题关键是明确位似图形是特殊的相似图形，且位似图形具有对应边平行、对应顶点连线交于位似中心等性质；易错点是混淆相似图形与位似图形的关系（误认为相似图形一定是位似图形）． 分别根据位似图形与相似图形的关系对四个选项进行分析判断即可． 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据位似比，确定坐标后，画图即可； 本题考查了平移作图，位似作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． 【详解】（1）解：的三个顶点坐标分别是，，． 将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，则，，画图如下： 则即为所求． （2）解：的三个顶点坐标分别是，，． 在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1，得到，则，，画图如下： 则即为所求． 题型十三 用坐标确定位置 解｜题｜技｜巧 ☆平面直角坐标系中，点由(x,y)唯一确定 ◎根据坐标描点：先横后纵 ◎根据点写坐标：向x轴、y轴作垂线 ◎注意象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-) 【典例1】一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（    ） A．北偏东， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏西， 【答案】B 【分析】此题考查了方位角，根据方位角的概念以及确定位置的方法，可得答案． 【详解】∵轮船在港口的北偏西方向，距离， ∴若以港口O为观测点，位置描述为北偏西，， 故选：B． 【典例2】看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)北偏西60° (3)见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据图形及方向角的定义解答即可； （2）根据图形及方向角的定义解答即可； （3）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 【变式1】根据下列表述，能确定某地点具体位置的是（   ） A．某影厅第2排 B．北偏东 C．距离南昌60公里处 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了根据描述确定位置． 确定一个点的位置需要两个独立的参数（如坐标），D选项同时提供经度和纬度，能唯一确定地点；其他选项只提供一个参数，无法确定唯一位置． 【详解】解：选项A只给出排数，缺少具体座位； 选项B只给出方向，缺少距离； 选项C只给出距离，缺少方向； 选项D同时给出经度和纬度，能确定唯一的一个点； 故选：D． 【变式2】如图是某舞蹈队形的方阵图，每个格点表示一位演员的位置，随着音乐的节奏，各个位置的演员分别做出不同的动作，形成优美的图案．若演员的位置用来表示，演员的位置用来表示，则演员的位置可用坐标表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际问题. 根据已知点的坐标确定原点位置，进而确定点B的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： 由图可知：B演员的位置可表示为. 故答案为：． 【变式3】如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 题型十四 利用相似求坐标 解｜题｜技｜巧 ☆位似变换下，坐标按相似比缩放 ◎若位似中心为原点，新坐标=(kx, ky) ◎若中心为(a,b)，先平移使中心到原点，缩放后再平移回去 ◎新坐标 = (k(x-a)+a, k(y-b)+b) ◎注意k的正负决定同侧或异侧 【典例1】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 【典例2】如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，得，，结合题意得到，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵设点的横坐标是，， ∴， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．以点O为位似中心，将的各边放大为原来的3倍得到，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换的性质，先依据位似图形的坐标变换规律，再分位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况计算点A对应点的坐标，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：以点O为位似中心，将的各边放大为原来的3倍得到，即相似比， ∵点A坐标为， ∴点的坐标为，即或，即， 故选：D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若，则的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，， ∴与的相似比为， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 题型十五 在坐标系中画位似图形 解｜题｜技｜巧 ☆按相似比在射线上截取对应点 ◎从位似中心向各顶点引射线 ◎按相似比在射线上取点，得到新顶点 ◎顺次连接新顶点，检查对应边是否平行 【典例1】如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)图见解析，点P的坐标为． 【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求，则； （3）解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P， 由网格可知，点P的坐标为． 【典例2】已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)直接写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可； 【详解】（1）解：如图，连接，并延长相交于点P， ∴； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为； 故答案为：． 【变式1】如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式2】在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可． 【详解】（1）解：点的位置，如图所示，由图可知：； （2）如图，即为所求． 【变式3】如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标； (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，使它与都在位似中心的同侧，且与的位似比为； (3)若与在位似中心的异侧，且位似比为，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—位似变换，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者是解决本题的关键． （1）连接、、，它们的交点即为Q点，写出Q点的坐标即可； （2）根据位似中心为原点O可得，则把、、点的横纵坐标都除以2得到点、、坐标，然后描点即可； （3）根据作图即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图： ∴点Q即为所求位似中心， ∴点Q的坐标为． （2）解：如图：即为所求， （3）解：如图：即为所求， ∴此时点的坐标为． 题型十六 坐标与图形综合 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用坐标、变换、相似、几何性质 ◎求图形面积：可用割补法或坐标公式 ◎判断图形形状：计算边长、对角线、斜率等 ◎动态问题：设参数表示坐标，根据几何关系列方程 【典例1】如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立．本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 【详解】解：设, ∵，，，， ∴，，，． ①如图，P点在B、D之间，此时， ∴， ∴， 解得， ∴； ②如图，P点在B点上方时，此时， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； ③P点在B点下方时，有两种情况； （ⅰ）时， 则， ∴， 解得（舍去），或， ∴； （ⅱ）时， 则， ∴， 解得， ∴． 综上，所有符合条件的点P点有4个 ． 故选：C． 【典例2】综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 【答案】（1）;（2）见解析 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，理解题中重心定义和运算法则是解答的关键． （1）根据规律，直接写出式子即可； （2）建立直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分，得到，求出两部分面积，再根据（1）的式子求解即可． 【详解】（1）解：依据上述规律可得； （2）解：如图，建立平面直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分， 设该工件重心为，正方形的重心为，长方形的重心为， ， 又正方形的面积为，长方形的面积为， ， 设该工件重心为． 【变式1】在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标． 【详解】矩形为“率矩形”， 设， 直线平分该矩形的面积， 直线经过点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【变式3】综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（   ） A．点    B．点    C．点    D．点 (2)如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； (3)如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 【答案】(1)A； (2)； (3)见解析，． 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． 根据重心的定义，作出的三条中线，三条中线的交点即为的重心； 根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； 把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，三条中线的交点是点， 的重心是点， 故选：A； （2）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 线段中点的坐标是， 正方形的重心坐标为； （3）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形， 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是,， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ，， ． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A．16 B． C．4 D．-4 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例中项的定义得，代入，计算即可． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握周长比等于相似比是关键．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴． 故选：B． 3．如图，已知，，则下列结论不一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴．故本选项的结论成立； B、∵，∴．故本选项的结论成立； C、∵，∴，∴．故本选项的结论成立； D、∵，， ∴，， ∴，， ∵与不一定相等， ∴不一定成立． 故选：D． 4．点在线段上，且．设，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程和黄金分割，设，则，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，取正根即可． 【详解】解：设，则， 由题意得：， ， ， 解得：， 线段长度取正值，故， 故答案为：． 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，点在上，点在上，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据得到，再结合相似比是得，再由得，进而得，最后利用等高模型求面积比可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为： ． 7．如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 【详解】（1）证明：， ， 、， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 8．如图，． (1)填空：的值为___________，的值为___________； (2)若，求和的长． 【答案】(1) (2)的长分别为 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，比例的性质． （1）根据平行线分线段成比例得到进而根据计算即可； （2）先求出，再根据计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ， ． 故的长分别为． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图，中，，分别交边、于、两点，若，，则的值为（ ） A．6 B．4 C．10 D．3 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，列出比例式是本题的关键．根据，得出，再根据的长求出即可得的长． 【详解】解：， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 2．如图，在梯形中，，与交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明出，进而得出，相似三角形面积之比为相似比的平方，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，已知平行四边形，对角线交于点，连接交于，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 由题意可知，进而得到，即，，再根据即可求解． 【详解】在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 又在平行四边形中， ，， ， 则． 故答案为：． 4．矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金比，矩形的周长，由题意可得，即得，进而根据矩形的周长公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：． 5．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 6．如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图： (1)将向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，请在图1中直接作出； (2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得．（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查平移作图，相似三角形的判定与性质． （1）直接按照平移方式作图即可； （2）利用相似三角形判定，结合网格求解即为本题答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图设正方形网格的边长为1，延长到点Q，使，作，且使，连接，交于点M， ，， ， ． 7．如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是牢记相似三角形的判定与性质． （1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出，进而即可得解； （2）由，利用相似三角形的性质可求出的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A的直线与y轴负半轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)D是直线在第一象限上一点，E为x轴正半轴上一动点，直线交y轴于点F． i）当时，若点D将线段分成两部分，求点E的坐标； ii）当时，试探究是否存在这样的点D，使得与相似？若存在，请求出满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或；存在， 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）将线段分成两部分，则或，证明△，则或，即可求解； 可证明只存在这种情况，则，设出点D的坐标，分别表示出的长，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴ ∵， ∴点是的中点， ∴， 点将线段分成两部分， ∴或， 如图所示，过点作轴于，则轴，即， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或； 存在，理由如下： 设， ，且过点， ∴可设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 当时，，即， 由点、、、的坐标得，， ∵点D在线段上，且不与点E和点F重合， ∴， 又∵， ∴当与相似时，只存在这种情况， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴， ∴，, ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴点． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质． 根据矩形的性质得到，，，证明，得到，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接 ，又因点在上是一动点，由边与边关系 ，只有当点在直线上时的 和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过 点作，且 连接，当点、、 三点共线时，的最值小；如图： ∵ ∴四边形是平行四边形 由点、、三点共线， ∴ 由四边形是矩形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵， 在 中，由勾股定理得： 又∵，则， ∴ 解得∶， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 4．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，设，则，，则，利用等腰直角三角形的性质证明，由相似三角形的性质得出，进一步求出，再证明，由相似三角形的性质进一步即可得出． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ∴， 解得，（舍去） 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（1）若，则 ； （2）若线段是线段、的比例中项，且，则 ； （3）若，则 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． （1）根据比的基本性质，把比的前、后项都乘一个适当的数，把两个比中的化成相同的数，即可写出、、这三个数的连比； （2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负； （3）利用等比性质求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以，即， 解得（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：6； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，点在上，点在的延长线上，连接，分别交于点，，，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是能熟练运用相似三角形的判定与性质．先根据平行四边形的性质得到，又有，，进而判定，根据相似三角形的性质可得、的长，再由可得，，故，，推出，代入、的长即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 7．综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题为四边形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据翻折的性质及平行线的性质得出相等的角和边，根据等角对等边证明，即可求解； （2）根据条件得出四边形为平行四边形，表示出相关的边，证明，由平行线得出，则，则可得出答案． 【详解】（1）证明：是翻折而成的， 故，，， ，则， ， 则，， ∵， ， 四边形为菱形； （2）解：，， 四边形为平行四边形， ， ， 菱形的边长为， ， ， ， ∴， ， ， ． 8．如图，线段，相交于点O，，，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，交于点M，交的延长线于点E，连接，过点M作交于点N．若四边形是平行四边形，求的长． (3)如图3，延长到点F，使，过点F作交的延长线于点G，连接，，，且与相交于点H，若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据相似三角形的判定证明，即可进一步证明结论； （2）先求出，，再证明，得到，进一步由得到，求得，从而得到答案； （3）设，四边形是平行四边形，得到，根据列方程，并求出，，得到，可知，证明，并设，根据，列出方程，即可求得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，， ， 又， ， ， ； （2）解：如图2，由（1）知， ， ， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ； （3）如图3，由（1）知， 设，则， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， 由勾股定理可知：， ， 解得． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解线段的比与成比例线段的概念，能运用比例性质进行有关计算和证明。 基础考点，常作为相似问题的前置知识出现在选择题或填空题中。 相似图形 理解相似图形的定义，能识别相似图形并理解相似比的意义。 概念考查题，通常要求判断图形是否相似或直接运用相似比。 相似三角形的判定 熟练掌握两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及平行线分线段成比例等判定方法。 核心高频考点，常作为几何证明题的关键步骤，或直接用于求解边长和角度。 相似三角形的性质 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等性质。 必考性质，广泛用于几何计算，常与判定结合在综合题中出现。 相似三角形的应用 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题，建立数学模型。 中考常见应用题，考查将实际问题转化为相似模型并求解的能力。 中位线及其应用 掌握三角形和梯形中位线的定义与性质，并能运用其进行证明和计算。 中档考点，常在几何综合题中作为构造平行和转移线段长度的工具。 位似图形相关概念 理解位似图形的定义，能识别位似中心、位似比，并区分位似与相似。 概念考查点，常以选择题形式出现，要求对位似的本质（对应点连线交于一点）有清晰认识。 位似图形的位似比 能根据位似比确定图形放大或缩小的倍数，并进行相关坐标或尺规作图。 常与坐标系结合考查，要求掌握位似比与坐标变化的关系。 用坐标确定位置 能根据点的坐标在平面直角坐标系中确定其位置，或根据位置写出坐标。 基础技能，是学习图形与坐标变换的前提。 图形的变换与坐标 掌握图形平移、轴对称、旋转（中心对称）及位似变换后，对应点坐标的变化规律。 综合易错点，常在中档题中考查，需熟记各种变换的坐标规则并准确应用。 知识点一、比例的基本性质 1.比例的基本性质 如果 ，那么 ；如果 ，那么 ． 2.比例的基本性质推广 （1）合比性质： ； （2）等比性质： 0） ． 知识点二、成比例线段 1．两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。线段 与线段 的比记作＂＂或" a: b ". 2.对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如 （或 ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ．此时也称这四条线段成比例 ． 易错点： 在通常情况下，四条线段a, b, c, d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使与的单位一致， 与 的单位一致。 线段a, b, c, d成比例，只可以写成 或 ，即四条线段a, b, c, d成比例是有顺序的，不能随便更改位置。 3 ．比例中项 如果 ，那么 叫做 和 的比例中项，当a, b, c为一般实数时，则由 得 同号）；当a, b, c为线段长时，则由 得 ． 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”) 数学语言：如图 ，∵ ， 可简记为： ． 易错点： 1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； 2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 知识点四、 平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 数学语言：如图，若 ，则有 或 或 ． 易错点： 1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况。 2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线 知识点五、 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 易错点： 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 知识点六、 相似三角形 1.定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.表示方法 相似用符号＂ ＂来表示，读作＂相似于＂。例如 与 相似，记作＂＂，读作 ＂ 相似于 ＂。 3.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比，当相似比为1时两个三角形全等 易错点： 用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性。 知识点七、 平行线截三角形相似的定理 定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 易错点： 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 ，图（1）（2）很像大写字母 ，故我们称之为 ＂A＂型相似；图③很像大写字母X，故我们称之为X”型相似(也像阿拉伯数字“8”） 知识点八、 由角的关系判定三角形相似 1.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似 易错点： 由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角，一般地，相等的角是对应角，如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件 2.常见的相似三角形的类型 （1）平行线型：如图①，若 ，则 . （2）斜交线型：如图②，若 ，则 . （3）子母型：如图③，若 ，则 . （4）＂K＂型：如图④，若 ，则 ，整体像一个横放的字母 K ，所以称为“K”型相似. 知识点九、 由边角关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 数学语言：如图，在 和 中，∵ 知识点十、 由三边关系判定三角形相似 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似， 数学语言：如图，在 和 中， 易错点： 由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可 应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况 知识点十一、 相似三角形对应线段的比 1.相似三角形对应线段的比 相似三角形对应边上的高的比、中线的比、对应角的平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比 易错点： (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段; (2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序 2.相似三角形周长的比 相似三角形的周长之比等于相似比 知识点十二、 相似三角形面积的比 1．相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方．若 ，且它们的相似比为 ，则 . 易错点： 面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的比、周长的比等于相似比混淆． 2.相似多边形面积的比 相似多边形面积的比等于相似比的平方 易错点： 两个相似三角形，各角对应都相等各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点十三、 利用相似测量物体的高度 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 易错点： 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等 知识点十四、 利用相似测量宽度 1.测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 2.常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 易错点： 利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤: 1.利用标杆等构造相似三角形: 2.测量与表示未知量的线段相对应的线段，以及另外任意一组对应边的长度: 3.画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量 4.检验并得出答案. 知识点十五、 三角形的中位线 1.三角形的中位线的定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 数学表达式：如图，∴D E是 的中位线． 2.三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 数学表达式：如图 3.三角形的中位线的应用 (1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系: 一是位置关系，可以用来证两直线平行; 二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 (2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到 易错点： 1.一个三角形有三条中位线； 2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形； 3.三角形的中位线与三角形的中线的区别:三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段； 4.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 知识点十六、 位似图形的定义 1.定义，两个图形不仅相似，而且对应点的连线所在直线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2.位似与相似的关系 (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线所在直线相交于一点 (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况 易错点： 两个位似图形的位似中心有且只有一个. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部边上或某一顶点处，常见位似图形的构成如图 知识点十七、 位似图形的性质 位似图形具有的性质 (1)位似图形每组对应点的连线所在直线必过位似中心 (2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比. (3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上) (4)两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 易错点： 利用位似图形的性质，可以把一个图形放大或缩小，同时也可以确定位似中心利用位似图形的性质可以求两个位似图形的相似比 知识点十八、 位似图形的画法 画位似图形的步骤 (1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或某一个顶点处); (2)分别连结位似中心和能代表原图的关键点; (3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置； (4)顺次连结所作各点，可以得到位似图形 易错点： 位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 知识点十九、 平面直角坐标系中的位似 1.位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形的某一顶点坐标为()，则其位似图形对应顶点的坐标为()或()◎这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比 2.位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换 易错点： 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换分两种情况:一种是位似图形与原图形在原点的同侧;另一种是在原点的两侧当时，图形扩大为原来的倍;当时，图形缩小为原来的 知识点二十、 用坐标表示地理位置 平面直角坐标系表示地理位置的方法(1)选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、v轴的正方向建立平面直角坐标系 (2)根据具体问题确定单位长度 (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称 易错点： 建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，要本着方便、简单、美观的原则 知识点二十一、 用方位角及距离表示平面内点的位置 1.定义 确定平面内一个点的位置，可以选择一个参照点，然后用方位角和距离来表示点的位置，这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法 易错点： 1.用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可， (1)该点相对于参照点的方位角；(2)该点与参照点之间的实际距离 2.用方位角和距离表示平面内点的位置和地图上的方向一样，按上北下南、左西右东划分，处于四个直角平分线上的方向分别是东南、东北、西北、西南 2.方法 (1)选取某个点为参照点，过参照点画出表示东西和南 北方向的直线: (2)用量角器量出点M相对于参照点的方位角； (3)用刻度尺量出点M与参照点之间的图上距离，并利用比例尺计算出点M与参照点之间的实际距离；(4)用方位角和距离表示点M的位置 知识点二十二、 平移变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着轴方向或轴方向进行，平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下 (1)若沿轴向右(或向左)平移，则对应顶点的纵坐标不变而横坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位; (2)若沿轴向上(或向下)平移，则对应顶点的横坐标不变而纵坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位 易错点： 将图形左右平移，点的纵坐标不变;上下平移，点的横坐标不变。即右加左减纵不变;上加下减横不变 知识点二十三、 轴对称变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形一般以轴或轴为对称轴进行轴对称变换，变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下: (1)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数; (2)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等 易错点： 关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律:横对称横不变，纵相反;纵对称，纵不变，横相反;关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同 题型一 成比例线段 解｜题｜技｜巧 ☆四条线段a、b、c、d若满足a:b=c:d，则成比例 ◎统一单位后比较长度 ◎利用比例基本性质：若，则ad=bc ◎合比/分比性质可用于拆分复杂比例 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 【变式1】手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点E、F、G、H为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为 ． 【变式2】已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【变式3】已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 题型二 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 ☆平行线截两条直线，所得线段对应成比例 ◎识别“A字型”或“X字型”基本图形 ◎直接写出对应线段比例式，如 ◎求未知线段时，可设x列方程求解 【典例1】如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图①是商场摆放的花架，图②是其侧面示意图，已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式3】如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    题型三 相似图形 解｜题｜技｜巧 ☆形状相同、大小可不同的图形 ◎判断对应角是否相等，对应边是否成比例 ◎对于多边形，需同时满足角相等和边成比例 ◎常见相似图形：正多边形、圆 【典例1】下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在下面几组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 题型四 相似多边形 解｜题｜技｜巧 ☆边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形 ◎按顺序对比对应角与对应边 ◎相似比k=对应边之比，面积比=k² ◎已知部分边长，可通过比例求未知边长 【典例1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【典例2】如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形AFD中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 【变式1】如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 【变式2】如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形． 【变式3】如图，四边形． (1)______°，______°． (2)求的值． 题型五 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ☆五大判定方法（AA、SAS、SSS、HL、平行线） ◎优先找角相等（AA最常用） ◎有平行线时，直接用“平行得相似” ◎直角三角形注意HL（斜边直角边对应成比例） 【典例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列两个三角形不一定相似的是（   ） A．有一个内角是的两个等腰三角形 B．腰与底的比都是的两个等腰三角形 C．两边对应成比例的两个直角三角形 D．一个内角为的两个直角三角形 【典例3】如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（   ） A．的值 B．的长度 C．的值 D．的周长 【典例4】如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由． 【变式1】如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式2】如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（   ）对． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5】如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【变式6】如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 题型六 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ☆对应元素成比例，面积比=相似比² ◎求边长：利用对应边比例式 ◎求面积：先求相似比，再平方得面积比 ◎求高/中线：对应高之比=相似比 【典例1】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【典例3】如图所示，，，，若，则 ． 【典例4】如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 【变式1】两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ． 【变式2】如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，三点均在格点上． (1)如图一，取格点，在网格中画，使三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） (2)如图二，在线段上取一点，使（保留作图痕迹） 【变式4】如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【变式5】如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 【变式6】中，，，中，，． (1)如图，当点在中点处时，与数量关系为______；位置关系为______． (2)如图，若不在中点时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请就图进行证明；若不成立，请说明理由． (3)若，当是直角三角形时，请直接写出的长． 题型七 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题转化为相似模型 ◎测量问题：构造相似三角形，利用影子或反射原理 ◎绘图问题：确定相似比，按比例缩放 ◎注意单位统一与结果合理性检验 【典例1】九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【典例2】某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度． 【变式1】如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 cm． 【变式2】综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【变式3】清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 题型八 与三角形中位线有关的求解问题 解｜题｜技｜巧 ☆中位线平行于第三边且等于其一半 ◎求长度：中位线=底边× ◎求角度：利用平行线性质得同位角/内错角相等 ◎多中点时，连中位线构造平行四边形 【典例1】如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【典例2】如图，，分别是▱两边的中点，连接，交于点，则的值为 ． 【变式1】如图，中，为中点，在的延长线上取一点E，使得与交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为 ． 【变式3】，，，、分别为、中点，若为矩形，，则 ，若，则 ． 题型九 与三角形中位线有关的证明 解｜题｜技｜巧 ☆通过中点连中位线，转化线段关系 ◎证平行：证明某线段为中位线，则平行于底边 ◎证线段相等：构造中位线，利用等量代换 ◎常与平行四边形、全等三角形结合 【典例1】如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【典例2】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2  如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．求证：． 证明：连接． 、分别是边、的中点， …… （1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论归纳】 通过进一步探究，可知结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 【拓展应用】 （2）如图②，在矩形中，，，对角线、交于点，点是的中点，连接交于点，则的长为________，的面积为________． （3）如图③，在矩形中，，，点、、分别在边、、上，且，，点为上一动点，连接、、，点为的重心，则线段的最小值为________． 【变式1】如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号 ． 【变式2】如图，在中，，分别是边，的中线，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】如图①，在中，，，点D、E分别在、边上，，连接、、，点M、N、P分别是、、的中点，连接、、 (1)与的数量关系是 ． (2)将绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． 题型十 三角形中位线的实际应用 解｜题｜技｜巧 ☆利用中位线简化不可达距离的测量 ◎在地面构造三角形，取两边中点 ◎测量中位线长度，则底边=中位线×2 ◎适用于河宽、山谷距离等测量场景 【典例1】如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【变式2】如图，A、B两处被池塘隔开，小明想要知道A、B两处的距离．小明先在外选一点C，然后分别步测出，的中点D，E，并测出的长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3】小明探究：“用刀剪一个三角形分成块，再把它拼成一个长方形（无重叠，无缝隙）”时，遇到了困难．经提示他想到了从特殊到一般的数学思想，于是他先剪一个直角三角形纸片，然后沿其一条中位线剪一刀，分成块（如图），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的长方形． (1)请你在图中用类似的方法把三角形纸片剪一刀分成块，使拼成的图形为平行四边形； (2)请你在图中把三角形纸片剪两刀分成块，使拼成的图形为长方形； (3)请你在图和图中，把正方形纸片剪两刀分成块，然后拼成一个与原正方形面积相等的三角形，要求所拼成的三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形．（请给出两种不同的方案） 题型十一 位似图形的识别与判断位似中心 解｜题｜技｜巧 ☆对应点连线交于一点，对应边平行 ◎延长对应顶点连线，交点即为位似中心 ◎若对应边平行，则位似中心在交点处 ◎注意内位似（中心在图形内）与外位似（中心在图形外） 【典例1】下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．两个正五边形一定互为位似图形 B．物体在夜晚路灯照射下所形成的影子长度只与该物体的高度有关 C．取菱形四边的中点连成的中点四边形一定也是菱形 D．经过矩形对角线交点的任意直线，都能将这个矩形的面积平分 【变式3】如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型十二 位似图形的相似比 解｜题｜技｜巧 ☆相似比=对应边之比=对应点到位似中心距离之比 ◎直接测量对应边求比值 ◎在坐标系中，若位似中心为原点，则坐标比=相似比 ◎相似比大于1为放大，小于1为缩小 【典例1】如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于轴对称，画出； (2)若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； (3)已知，则点坐标为_____． 【变式1】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)先将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)在轴的左侧画出以原点为位似中心，且与的相似比为2：1的位似图形，并写出点的坐标． 题型十三 用坐标确定位置 解｜题｜技｜巧 ☆平面直角坐标系中，点由(x,y)唯一确定 ◎根据坐标描点：先横后纵 ◎根据点写坐标：向x轴、y轴作垂线 ◎注意象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-) 【典例1】一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（    ） A．北偏东， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏西， 【典例2】看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【变式1】根据下列表述，能确定某地点具体位置的是（   ） A．某影厅第2排 B．北偏东 C．距离南昌60公里处 D．东经，北纬 【变式2】如图是某舞蹈队形的方阵图，每个格点表示一位演员的位置，随着音乐的节奏，各个位置的演员分别做出不同的动作，形成优美的图案．若演员的位置用来表示，演员的位置用来表示，则演员的位置可用坐标表示为 ． 【变式3】如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为 ． 题型十四 利用相似求坐标 解｜题｜技｜巧 ☆位似变换下，坐标按相似比缩放 ◎若位似中心为原点，新坐标=(kx, ky) ◎若中心为(a,b)，先平移使中心到原点，缩放后再平移回去 ◎新坐标 = (k(x-a)+a, k(y-b)+b) ◎注意k的正负决定同侧或异侧 【典例1】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．以点O为位似中心，将的各边放大为原来的3倍得到，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若，则的对应点的坐标是 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为 ． 题型十五 在坐标系中画位似图形 解｜题｜技｜巧 ☆按相似比在射线上截取对应点 ◎从位似中心向各顶点引射线 ◎按相似比在射线上取点，得到新顶点 ◎顺次连接新顶点，检查对应边是否平行 【典例1】如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【典例2】已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)直接写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 【变式1】如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【变式2】在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 【变式3】如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标； (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，使它与都在位似中心的同侧，且与的位似比为； (3)若与在位似中心的异侧，且位似比为，直接写出此时点的坐标． 题型十六 坐标与图形综合 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用坐标、变换、相似、几何性质 ◎求图形面积：可用割补法或坐标公式 ◎判断图形形状：计算边长、对角线、斜率等 ◎动态问题：设参数表示坐标，根据几何关系列方程 【典例1】如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【典例2】综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 【变式1】在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式3】综合与实践 【探究课题】确定匀质薄板的重心位置． 任务一：探究三角形匀质薄板的重心位置 如图1，用悬挂法确定三角形匀质薄板的重心位置，得出结论：三角形三边中线的交点是三角形匀质薄板的重心． 任务二：探究平行四边形匀质薄板的重心位置 如图2，用悬挂法确定平行四边形匀质薄板的重心位置，发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线（不相邻顶点所连线段）的交点处，且重心的坐标为，其中，表示点，的横坐标，，表示点，的纵坐标． 任务三：探究组合图形匀质薄板的重心位置 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，，，面积分别为，，，，则，．如图，“”形匀质薄板中，，，，确定该薄板的重心位置的步骤：①先求出该薄板的面积；②将该薄板分为两个长方形薄板，，以为原点，以为单位长度建立平面直角坐标系（如图）；③确定长方形薄板的重心为，面积；长方形薄板的重心为，面积；④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是（   ） A．点    B．点    C．点    D．点 (2)如图，正方形中，，求正方形的重心坐标； (3)如图，多边形中，，，，，请以点为原点，为单位长度建立平面直角坐标系，并求出重心的坐标． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A．16 B． C．4 D．-4 2．若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知，，则下列结论不一定成立的是（） A． B． C． D． 4．点在线段上，且．设，则 ． 5．若，则的值为 ． 6．如图，点在上，点在上，，，则 ． 7．如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 8．如图，． (1)填空：的值为___________，的值为___________； (2)若，求和的长． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．如图，中，，分别交边、于、两点，若，，则的值为（ ） A．6 B．4 C．10 D．3 2．如图，在梯形中，，与交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知平行四边形，对角线交于点，连接交于，若，则为 ． 4．矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为 ． 5．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 6．如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图： (1)将向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，请在图1中直接作出； (2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得．（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） 7．如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A的直线与y轴负半轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)D是直线在第一象限上一点，E为x轴正半轴上一动点，直线交y轴于点F． i）当时，若点D将线段分成两部分，求点E的坐标； ii）当时，试探究是否存在这样的点D，使得与相似？若存在，请求出满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 4．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ． 5．（1）若，则 ； （2）若线段是线段、的比例中项，且，则 ； （3）若，则 ． 6．如图，在中，点在上，点在的延长线上，连接，分别交于点，，，若，，则的值为 ． 7．综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 8．如图，线段，相交于点O，，，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，交于点M，交的延长线于点E，连接，过点M作交于点N．若四边形是平行四边形，求的长． (3)如图3，延长到点F，使，过点F作交的延长线于点G，连接，，，且与相交于点H，若，．求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $