学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（广东专用，人教版九上全部）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册。 第一部分（选择题 共30分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）对称美是一种美学观念，强调事物在空间或结构上的平衡与协调，给人以圆满、和谐、稳定的视觉感受．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥 3．（3分）已知的半径为7，则中弦的长不可能是（　　） A．6 B．10 C．12 D．15 4．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是　　 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 6．（3分）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 7．（3分）如图，点，在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力随机抽查，结果如表： 累计抽测的学生人数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生人数与的比值 0.423 0.410 0.400 0.409 0.411 0.410 0.410 从该区任意抽取一名初中生，估计这名初中生近视的概率是（　　） A．0.423 B．0.390 C．0.428 D．0.410 9．（3分）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（3分）将函数在轴下方的图象沿轴向上翻折，在轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为　　 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，正方形是由8个大小相等的三角形构成，随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为　　 ． 12．（3分）如图，，是的弦，点在弦上，且，，则的度数为 　　 ． 13．（3分）抛物线的对称轴是直线　　 ． 14．（3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 　　． 15．（3分）已知：、是方程的两根，则　　 ． 16．（3分）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　；若，是一元二次方程的两个实数根且满足，则　　． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）如图，已知是外一点，是上的动点，线段的中点为，连接、，若的半径为2，，求线段的最小值． 18．（6分）如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19．（8分）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的、、、、五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是 　　 ，扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是 　　 ，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从、、三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 20．（6分）如图，在长为、宽为的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 21．（8分）如图，为等边三角形，点为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，直接写出的大小，并证明； （2）连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 22．（9分）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售． （1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率； （2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由． 23．（9分）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：　　 ，　　 （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使△的面积最大，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 24．（10分）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 12 13 14 每天销售数量件 36 34 32 （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线与抛物线的另一个交点为点，点为抛物线对称轴上的一点，连接、，设点的纵坐标为，当时，求的值； （3）如图2，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12. 15 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(4分) 18.(6分) C E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 人数/人 16 4 10 10 A类 B类 8 32% 6 E类 42 C类 D类 0 A类B类 C类D类E类 项目 20.(6分) 月 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) M B 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) A D ↓‖ B →Q 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12份) A 10 B→x A B u D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册。 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）对称美是一种美学观念，强调事物在空间或结构上的平衡与协调，给人以圆满、和谐、稳定的视觉感受．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的进行判断即可． 【详解】解：、、不是中心对称图形，是中心对称图形． 故选：． 2．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：根据相关概念判断可知： ．是不可能事件，故不符合题意； ．是随机事件，故符合题意； ．是必然事件，故不符合题意； ．是不可能事件，故不符合题意； 故选：． 3．（3分）已知的半径为7，则中弦的长不可能是（　　） A．6 B．10 C．12 D．15 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径，所以． 故选：． 4．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由原方程有实数根，可得出△，解之即可得出实数的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 实数的取值范围是． 故选：． 5．（3分）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是　　 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，即可判断③正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，判断出④正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，（顶点在轴上时取“” ，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故②错误； 令，则， ， 根据顶点坐标公式，， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故③正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3， 点的横坐标最大值为3，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：． 6．（3分）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【分析】是三条角平分线的交点，过作，则得出，即可得出，再求出，，即可得出：，即可求解． 【详解】解：平分，， ，， ， ， ， 是的内角平分线的交点， ， 同理可得出：， ， ， ， 即：， 即△， 故选：． 7．（3分）如图，点，在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理及邻补角定义求出，根据圆周角、弧的关系求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据四边形内角和是求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 是半圆的直径， ， ， 与的度数之和为， ， ， ， 故选：． 8．（3分）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力随机抽查，结果如表： 累计抽测的学生人数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生人数与的比值 0.423 0.410 0.400 0.409 0.411 0.410 0.410 从该区任意抽取一名初中生，估计这名初中生近视的概率是（　　） A．0.423 B．0.390 C．0.428 D．0.410 【分析】据此结合表格中的数据即可得到答案． 【详解】观察表格中“近视学生人数与 的比值”（即频率），随着累计抽测学生人数的增加，频率逐渐稳定在 0.410 附近．根据频率估计概率的原理，所以从该区任意抽取一名初中生，估计这名初中生近视的概率是0.410 且随着样本量增加，波动范围逐渐缩小， 估计这名初中生近视的概率是0.410． 故选：． 9．（3分）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断①；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断②；利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积，可以判断③． 【详解】解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为米， 墙长为，， 解得， 的取值范围为， 故①错误； 根据题意得：， 解得，， ， ， 的长有1个值满足该矩形菜园的面积为， 故②错误； 根据题意得：， ，， 当时，有最大值，最大值为， 故③正确． 故选：． 10．（3分）将函数在轴下方的图象沿轴向上翻折，在轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为　　 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】令，则，设抛物线于轴右侧的交点，，翻折后的函数表达式为：，当时，，当时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解． 【详解】解：如图，函数的对称轴为，故顶点的坐标为， 令，则，设抛物线于轴右侧的交点，， 根据点的对称性，图象翻折后图象关于轴对称，故翻折后的函数表达式为：， 当时，， 当时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可； ①当点在直线的左侧时（直线所处的位置）， 即，解得：； 当函数在点处取得最大值时，即，解得：， 当时，此时最大值最小为； 当函数在处取得最大值时，即，解得：， 最大为3.5时，此时最大值为， 故； ②当点在直线的右侧时（直线所处的位置）， 即，解得：； 函数的最大为； 综上，， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，正方形是由8个大小相等的三角形构成，随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为 ． 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可． 【详解】解：正方形是由8个大小相等的三角形构成，阴影区域有3个， 随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 12．（3分）如图，，是的弦，点在弦上，且，，则的度数为 ． 【分析】根据，，求出的度数，再由圆心角与圆周角的关系得出的度数解得即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（3分）抛物线的对称轴是直线 ． 【分析】根据顶点式函数解析式即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 14．（3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 　　． 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，由直角三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 15．（3分）已知：、是方程的两根，则　16　 ． 【分析】根据一元二次方程的解得，，变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ，， ， 故答案为：16． 16．（3分）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　，且　；若，是一元二次方程的两个实数根且满足，则　　． 【分析】首先根据非负数的定义求得、的值；然后利用一元二次方程的根判别式△列出关于的不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围；由根与系数的关系，来求的值． 【详解】解：， ，且， 解得，，， 由一元二次方程，得 ； 又一元二次方程有两个实数根， △，且， 解得，，且； ，， ， ，即 解得，或． 故答案为：，且；或． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）如图，已知是外一点，是上的动点，线段的中点为，连接、，若的半径为2，，求线段的最小值． 【分析】设为交于点，连接，，如图，由题意可知，从而可知为的中位线，由三角形中位线的性质可知；当点、、在一条直线上时，有最小值，接下来依据求解即可． 【详解】解：设为交于点，连接，，如图， ，， 是的中点． 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上． 当点在上时，最小，最小值为1， 线段的最小值为1． 18．（6分）如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【分析】（1）由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，，得到，由圆心角、弧、弦的关系定理推出； （2）由圆周角定理得到，由平行线的性质推出，由垂径定理得到，由勾股定理求出，于是． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ； （2）解：是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（8分）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的、、、、五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是 　50　 ，扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是 　　 ，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从、、三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【分析】（1）由类的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由该校八年级学生人数乘以填报类研学项目的学生所占的比例即可； （3）列表得出共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一项目的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）抽取的学生人数是（人， 扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是， 类的人数是（人， 故答案为：50人，， 补全条形统计图如下： （2）（人， 答：估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有80人； （3）列表如下： 甲 乙 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一项目的结果有3种， 他们两人填报同一项目的概率为． 20．（6分）如图，在长为、宽为的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是和，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设道路的宽应为米．依题意得： ， 解得，（不合题意舍去） 答：道路的宽应为． 21．（8分）如图，为等边三角形，点为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，直接写出的大小，并证明； （2）连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意即可补全图形，然后利用旋转的性质得为等边三角形，证明，得，即可解决问题； （2）过点作，交的延长线于点，得，，证明，得，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图所示，即为补全的图形，， 证明：为等边三角形， ，， 由旋转可知：为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ，， 由（1）知：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 22．（9分）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售． （1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率； （2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由． 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可； （2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 【详解】解 （1）设田丰每次价格下调的百分率为． 由题意，得． 解这个方程，得，． 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意， 符合题目要求的是． 答：田丰每次价格下调的百分率是． （2）小李选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：（元， 方案二所需费用为：（元． ， 小李选择方案一购买更优惠． 23．（9分）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ，　　 （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使△的面积最大，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据、两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】解：（1）点从点开始沿边向终点以的速度移动， ； 从点开始沿边向终点以的速度移动， ， 又， ， 故答案为：；． （2）的长度等于，， ， 解得：，； 当或2时，的长度等于； （3）由题意得△的面积， ， 当时，△的面积有最大值． 24．（10分）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 12 13 14 每天销售数量件 36 34 32 （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】解：（1）该文具的每天销售数量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系， 设，将、分别代入得： ， 解得：， 与的函数关系式为； （2）设销售这种文具每天获利（元， 依题意得：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，， 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线与抛物线的另一个交点为点，点为抛物线对称轴上的一点，连接、，设点的纵坐标为，当时，求的值； （3）如图2，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）设，由旋转得，，当时，过点作轴的平行线，过点，分别作平行线的垂线，垂足为点，，证明△△，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】解：（1）抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）联立得：， 解得：，， ， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 设， ， ， ， 解得：， 的值为； （3）由（2）得顶点， 设，由旋转得，， 当时，过点作轴的平行线，过点，分别作的垂线，垂足为点，，如图， ， ， ， △△， ，， ， 将点代入，得， 整理得：， 解得：， ，或，； 当时，过点作轴的平行线，过点，分别作平行线的垂线，垂足为点，，如图， ， ， ， △△， ，， ， 将点代入，得，整理得：， 解得：， ，或，； 综上，所有符合条件的点的坐标为：，或，或，或，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B D A C D B C 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.． 12.． 13.． 14.． 15.16． 16.，且；或． 三．解答题（共9小题，满分72分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（4分）如图，已知是外一点，是上的动点，线段的中点为，连接、，若的半径为2，，求线段的最小值． 【分析】设为交于点，连接，，如图，由题意可知，从而可知为的中位线，由三角形中位线的性质可知；当点、、在一条直线上时，有最小值，接下来依据求解即可． 【详解】解：设为交于点，连接，，如图， ，， 是的中点． 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上． 当点在上时，最小，最小值为1， 线段的最小值为1． 18．（6分）如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【分析】（1）由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，，得到，由圆心角、弧、弦的关系定理推出； （2）由圆周角定理得到，由平行线的性质推出，由垂径定理得到，由勾股定理求出，于是． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ； （2）解：是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（8分）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的、、、、五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是 　50　 ，扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是 　　 ，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从、、三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【分析】（1）由类的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由该校八年级学生人数乘以填报类研学项目的学生所占的比例即可； （3）列表得出共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一项目的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）抽取的学生人数是（人， 扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是， 类的人数是（人， 故答案为：50人，， 补全条形统计图如下： （2）（人， 答：估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有80人； （3）列表如下： 甲 乙 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一项目的结果有3种， 他们两人填报同一项目的概率为． 20．（6分）如图，在长为、宽为的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是和，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设道路的宽应为米．依题意得： ， 解得，（不合题意舍去） 答：道路的宽应为． 21．（8分）如图，为等边三角形，点为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，直接写出的大小，并证明； （2）连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意即可补全图形，然后利用旋转的性质得为等边三角形，证明，得，即可解决问题； （2）过点作，交的延长线于点，得，，证明，得，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图所示，即为补全的图形，， 证明：为等边三角形， ，， 由旋转可知：为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ，， 由（1）知：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 22．（9分）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售． （1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率； （2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由． 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可； （2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 【详解】解 （1）设田丰每次价格下调的百分率为． 由题意，得． 解这个方程，得，． 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意， 符合题目要求的是． 答：田丰每次价格下调的百分率是． （2）小李选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：（元， 方案二所需费用为：（元． ， 小李选择方案一购买更优惠． 23．（9分）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ，　　 （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使△的面积最大，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据、两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】解：（1）点从点开始沿边向终点以的速度移动， ； 从点开始沿边向终点以的速度移动， ， 又， ， 故答案为：；． （2）的长度等于，， ， 解得：，； 当或2时，的长度等于； （3）由题意得△的面积， ， 当时，△的面积有最大值． 24．（10分）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 12 13 14 每天销售数量件 36 34 32 （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】解：（1）该文具的每天销售数量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系， 设，将、分别代入得： ， 解得：， 与的函数关系式为； （2）设销售这种文具每天获利（元， 依题意得：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，， 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线与抛物线的另一个交点为点，点为抛物线对称轴上的一点，连接、，设点的纵坐标为，当时，求的值； （3）如图2，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）设，由旋转得，，当时，过点作轴的平行线，过点，分别作平行线的垂线，垂足为点，，证明△△，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】解：（1）抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）联立得：， 解得：，， ， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 设， ， ， ， 解得：， 的值为； （3）由（2）得顶点， 设，由旋转得，， 当时，过点作轴的平行线，过点，分别作的垂线，垂足为点，，如图， ， ， ， △△， ，， ， 将点代入，得， 整理得：， 解得：， ，或，； 当时，过点作轴的平行线，过点，分别作平行线的垂线，垂足为点，，如图， ， ， ， △△， ，， ， 将点代入，得，整理得：， 解得：， ，或，； 综上，所有符合条件的点的坐标为：，或，或，或，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(4分) M P 18.(6分) E ⊙ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. (8分) 人数/人 1 16 2 10 A类 B类 8 8 32% 6 E类 42 c类 D类 0 A类 B类C类 D类E类 项目 20.(6分) 目 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) M D B 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) y D →Q 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12份) 外 N C 10 B A B D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册。 第一部分（选择题 共30分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）对称美是一种美学观念，强调事物在空间或结构上的平衡与协调，给人以圆满、和谐、稳定的视觉感受．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥 3．（3分）已知的半径为7，则中弦的长不可能是（　　） A．6 B．10 C．12 D．15 4．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是　　 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 6．（3分）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 7．（3分）如图，点，在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力随机抽查，结果如表： 累计抽测的学生人数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生人数与的比值 0.423 0.410 0.400 0.409 0.411 0.410 0.410 从该区任意抽取一名初中生，估计这名初中生近视的概率是（　　） A．0.423 B．0.390 C．0.428 D．0.410 9．（3分）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（3分）将函数在轴下方的图象沿轴向上翻折，在轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为　　 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，正方形是由8个大小相等的三角形构成，随机的往正方形内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为　　 ． 12．（3分）如图，，是的弦，点在弦上，且，，则的度数为 　　 ． 13．（3分）抛物线的对称轴是直线　　 ． 14．（3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 　　． 15．（3分）已知：、是方程的两根，则　　 ． 16．（3分）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　；若，是一元二次方程的两个实数根且满足，则　　． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）如图，已知是外一点，是上的动点，线段的中点为，连接、，若的半径为2，，求线段的最小值． 18．（6分）如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19．（8分）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的、、、、五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是 　　 ，扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是 　　 ，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从、、三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 20．（6分）如图，在长为、宽为的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 21．（8分）如图，为等边三角形，点为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，直接写出的大小，并证明； （2）连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 22．（9分）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售． （1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率； （2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由． 23．（9分）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：　　 ，　　 （用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使△的面积最大，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 24．（10分）某超市以每件10元的进货单价购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 12 13 14 每天销售数量件 36 34 32 （1）求出与之间的函数关系式； （2）设销售这种文具每天获利（元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线与抛物线的另一个交点为点，点为抛物线对称轴上的一点，连接、，设点的纵坐标为，当时，求的值； （3）如图2，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $