专题二十四 三角函数实际应用（解直角三角形、坡角、仰角、俯角、方位角）讲义 2026年中考数学一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“三角函数实际应用”专题，覆盖解直角三角形、坡角、仰角俯角、方位角等中考核心考点，按题型系统梳理知识内在联系。通过“考点分类-例题精析-方法归纳-变式训练”流程，结合2025年各地中考真题，指导学生突破辅助线构造、方程思想等解题难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“现实情境建模+分层能力提升”设计，如以无人机测量、登山等情境题培养几何直观与模型意识，例题中通过作垂线转化图形发展推理能力。课后练习分基础到挑战三级，配合即时反馈机制，助力学生高效掌握解题技巧，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题二十四 三角函数实际应用（解直角三角形、坡角、仰角、俯角、方位角） 【题型一】解直角三角形 【例1】（2025•广元）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD，则AC的长为 　　 ． 【分析】过点B，D分别作AC的垂线段，利用△ODE﹣△OBF得到OF＝2OE，BF＝2DE，再利用AB＝2AD，推出 Rt△AED～Rt△AFB，进而得到 AF＝2AE，设OE＝x，结合O是AC的中点则可推出AE＝3x，CE＝5x，由可表示 ，在Rt△ADE勾股定理建立方程即可求解x，则AC＝8x可求． 【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F， ∵∠OED＝∠OFB＝90°，∠DOE＝∠BOC， ∴△ODE∽△OBF，则， 设OE＝x，则OF＝2x，EF＝3x， ∵AB＝4，AD＝2， ∴， ∴， ∵∠AED＝∠AFB＝90°， ∴Rt△AED∽Rt△AFB， ∴， ∴AF＝2AE，即AE＝EF＝3x， ∴AO＝AE+OE＝4x， ∵O是AC的中点， ∴CO＝AO＝4x， ∴CE＝CO+OE＝5x， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ADE 中，AD＝2，由勾股定理：AE2+DE2＝AD2， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【例2】（2025•宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度． （参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80） 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，解Rt△ADC表示出CD＝0.9x，再解Rt△CDB求出x，即可求解CD． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 设AD＝x米，则由题意得 BD＝（60﹣x）米， 在Rt△ADC中，∠BAC＝42°，， ∴CD＝tanA•AD＝0.9x， ∵在Rt△CDB中，∠ABC＝61°，， ∴， 解得：x＝40， ∴CD＝0.9×40＝36（米）， 答：此河流的宽度为36米． 【变式1】4．（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD，AB＝26，则点B到AD的距离为 　10　 ． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H．可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，证明DH＝CD＝5k，利用面积法求解． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠C＝90°，cos∠CAD， ∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝5k， 设点B到AD的距离为h，则有13k×h26×5k， 解得h＝10． 故答案为：10． 【变式2】（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 【变式3】（2025•徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17） 【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，设BD＝x，可得CD＝（22.2﹣x）m，再进一步利用三角函数求解即可． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°， 设BD＝xm，而BC＝22.2m， ∴CD＝（22.2﹣x）m， 在Rt△ABD中，∠B＝34.2°， ∴， ∴AD＝0.68x， 在Rt△ACD中，∠C＝9.8°， ∴， ∴3.774﹣0.17x＝0.68x， 解得：x＝4.44， ∴， ∴， ∴AC的长度约为17.9m． 【题型二】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【例1】（2025•镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°， ∵sinA， ∴BC＝AB•sinA＝120sin10°（米）， 故选：D． 【例2】（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 【分析】（1）通过解Rt△ABC，求出AC，再通过AC﹣DF即可求出两滑梯的高度差； （2）通过解Rt△ABC，求出BC，通过解Rt△EFD，求出EF，再通过BE＝BC+CF+EF，代入数值计算即可得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵sin∠B， ∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m， ∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m， 答：两滑梯高度差为2.50m； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵cos∠B， ∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m， 在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°， ∵tan∠DEF， ∴， ∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m， 答：BE长36.69m． 【变式1】（2024•眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 　（42）　 米． 【分析】过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H， 则∠BEH＝∠DCF， 在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BCF， 设BH＝x米，EH＝2x米， ∴BEx＝10， ∴x＝2， ∴BH＝2米，EH＝4米， ∵∠EAH＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴AH4（米）， ∴AB＝AH﹣BH＝（42）（米）， 答：大树AB的高度为（42）米． 故答案为：（42）． 【变式2】（2025•德州）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 【分析】（1）过点B作BE⊥AD于E，根据正弦的定义求出BE； （2）过点B作BF⊥CD于F，根据矩形的性质求出DF，进而求出CF，再根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米， 则BE＝AB•sinA≈200×0.28＝56（m）， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m； （2）如图，过点B作BF⊥CD于F， 则四边形BEDF为矩形， ∴DF＝BE＝56m， ∵CD＝296m， ∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m）， 在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°， 则BC400（m）， 答：车的行驶路线BC的长约为400m． 【变式3】（2024•淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°） 【分析】根据题意，设设AB＝xcm，分两种情况计算出AF和AH的长，利用AF＝AH建立方程（60+x）•sin53°＝（60+2x）•sin37°，求出x值即可． 【解答】解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝xcm，则AC＝60+x， ∵sin53°， ∴AF＝（60+x）•sin53°， 如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x， ∴AH＝（60+2x）•sin37°， ∵AF＝AH， ∴（60+x）•sin53°＝（60+2x）•sin37°， ∴， 解得：x＝30． 答：每节拉杆的长度为30cm． 【题型三】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【例1】（2025•青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF，从而可得∠GAE＝∠AEF＝22°，然后设CD＝x米，则EF＝BD＝（x+15）米，分别在Rt△DCE和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出DE和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 【例2】（2025•资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 【分析】（1）过点B作BE⊥AM于E，根据坡度的概念得到AE＝3BE，再根据勾股定理求出BE； （2）延长CD交AM于F，设CD＝x米，根据正切的定义用x表示出AF、EF，根据题意列式计算得到答案． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴， ∴AE＝3BE， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（10）2＝BE2+（3BE）2， 解得：BE＝10， 答：平台BN的高度为10米； （2）如图，延长CD交AM于F， 则CF⊥AM， ∴四边形BEFD为矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF， 设CD＝x米，则CF＝（x+10）米， 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∵tan∠CAF， ∴， ∴AF（x+10）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝60°， 则BDx米， 由（1）可知：AE＝3BE＝30米， ∴（x+10）x＝30， 解得：x＝1515， 答：建筑物的高度为（1515）米． 【变式1】（2025•湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 【分析】过A作AC⊥BC于C，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过A作AC⊥BC于C， 则∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝35°，AC＝30m， ∴BC＝AC•tan35°≈30×0.7＝21（m）， ∴乙楼的高＝21+18＝39（m）． 【变式2】（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是　180　 m．（tan22°取0.4） 【分析】根据题意可得：PD∥CB，从而可得∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，然后分别在Rt△PAC和Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：PD∥CB， ∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°， 在Rt△PAC中，PC＝120m， ∴AC120（m）， 在Rt△PBC中，∠PBC＝22°， ∴BC300（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m）， ∴A，B之间的距离约是180m， 故答案为：180． 【变式3】（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【分析】过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝AG，设CG＝AG＝DH＝xm，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝xm， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CGm， ∴BG＝CGm， ∴BH＝BG+GH＝（10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 【题型四】解直角三角形的应用-方向角问题 【例1】（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到千米，DE＝10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到M时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，则CD＝DF+CF＝30千米，设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，千米，则米，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意得，∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，（千米）， DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米）， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，千米， ∴DF＝DE+EF＝20千米， ∴（千米）， 答：BD的长度约为26.5千米； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T， 由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°， 在 Rt△FBC中，千米， 千米， ∴CD＝DF+CF＝30千米， 设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米， 在 Rt△CMT 中，千米， MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（x）千米， ∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10x）＝（20x）千米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2， ∴， ∴或（此时大于BC的长，舍去）， ∴（千米）， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 【变式1】（2025•深圳模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100米，则A、B两点相距（　　）米． A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°） C．（） D．（） 【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长． 【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于D， ∵B点在A点的正东方向上， ∴∠ACD＝45°，∠DCB＝35°， 在Rt△BCD中，BC＝100， ∴DB＝BCsin35°＝100•sin35°（米）， CD＝BCcos35°＝100•cos35°（米）， 在Rt△ACD中，AD＝CD， ∴AB＝AD+DB＝100（sin35°+cos35°）（米）． 故选：A． 【变式2】（2025•增城区二模）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB＝200米，则点P到直线AB距离PC为（　　） A．米 B．300米 C．200米 D．100米 【分析】根据题意可得：PC⊥AC，∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠APB＝∠PAB＝30°，从而可得AB＝PB＝200米，然后在Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：PC⊥AC，∠PAC＝90°﹣60°＝30°，∠PBC＝90°﹣30°＝60°， ∵∠PBC是△ABP的一个外角， ∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝30°， ∴∠APB＝∠PAB＝30°， ∴AB＝PB＝200米， 在Rt△PBC中，PC＝PB•sin60°＝200100（米）， ∴点P到直线AB的距离PC为100米， 故选：A． 【变式3】（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可以解决问题； （2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上， ∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°； （2）方法一： ∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°， 由（1）得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵AB＝800m， ∴AB＝AC＝800m， 在Rt△ACM中，， ∴（m）， （m）， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1200m， ∴， ∴景点C与景点D之间的距离为． 方法二： ∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°． 设AM＝xm， ∴AC＝2xm， ∴CMAMx（m）， 在Rt△BCM中， ， 即， 解得x＝400， 经检验得x＝400是原方程的解， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴BM＝DM＝1200m， ∴． ∴景点C与景点D之间的距离为（）m． 【课后练习】 1．（2025•南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 【分析】依题意画出示意图，根据正切函数的定义得tanA，再根据AC即可得出BC的长． 【解答】解：如图所示： 在△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴tanA， ∵AC， ∴BCAC． 故选：C． 2．（2025•南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　　 ． 【分析】设NC＝x，证明△ANC∽△MAD，可求得，根据△BMN的面积为3，得到S△AMD+S△ANC＝2，求得x4，解方程得到x＝2，根据勾股定理求得AN，最后得到sin∠MNB的值． 【解答】解：如图，在图中标注C，D， 设NC＝x， ∵AD∥NB， ∴∠MAD＝∠ANC， ∵∠MDA＝∠ACN， ∴△ANC∽△MAD， ∵AC＝AD＝1， ∴， ∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1， ∴S△AMD+S△ANC＝3﹣1＝2， ∴MD×ADNC×AC＝2， 即2， ∴x4， 解得x1＝2，x2＝2（舍去）， ∵AN2＝AC2+NC2 ＝1+4+43 ＝8+4， ∴AN， ∴sin∠MNB＝sin∠ANC． 3．（2025•乐山）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2． （1）求AB的长； （2）求点C到线段AB的距离． 【分析】（1）如图，过点A作AJ⊥BC于点J．解直角三角形求出AJ可得结论； （2）求出BC，再利用面积法求解． 【解答】解：（1）如图，过点A作AJ⊥BC于点J． 在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°， ∴AJ＝AC•sin60°，CJ＝AC•cos60°＝1， 在Rt△ABJ中，∠B＝45°， ∴AJ＝BJ， ∴ABAJ； （2）过点C作CK⊥AB于点K． 由（1）可知BC＝BJ+CJ＝1， ∵•AB•CK•BC•AJ， ∴CK， ∴点C到线段AB的距离为． 4．（2025•兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP． 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米） （参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，tan89°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈0.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087） 【分析】根据题意，设PH＝x万千米，在Rt△PHB中表示出BH，在Rt△PHA中表示出AH，利用AH+BH＝AB，得到方程，解方程得到结果． 【解答】解：设PH＝x万千米， ∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43′′， ∴BH， ∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09′′， ∴AH， ∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米）， ∴， 解得x≈38， 即PH≈38（万千米）， 答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米． 5．（2025•海南）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　64　 °，∠2＝　53　 °； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 【分析】（1）根据题意，由∠BCD＝154°，利用三角形的外角的性质，可求得∠1的度数，利用平角的定义，可得到∠2的度数； （2）在Rt△EDH中，利用EH＝DE•cos∠HED，求得EH的长，得到MH的长，即可知AG，结合已知条件，得到CG长，在Rt△CGD中，利用三角函数求得CD长即可． 【解答】解：（1）如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点， ∴∠CGD＝90°，∠EHD＝90°， ∵∠BCD＝154°， ∴∠1＝∠BCD﹣∠CGD＝154°﹣90°＝64°， ∵∠CDE＝63°， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠CDE＝180°﹣64°﹣63°＝53°， 故答案为：64，53； （2）∵∠2＝53°，∠EHD＝90°， ∴∠HED＝37°， ∵在Rt△EDH中，DE＝30cm，cos∠HED， ∴EH＝DE•cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）， ∵EM＝50cm ∴MH＝EM+EH＝74（cm）， ∴AG＝MH＝74cm， ∵AC＝AB+BC＝12+26＝38（cm）， ∴CG＝AG﹣AC＝36（cm）， ∵在Rt△CGD中，∠GCD＝90°﹣∠1＝26°，cos∠GCD， ∴CD40（cm）， 答：此时伸缩杆CD的长度约为40cm． 6．（2025•贵州）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD＝28m，CD＝21m，该地冬至正午太阳高度角α为35°．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．结果保留小数点后一位） 【分析】任务一：结合图形，可得四边形AEDB为矩形，得到AE＝BD＝28m，AB＝DE，在Rt△ACE中，求出CE长，即可得答案； 任务二：结合图形，可得∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形，CD＝QK＝21，求出BK的长，即可得结果． 【解答】解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E， 结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC＝90°， ∵BD＝28m，CD＝21m， ∴AE＝BD＝28m，AB＝DE， ∵∠CAE＝α＝35°， ∴在Rt△ACE中，CE＝AE•tanα＝28×0.7＝19.6（m）， ∴AB＝DE＝CD﹣CE＝21﹣19.6＝1.4（m）； 任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ，AE交于点T，过Q作QK⊥BD于K， ∴∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形， ∴CD＝QK＝21（m）， ∴在Rt△BKQ中，BK30（m）， ∴DK＝30﹣28＝2（m）； ∴该活动中心移动了2米． 7．（2025•广东）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离． （参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝86°，根据题意可得，代入数据求出AB的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【解答】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°， 由题意得，， 又∵BC≈341m， ∴， 答：A，B两岛间的距离为499m； （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝am，AC＝bm． 计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵在 Rt△ACD中，，， ∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m）， ∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m）， ∵在Rt△ABD 中，AD2+BD2＝AB2， ∴， 答：A，B两岛间的距离为 8．（2025•朝阳区二模）如图，某登山队在攀登一座坡角为32°的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80m，那么这两根标杆在坡面上的距离AB为（　　） A．80cos32°m B． C． D． 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，∠BAC＝32°，AC＝80m， ∴AB（m）， ∴这两根标杆在坡面上的距离AB为m， 故选：C． 9．（2025•清城区二模）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为80m，其上升的垂直高度CB为40m，则斜坡AB的坡度为（　　） A．30° B． C． D．1：2 【分析】根据题意可得：∠ACB＝90°，AB＝80m，BC＝40m，从而利用勾股定理求出AC的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝80m，BC＝40m， ∴AC40（m）， ∴tan∠BAC， ∴斜坡AB的坡度为1：， 故选：C． 10．（2025•东莞市校级模拟）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答． 【解答】解：∵i＝tanα， ∴α＝30°， 故选：B． 11．（2025•罗湖区校级三模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB的坡比为1：，则AC的长为（　　） A． B．21m C．14m D． 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可． 【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝7m， ∴AC＝7m， 故选：D． 12．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　15m ． 【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB． 【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝15m， ∴AC＝15m， 由勾股定理得：AB15（m）， 故答案为：15m． 13．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　　 ． 【分析】延长AN，交直线BC于点E，设DN＝xcm，则 CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根据正切的定义计算即可得． 【解答】解：如图，延长AN，交直线BC于点E， 由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG， 设DN＝xcm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 （9﹣x）cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得x＝4， 即DN＝4cm， ∵AN∥FG， ∴∠AEF＝∠F＝α， ∵AD∥BC， ∴∠DAN＝∠AEF＝α， ∴， 故答案为：． 14．（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 【分析】根据题意，结合图形，Rt△ABC中，AB，得到结果． 【解答】解：∵依题意，在Rt△ABC中，BC＝（m﹣n）米，∠ACB＝90°，∠BAC＝α， ∴AB， 故选：B． 15．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　120　 m（结果保留根号）． 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：EF∥AB，从而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD30（m）， 在Rt△BCD中，BD90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 故答案为：120． 16．（2025•滨州）【活动背景】 如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）； （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） （2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．） 【分析】（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1，易得四边形ABEC为矩形，所以∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BD＝AC，再利用正切的定义，在Rt△CDE中计算出DE≈105m，在Rt△BCE中计算出BE≈140m，然后计算BE﹣DE得到BD的高； （2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的俯角为β，如图2，过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE，根据正切的定义，在Rt△ADE中可求出AE＝atanα，则BD＝atanαm，在Rt△DEC中可求出CE＝atanβ，然后计算AE+CE得到AC的高 【解答】解：（1）延长BD交过C的水平线与E点，如图1， ∵∠CAB＝∠ECA＝∠ABE＝90°， ∴四边形ABEC为矩形， ∴∠BEC＝90°，CE＝AB＝150m，BD＝AC， 在Rt△CDE中，∵tan∠DCE， ∴DE＝150tan35°≈105（m）， 在Rt△BCE中，∵tan∠BCE， ∴BE＝150tan43°≈140（m）， ∴AC＝BE＝140m，BD＝BE﹣DE＝35（m）． 答：建筑物AC的高度为140m，建筑物BD的高度为35m； （2）为测量建筑物AC，BD的高度，用皮尺测得A，B之间的水平距离为am，用测角仪在D处测得A点的俯角为α，测得C点的俯角为β，如图2， 过D点的水平线交AC于E点，如图2，则DE＝AB＝am，BD＝AE， 在Rt△ADE中，∵tan∠ADE， ∴AE＝atanα， ∴BD＝AE＝atanα（m）， 在Rt△DEC中，∵tan∠CDE， ∴CE＝atanβ， ∴AC＝AE+CE＝a（tanα+tanβ）m， 即建筑物AC，BD的高度分别为atanαm，a（tanα+tanβ）m． 17．（2025•陕西）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 【分析】延长DC交AN于点H，在Rt△BCH和Rt△DAH中，利用直角三角形的边角间关系求出BH、CH、AH，最后利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：延长DC交AN于点H，则DH⊥AN． 在Rt△BCH中，∠BCH＝∠β＝78.5°， ∵cos∠BCH，sin∠BCH， ∴CH＝CB•cos78.5° ≈10×0.20 ＝2（m）， BH＝CB•sin78.5° ≈10×0.98 ＝9.8（m）． ∴DH＝CD+CH＝3.6（m）． ∵DE∥AN， ∴∠DAN＝∠EDA＝α＝8.5°． 在Rt△DAH中， ∵tan∠DAN， ∴（m）． ∴AB＝AH﹣BH＝24﹣9.8＝14.2（m）， 答：河宽AB约为14.2m． 18．（2025•淄博）如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°．33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 【分析】根据题意，结合图形，在Rt△EGB中表示出GE，在Rt△FHB中表示出HF，由GE＝HF，构成方程，求出BG，得到AH的长，同理，在Rt△EMD中表示出EM，在Rt△NFD中表示出FN，由ME＝FN，利用方程，求出MD长，根据AH＝CN，求出CD长即可． 【解答】解：如图，延长AB交过E，F的水平线于G，H点，延长CD交过E，F的水平线于M，N点， ∵在Rt△EGB中，设GB＝xm，tan∠GEB， ∴GE， ∵在Rt△FHB中，tan∠HFB， ∴HF， ∵GE＝HF， ∴， 解得x≈153.9（m）， ∴GB＝153.9m， ∴AH＝AB+GB+GH＝12+153.9+20＝185.9（m）， ∵在Rt△EMD中，设MD＝ym，tan∠MED， ∴ME， ∵在Rt△NFD中，tan∠NFD， ∴FN， ∵ME＝FN， ∴， 解得y≈81.5（m）， ∴MD＝81.5（m）， ∴CN＝CD+MD+MN＝CD+81.5+20， 即CN＝CD+101.5， ∵AH＝CN， ∴CD+101.5＝185.9， ∴CD＝84.4（m）， 答：大厦CD的高度约为84.4米． 19．（2025•淮北校级自主招生）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设BD＝x米，则AD＝（x+30）米，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 设BD＝x米， ∵AB＝x米， ∴AD＝AB+BD＝（x+30）米， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD•tan30°（x+30）米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD•tan45°＝x（米）， ∴x（x+30）， 解得：x＝1515， ∴CD＝（1515）米， ∴无人机离湖面的高度为（1515）米． 20．（2025•定兴县一模）如图，一艘快艇从A地出发，向正北方向航行5海里后到达B地，然后右转60°继续航行到达C地，若C地在A地北偏东30°方向上，则AC＝（　　） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【分析】过点C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的判定证得BC＝AB，在Rt△BCD中，根据三角函数的定义求出CD，最后根据含30度直角三角形的性质即可求出AC． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于D， 由题意得AB＝5海里，∠CBD＝60°，∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝∠CBD﹣CAB＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ACB＝∠CAB， ∴BC＝AB＝5海里， 在Rt△BCD中，sin∠CBD， ∴CD＝5•sin60°（海里）， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30° ∴CDAC， ∴AC＝2CD＝5海里． 故选：C． 21．（2025•海南模拟）如图，学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　）米． A．150 B． C． D． 【分析】过点A作AD⊥BC与点D，利用锐角三角函数求出AD＝150米，米，再求出CD＝150米，即可求解． 【解答】解：A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，如图，过点A作AD⊥BC与点D，则AB＝300米， ∵∠CBF＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝60°， 在Rt△ADB中，∠ABD＝30°，AB＝300米， ∴ADAB＝150米，米， ∵∠1＝15°， ∴∠BAC＝90°+15°＝105°， ∴∠CAD＝105°﹣60°＝45°， 在Rt△ACD中，CD＝AD＝150米， ∴米， 故选：B． 22．（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 【分析】（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出，结合，AC＝6km，求出，再在Rt△ABM 中利用三角函数即可求解； （2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出，则可求出AD，再在Rt△ADC 中利用三角函数即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD， ∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA， ∴， ∵，AC＝6km， ∴， 得， 在Rt△ABM中，由， 得AB＝4， 答：岛A与港口B之间的距离为4km； （2）在Rt△ABM 中，， ∵△BDM∽△CDA， ∴， ∴， 在Rt△ADC 中， ． 23．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 【分析】（1）过点B作 BE⊥AC于点E，设BE＝x，根据题意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出，建立方程，即可求解； （2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E， 设BE＝x， 依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝105， ∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x， ∴EC＝ED+DC＝x+5， 在Rt△BCE中，EC， ∴， 解得：x＝15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； （2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15， ∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75， ∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75， 23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二十四 三角函数实际应用（解直角三角形、坡角、仰角、俯角、方位角） 【题型一】解直角三角形 【例1】（2025•广元）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD，则AC的长为 　　 ． 【分析】过点B，D分别作AC的垂线段，利用△ODE﹣△OBF得到OF＝2OE，BF＝2DE，再利用AB＝2AD，推出 Rt△AED～Rt△AFB，进而得到 AF＝2AE，设OE＝x，结合O是AC的中点则可推出AE＝3x，CE＝5x，由可表示 ，在Rt△ADE勾股定理建立方程即可求解x，则AC＝8x可求． 【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F， ∵∠OED＝∠OFB＝90°，∠DOE＝∠BOC， ∴△ODE∽△OBF，则， 设OE＝x，则OF＝2x，EF＝3x， ∵AB＝4，AD＝2， ∴， ∴， ∵∠AED＝∠AFB＝90°， ∴Rt△AED∽Rt△AFB， ∴， ∴AF＝2AE，即AE＝EF＝3x， ∴AO＝AE+OE＝4x， ∵O是AC的中点， ∴CO＝AO＝4x， ∴CE＝CO+OE＝5x， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ADE 中，AD＝2，由勾股定理：AE2+DE2＝AD2， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【例2】（2025•宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度． （参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80） 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，解Rt△ADC表示出CD＝0.9x，再解Rt△CDB求出x，即可求解CD． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 设AD＝x米，则由题意得 BD＝（60﹣x）米， 在Rt△ADC中，∠BAC＝42°，， ∴CD＝tanA•AD＝0.9x， ∵在Rt△CDB中，∠ABC＝61°，， ∴， 解得：x＝40， ∴CD＝0.9×40＝36（米）， 答：此河流的宽度为36米． 【变式1】4．（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD，AB＝26，则点B到AD的距离为 　 　 ． 【变式2】（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【变式3】（2025•徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17） 【题型二】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【例1】（2025•镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°， ∵sinA， ∴BC＝AB•sinA＝120sin10°（米）， 故选：D． 【例2】（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 【分析】（1）通过解Rt△ABC，求出AC，再通过AC﹣DF即可求出两滑梯的高度差； （2）通过解Rt△ABC，求出BC，通过解Rt△EFD，求出EF，再通过BE＝BC+CF+EF，代入数值计算即可得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵sin∠B， ∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m， ∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m， 答：两滑梯高度差为2.50m； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵cos∠B， ∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m， 在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°， ∵tan∠DEF， ∴， ∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m， 答：BE长36.69m． 【变式1】（2024•眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 　 　 米． 【变式2】（2025•德州）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 【变式3】（2024•淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°） 【题型三】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【例1】（2025•青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF，从而可得∠GAE＝∠AEF＝22°，然后设CD＝x米，则EF＝BD＝（x+15）米，分别在Rt△DCE和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出DE和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 【例2】（2025•资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 【分析】（1）过点B作BE⊥AM于E，根据坡度的概念得到AE＝3BE，再根据勾股定理求出BE； （2）延长CD交AM于F，设CD＝x米，根据正切的定义用x表示出AF、EF，根据题意列式计算得到答案． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴， ∴AE＝3BE， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（10）2＝BE2+（3BE）2， 解得：BE＝10， 答：平台BN的高度为10米； （2）如图，延长CD交AM于F， 则CF⊥AM， ∴四边形BEFD为矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF， 设CD＝x米，则CF＝（x+10）米， 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∵tan∠CAF， ∴， ∴AF（x+10）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝60°， 则BDx米， 由（1）可知：AE＝3BE＝30米， ∴（x+10）x＝30， 解得：x＝1515， 答：建筑物的高度为（1515）米． 【变式1】（2025•湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7） 【变式2】（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是　 　 m．（tan22°取0.4） 【变式3】（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【题型四】解直角三角形的应用-方向角问题 【例1】（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到千米，DE＝10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到M时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，则CD＝DF+CF＝30千米，设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，千米，则米，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意得，∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，（千米）， DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米）， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，千米， ∴DF＝DE+EF＝20千米， ∴（千米）， 答：BD的长度约为26.5千米； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T， 由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°， 在 Rt△FBC中，千米， 千米， ∴CD＝DF+CF＝30千米， 设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米， 在 Rt△CMT 中，千米， MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（x）千米， ∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10x）＝（20x）千米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2， ∴， ∴或（此时大于BC的长，舍去）， ∴（千米）， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 【变式1】（2025•深圳模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100米，则A、B两点相距（　　）米． A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°） C．（） D．（） 【变式2】（2025•增城区二模）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB＝200米，则点P到直线AB距离PC为（　　） A．米 B．300米 C．200米 D．100米 【变式3】（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【课后练习】 1．（2025•南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 2．（2025•南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 　 ． 3．（2025•乐山）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2． （1）求AB的长； （2）求点C到线段AB的距离． 4．（2025•兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP． 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米） （参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，tan89°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈0.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087） 5．（2025•海南）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 6．（2025•贵州）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD＝28m，CD＝21m，该地冬至正午太阳高度角α为35°．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．结果保留小数点后一位） 7．（2025•广东）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离． （参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 8．（2025•朝阳区二模）如图，某登山队在攀登一座坡角为32°的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80m，那么这两根标杆在坡面上的距离AB为（　　） A．80cos32°m B． C． D． 9．（2025•清城区二模）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为80m，其上升的垂直高度CB为40m，则斜坡AB的坡度为（　　） A．30° B． C． D．1：2 10．（2025•东莞市校级模拟）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 11．（2025•罗湖区校级三模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB的坡比为1：，则AC的长为（　　） A． B．21m C．14m D． 12．（2025•绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　15m ． 13．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ． 14．（2025•长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 15．（2025•内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 16．（2025•滨州）【活动背景】 如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量．为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°．测得B点的俯角为43°． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）； （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） （2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪．） 17．（2025•陕西）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 18．（2025•淄博）如图，某学校教学楼AB和市创业大厦CD之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处E，测得B，D处的俯角分别为68.5°，27.7°；然后操控无人机铅直起飞至比E处高20m的F处，再次测得这两处的俯角分别为70.8°．33.3°．已知点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AC为水平地面，AB＝12m．请求出大厦CD的高度（结果精确到0.1m，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 19．（2025•淮北校级自主招生）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 20．（2025•定兴县一模）如图，一艘快艇从A地出发，向正北方向航行5海里后到达B地，然后右转60°继续航行到达C地，若C地在A地北偏东30°方向上，则AC＝（　　） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 21．（2025•海南模拟）如图，学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　）米． A．150 B． C． D． 22．（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 23．（2025•烟台）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $