数学一模保分卷01（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．_____________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 9[A][B][C]D] 2[AB][C][D] 6[A][B][C]D] 10[A][B][C]D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C]D] 4 [A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11 12 13. 14. 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(13分) 17.(13分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．若圆截直线所得弦长为2，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 5．如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设函数，若存在，使得，则的值不可能是（    ）． A． B． C． D． 8．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 10．在企业生产过程中，柯布-道格拉斯生产函数有广泛应用，其中分别表示劳动要素和资本要素的投入，为产量，是大于零的常数，代表生产技术水平，为正常数，分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量不变的情况下，点构成一条曲线，称为等效产出曲线，产量变化时，等效产出曲线不同，某企业在不同时间内生产情况如图所示，记过原点的射线与三条等效产出曲线的交点为，给出下列三个命题： ①图中的三条等效产出曲线不可能有公共点； ②若该企业劳动要素和资本要素的投入分别是，则； ③该企业的劳动和资本的产出弹性系数和． 其中所有正确命题的序号是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若抛物线的焦点为，则 . 12．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积是 13．已知等比数列，等差数列是数列的前项和，若，则 ， ． 14．若，则展开式中的系数为 ； . 15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则下列说法正确的有 ①．②． ③． ④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）在中，（为的面积）. (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17．（13分）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角. 18．（14分）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． (1)从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； (2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； (3)若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 19．（15分）已知椭圆经过点，且其离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 20．（15分）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，若有两个极值点，求的取值范围. 21．（15分）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ， ，. 故选：B. 2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算法则，可得，根据复数的几何意义，即可得答案. 【详解】由题意得，，所以， 在复平面内对应的点为，故该点在第三象限． 故选：C 3．若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长及半焦距即可得解. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距， 所以. 故选：B 4．若圆截直线所得弦长为2，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式构造方程求解． 【详解】配方得， 圆心为，半径， 设圆心到直线距离为， ， 圆截直线所得弦长为， ，解得， ，解得，故D正确． 故选：D． 5．如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法和不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为， 对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：B. 6．在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先转化向量不等式并化简，构造函数，利用一次函数的性质得出向量垂直关系，从而得出为直角三角形，满足必要性；再利用直角位置不固定得出充分性不成立． 【详解】，若，则， ，即， 对于任意恒成立，设，则需满足 时，；时，； 是一次函数，连续，即， ，即， 又， ， ，故，即，是直角三角形，满足必要性； 若为直角三角形，直角可能是或， 若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性， “为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确． 故选：B． 7．设函数，若存在，使得，则的值不可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到关于的表达式，再结合的取值范围求出的范围，最后据此判断选项. 【详解】因为，且存在，使得， 则，即， 所以，， 当，时，得，， 因为，所以，. 当，时，得，， 因为，所以，. 综合以上情况得的所有可能取值的集合为，. 检验可知均在时对应的区间内，不在该集合对应的任何区间内，所以的值不可能为. 故选：A 8．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别列出两种情况下飞行器运动速度与马赫数和音速的关系式，化简整理可得. 【详解】由题可知，，，即 ，，则得，. 则，故A正确，B错误. 而，， 则，C和D错误. 故选：A. 9．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 【答案】D 【分析】列不等式求出定义域可判断A；利用偶函数的定义可判断B；利用二次函数和对数函数的性质求出最大值可判断C；利用复合函数的单调性可判断D. 【详解】由且，解得，则的定义域为，故A正确； ∵，则为偶函数，故B正确； ∵，， 令，当时，单调递减， 而在上单调递增，则在上单调递减，故D错误； ∵，，令， 当时，，则的最大值是，故C正确. 故选：D. 10．在企业生产过程中，柯布-道格拉斯生产函数有广泛应用，其中分别表示劳动要素和资本要素的投入，为产量，是大于零的常数，代表生产技术水平，为正常数，分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量不变的情况下，点构成一条曲线，称为等效产出曲线，产量变化时，等效产出曲线不同，某企业在不同时间内生产情况如图所示，记过原点的射线与三条等效产出曲线的交点为，给出下列三个命题： ①图中的三条等效产出曲线不可能有公共点； ②若该企业劳动要素和资本要素的投入分别是，则； ③该企业的劳动和资本的产出弹性系数和． 其中所有正确命题的序号是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据每个点对应的函数值唯一的特性可知①正确；将函数化为，结合可确定②正确；结合幂函数的性质可确定③正确. 【详解】对于①，为大于零的常数，为正常数， 对于一点，其对应的为一个定值，即唯一， 图中的三条等效产出曲线不可能有公共点，①正确； 对于②，设过原点的射线方程为，则， ，， ，，， 即当劳动要素和资本要素的投入分别是时，，②正确； 对于③，由②知：，其中为大于零的常数，为大于零的常数， 图中与两曲线间的距离大于与两曲线间的距离， 可知：随着增大，产量的增长速度变快，即关于的幂函数在第一象限内单调递增，且增速越来越快， 结合幂函数性质可知：，③正确. 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若抛物线的焦点为，则 . 【答案】/ 【分析】将抛物线方程化为标准方程得到焦点为，列式即可得到答案. 【详解】抛物线方程化为标准方程为，所以抛物线焦点为， 所以，解得. 故答案为：. 12．若，则展开式中的系数为 ； . 【答案】 60 1 【分析】利用二项式定理求出通项，进而得到系数求解第一空，利用赋值法求解第二空即可. 【详解】因为的展开式的通项，令，则的系数为60； 令可得：. 故答案为： 13．已知等比数列，等差数列是数列的前项和，若，则 ， ． 【答案】 4 52 【分析】根据题意，直接利用等差，等比数列的性质求解即可. 【详解】解法一：因为数列是等比数列，， 所以，解得或（舍去）． 又是等差数列，， 所以． 解法二：因为数列是等比数列，设公比为，， 所以， 又，为等差数列，设公差为， 所以， 所以． 故答案为：，. 14．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积是 【答案】 【分析】由题意可先分析出区域和全等，再将区域还原到如图所示圆柱中，由扇形的弧长公式先求出弧长，再根据圆柱的侧面积公式求出，即可得解. 【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中， 可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故答案为： 15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则下列说法正确的有 ①．②． ③． ④． 【答案】②④ 【分析】根据题意，结合等比数列的定义，分析可得的表达式，根据其单调性，即可判断①的正误；根据的表达式，代入整理，可判断②的正误；根据对数的运算性质，化简计算，可判断③的正误；计算，化简分析，可得其正负，即可判断④的正误. 【详解】设第n次操作前有条等长的线段，则第次操作前，有条等长的线段， 因为每次操作之后，每段都变为2段， 所以，即为公比为2的等比数列， 又，所以， 设第n次操作每段去掉的区间长度为，则第次操作每段去掉的区间长度为， 因为每次操作去掉的每段区间长度都是前一次操作去掉的每段区间长度的， 所以，即是以为公比的等比数列， 又，所以， 所以， 选项A：因为，且，单调递减， 所以，故①错误； 选项②：，故②正确； 选项③： ， 因为，所以单调递减， 又当时，， 所以，故③错误； 选项④： ， 所以，故④正确. 故选：②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）在中，（为的面积）. (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式即可求得角的值. （2）选条件①②：先求出，然后求出，然后利用正弦定理求出，即可求出三角形的周长；选条件①③：先求出，然后利用正弦定理和余弦定理求出，即可求出三角形的周长. 选条件②③：不存在. 【详解】（1）由余弦定理，，又， 所以，得 （2）选条件①②： ， ，则. 由正弦定理，代入解得：， 所以的周长为. 选条件①③： ， ， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理， 由得，解得，所以的周长为. （注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.） 17．（13分）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2） 延长交于，连接，则平面，平面， 又平面，平面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且， 则四边形为平行四边形，故， 所以与平面所成的角与与平面所成的角相等， 因为，又平面，平面， 故，又，平面， 所以平面， 故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 18．（14分）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． (1)从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； (2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； (3)若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 【答案】(1) (2) (3)变大 【分析】（1）根据条件概率求解即可； （2）根据古典概型及独立事件的概率乘法公式计算即可； （3）去掉2016年的植树数据，根据古典概型及独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】（1）2015至2020这六年中，丙有4年被认定为优质工程， 在这4年中，只有2015年甲、乙两个林场均被认定为优质工程， 所以概率为． （2）设事件A：优质工程的个数恰好为2． 甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， ． （3）变大． 去掉2016年的植树数据， 则甲林场植树共5年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共6年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共9年，其中优质工程有4年， 则. 19．（15分）已知椭圆经过点，且其离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意建立，求解方程组可得； （2）设直线，联立椭圆方程，由韦达定理得坐标关系，进而表示坐标及与的面积，由面积比为定值求的值，再分析是否过定点即可. 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆方程为：． （2）设直线与轴交点为，则由题意斜率存在， 设，与椭圆方程联立得， 由得．设， 由韦达定理得， 直线为，令， 则点横坐标为，同理． 设， 则 所以 . 若存在定值，即不随变化而改变， 则，解得， 但此时过点，不合题意．所以定点不存在． 20．（15分）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，若有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由条件求，，结合导数的几何意义及点斜式可求切线方程， （2）求导可得，分，两种情况，结合导数与单调性的关系求结论； （3）条件可转化为方程有两个正根，结合根于系数关系列不等式求结论. 【详解】（1）由，得，则， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，又， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）， 则， 因为的两个极值点为，所以的两根为，且， 所以，解得. 21．（15分）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 【答案】(1)数列是“可拆数列”，理由见解析； (2)或 (3)的最小值为，最大值为 【分析】（1）根据可拆数列定义判断和证明即可. （2）设等比数列的公比为，求得，根据“可拆数列”定义，结合可拆数列定义进行验证，最后得到通项公式. （3）分析数列规律，列举计算得到的最小值；结合可拆数列的定义结合条件可得，进而可得的最大值. 【详解】（1）数列是“可拆数列”. 理由如下：假设数列是“可拆数列”. 设，当，取， 则， 即存在，使得， 则数列是“可拆数列”. （2）设等比数列的公比为，则，因为是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 于是即， 又，所以， 解得或， 当或时，，即， 于是对任意，总存在， 使得， 所以数列的通项公式为或 （3）因为数列是“可拆数列”，则对任意， 当时， 当或时，因为数列为递增数列，所以 综上，对任意，都有 又，所以，， ，，， ，， ，. 又，又数列为递增数列，所以， 当以上格式等号同时成立时，故 因为数列是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 而，所以对任意的，必存在，使得， 又数列为递增数列，， 则， 解得，由，得， 当时取等号，故 综上所述，使成立的的最小值为，最大值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B D B B A A D D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 4 52 14. 15.②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【详解】（1）由余弦定理，，又， 所以，得（5分） （6分） （2）选条件①②： ， ，则. 由正弦定理，代入解得：， 所以的周长为.（13分） 选条件①③： ， ， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理， 由得，解得，所以的周长为.（13分） （注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.） 17．（13分） 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面．（5分） （2） 延长交于，连接，则平面，平面， 又平面，平面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且， 则四边形为平行四边形，故， 所以与平面所成的角与与平面所成的角相等， 因为，又平面，平面， 故，又，平面， 所以平面， 故为与平面所成的角．（12分） 因为，所以． 即与平面所成的角为．（13分） 18．（14分） 【详解】（1）2015至2020这六年中，丙有4年被认定为优质工程， 在这4年中，只有2015年甲、乙两个林场均被认定为优质工程， 所以概率为．（4分） （2）设事件A：优质工程的个数恰好为2． 甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， ．（11分） （3）变大． 去掉2016年的植树数据， 则甲林场植树共5年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共6年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共9年，其中优质工程有4年， 则.（14分） 19．（15分） 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆方程为：．（4分） （2）设直线与轴交点为，则由题意斜率存在， 设，与椭圆方程联立得，（6分） 由得．设， 由韦达定理得， 直线为，令， 则点横坐标为，同理． 设， 则 所以 .（13分） 若存在定值，即不随变化而改变， 则，解得，（14分） 但此时过点，不合题意．所以定点不存在．（15分） 20．（15分） 【详解】（1）由，得，则， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为.（4分） （2）函数的定义域为，又， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（11分） （3）， 则， 因为的两个极值点为，所以的两根为，且， 所以，解得.（15分） 21．（15分） 【详解】（1）数列是“可拆数列”. 理由如下：假设数列是“可拆数列”. 设，当，取， 则， 即存在，使得， 则数列是“可拆数列”.（4分） （2）设等比数列的公比为，则，因为是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 于是即， 又，所以， 解得或， 当或时，，即， 于是对任意，总存在， 使得， 所以数列的通项公式为或（9分） （3）因为数列是“可拆数列”，则对任意， 当时， 当或时，因为数列为递增数列，所以 综上，对任意，都有 又，所以，， ，，， ，， ，. 又，又数列为递增数列，所以， 当以上格式等号同时成立时，故 因为数列是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 而，所以对任意的，必存在，使得， 又数列为递增数列，， 则， 解得，由，得， 当时取等号，故 综上所述，使成立的的最小值为，最大值为.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．若圆截直线所得弦长为2，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 5．如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设函数，若存在，使得，则的值不可能是（    ）． A． B． C． D． 8．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 10．在企业生产过程中，柯布-道格拉斯生产函数有广泛应用，其中分别表示劳动要素和资本要素的投入，为产量，是大于零的常数，代表生产技术水平，为正常数，分别表示劳动和资本的产出弹性系数．在产量不变的情况下，点构成一条曲线，称为等效产出曲线，产量变化时，等效产出曲线不同，某企业在不同时间内生产情况如图所示，记过原点的射线与三条等效产出曲线的交点为，给出下列三个命题： ①图中的三条等效产出曲线不可能有公共点； ②若该企业劳动要素和资本要素的投入分别是，则； ③该企业的劳动和资本的产出弹性系数和． 其中所有正确命题的序号是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若抛物线的焦点为，则 . 12．若，则展开式中的系数为 ； . 13．已知等比数列，等差数列是数列的前项和，若，则 ， ． 14．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积是 15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则下列说法正确的有 ①．②． ③． ④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）在中，（为的面积）. (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17．（13分）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角. 18．（14分）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． (1)从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； (2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； (3)若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 19．（15分）已知椭圆经过点，且其离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 20．（15分）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，若有两个极值点，求的取值范围. 21．（15分）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. / 学科网（北京）股份有限公司 $