数列求和课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列求和与构造法，涵盖公式、分组、错位相减、裂项相消等求和方法及三类递推关系的构造求通项，通过回顾等差等比公式搭建旧知支架，逐步延伸至复杂方法，形成递进式学习脉络。 其亮点在于例题分层设计与创新问题融入，如裂项相消例3训练推理能力，“理想数”问题培养创新意识，课堂小结系统归纳方法，助力学生构建知识体系，教师可直接利用资料实施教学，提升效率与学生数学思维。

数列求和 第1课时 分组求和、倒序相加、裂项相消 第2课时 拆项、并项求和，错位相减法求和、创新问题 第3课时 构造问题 学习目标 一、 1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式. 2.掌握分组求和、倒序相加法求和、裂项相消法求和等数列求和的方法. 二、 1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义. 2.掌握拆项、并项求和及错位相减法求和的一般过程和思路以及数列求和中的创新问题.(重难点) 三、 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.(重难点) 2.会用构造法公式解决一些简单的问题.(难点) 刘雨萌 等差数列 等比数列 通项公式 前n项和公式 等差 等比 等差 等比 怎样求数列的和？ 倒序相加法 错位相减法 回顾引新知 刘雨萌 当一个数列或以判断（证明）是等差或等比数列时，求和使用公式求和法 一、公式求和法 二、分组求和法 当一个数列为{an±bn}，其中{an}{bn}为等差或等比时，求和使用分组求和法 也可用分组求和法：分奇、偶数项分别求和 并项求和法 刘雨萌 反思感悟 分组求和的适用题型 一般情况下形如cn=an±bn，其中数列{an}与的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可. 刘雨萌 学习笔记32页跟踪训练1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1=b1=2，a3=b1+b2，S3=b3+4. (1)求{an}，{bn}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意， 解得d=q=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n， 数列{bn}的通项公式为bn=2n. (2)记cn=(k∈N*)，求数列{cn}的前21项的和.(答案可保留指数幂的形式) 刘雨萌 由(1)知，a2k-1=4k-2，数列{a2k-1}是等差数列，首项为2，公差为4， b2k=22k=4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 而cn=(k∈N*)， 则数列{cn}的前21项的和 T21=(a1+a3+…+a21)+(b2+b4+…+b20) =11×2+×4+ =， 所以数列{cn}的前21项的和为. 刘雨萌 7 学习笔记32页例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，点(Sn，an+1)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ （1）因为点(Sn，an+1)在直线y=3x+1上，所以an+1=3Sn+1， 当n≥2时，an=3Sn-1+1. 于是an+1-an=3(Sn-Sn-1)，即an+1-an=3an，即an+1=4an. 又当n=1时，a2=3S1+1，即a2=3a1+1=3t+1， 所以当t=1时，a2=4a1，此时，数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下，设bn=log4an+1，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. （2）由(1)可得an=4n-1，an+1=4n， 所以bn=log4an+1=n，cn=4n-1+n， 那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n) =+. 刘雨萌 新知探究 拆项、并项求和 学习笔记34页例1 已知数列an=(-1)nn，求数列{an}的前n项和Sn. 方法一　(并项求和) 若n是偶数，则Sn=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+[-(n-1)+n]=； 若n是奇数，则Sn=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+(-n)=-n=-. 综上所述，Sn= 方法二　(分组求和)若n是偶数， 则Sn=-1+2-3+4-…-(n-1)+n =-[1+3+…+(n-1)]+(2+4+…+n) =-+=； 若n是奇数，则Sn=-1+2-3+4-…+(n-1)-n =-(1+3+…+n)+[2+4+…+(n-1)] =-+=-， 综上所述，Sn= 刘雨萌 反思感悟 并项求和法适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式. 刘雨萌 跟踪训练1 已知数列{an}满足an=(-1)nn2，则a1+a2+a3+…+a2n+1等于 A.-(n+1)(2n+1) B.(n+1)(2n+1) C.-n(n+1) D.n(n+1) √ a1+a2+a3+…+a2n+1 =-12+22-32+42-52+…+(2n)2-(2n+1)2 =-1+(22-32)+(42-52)+…+[(2n)2-(2n+1)2] =-1-(2+3)-(4+5)-…-(2n+2n+1) =-[1+2+3+4+5+…+(2n+1)] =-=-(n+1)(2n+1). 刘雨萌 等差数列 等比数列 通项公式 前n项和公式 等差 等比 等差 等比 怎样求数列的和？ 倒序相加法 错位相减法 回顾引新知 刘雨萌 例2：求数列 的前n项和Tn ③等比数列求和(注意项数) ①写Sn与qSn ④同除以1－q写出Sn ②齐次式 错位相减 ② ① ①―②得 新知探究 二、错位相减 刘雨萌 ② 刘雨萌 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. (2)用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 反思与感悟 刘雨萌 15 学习笔记35页例2 已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，S3=7. (1)求数列{an}的通项公式； 设等比数列{an}的公比为q， 由题意有解得(舍去)， 所以an=2n-1. (2)设bn=(log2an+1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn. bn=(log2an+1)·an=n·2n-1， 所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1， ① 2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n， ② ①-②得-Tn=20+21+22+…+2n-1-n×2n =-n×2n=(1-n)·2n-1，Tn=(n-1)·2n+1. 刘雨萌 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 跟踪训练2 因为Sn=2an-2，当n=1时，S1=2a1-2，解得a1=2， 当n≥2时，Sn-1=2an-1-2， 所以an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2) =2an-2an-1， 即an=2an-1(n≥2). 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 故an=2×2n-1=2n. (2)若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn. 刘雨萌 17 由(1)知an=2n， 则bn===， 所以Tn=+++…+， ① Tn=++…++， ② ①-②得Tn=1+- =1+- =1+-- =-. 所以数列{bn}的前n项和Tn=3-. 刘雨萌 例4 ：设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=3，公差d＝2， 设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. 解： a1＝3，d＝2， 求通项 裂项 ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn 所留的正项与负项的个数是否相同 （对称） 累加 消项 化简 新知探究 三、裂项相消 刘雨萌 刘雨萌 知识概念 学习笔记33页 ①将分式型的通项 an 进行裂项(注意配平系数保持等价)； ②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 常见的裂项求和的形式： (1)=； (2)=； (3)=-； (4)=； (5)=-； (6)ln=ln(n+1)-ln n； (7)=； (8)(-1)nlog3[n(n+1)] =(-1)n[log3n+log3(n+1)]； (9)=(-1)n. 刘雨萌 学习笔记33页例3 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2+a4=14，S3=15. (1)求{an}的通项公式； 设数列{an}的公差为d， 由题意得 解得 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为an=2n+1，n∈N*. (2)设bn=，求数列{bn}的前n项和. 刘雨萌 22 (2)设bn=，求数列{bn}的前n项和. 由(1)知an=2n+1， 所以bn== =. 设数列{bn}的前n项和为Tn， 则Tn=b1+b2+…+bn = ==. 刘雨萌 23 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的. (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 反思感悟 刘雨萌 学习笔记33页跟踪训练3 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*). (1)记bn=an+1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； 由an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)， 所以{bn}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，所以bn=an+1=2n. (2)记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：++…+<. 易得Tn==2(2n-1)， 于是==-=， 所以++…+ ==， 因为>0，所以++…+<. 刘雨萌 25 新知探究 四、倒序相加 学习笔记33页例2 已知对任意x∈R，都有f(x)+f(1-x)=.数列{an}满足：an=f(0)+f+ f +…+f +f(1)，则an=　 . 由题意得f(0)+f(1)=，f +f =，f +f =，…， ∵an=f(0)+f +f +…+f +f(1)， an=f(1)+f +f +…+f +f(0)， ∴2an=，解得an=. 刘雨萌 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 反思与感悟 刘雨萌 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.相传他幼年时在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就利用了倒序相加法，该方法基于所给数据前后对应项的和呈现 一定的规律生成.已知数列{an}满足an=，则a1+a2+…+a98等于 A.96 B.97 C.98 D.99 跟踪训练2 √ 记S=a1+a2+…+a97+a98=++…++， 则S=a98+a97+…+a2+a1=++…++， 两式相加得， 2S=+=+ +…++=98×2， ∴S=98. 刘雨萌 28 新知探究 五、数列求和中的创新问题 学习笔记25页例3 设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2 004，那么数列26，a1，a2，…，a500的“理想数”为　　　　. 2 026 由题意知a1，a2，…，a500的“理想数”为2 004， 即T500==2 004， 得S1+S2+…+S500=500×2 004， 则新数列的“理想数”为T501= ==26+2 000=2 026. 刘雨萌 “提丢斯数列”是德国数学家提丢斯提出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，…；再将每一项除以10后得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是 A.“提丢斯数列”是等比数列 B.“提丢斯数列”的第99项为 C.“提丢斯数列”前31项和为+ D.“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 跟踪训练3 √ 刘雨萌 30 记“提丢斯数列”为数列{an}，则当n≥2时，10an-4=3·2n-2，解得an= ； 当n=1时，a1=0.55≠0.4； ∴an= “提丢斯数列”不是等比数列，故A错误； “提丢斯数列”的第99项为a99=，故B错误； “提丢斯数列”前31项和为S31=0.4+30×+×=12.4+×=+，故C正确； 当n=1时，a1=0.4<20，成立，当n≥2时，an=≤20， 即2n≤，解得n≤8， ∴“提丢斯数列”中，不超过20的有8项，故D错误. 刘雨萌 31 当一个数列或以判断（证明）是等差或等比数列时，求和使用公式求和法 一、公式求和法 二、分组求和法 当一个数列为{an±bn}，其中{an}{bn}为等差或等比数列时，求和使用分组求和法 三、错位相减法 当一个数列为{an•bn} ，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列时，求和使用错位相减法 适用于通项中含有(－1)n的数列[摆动数列] ; 也可分奇数项和偶数项分组求和 并项求和法 课堂小结 刘雨萌 ①将分式型的通项 an 进行裂项(注意配平系数保持等价)； ②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 四、裂项相消法 五、倒序相加法 累加法 累乘法 课堂小结 刘雨萌 新知探究 六、数列中的构造问题 （一）、形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 （二）、形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 （三）、形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式 刘雨萌 学习笔记36页例1 已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2，求{an}的通项公式. ∵an+1=3an+2，令an+1+t=3(an+t)， 即an+1=3an+2t，∴t=1， 即an+1+1=3(an+1)，又a1+1=3， ∴数列{an+1}是以3为首项，3为公比的等比数列. ∴an+1=3×=3n，∴an=3n-1. 典例分析 （一）、形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 刘雨萌 35 形如an+1=pan+q(其中p，q为常数，且pq(p-1)≠0)的递推关系可用待定系数法求通项公式，步骤如下 (1)假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t). (2)由待定系数法，解得t=. (3)写出数列的通项公式. (4)写出数列{an}的通项公式. 反思感悟 刘雨萌 36 已知数列{an}满足an+1=2an+2且a1=1，则 A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列 √ 跟踪训练1 刘雨萌 37 由an+1=2an+2， 可得an+1+2=2(an+2)， 所以=2， 又由a1=1，得a1+2=3， 所以{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an+2=3×2n-1，an=3×2n-1-2， an+1=3×2n-2， an+1-an=3×2n-2-(3×2n-1-2)=3×2n-1，所以{an}不是等差数列，A错误； =不等于常数，所以{an}不是等比数列，B错误； =不等于常数，所以{an+1}不是等比数列，C错误； ==2，所以{an+2}是等比数列，D正确. 刘雨萌 38 学习笔记37页例2 　已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2)，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 因为an=2an-1+2n，等式两边同时除以2n，得=+1，即-=1，又=为首项，1为公差的等差数列，即=+(n-1)×1=n-，所以an=×2n. 典例分析 （二）、形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式 刘雨萌 39 将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 等式两边同时除以2n，得=+2，即-=2，又=为首项，2为公差的等差数列，所以=+(n-1)×2=2n-，即an=×2n. 延伸探究1 刘雨萌 40 将本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n-1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 等式两边同时除以2n，得=+-===+(n-1)×=，即an=n× 2n-1. 延伸探究2 刘雨萌 41 形如an=pan-1+pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. (2)写出数列的通项公式. (3)写出数列{an}的通项公式. 反思感悟 刘雨萌 42 已知数列{an}满足=+(n≥2)，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 由题意，等式两边同乘2n， 得=+1，即-=1，又=2， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以=2+(n-1)×1=n+1，即an=. 跟踪训练2 刘雨萌 43 　已知数列{an}中，a1=6，an+1=2an+3n+1，求an. 例 3 令an+1-A·3n+1=2(an-A·3n)， 则an+1=2an+·3n+1， 由已知，=1，得A=3， 所以an+1-3×3n+1=2(an-3×3n)， 即an+1-3n+2=2(an-3n+1)， 又a1-32=6-9=-3≠0， 所以{an-3n+1}是首项为-3，公比为2的等比数列，于是an-3n+1=-3×2n-1， 故an=3n+1-3×2n-1. 典例分析 （三）、形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式 刘雨萌 44 形如an+1=pan+qn+1(其中p，q为常数，且pq(p-1)≠0)的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an+1=pan+q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系.当然，此类型也可以转化为类型二同除以，但类型二不能同类型三处理. 反思感悟 刘雨萌 45 已知数列{an}满足an+1=3an+2n+1且a1=1，求数列{an}的通项公式. 令an+1+A·2n+1=3(an+A·2n)， 即an+1=3an+A·2n，故A=2， 所以an+1+2n+2=3(an+2n+1)，又a1+22=5≠0， 所以是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an+2n+1=5×3n-1，即an=5×3n-1-2n+1. 跟踪训练3 刘雨萌 46 1.知识清单： (1)形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式. (2)形如an=pan-1+pn的递推关系求通项公式. (3)形如an+1=pan+qn+1的递推关系求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1. 课堂小结 刘雨萌 ⸫Sn＝na1＋d＝n(n＋2)， ∴bn＝ ＝. ＝ ＝ ＝－. $