期末解答题压轴题—函数综合题（考题猜想，7种必考题型）九年级数学上学期人教版五四制

期末解答题压轴题—函数综合题（考题猜想，7种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：一次函数与二次函数、相似三角形、圆的综合题（共4题） 1．（2023秋•中山区期末）【发现问题】某课外活动课上，小聪研制了一种小球滚动模型：在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表． 运动时间 0 1 2 3 4 运动速度 8 7.5 7 6.5 6 运动距离 0 7.75 15 21.75 28 小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间、运动距离与运动时间之间的数量关系可以用我们学过的函数来描述． 【提出问题】黑球的运动速度与运动时间、运动距离与运动时间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小聪利用平面直角坐标系描出表格中各对数值所对应的点，猜测出这两种数量关系对应的函数，并通过验证得出猜想是正确的． 【解决问题】 （1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，，过点的直线与轴交于点，点是线段上一点（不与，重合）． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标； （3）作于，于，连接． ①若△与△相似，求点的坐标； ②取的中点，直接写出△周长的最小值． 3．（2023秋•锦江区校级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点在直线上，过点作的垂线，过原点作直线的垂线，两垂线相交于点． （1）如图，点，分别在第三、二象限内，与相交于点． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 4．（2023秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，已知，． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． （1）当时， ①在点，，，中，线段的“等直点”是 　 　； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． （2）当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 题型二：反比例函数与一次函数、正方形、三角形综合题（共3题） 5．（2023秋•龙岗区校级期末）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表描点连线，画出了如图所示的图象． 0 1 2 3 4 1 2 4 1 0 请根据图象解答： （1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整； ②表格中：　 　，　　 ③写出函数的一条性质：　　； ④若函数图象上的两点，，，满足，则． 　　（填“对或错” （2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移个单位长度后，得到直线与函数的图象交于点，连接，． ①求当时，直线的解析式和△的面积； ②直接用含的代数式表示△的面积． 6．（2023秋•海门区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，对角线，相交于点，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点，，，，的对应点分别是，，，，，函数的图象记为图象． （1）当，时，点恰好在图象上，求的值； （2）当点，同时在图象上时，点横坐标为4，求的值； （3）点为轴上一动点，当时，图象过点，且的值最小时，，求的值． 7．（2023秋•锦江区校级期末）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． （1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点、的坐标分别为、，求直线的解析式； （2）如图2，直线与双曲线交于点、，点是双曲线上的一个动点，点、的横坐标分别为、，直线、分别与轴于点、； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． 题型三：二次函数的应用（共2题） 8．（2023秋•大连期末）【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】：小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为．小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】： （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 9．（2023秋•甘井子区期末）【发现问题】 近年来，我国无人机技术发展迅猛，新型号无人机不断面世．某科研单位为保障某种型号无人机能安全投产，现针对该种型号无人机的降落情况进行测试．一架该型号无人机在跑道端点处着陆后，相关滑行数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 56 52 48 44 滑行距离 0 58 112 162 208 【提出问题】 这架该型号无人机在跑道端点处着陆后，滑行的速度（单位：与滑行的时间（单位：之间满足的函数关系和滑行的距离（单位：与滑行的时间（单位：之间满足的函数关系是不同的． 【分析问题】 科研人员在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，如图1，图2所示，据此猜想了函数关系，并进行了验证． 【解决问题】 （1）请直接写出这两个函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若该无人机在跑道端点处着陆后，当滑行时，求此时无人机的滑行速度； （3）求该无人机在着陆的过程中，以不大于的速度滑行直至停止，一共滑行了多少米？ 题型四：二次函数综合题（共31题） 10．（2023秋•海珠区期末）已知二次函数，顶点为，且二次函数的图象恒过两定点、（点在点的左侧）． （1）当时，求该二次函数的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）将点先沿水平方向平移个单位，再向下移动个单位得到，若二次函数经过点，在二次函数的图象上存在点，使得的最小值为4，求的取值范围． 11．（2023秋•天河区期末）已知抛物线与轴交于坐标原点和点． （1）已知该抛物线的顶点的纵坐标与点的横坐标相同，设过点的直线与抛物线的另一个交点为．求点和点的坐标； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，若该抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围； （3）若直线与该抛物线交于，两点（点在点左侧），连接，．设直线为，直线为；令，求与的函数关系式． 12．（2023秋•番禺区期末）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线的一部分构成（以下简记为“抛物线” ，其中，，现取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，其中，在抛物线上，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，大棚截面的阴影为，此刻，过点的太阳光线所在的直线与抛物线交于点，求线段的长． 13．（2023秋•荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移1个单位，为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（2023秋•历城区期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为． ①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； ②连接，若，求的值． 15．（2023秋•黄埔区期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值． 16．（2023秋•长沙期末）我们不妨约定，如果点满足，那么称这个点为“郡系点”．如果一个函数的图象经过一个“郡系点”，那么称这个函数为“郡系函数”． （1）对下面的结论进行判断，请在正确结论的后面的括号中打“”，错误结论后面的括号中打“”． ①点为“郡系点” 　 　； ②已知为常数，且，它的图象经过的“郡系点”的坐标为，则 　　， 　　． （2）已知点和，那么线段上是否存在“郡系点”？如果存在，请表示出来；如果不存在，请说明理由． （3）已知关于的二次函数，均为正整数）为“郡系函数”，其图象满足下面两个条件：（Ⅰ）图象经过四个象限；（Ⅱ），是图象上的两个“郡系点”，且，试求该二次函数的解析式和它的“郡系点” ，的坐标． 17．（2023秋•长沙期末）已知抛物线过点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，，点在线段上（与点，不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点，不重合），使得，求的取值范围． 18．（2023秋•长沙期末）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）点为直线上的一点，它的“级变换点” 在直线上，在，上分别取点，，，．若，求证：； （3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围． 19．（2023秋•江岸区期末）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）连接，为抛物线上一点，当时，求点的坐标； （3）如图2所示，点为第二象限内一动点，经过的两条直线与分别与抛物线均有唯一的公共点和（点在点的左侧），直线与轴交于点，为线段的中点，连接、，当时，求的值． 20．（2023秋•红桥区期末）抛物线，为常数，与轴相交于点和点，与轴相交于点，点为线段上的一个动点． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）当的周长最小时，求点的坐标； （Ⅲ）过点作，与抛物线在第一象限的部分相交于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标． 21．（2023秋•如皋市期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），，两点的坐标分别为，． （1）求，两点的坐标； （2）若二次函数的图象经过点，且与平行于轴的直线始终有两个交点，（点在点的左侧），为该抛物线上异于，的一点，点，的横坐标分别为，．当的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由； （3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 22．（2023秋•增城区期末）已知抛物线是常数）与轴交于，两点在的左侧），顶点为． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若点是点关于轴对称的点，判断以点、、、为顶点的四边形的形状，并写出证明过程； （3）在（1）的条件下，将二次函数向左平移个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为1，求的值． 23．（2023秋•福州期末）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的动点，当、两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； （3）已知点、在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 24．（2023秋•洪山区期末）已知直线与抛物线有唯一公共点，直线分别交轴，轴于，两点． （1）如图1，当， 时，求的值； （2）如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求点坐标； （3）如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：． 25．（2023秋•西岗区期末）【发现问题】 “轴对称”是初中数学“图形与几何”中“图形的变化”中重要的一部分，现实生活中我们也能随处可见一些轴对称图形，在学习二次函数的时候，我们知道，二次函数的图象也是轴对称图形，教材对二次函数的图象是轴对称图形给出如下证明：直线轴是二次函数的图象的对称轴，在二次函数的图象上任取一点，则点关于直线轴）的对称点的坐标为，当时，，所以点在二次函数的图象上，所以二次函数的图象关于轴）对称． 【提出问题】 二次函数图象是轴对称图形都可以转化为图象上任意一点的坐标关于对称轴对称的点还在二次函数图象上的问题？ 【分析问题】 小明通过上述发现，对于二次函数的图象关于直线对称的结论给出如下部分证明． 证明：设点是直线左侧图象上任意一点，则 【问题解决】 （1）请你帮助小明将证明过程补充完整； （2）已知抛物线与轴交于点，和点． ①直接写出点的坐标（用含的式子表示）； ②点，是该抛物线上两点，若始终满足，求的取值范围； ③如图，若，抛物线与轴相交于点，在抛物线的对称轴上存在一点，连接，，直接写出的最大值． 26．（2023秋•花都区期末）已知点在函数的图象上． （1）若，求的值； （2）抛物线与轴交于两点，在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为． ①为何值时，点到轴的距离为； ②若，平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点的坐标（不用说明理由）． 27．（2023秋•武昌区期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； （3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 28．（2023秋•汉阳区期末）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标． （2）如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点，且，求点的坐标． （3）如图（2），在第一象限的抛物线上有一点，过点作的平行线交抛物线于另一点，直线，交于点，若点的纵坐标为，△的面积记为，试探究与之间数量关系． 29．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是直线下方抛物线上一动点，点是线段上一动点，直线交轴于点．若，求的最大值及此时点的坐标； （3）另有抛物线的顶点在线段上，经过点，将抛物线平移得到新的抛物线，点，平移后的对应点分别是点，，连接．若轴，点在轴上，经过点，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 30．（2023秋•河西区期末）已知抛物线，其中，为常数，且． （Ⅰ）若，，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点．请你用含的式子表示，并求出的取值范围； （Ⅲ）若，点，抛物线与轴负半轴交于点，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，，点是的中点，当的最小值是时，求在的图象的最低点的坐标． 31．（2023秋•武汉期末）（1）已知抛物线经过原点，其顶点的坐标为．求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若抛物线与轴交于另一点，过，两点作开口向下的抛物线，设其顶点为（点在点的下方），线段的垂直平分线与抛物线相交于，两点，若四边形的面积为时，求抛物线的函数表达式； （3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，且与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，连接，过点作轴于点，在直线上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标：　或或或　． 32．（2023秋•开福区校级期末）定义：若直线与函数交于，、，两点，将叫做函数在直线上的弦长，且，其中叫做函数在直线上的截距． （1）求出在轴上的截距； （2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式； （3）若二次函数与反比例函数在第一象限交于点，在第三象限交于、两点． ①若、两点的横纵坐标均为整数，请直接写出整数的值； ②若，求该二次函数在直线上的截距的取值范围． 33．（2023秋•硚口区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，直线与抛物线相交于，两点（点在点的右侧），连接，． ①若的面积是10，求的值； ②作轴交抛物线于点，连接，若与的面积相等，直接写出的值； （3）如图2，抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．过点的直线，与抛物线分别相交于，两点，若，求的值． 34．（2023秋•海沧区期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）连接，，点是直线下方抛物线上的一个的动点（不与，重合）， ①求面积的最大值； ②若，求点的坐标． 35．（2023秋•青山区期末）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出点、、的坐标； （2）如图1，过点作直线交抛物线于点，连接，，若；4，求点的坐标； （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点、，直线，且交抛物线于点、，点、分别为线段、的中点，，求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 36．（2023秋•滨海新区期末）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，抛物线顶点的横坐标为． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）若点是线段上的一个动点，过点作轴于点，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； （Ⅲ）在轴上是否存在一点，使得．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2023秋•河东区期末）在二次函数中． （1）若它的图象过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 38．（2023秋•南平期末）已知点在二次函数的图象上． （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值； （3）设直线为常数且与抛物线交于点，，与抛物线为常数）交于点，．求证：． 39．（2023秋•泉州期末）抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求点，，的坐标； （2）如图1，是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，为线段上方抛物线上的一动点（点不与点，重合），过点作交轴于点，交线段于点，若，请直接写出点的坐标． 40．（2023秋•福州期末）已知抛物线与轴交于，两点（点在轴正半轴），与轴交于点，连接，，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合），连接交于点，连接．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）已知抛物线的顶点的为，过点的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作的垂线，交抛物线于点，过的中点作于点．求证：． 题型五：动点问题的函数图象（共1题） 41．（2023秋•沙河口区期末）【发现问题】 如图1，小迪同学利用无人机玩“投弹”游戏，无人机以不变的速度水平飞行，他发现，在不同高度释放小球，小球落地点距小球释放点之间的水平距离都有所不同． 【提出问题】 为了准确投中目标，需要知道小球释放点距地面的竖直高度与小球释放点距落地点的水平距离之间的关系； 【分析问题】 小迪控制无人机在距水平地面不同的高度释放小球，分别测量了小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度，实验结果如下表： 小球释放点距落地点的水平距离（米 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 小球释放点距落地点的竖直高度（米 0 0.2 0.8 1.8 3.2 5 7.2 小迪同学建立平面直角坐标系，描出上面表格中每对数值所对应的点，得到图2，小迪根据图2中点的分布情况，确定其图象是二次函数图象的一部分，从而确定在一定高度释放小球的运动轨迹是一条抛物线． 【解决问题】 如图3，小迪控制无人机在距地面竖直高度为20米米）向右水平飞行．为了更形象的描述，小迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致． （1）请直接写出与的函数解析式；并求此时小球释放点距落地点之间的水平距离应为多少米？ （2）在距点正前方的12米米）地面点上，有一高度为5米米），直径为米米）的圆柱体目标，它的最大截面为矩形和坐标轴在同一平面内．求无人机离开点后，在什么飞行范围内释放小球，可以击中目标； （3）若在距（2）中的圆柱体目标的正前方处米）有一建筑物（建筑物的竖直高度大于20米）的侧面外形为直线，直线与轴的交点为点，建筑物和地面的夹角为，为抛物线上一点，是点距建筑物的距离．求小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离． 题型六：待定系数法求二次函数解析式（共1题） 42．（2023秋•白云区期末）已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）过点的直线与抛物线交于点． ①当时，若的最小值为5，求的值； ②抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当点（不与点重合）在抛物线的对称轴右侧运动时，直线和直线分别与对称轴交于点，，试探究的面积与的面积之间满足的等量关系． 题型七：抛物线与x轴的交点（共1题） 43．（2023秋•南开区期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，抛物线的顶点为． （Ⅰ）求此抛物线的解析式和顶点的坐标． （Ⅱ）若点，均在此抛物线上，其横坐标分别为，．且，两点的纵坐标的差为3． ①求的值． ②将点向上平移个单位得到点，将抛物线沿轴向右平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，顶点的对应点为点．在抛物线平移过程中，当的值最小时，请填空：　 　，新抛物线的顶点的坐标为 　　，的最小值为 　　． $6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 期末解答题压轴题一函数综合题（考题猜想，7种必考题型） 题型大集合 题型一：一次函数与二次函数、相 似三角形、圆的综合题（共4题） 题型二：反比例函数与一次函数、 正方形、三角形综合题（共3题） 题型三：二次函数的应用（共2题） 期末解答压轴题 一函数综合题 题型四：二次函数综合题（共31题） 题型五：动点问题的函数图像（共1题） 题型六：待定系数法求二次函数解析式 (共1题) 题型七：抛物线与x轴的交点（供1题） 题型大通关 题型一：一次函数与二次函数、相似三角形、圆的综合题（共4题) 1.(2023秋中山区期末)【发现问题】某课外活动课上，小聪研制了一种小球滚动模型：在一条笔直的滑 道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面43m处.小聪测量黑球减速 后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下 表 运动时间1/s 0 2 3 4 运动速度v/cm/s 8 7.5 6.5 6 运动距离y/cm 0 7.75 15 21.75 28 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t、运动距离y与运动时间t之间的数量关系可以用我们学过 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 的函数来描述. 黑球 【提出问题】黑球的运动速度v与运动时间t、运动距离y与运动时间t有怎样的函数关系？ 【分析问题】小聪利用平面直角坐标系描出表格中各对数值所对应的点，猜测出这两种数量关系对应的函数， 并通过验证得出猜想是正确的. 【解决问题】 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： (2)当黑球减速后运动距离为39cm时，求它此时的运动速度； (3)若白球一直以1.5m/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由 【解答】解：(1)由表格中数据可知运动速度v与运动时间t是一次函数， 设v关于t的函数解析式v=mt+n, 把(0,8)，(1,7.5)代入解析式得： n=8 m+n=7.5' 解得 m=-0.5 n=8 v=-0.51+8, 当1=2时·，v=7;当t=3时，y=6.5;当t=4时，v=6, .v关于t的函数解析式为v=-0.51+8; 由表格中数据可猜想运动距离y与运动时间t是二次函数， 设运动距离y与运动时间t之间的函数解析式为y=at2+bt+c, 把(0,0)，(1,7.75)，(2,15)代入解析式得： c=0 a+b+c=7.75, 4a+2b+c=15 a=-0.25 解得b=8 c=0 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 y=-0.25t2+8t, 当t=3时，y=-0.25×9+8×3=-2.25+24=21.75: 当1=4时，y=-0.25×16+8×4=-4+32=28, .运动距离y与运动时间t之间的函数解析式为y=-0.25t2+8t; (2)当y=39时，-0.252+8t=39, 整理得：t2-32t+156=0, 解得t=6,2=26(舍去)， 当1=6时，v=-0.5×6+8=5, .黑球此时的运动速度为5cm/s; (3)设黑白两球的距离为wcm, 根据题意可知，=43+1.5t-(-0.25t2+8t)=0.25t2-6.5t+43, 当w=0时，0.25t2-6.5t+43=0, 整理得：t2-26t+172=0, :△=(-26)2-4×172=-12<0， .方程没有实数根， 黑球不会碰到白球. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线I分别交x轴、y轴于点A(L,0),B,∠AB0=30°，过点B的直 线y= 3x+m与x轴交于点C,点D是线段AC上一点（不与A,C重合）. (1)求直线1的解析式及点C的坐标： (2)点P是平面内一点，若以A,B,D,P为顶点的四边形是菱形，直接写出点P的坐标： (3)作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,连接EF. ①若△DEF与△ABC相似，求点D的坐标； ②取EF的中点M,直接写出△ACM周长的最小值. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究」 3 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 y年 B B 备用图 【解答】解：(1)A1,0), .0A=1, :∠AB0=30°， ..OB=3, .B(0,V5), 将B点代入y= 3x+m,可得m=V5, 直线解析式为y= x+V3, 3 当y=0时，x=-3, .C(-3,0), 设直线l的解析式为y=x+√3， .k+5=0, 解得k=-√5， ∴直线l的解析式为y=-√5x+√3： (2)设D(m,0),P(x,y), 当AB为菱形的对角线时，AD=BD, 1=m+x y=V3 m2+3=(1-m)2 [x=2 解得y=√5， m=-1 .P2,V3) 当AP为菱形的对角线时，AB=AD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 1+x=m {y=5, 2=1-m [x=-2 解得y=5, m=-1 .P(-2,V3); 当AD为菱形的对角线时，P,B关于x轴对称，P(O,-V3); 综上所述：P点坐标为(2，√3)或(-2，√3)或(0，-√3)： (3)①：0C=3,0B=V3, ∠BC0=30°， ∠BA0=30°， .∠0BA=60°， .∠ABC=90°， ,DE⊥AB,DF⊥BC, E D O .四边形BEDF是矩形， .∠EDF=90°， 设D(t,0),-3<1<1, AD=1-1,DC=t+3, 在R:△AED中，DE=5 AD= (1-t0, 2 在R:△CDF中，DF=C+3): 当∠DEF=60°时， DE =V5, DE ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 50- =3， 20+3) 解得1=-1， ∴.D(-1,0): 当∠DEF=30°时， DF 3 DE 3 30-0 2 20+3) 3 解得t=0, .D(0,0): 综上所述：D点坐标为(0,0)或(-1,0)： ②取BC、AB的中点G、H,连接GH, 作C点关于GH的对称点C',连接CM、CM,AC', B H 备用图 由对称性可知，CM=CM, :CM+AM=CM+AM=AC',此时△ACM的周长最小， B(0,V3),C(-3,0), 3.5 .G(22 C"(-3,3), AC'=19, ∴.△ACM的周长最小值为V19+4. 3.(2023秋锦江区校级期末)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-25,0，点B在直线1：y=x上， 过点B作AB的垂线，过原点O作直线I的垂线，两垂线相交于点C. ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 (1)如图，点B,C分别在第三、二象限内，BC与A0相交于点D. ①若BA=B0,求证：CD=C0, ②若∠CB0=45°，求四边形AB0C的面积 (2)是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BC0相似？若存在，求OB的长；若不存在， 请说明理由. 各用图 【解答】解：(1)①证明：：BC⊥AB,C0⊥B0, .∠ABC=∠B0C=90°， LBAD+∠ADB=LCOD+∠D0B=90°， BA=BO, ∠BAD=∠DOB, .∠ADB=∠COD, :∠ADB=∠CDO, LC0D=∠CD0, CD=CO; ②过点A(-25,O作AM⊥0B于M,过点M作MN⊥y轴于N,如图1， A D B 图1 点M在直线l:y=二x上，设M(m,5m), 2 1 :MN=m=-m,ON=m=- m, 2 7 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 RtaM0N中，tan∠OMW ON 1 MN2' :0A//M N, :∠A0M=∠0MN, m∠40M=分即能号 OM2 设AM=n,则0M=2n, RtAA0M中，AM2+OM2=OA2, A(-2W5,0, 0A=2V5, .n2+(2n)2=(2N5)2, 解得：n=2或n=-2(舍去)， ∴.AM=2,0M=4, :∠CB0=45°，C01B0, .△BOC是等腰直角三角形， :BC⊥AB,∠CB0=45°， .∠ABM=45°， .AM⊥OB, :△ABM是等腰直角三角形， AM=BM=2,B0=C0=2, :AB=BC=22, :AB⊥BC, :.△ABC是等腰直角三角形， S-分4B-Bc=4,Sxc B0.C0=2, 1 S四边形4B0c=S44Bc+S4B0c=4+2=6; (2)存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BC0相似， 理由如下：I,过点A作AM⊥OB于M,当B在线段OM或OM延长线上时，如图2，图3， 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 图2 图3 由(1)②可知：AM=2,0M=4, 设0B=x,则BM=4-x|,AB=V4+(4-x)2, :CO⊥B0,AM⊥B0,AB⊥BC, :∠AMB=∠B0C=90°，∠ABM=90°-∠0BC=∠BC0, :△AMB∽△BOC, :0C=0B,即0c=5 BM AM 14-x2' 0C=14-x, 2 RaB0C中，BC=NOB2+0C2=√4+4-， :∠ABC=∠B0C=90°， .以A、B、C为顶点的三角形与△BC0相似， 则B=BC或AB_BC OC OBOB OC V4+(4- 24e 成4+4-24+4- 4- 214- 解得x1=2,x=2+22, 0B=2或0B=2+2√2； IⅡ，过点A作AM⊥OB于M,当B在线段MO的延长线上时，如图4， ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 6学科网 考点大串讲 www.ZXXK.COM 通教材，过考点，练好题 图4 由(1)②可知：AM=2,，0M=4, 设0B=x,则BM=4+x,AB=√4+(4+x)2, :CO⊥BO,AM⊥B0,AB⊥BC, :∠AMB=∠B0C=90°，∠ABM=90°-∠0BC=∠BC0, :△AMB∽△BOC, 、OCOB ,即OC。x BM AM 4+x2 0C=(4+), 2 RaB0C中，BC=VOB2+OC2=4+(4+y, :∠ABC=∠B0C=90°， :以A、B、C为顶点的三角形与ABC0相似，需满足B=BC OC OB 即V4+(4+奶 2V4+4+ 4+时 解得：x=2V2-2或x=-2√2-2（舍去）， 0B=2V2-2; 综上所述，以A、B、C为顶点的三角形与△BCO相似， 则0B的长度为：2或2+22或2√2-2. 4.(2023秋·朝阳区期末)在平面直角坐标系xOy中，已知A(t-2,0),B(t+2,0). 对于点P给出如下定义：若∠APB=45°，则称P为线段AB的“等直点”. (1)当t=0时， ①在点P0,2+2√2)，D(-4,0),P(-2V2,-2),P(2,5)中，线段AB的“等直点”是 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10