专题05 二次根式（期末复习专项训练，易错重难点5大题型38题）八年级数学上学期人教版五四制

专题05 二次根式（考题猜想，易错重难点5大题型38题） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：利用二次根式的性质化简（易错） 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式        第一步              第二步                       第三步 (1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)请你写出正确的解答过程． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 4．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ (3)证明你的猜想． 5．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当时，求的值甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______ 的解答是错误的，错误的原因是______ ； (2)若，计算的值． 6．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 7．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 题型二：二次根式的计算与最值（易错） 9．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 11．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 12．（22-23八年级下·北京大兴·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　 (2)当时，的最小值为 　 　； (3)当时，求的最大值． 题型三：二次根式与规律探究（难点） 13．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）观察下列各式： ①； ②； (1)根据你发现的规律填空：______＝______； (2)猜想______（，为自然数），并通过计算证实你的猜想． 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式： …… (1)请你根据上述规律填空：______； (2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 17．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空：，______，______． （2）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式； （3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确． 18．（22-23八年级下·湖北随州·期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题： 第1个等式：，验证：； 第2个等式：，验证：； 第3个等式：，验证：． (1)请写出第4个等式，并验证； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想． 19．（22-23八年级下·云南红河·期末）阅读下列内容，解答问题： 如图，在中，． 当时，； 当时，； 当时，． …… (1)根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系． (2)已知，求满足（1）中条件的的值． 20．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 22．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 23．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 题型四：分母有理化（重点） 25．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）观察下列各式： ， ， ， 依据以上呈现的规律，计算： 26．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)的有理化因式是_______，的有理化因式是______． (2)观察下面的变形规律，请你猜想：_______． ，，… (3)利用上面的方法，请化简： ． 28．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得 (1)由上述规律，直接化简：______； (2)用含n（且为整数）的式子表示______； (3)利用你发现的规律计算 题型五：二次根式的应用（重难点） 29．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    30．（22-23八年级下·全国·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． (1)当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） (2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积． 32．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 34．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：． (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．    (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．    思路①利用，，，再配方，…… 思路②利用，使用平方差公式，…… 思路③利用，…… 35．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，木工师傅在一块矩形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．    (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为________dm，大正方形木板的边长为________dm；（填最简二次根式） (2)求原矩形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长________为2dm．（填“能”或“不能”） 36．（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 37．（23-24八年级下·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 38．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，将两个正方形并列放置（不重叠）在一矩形中，且两个正方形的面积分别为，，求阴影部分的面积． $专题05 二次根式（考题猜想，易错重难点5大题型38题） 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：利用二次根式的性质化简（易错） 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式        第一步              第二步                       第三步 (1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二， (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； （2） ． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 【答案】(1)（n为正整数）；证明见解析 (2)1 【知识点】异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算， （1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据二次函数的性质进行证明； （2）利用（2）中的规律得到原式，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）（n为正整数） 证明：左边， ∵n为正整数， ∴左边右边， ∴猜想成立． （2）原式 ． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)当时， (3)2 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． 故答案为：小亮； （2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，． 故答案为：当时，； （3）， ． 原式． 4．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)证明过程见详解 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数的变化规律，二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是解题的关键． （1）根据材料提示的二次根式的计算方法进行计算即可求解； （2）根据（1）中计算的结果进行推测即可； （3）运用二次根式的性质进行化简计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据上述计算可得，， 故答案为：（为正整数）； （3）证明： 左边， ∵为正整数， ∴左边右边， ∴． 5．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当时，求的值甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______ 的解答是错误的，错误的原因是______ ； (2)若，计算的值． 【答案】(1)乙，去绝对值时，没有判断的正负情况 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 原式 ， 乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断的正负情况； 故答案为：乙；去绝对值时，没有判断的正负情况； （2）解：， ， 原式 ． 6．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算； （2）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)的值为或7 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可； （2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）解：原式， 当时，原式，解得，符合条件； 当时，原式，舍去； 当时，原式，解得，符合条件． ∴的值为或7． 8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 题型二：二次根式的计算与最值（易错） 9．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【知识点】分母有理化、二次根式有意义的条件 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【知识点】二次根式的应用、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）解：① 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 时取等号，即时，原式有最小值4． ② 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 11．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1)， (2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． 12．（22-23八年级下·北京大兴·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　 (2)当时，的最小值为 　 　； (3)当时，求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值． 【详解】（1）解：当时，均为正数， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＞0时，的最小值为2； 故答案为：2； （2）解：当时，， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＜0时，的最小值为； 故答案为：； （3）解：∵， ∴当时， ， ∴， 当且仅当，即时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当时，的最大值为， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意． 题型三：二次根式与规律探究（难点） 13．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）观察下列各式： ①； ②； (1)根据你发现的规律填空：______＝______； (2)猜想______（，为自然数），并通过计算证实你的猜想． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解； （2）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：；． （2）解：，证明过程如下， 证明：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及性质，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式： …… (1)请你根据上述规律填空：______； (2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______； ②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析；（n为大于1的自然数） 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可； ②利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得； 故答案为：； （2）解：①由前面式子得出：； 故答案为：； ②证明：等式左边右边，为大于1的自然数． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识． （1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案； （2）根据，，，，得出规律，从而得到答案． 【详解】（1）解：由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． （2）解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：根据题目中前4个等式， 可以发现式子的变化特点， 那么第5个等式为； （2）解：猜想的第（n为正整数）个等式为，证明如下： 等式右边为， 因为等式左边为， 所以等式左边等于等式右边， 即． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 17．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空：，______，______． （2）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式； （3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确． 【答案】（1）；；（2）；；（3）规律：（n为正整数）；证明见解析 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据二次根式的性质即可解答； （2）根据二次根式的性质可知后续两个式子为；； （3）根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：（1），， 故答案为；； （2）∵ ， ∴后续两个式子为；； （3）解：规律（n为正整数），理由如下： ∵左边, ∴， ∴左边右边， ∴（n为正整数）． 【点睛】本题考查了根据二次根式的性质探索规律，掌握二次根式的性质是解题的关键． 18．（22-23八年级下·湖北随州·期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题： 第1个等式：，验证：； 第2个等式：，验证：； 第3个等式：，验证：． (1)请写出第4个等式，并验证； (2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、异分母分式加减法、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解并验证即可解答； （2）分析所给的等式的形式，再进行总结，把等式左边的式子进行整理即可验证． 【详解】（1）解：第4个等式：， 验验：． （2）解：第个等式：， 验证：． 【点睛】本题主要考查了分式的运算、二次根式的性质、数字的变化规律等知识点，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律是解题的关键． 19．（22-23八年级下·云南红河·期末）阅读下列内容，解答问题： 如图，在中，． 当时，； 当时，； 当时，． …… (1)根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系． (2)已知，求满足（1）中条件的的值． 【答案】(1)， (2)4 【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法 【分析】（1）根据题干中的规律即可得； （2）根据（1）中的数量关系，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，，． （2）解：由（1）可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、二次根式的乘法，正确发现规律是解题关键． 20．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法 【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． （2）解：根据题意，第n个等式为：，理由如下： ， ∴． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索； （1）根据题目规律直接得出答案即可； （2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可； 准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键． 【详解】（1）解：由题意得第四个等式为： 故答案为： （2）第n个等式： 22．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 23．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 【答案】(1) (2)（n为正整数） 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简， （1）总结规律，按规律解答； （2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论． 【详解】（1）解：∵； ； ， …… ∴； （2）解：根据（1）得到， 证明： ． 24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可； 本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键． 【详解】（1）∵； ； ； ； ； （2）； ； ； ； ； （3）由（）可得， ． 题型四：分母有理化（重点） 25．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）观察下列各式： ， ， ， 依据以上呈现的规律，计算： 【答案】9 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】先把里边的每一项分别分母有理化，再把所得结果计算出来即可求出最后答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是找出规律，使运算简便． 26．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)的有理化因式是_______，的有理化因式是______． (2)观察下面的变形规律，请你猜想：_______． ，，… (3)利用上面的方法，请化简： ． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】（1）根据题意，找到有理化因式即可求解； （2）观察规律可得有理化因式是分母的两个数的差，据此即可求解； （3）根据（2）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）∵， ∴的有理化因式是是， ∵ ∴的有理化因式是， 故答案为：；或． （2），，… 猜想：， 故答案为：． （3）利用（2)中的规律，可得： ． 【点睛】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键． 28．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得 (1)由上述规律，直接化简：______； (2)用含n（且为整数）的式子表示______； (3)利用你发现的规律计算 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】根据二次根式分母有理化的化简方法去化简即可求解； 【详解】（1）； （2）； （3）原式； 【点睛】该题主要考查了二次根式分母有理化，解答的关键是掌握分母有理化的化简方法． 题型五：二次根式的应用（重难点） 29．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    【答案】元 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解： （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键． 30．（22-23八年级下·全国·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． (1)当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） (2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)会，理由见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用 【分析】（1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时： ==2； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ∵， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【点睛】本题考查了二次根式的运用，掌握二次根式的运算是解题的关键． 31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2)3 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解； （2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解： ． 【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． 32．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【知识点】二次根式的应用、化为最简二次根式、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的应用： （1）背景墙长方形的周长，根据最简二次根式的定义化简即可； （2）分别求出大理石的面积和壁纸的面积即可，求解面积需要根据二次根式的乘法和加减运算法则计算． 【详解】（1）背景墙长方形的周长． 答：背景墙的周长为． （2）长方形的面积： ． 大理石的面积：． 壁纸的面积：． 整个电视墙的总费用：(元)． 答：整个电视背景墙需要花费元． 33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)剩余木板的面积为 【知识点】二次根式的应用、算术平方根的实际应用 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：剩余木板（阴影部分）的面积为． 34．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：． (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．    (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．    思路①利用，，，再配方，…… 思路②利用，使用平方差公式，…… 思路③利用，…… 【答案】(1)①，②，③ (2)证明见解析 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据完全平方公式求出，根据二次根式的乘法得出，再根据三角形三边关系进一步得出，即可得出答案； （2）根据所给的方法推导即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， 故答案为：①，②，③． （2）选择①．推导思路如下： 由，且，得． 配方，得． 易得． 即． 易得． 选择②．推导思路如下： 由，得，即． 故． 易知， 所以，即． 【点睛】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． 35．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，木工师傅在一块矩形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．    (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为________dm，大正方形木板的边长为________dm；（填最简二次根式） (2)求原矩形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长________为2dm．（填“能”或“不能”） 【答案】(1)， (2) (3)不能 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根思进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）解：原矩形木料的长为，宽为， ， 原矩形木料的面积为； （3）解：不能， 理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴剩余矩形木料不能截出边长为的正方形木板． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． 36．（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【知识点】实数的大小比较、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米； （2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米， ∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米 ∵，， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 37．（23-24八年级下·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【答案】(1) (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 故从高空抛物到落地时间为； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当时，， ∴， 这个玩具产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 38．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，将两个正方形并列放置（不重叠）在一矩形中，且两个正方形的面积分别为，，求阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用、二次根式的应用．依据两个正方形的面积得出两个正方形的边长，计算，再计算阴影矩形的面积即可． 【详解】解：如图， ∵两个正方形的面积分别是，， ∴，， ∴， ∴阴影矩形的面积． $