专题03 因式分解（期末复习专项训练）八年级数学上学期人教版五四制

专题03 因式分解 题型1 公因式与提公因式法分解因式 （常考点） 题型5 综合应用公式法分解因式（重点） 题型2 判断能否用公式法分解因式 题型6 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型3 平方差公式分解因式（重点） 题型7 十字相乘法 （难点） 题型4 完全平方公式分解因式（重点） 题型8 因式分解的应用（难点） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 公因式与提公因式法分解因式（共10小题） 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）当互为相反数时，代数式的值为（  ） A．2 B．3 C． D．3或 3．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）多项式的最大公因式是 ． 6．（23-24八年级上·福建福州·期末）若关于的二次三项式含有因式，则实数的值是 ． 7．（24-25八年级上·四川自贡·期末）分解因式：． 8．（23-24八年级上·河南信阳·期末）（1）多项式与有没有公因式？若有请求出来，若没有请说明理由． （2）解方程： 9．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 题型二 判断能否用公式法分解因式（共4小题） 11．（22-23八年级上·广东云浮·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 题型三 平方差公式分解因式（共4小题） 15．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 16．（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是 ． 17．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 18．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）分解因式：m16 – 1 题型四 完全平方公式分解因式（共4小题） 19．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： ． 21．（24-25八年级上·广东东莞·期末）因式分解： ． 22．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）分解因式： (1) (2) 题型五 综合应用公式法分解因式（共4小题） 23．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在实数范围内因式分解 ． 24．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 25．（24-25八年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 26．（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式…………（第一步） ……………………（第二步） …………………………（第三步） …………………（第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； (2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________ (3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解． ①； ②． 题型六 综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 27．（24-25八年级上·全国·期末）对进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： ． 29．（24-25八年级上·广东东莞·期末）分解因式： 30．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）因式分解： (1) (2) 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2) 题型七 十字相乘法（共5小题） 32．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 33．（22-23八年级上·天津红桥·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 35．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 36．（23-24八年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ； 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明． 题型八 因式分解的应用（共9小题） 37．（24-25八年级上·四川乐山·期末）若、、是正整数，，，则等于（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·江西新余·期末）小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 39．（24-25八年级上·重庆·期末）若正整数x，y满足，则 ． 40．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）已知：其中代表一个常数，则的值为 ． 41．（23-24八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 42．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 43．（25-26八年级上·全国·期末）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 44．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 45．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． $专题03 因式分解 题型1 公因式与提公因式法分解因式 （常考点） 题型5 综合应用公式法分解因式（重点） 题型2 判断能否用公式法分解因式 题型6 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型3 平方差公式分解因式（重点） 题型7 十字相乘法 （难点） 题型4 完全平方公式分解因式（重点） 题型8 因式分解的应用（难点） 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 公因式与提公因式法分解因式（共10小题） 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：和的公因式的是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）当互为相反数时，代数式的值为（  ） A．2 B．3 C． D．3或 【答案】C 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，首先利用相反数的定义得出，再利用提取公因式法将原式变形求出答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提取公因式即可． 【详解】解：． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）多项式的最大公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查公因式的确定，根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式解答即可． 【详解】解：8、6的最大公约数为2，公因式a的最低次数为1，公因式b的最低次数为2， 所以的最大公因式为． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·福建福州·期末）若关于的二次三项式含有因式，则实数的值是 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义．根据多项式乘法的法则，中与4相乘可得到，则可知：含有因式和，据此可得的值． 【详解】解：， 所以的数值是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川自贡·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法与公式法． 提公因式即可． 【详解】解：． 8．（23-24八年级上·河南信阳·期末）（1）多项式与有没有公因式？若有请求出来，若没有请说明理由． （2）解方程： 【答案】（1）有公因式，公因式是 （2）原方程无解 【知识点】公因式、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）将两个多项式进行因式分解，在找出公因式，即可求解， （2）方程两边同乘，解出的值，再进行检验， 本题考查了分解因式，解分式方程，解题的关键是：熟练应用因式分解法解方程，要注意检验增根． 【详解】（1）解：，， 多项式与的公因式是， 故答案为：有公因式，公因式是， （2）解：方程两边同乘，得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 是增根，舍去， 原方程无解， 故答案为：原方程无解． 9．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解以及已知式子的值求代数式的值． （1）根据题意得，，提公因式分解因式，然后再代入式子计算即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后再代入式子计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 当，时， （2）解：当，时， ． 10．（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 题型二 判断能否用公式法分解因式（共4小题） 11．（22-23八年级上·广东云浮·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断． 【详解】解：A. 是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意； B. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； C. 是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； D. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键． 12．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、是三项，不能用平方差公式分解因式； B、是三项，不能用平方差公式分解因式； C、是三项，不能用平方差公式分解因式； D、，能用平方差公式分解因式； 故选：D． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键：①有三项；②两项符号相同且都可写成两数的平方形式；③另一项应是两数积的倍，符号不限． 根据完全平方式的结构特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项A不符合题意； B.，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项B不符合题意； C.，不能用完全平方公式进行因式分解，故选项C不符合题意； D.，能用完全平方公式进行因式分解，故选项D符合题意； 故选：D． 14．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 题型三 平方差公式分解因式（共4小题） 15．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，把分子利用平方差公式分解因式，然后约分化简． 【详解】解： ． 故选：B． 16．（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式． 根据平方差公式解答即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了用提公因式法因式分解，平方差公式，根据多项式的特点选择适合的因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）分解因式：m16 – 1 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型四 完全平方公式分解因式（共4小题） 19．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，再把代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 20．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题考查了完全平方公式法分解因式，选择适当方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·广东东莞·期末）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 先提取负号，得： 再根据完全平方公式，分解，得： 故答案为： 22．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 题型五 综合应用公式法分解因式（共4小题） 23．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）在实数范围内因式分解 ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式、零指数幂 【分析】本题考查了提取公因式法，零指数幂的计算，平方差公式和完全平方公式，理解相关知识是解答关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）根据零指数幂的运算法则求出，再利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（24-25八年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 26．（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式…………（第一步） ……………………（第二步） …………………………（第三步） …………………（第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； (2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________ (3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解． ①； ②． 【答案】(1)公式法 (2)不彻底； (3)①；② 【知识点】完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式，即可解答； （2）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （3）①设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． ②，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用平方差公式即得到答案． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 因为， 所以分解的最后结果为； （3）解：①设， 则 ． ②设 则 ． 题型六 综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 27．（24-25八年级上·全国·期末）对进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式a，然后再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 28．（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 29．（24-25八年级上·广东东莞·期末）分解因式： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法与公式法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； ； 故答案为：①；② 30．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据完全平方公式，进行求解即可； （2）先提公因式，然后根据平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1)． (2)． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的综合运用，完全平方公式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 十字相乘法（共5小题） 32．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16的正确进行质因数分解，是解题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 33．（22-23八年级上·天津红桥·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】十字相乘法 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． 34．（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积、十字相乘法 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 36．（23-24八年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ； 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明． 【答案】任务1：多项式的，多项式的；；任务2：，，7，5；任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明见解析 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）根据题意计算对应多项式中的值，再根据因式分解的方法对对应的多项式分解因式即可； （2）设，则，得到，根据完全平方公式得到，由是整数，得到是整数，则是整数，再由，可得或． （3）设，则，可得，由即可得到结论． 【详解】解：任务1：多项式的， 多项式的； 根据题意可知多项式能分解因式，多项式不能分解因式， ； 任务2：设， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴s、t都为整数， ∵， ∴或或或， ∴所有整数p的值为，，7，5； 故答案为：，，7，5． 任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明如下： 设 ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c都是整数， ∴m、n都是整数， ∴是一个整数， ∴是一个完全平方数， ∴整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数． 题型八 因式分解的应用（共9小题） 37．（24-25八年级上·四川乐山·期末）若、、是正整数，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、构造二元一次方程组求解 【分析】此题考查了因式分解的应用，构造二元一次方程组求解，解题的关键是将原等式因式分解． 首先得出，然后将左边因式分解为，然后根据题意得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵、、是正整数， ∴ ∴得，． 故选：A． 38．（24-25八年级上·江西新余·期末）小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解方法，先把多项式因式分解，再根据密码信息确定即可． 【详解】解：， ， ， 分别对应汉字我、爱、新、余， 呈现的密码信息可能是我爱新余， 故选：C． 39．（24-25八年级上·重庆·期末）若正整数x，y满足，则 ． 【答案】7 【知识点】因式分解的应用、加减消元法 【分析】本题主要考查因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．先把16移到等号右边，对等号左边的多项式分解因式，再根据是正整数，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y是正整数， ∴是正整数， ∴， ∴①，解得：（舍去）； ②，解得：． ∴． 故答案为：7． 40．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）已知：其中代表一个常数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】将因式分解即可解答． 【详解】解：将因式分解， 得：， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的十字相乘法． 41．（23-24八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、加减消元法 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 42．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 43．（25-26八年级上·全国·期末）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)完全平方公式和提公因式，提公因式， (2)直角三角形，见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的方法． （1）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （2）因式分解后，结合三角形三边长为正数及已知条件，推出a、b、c的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 ． （2）为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 即是直角三角形． 44．（24-25八年级上·江西南昌·期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题． （1）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，多项式取得最小值为． 45．（25-26八年级上·全国·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形. $