专题01 轴对称（期末复习专项训练，4种热考题型）八年级数学上学期人教版五四制

专题01 轴对称（考题猜想，4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：求轴对称图形的个数（共4题） 1．（2023秋•凤山县期末）如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的△，则与△成轴对称且以格点为顶点三角形共有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2023秋•徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022秋•昆明期末）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（2021秋•门头沟区期末）如图，在正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中可以画出与成轴对称的格点三角形的个数为　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：等腰三角形中添加辅助线8种常用方法（共8题） 1.（作底边中线）（23-24八年级上·北京·期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证： (1)； (2)． 2.（作底边高）（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1， 试说明的理由； (2)如图2， 过点B作，垂足为点E，与相交于点F ． ①试说明的理由； ②如果，求的度数． 3.（作腰的平行线）（22-23八年级上·河南鹤壁·期末）问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 4.（作底的平行线）（23-24八年级上·北京·期末）如图，等边中，在边延长线上一点，延长至，使，于，求证：． 5.（补形法构造等腰三角形）（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，中，，于D，且，求． 6.延长（或截取）法构造三角形（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．    (1)求证：； (2)求证：且； (3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 7.倍长中线法构造等腰三角形（22-23八年级上·上海杨浦·期末）已知，如图：中，，是的中线：求证：．    8.截长补短法构造等腰三角形（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 题型三：添加辅助线方法——等腰三角形与全等构造（共8题） 1．（2024秋•思明区校级期中）△中，，点，在边上（点在点的左侧），，，点在边上．，若，，，则 　 　．（用含，的式子表示） 【分析】延长构造等腰三角形，得出是大三角形的角平分线，然后作平行线构造等腰三角形，从而得到一对全等的三角形，据此求出的长，最后得出的长，即为的长． 2．（2024秋•玄武区校级期中）如图，在△中，，将△沿折叠至△，，连接，平分，则的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 3．如图，在中，，为三角形内部一点，连接并延长交于点，则　 　． 4．（2023秋•江汉区月考）如图在中，为边上的中线，是线段上一点，且，的延长线交于，且． （1）求证：； （2）求的度数． 5．（2022秋•平谷区期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：． 小明发现，延长到点，使，连结，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图． 请写出推导过程． 6．（2022秋•二七区校级期末）阅读材料：如图1，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）类比迁移 如图2，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程． （2）方法运用 如图3，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，． ①请你判断线段与的数量关系，并给出证明； ②若，请直接写出的长． 7．（2023秋•咸安区期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是△的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证△△，所以．接下来，在△中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：　 　； （2）如图2，是△的中线，点在边上，交于点，且，请参考（1）中的方法求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 8．（2023春•市南区期末）问题解决： （1）如图1，中，为边上的中线，则． （2）如图2，，，分别为，，的中点，则　 　． （3）如图3，，，分别为，，的中点，若，则　　． 问题探究： （1）如图4，，是的中线，，交于点，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，． ． ． 即． （2）如图5，中，是上的一点，，是的中线，且，试求的值． 问题拓展： 如图6，中，平分，，则　　． 题型四：轴对称之最短路径（共8题） 1．（2023秋•下陆区期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2023秋•汉阳区期末）如图，的面积为6，，平分．若，分别是，上的动点，则的最小值　　 A． B． C． D．3 3．（2023秋•渝中区期末）如图，中，，，于点，且，点和分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C． D． 4．（2023秋•思明区校级期末）如图，平面直角坐标系中有三点、、，在轴上找一点，使得四边形的周长最小，则长为　　 A．0 B．0.5 C．1 D．2 5．（2023秋•同安区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是30，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．12 D．24 6．（2023秋•西城区期末）如图，在△中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•巴中期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 　　度． 8．（2023秋•重庆期末）在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接，，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） $专题01 轴对称（考题猜想，4种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：求轴对称图形的个数（共4题） 1．（2023秋•凤山县期末）如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的△，则与△成轴对称且以格点为顶点三角形共有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】解答此题首先找到△的对称轴，、、，等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【解答】解：与△成轴对称且以格点为顶点三角形有△、△、△、△，△共5个， 故选：． 【点评】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 2．（2023秋•徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示：不同的涂色方案共有4个． 故选：． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 3．（2022秋•昆明期末）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 4．（2021秋•门头沟区期末）如图，在正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中可以画出与成轴对称的格点三角形的个数为　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解． 【解答】解：如图所示： 故选：． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 题型二：等腰三角形中添加辅助线8种常用方法（共8题） 1.（作底边中线）（23-24八年级上·北京·期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，利用等腰三角形“三线合一"的性质得，再利用平行线的性质得，从而说明垂直平分，则有； （2）利用等角的余角相等，再利用证明，从而证明结论． 【详解】（1）证明：连接AD， ，点为的中点， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ∴； （2） 在和中， 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键． 2.（作底边高）（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1， 试说明的理由； (2)如图2， 过点B作，垂足为点E，与相交于点F ． ①试说明的理由； ②如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①过点A作，垂足为H，利用等腰三角形的三线合一性质得出，利用余角的性质证明，即可得证； ②根据三角形的外角性质可得，然后利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：①过点A作，垂足为H． ∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 即； ②∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3.（作腰的平行线）（22-23八年级上·河南鹤壁·期末）问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）（4），理由见解析 【分析】（1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． 4.（作底的平行线）（23-24八年级上·北京·期末）如图，等边中，在边延长线上一点，延长至，使，于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质等知识点，过点作交的延长线于点，证明，可得，根据等腰三角形三线合一性质即可得证．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 【详解】证明：过点作交的延长线于点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 5.（补形法构造等腰三角形）（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，中，，于D，且，求． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理；延长至，使，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由线段垂直平分线的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质，作出适当的辅助线，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 6.延长（或截取）法构造三角形（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．    (1)求证：； (2)求证：且； (3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（2）中结论成立，理由见解析 【分析】（1）用证明，可得，，利用线段的和差关系即可完成； （2）延长交于点，利用证明，得，,进而得，由（1）的结论即得，最后可得结论成立； （3）延长交于点，用证明，得，,由（1），得，由等腰三角形的性质即得结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ，， ，， ． 在与中， ， ，， ， 即． （2）证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ，． 而由（1）， ， 又， ．    （3）证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ， 由（1）， ，， ∴， 又， ．    【点睛】本题是全等三角形的综合；考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；构造全等三角形是本题的关键与难点 7.倍长中线法构造等腰三角形（22-23八年级上·上海杨浦·期末）已知，如图：中，，是的中线：求证：．    【答案】见解析 【分析】利用中线加倍证，可得，，由，可得进而可证，再证即可． 【详解】证明：延长到F，使，连接，    ∵E是中点， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键 8.截长补短法构造等腰三角形（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可； （2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论． （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可． 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵， ∴， 设，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在的垂直平分线上 ∴． ∴ ∵BD平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 在中， ∴ ∴的最小值是3． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键 题型三：添加辅助线方法——等腰三角形与全等构造（共8题） 1．（2024秋•思明区校级期中）△中，，点，在边上（点在点的左侧），，，点在边上．，若，，，则 　 　．（用含，的式子表示） 【分析】延长构造等腰三角形，得出是大三角形的角平分线，然后作平行线构造等腰三角形，从而得到一对全等的三角形，据此求出的长，最后得出的长，即为的长． 【解答】解：延长到，使，连接，过作，交延长线于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在△与△中， ， △△ ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过构造等腰三角形来构造出与所在三角形全等的三角形是本题解题的关键． 2．（2024秋•玄武区校级期中）如图，在△中，，将△沿折叠至△，，连接，平分，则的度数是 　 　．（用含的代数式表示） 【分析】连接，过点作于，于，连接，过点作于，于，可得△是等边三角形，得出，，运用可证得△△，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如图，连接，过点作于，于， 则， 由折叠可知，，， ， △是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 即， ，， ， ， 故答案为：， 【点评】本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 3．如图，在中，，为三角形内部一点，连接并延长交于点，则　 　． 【分析】在上截取，可得则，，，所以；再由，可得，所以，则，所以，则，结论得证． 【解答】解：， 设， 则， ， ， 在上截取， 又， ， ，，， ． ， ， ， ， ， ， 即：， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意是关键． 4．（2023秋•江汉区月考）如图在中，为边上的中线，是线段上一点，且，的延长线交于，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【分析】（1）延长到，使得，先证明，得，证明即可解决问题； （2）在上取，连接．想办法证明是等边三角形即可解决问题； 【解答】（1）证明：延长至点，使得，连． 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ． （2）解：在上取，连接． ， 即， ， ， 为正三角形， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 5．（2022秋•平谷区期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：． 小明发现，延长到点，使，连结，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图． 请写出推导过程． 【分析】延长到点，使，连结，可证明，则，，根据，得，可证出，即可得出． 【解答】证明：延长到点，使，连结， 在和中， ， ， ，， 又， ， 又， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（2022秋•二七区校级期末）阅读材料：如图1，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）类比迁移 如图2，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程． （2）方法运用 如图3，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，． ①请你判断线段与的数量关系，并给出证明； ②若，请直接写出的长． 【分析】（1）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论； （2）①延长至点，使，连接、，先证，得，，则，再证，得，，然后证是等边三角形，即可得出结论； ②分两种情况，当为的中位线时，，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明，得出，则可得出答案． 【解答】（1）证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）①解：线段与的数量关系为：， 证明如下：延长至点，使，连接、，如图2所示： 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； ②解：的长为2或4． 当为的中位线时，， 为的中点， ， ， 如图3，当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点， 为等腰三角形，， ， ，， ， ， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ，即， 综上所述，的长为2或4． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理的证明、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2023秋•咸安区期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是△的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证△△，所以．接下来，在△中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：　 　； （2）如图2，是△的中线，点在边上，交于点，且，请参考（1）中的方法求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 【分析】（1）根据可证△△，所以，再根据求得的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图，延长到，使得，连接，由△△，推出，，推出，再证明，进而证明结论； （3）如图，延长交的延长线于点，利用全等三角形的性质证明，进而完成解答． 【解答】（1）解：是△的中线， ， 在△和△ 中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）证明：如图，延长到，使得，连接， 同（1）可证△△， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ， ， 是的中点， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确添加常用辅助线以及运用倍长中线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 8．（2023春•市南区期末）问题解决： （1）如图1，中，为边上的中线，则． （2）如图2，，，分别为，，的中点，则　 　． （3）如图3，，，分别为，，的中点，若，则　　． 问题探究： （1）如图4，，是的中线，，交于点，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，． ． ． 即． （2）如图5，中，是上的一点，，是的中线，且，试求的值． 问题拓展： 如图6，中，平分，，则　　． 【分析】问题解决：（1）根据等底等高的三角形面积相等即可得三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形； （2）根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积； （3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可得解； 问题探究：（2）先求出，再结合即可解答； 问题拓展：延长交于，由“”可证，可得，由面积关系可求解． 【解答】解：问题解决：（1）如图1，中， 为边上的中线， ； （2）如图2，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， ， 故答案为：； （3）如图3，连接， 点、分别为、的中点， ， ， ， ， 是的中点， ， ． ， ； 故答案为：8； 问题探究：（2）如图5，， ， ， ， 是的中线， ， ； 问题拓展： 如图6，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 的面积， 故答案为：． 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键。 题型四：轴对称之最短路径（共8题） 1．（2023秋•下陆区期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，可求． 【解答】解：作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接， ， ， 此时的值最小， 是正三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 2．（2023秋•汉阳区期末）如图，的面积为6，，平分．若，分别是，上的动点，则的最小值　　 A． B． C． D．3 【分析】依据垂线段最短，可得的最小值，即到的最短距离，已知的面积为6，，可得到的最短距离，即的最小值． 【解答】解：过作，交于点，交于点，作关于的对称点，连接， ， 是关于的对称点， ， 平分， ， ， ， ， 的最小值的最小值，即中边上的高， 的面积为6，， ， ，即的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查了垂线段最短，关键是掌握将军饮马模型． 3．（2023秋•渝中区期末）如图，中，，，于点，且，点和分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C． D． 【分析】连接，过点作于点，推出的最小值为的长，再利用面积法求出的长即可． 【解答】解：连接，过点作于点， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值为的长， ，，，， ． 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，解答时涉及垂线段最短，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，面积法，能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键． 4．（2023秋•思明区校级期末）如图，平面直角坐标系中有三点、、，在轴上找一点，使得四边形的周长最小，则长为　　 A．0 B．0.5 C．1 D．2 【分析】四边形周长是，是定值，所以只需最小，根据“将军饮马”模型，作点关于轴对称点，连接与轴交点，即为点，可先求出的解析式，进而求得结果． 【解答】解：四边形周长，是定值， 只需最小， 取，连接，交轴于，如图， 则四边形的周长最小， 设的解析式是：， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键熟悉“将军饮马”模型． 5．（2023秋•同安区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是30，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．12 D．24 【分析】连接，，先求出的长．由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，可推出的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接，，如图所示： ，点为中点， ， 的面积是30， ， ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为12． 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，能将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解答本题的关键． 6．（2023秋•西城区期末）如图，在△中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是　　 A． B． C． D． 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，连接，，，，推出四边形的周长最小时，点与重合，点与点重合，再求出即可解决问题． 【解答】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，连接，，，， 则，， 四边形的周长， 长固定， 点与重合，点与点重合时，四边形的周长最小，此时， 由对称性和三角形外角性质可知：，， ， 设与交于点， ，， ， ， ， 即当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，能用一条线段表示出三条线段的和的最小值，并确定最小时，的位置是解题的关键． 7．（2023秋•巴中期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 　　度． 【分析】点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数． 【解答】解：点和点在直线的同旁， 作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小． ，， ， ． ， ． ． 【点评】本题考查最短路线问题．用到的知识点为：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置．用到的知识点为：两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 8．（2023秋•重庆期末）在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接，，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 【分析】（1）过点作于，作于，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，可求得，利用，即可求得答案； （2）延长交于，过点作交于，利用可证得，即可证得结论； （3）过点作，过点作于，交于，作点关于的对称点，连接，则点在射线上，当、、在同一条直线上，且时，即点与点重合时，为最小值，过点作于，则是等腰直角三角形，再证得四边形是矩形，是等腰直角三角形，即可求得答案． 【解答】（1）解：如图1，过点作于，作于， 平分， ， ，， ，即， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于，过点作交于， 又于点， ， ， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，过点作，过点作于，交于，作点关于的对称点，连接，则点在射线上， ， 当、、在同一条直线上，且时，即点与点重合时，为最小值， 过点作于，则是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 即线段的长为． 【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． $