专题四 方程 (专项训练) 五年级数学寒假专项提升 (冀教版)

2025-2026五年级上册数学寒假专项复习 专题四 方程 【要点梳理】 1.认识等式和方程 表示相等关系的式子叫做等式，含有未知数的等式叫做方程。 2.等式的性质 等式的性质(一)—等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立 等式的性质(二)—等式的两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0),等式仍然成立 3.解方程 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 求方程的解的过程叫做解方程 形如x±a=b、 ax=b(a≠0)、 x÷a=b(a≠0)、 ax±b=c(a≠0)、 ax±bx=c(a±b≠0)的方程的解法 4.列方程解决问题 列方程解决问题的步骤：①找出等量关系；②把未知数用x表示，列出方程；③解方程；④检验求得的x的值是不是方程的解；⑤写出答语 【综合提升】 一、填空题 1．在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 2．如果2a＋5＝13，那么2a是( )。 3．如果2x－1.5＝0.7，那么5（x＋1.2）＝( )。 4．工程队修一条公路，每天修x千米，24天修完，这条公路长( )千米，如果这条公路长31.2千米，工程队每天修( )千米。 5．根据图a和图b，可以判断图c中的天平( )边下沉。（填“左”或“右”） 6．方程3x－6＝12的解是x＝( )。 7．根据解方程的过程填空。 3x－5＝13 →等式的左右两边同时( )5，左右两边仍然相等。 3x＝18 →等式的左右两边同时( )3，左右两边仍然相等。 x＝6 8．妈妈买3千克苹果，每千克a元，付了b元，应找回( )元；当a＝9.8，b＝50时，应找回( )元。 9．x的4倍减去10等于6，列方程为( )解得x＝( )。 10．先写出等量关系，再列方程（不解答）。 妈妈买了6节五号电池，付了20元，找回5元。 等量关系：( )。 方程：( )。 二、判断题 11．式子是方程。( ) 12．3＋8是含有未知数的式子，所以它是方程。( ) 13．等式的两边同时乘或除以一个不为0的数，等式依然成立。( ) 14．根据等式的性质，如果4.2x＝63，那么4.2x÷7＝9。( ) 15．方程的左、右两边同时除以5，左、右两边仍然相等。( ) 16．4x＋10＝70和5x＋3x＝120的解相同。( ) 17．写在作业本上的两个等式不小心被弄脏了，如图，通过所学知识对其判断，小山认为这两个式子一定都是方程。( ) 13x＋＝123 43.6＋＝77 18．是一个方程，这个方程的解是。( ) 19．方程4.5x＝0没有解。( ) 20．下图表达的方程与等式的关系是正确的。( ) 三、选择题 21．下列式子中，（    ）是方程。 A．8x＜5 B．a＋1 C．y÷2＝0.7 D．6＋9＝15 22．下面说法错误的是（    ）。 A．方程的解就是解方程 B．方程一定是等式 C．解方程的依据是等式的性质 23．聪聪发现3.6－0.5x与3.6x－0.5x相差1.8，那么x不可能是（    ）。 A．25.25 B．1.5 C．0.5 24．用a表示商品的单价，b表示数量，c表示总价。如果要解决“哥哥花10元买了4袋方便面，每袋多少元？”这个问题，可以选下面的公式（    ）。 A．b＝c÷a B．c＝ab C．a＝c÷b 25．一个数的2.5倍比17.5多12.5，这个数是多少？假设这个数是y，列式正确的是（    ）。 A．2.5y－12.5＝17.5 B．2.5y＝17.5－12.5 C．（17.5－2.5）y＝12.5 26．手工课上，五一班女生做了284颗幸运星，如果再做38颗，就是男生做的颗数的2倍。五一班男生做了多少颗幸运星？下面所列的方程中不正确的是（    ）。 解：设五一班男生做了x颗幸运星，根据题意得： A．2x＋38＝284 B．284＋38＝2x C．2x－38＝284 27．下面方程中和的解相等的是（    ）。 A． B． C． 28．如图，左边口袋里放了4千克物体，右边口袋放（    ）千克的物体才能平衡。 A．4 B．6 C．8 29．根据下面的线段图，下面方程成立的是（    ）。 A．3x＋15＝165 B．3x－15＝165 C．3x＝165＋15 四、计算题 30．直接写出得数。 3×0.6＝         9÷0.3＝          5÷0.01＝        1.25× 0.08＝ 0÷0.25＝        0.72÷0.6＝       3a×0.2＝         10x－2.5x＋x＝ 31．解方程。 4.5x－2.7×3＝2.7            8.2－2.4＋2x＝8.8            7.2x－7.2＋2.7x＝32.4 25.8＋6.5x＝45.3             6x＋6.25＝8.5x             10.15－6.5x＝3 五、解答题 32．一种大型喷气式客机每小时飞行1080千米。它比普通飞机每小时飞行航程的2倍少140千米。普通飞机每小时飞行多少千米？ 33．一个篮球48.6元，教练带720元正好买了6个足球和8个篮球，每个足球多少元？（列方程解答） 34．同学们做好事，五（1）班同学共做了好事64件，其中男生做的好事件数比女生的2倍少5件。男、女生各做了多少件好事？（列方程解答） 35．阅读下面信息，列方程解决问题。 1970年4月24日，中国航天科技集团五院研制的第一颗航天器东方红一号卫星，作为我国第一颗人造地球卫星开启了我国走向太空时代的第一步。2020年11月24日到2020年12月17日，嫦娥五号完成了23天的月球采样返回之旅，创造了中国航天史上一个里程碑式的成就。从东方一号到嫦娥五号，中国空间技术研究院研制并成功发射了300个航天器，俗称为“三百星”。细数“三百星”，第一个“百星”用了41年时间，第二个“百星”用了6年时间…… 我国发射第一个“百星”所用的时间比第三个“百星”所用时间的13倍还多2年，我国达成第三个“百星”用了多少年？ 36．甲、乙两车同时从相距564千米的两地相对开出，6小时相遇。甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶多少千米？（用方程解） 37．甲、乙两个粮仓共有360吨粮，已知甲仓存粮数是乙仓的3倍。甲、乙两仓各存粮多少吨？（请先用线段图表示题目中的数量关系，再用方程解答） 38．YY的储蓄罐里有5角和1元的硬币共50枚，共40元，求储蓄罐里5角和1元的硬币各有多少枚？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． ②④⑤ ②⑤ 【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。 【详解】①x＋7.9＜16，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；②0.23m＝4.6，含有未知数且是等式，所以是方程；③55＞m÷0.4，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；④15×2.4＝36，是等式，但不含有未知数，所以不是方程；⑤66－x＝38，含有未知数且是等式，所以是方程；则等式有②④⑤，方程有②⑤。 2．8 【分析】根据等式的性质，把2a＋5＝13两边同时减去5，即可求出2a的值。 【详解】解：2a＋5＝13 2a＋5－5＝13－5 2a＝8 则2a是8。 3．11.5 【分析】2x－1.5＝0.7，方程两边同时加上1.5，再同时除以2，求出方程的解，再代入5（x＋1.2）计算即可。 【详解】2x－1.5＝0.7 解：2x－1.5＋1.5＝0.7＋1.5 2x＝2.2 2x÷2＝2.2÷2 x＝1.1 5（x＋1.2） ＝5×（1.1＋1.2） ＝5×2.3 ＝11.5 即，如果2x－1.5＝0.7，那么5（x＋1.2）＝11.5 4． 24x 1.3 【分析】将24天乘每天修x千米，表示出公路的全长。将全长31.2千米除以24天，求出每天具体修多少千米。 【详解】31.2÷24＝1.3（千米） 所以，这条公路长（24x）千米，如果这条公路长31.2千米，工程队每天修1.3千米。 5．右 【分析】根据天平原理，可知5个○＝2个□，2个△＝1个□，所以4个△＝2个□，5个○＝4个△，所以1个○一定比1个△小，据此解答。 【详解】根据分析可知，1个○一定比1个△小，天平重的那边会下沉，所以图c中的天平右边下沉。 6．6 【分析】根据等式的性质1，方程的两边同时加上6，再根据等式的性质2方程的两边同时除以3即可求出方程的解；据此解答。 【详解】3x－6＝12 解：3x－6＋6＝12＋6 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 所以方程3x－6＝12的解是x＝6。 【点睛】本题主要考查应用等式的性质对方程求解的方法。 7． 加 除以 【分析】等式的性质1：将方程左右两边同时加或同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：将方程左右两边同时乘同一个数，或除以一个不为0的数，等式仍然成立。 【详解】3x－5＝13 →等式的左右两边同时加5，左右两边仍然相等。 3x＝18 →等式的左右两边同时除以3，左右两边仍然相等。 x＝6 【点睛】本题主要考查了根据等式的性质解方程，掌握相关性质是解答本题的关键。 8． b－3a 20.6 【分析】数量×单价＝总价，据此表示出3千克苹果的总价。将付的钱减去苹果总价，表示出应找回多少钱； 将a＝9.8，b＝50代入式子中，求出具体应找回多少钱。 【详解】b－3a ＝50－3×9.8 ＝50－29.4 ＝20.6（元） 所以，妈妈买3千克苹果，每千克a元，付了b元，应找回（b－3a）元；当a＝9.8，b＝50时，应找回20.6元。 9． 4x－10＝6 4 【分析】分析题目，等量关系为：x的4倍－10＝6，据此列出方程；再根据等式的基本性质解方程即可。 【详解】列方程为：4x－10＝6 4x－10＝6 解：4x＝16 4x÷4＝16÷4 x＝4 【点睛】解答本题的关键是正确找出等量关系并列出对应的方程。 10． 20元－6节电池的总价＝5元 20－6＝5 【分析】由题意可知，付的钱－商品价格＝找回的钱，即用20元减去6节电池的总价，就等于找回的5元，根据这个等量关系列方程解答即可。 【详解】等量关系：20元－6节电池的总价＝5元 解：设每节五号电池的价钱是元。 20－6x＝5 6x＝20－5 6x＝15 x＝15÷6 x＝2.5 【点睛】解答本题需准确分析题目中的等量关系，熟练利用列方程解决问题。 11．× 【分析】方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，据此解答即可。 【详解】含有未知数但不是等式，所以不是方程。 故答案为：× 【点睛】本题考查方程的定义，要重点掌握。 12．× 【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此判断。 【详解】3＋8，含有未知数，但不是等式，所以它不是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查方程的意义及应用，明确方程必须满足两个条件：一是含有未知数；二是等式。 13．√ 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】根据等式的性质2可知，等式的两边同时乘或除以一个不为0的数，等式依然成立。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．√ 【分析】等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式，据此分析。 【详解】4.2x＝63，根据等式的性质2，两边同时÷7，4.2x÷7＝63÷7，4.2x÷7＝9，原题说法正确。 故答案为：√ 15．√ 【分析】等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式，据此分析。 【详解】方程的左、右两边同时除以5，左、右两边仍然相等，说法正确。 如：5x＝15 解：5x÷5＝15÷5 x＝3 故答案为：√ 16．√ 【分析】根据等式的性质1和性质2，分别求出方程4x＋10＝70的解和方程5x＋3x＝120的解，再进行比较，即可解答。 【详解】4x＋10＝70 解：4x＋10－10＝70－10 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 5x＋3x＝120 解：8x＝120 8x÷8＝120÷8 x＝15 15＝15 4x＋10＝70和5x＋3x＝120的解相同。 原题干说法正确。 故答案为：√ 17．× 【分析】含有未知数的等式叫做方程。方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答。 【详解】第一个式子是等式，且含有未知数x，所以一定是方程； 第二个式子是等式，但弄脏的部分不知道有没有未知数，所以不一定是方程； 小山认为这两个式子一定都是方程，说法错误； 故答案为：× 18．√ 【分析】根据等式的性质1，方程两边同时减去3.4，求出方程3.4＋A＝9.7的解，再进行比较，即可解答。 【详解】3.4＋A＝9.7 解：3.4－3.4＋A＝9.7－3.4 A＝6.3 3.4＋A＝9.7是一个方程，这个方程的解是A＝6.3。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键是求出方程的解，进而解答。 19．× 【分析】根据等式的性质，求出方程的解即可。 【详解】由分析可得： 4.5x＝0 解：4.5x÷4.5＝0÷4.5 x＝0 说明4.5x＝0的解为x＝0，并不是说方程没有解。 故答案为：× 【点睛】本题考查了解方程的计算方法以及对方程解的认识，尤其需要注意当解出来未知数等于0时，不代表方程没有解。 20．√ 【分析】根据等式与方程的关系，方程一定是等式，等式不一定是方程。据此解答即可。 【详解】由分析可得：等式应该包含方程，所以图片表达正确。 故答案为：√ 21．C 【分析】含有未知数的等式叫方程，据此解答。 【详解】A．8x＜5含有未知数，但不是等式，则8x＜5不是方程； B．a＋1含有未知数，但不是等式，则a＋1不是方程； C．y÷2＝0.7既含有未知数，又是等式，则y÷2＝0.7是方程； D．6＋9＝15是等式，但不含未知数，则6＋9＝15不是方程。 故答案为：C 22．A 【分析】A．求方程的解的过程叫做解方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 B．含有未知数的等式叫做方程。 C．根据等式的性质解方程。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】A．方程的解不是解方程，原题说法错误； B．方程一定是等式，原题说法正确； C．解方程的依据是等式的性质，原题说法正确。 故答案为：A 23．A 【分析】3.6－0.5x与3.6x－0.5x相差1.8，可以分成两种情况，第一种，3.6－0.5x减去3.6x－0.5x等于1.8，第二种情况3.6x－0.5x减去3.6－0.5x等于1.8，据此列出两种情况，计算出两种情况中x的数值，进行选择即可。 【详解】由分析可得： 第一种情况： 3.6－0.5x－（3.6x－0.5x）＝1.8 解：3.6－0.5x－3.1x＝1.8 3.6－3.6x＝1.8 3.6x＝3.6－1.8 3.6x＝1.8 x＝1.8÷3.6 x＝0.5 x可能是0.5； 第二种情况： 3.6x－0.5x－（3.6－0.5x）＝1.8 解：3.6x－0.5x－3.6＋0.5x＝1.8 3.6x－3.6＝1.8 3.6x－3.6＋3.6＝1.8＋3.6 3.6x＝5.4 x＝5.4÷3.6 ＝1.5 x可能是1.5； 故答案为：A 24．C 【分析】10元是总价，4是数量，每袋多少元是求单价，根据单价＝总价÷数量解答。 【详解】如果要解决“哥哥花10元买了4袋方便面，每袋多少元？”这个问题，根据单价＝总价÷数量，可以选公式a＝c÷b。 故答案为：C 25．A 【分析】将这个数y乘2.5，表示出它的2.5倍是多少。再将这个数的2.5倍减去12.5，可得到17.5。据此列方程即可。 【详解】一个数的2.5倍比17.5多12.5，这个数是多少？假设这个数是y，列式正确的是2.5y－12.5＝17.5。 故答案为：A 26．A 【分析】设五一班男生做了x颗幸运星，女生做的星星颗数＝男生做的星星颗数×2－38颗，根据男生与女生的数量关系列式即可。 【详解】解：设五一班男生做了x颗幸运星，根据题意可得： 2x－38＝284或284＋38＝2x，故B、C是正确的不符合题意。 故答案为：A 27．B 【分析】先根据等式的性质求出各方程的解，再找出和的解相等的方程即可。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】 解： A． 解： 和的解不相等，不符合题意； B． 解： 和的解相等，符合题意； C． 解： 和的解不相等，不符合题意。 故答案为：B 28．C 【分析】由题中图可知，左边物体质量×左边刻度数＝右边物体质量×右边刻度数。列等量关系为：4×4＝右边物体质量×2，解得右边物体质量为8千克。 【详解】解：设右边口袋放x千克的物体才能平衡。 2x＝4×4 2x＝16 2x÷2＝16÷2 x＝8 故答案为：C 【点睛】本题是利用数学解决物理知识，是生活中常用到的内容。 29．A 【分析】观察线段图可知，x的3倍与15的和是165，据此解答。 【详解】A．3x＋15＝165，表示x的3倍与15的和是165，方程成立； B．3x－15＝165，表示x的3倍与15的差是165，方程不成立； C．3x＝165＋15，表示x的3倍等于165与15的和，方程不成立。 故答案为：A 30．1.8；30；500；0.1 0；1.2；0.6a；8.5x 【详解】略 31．x＝2.4；x＝1.5；x＝4 x＝3；x＝2.5；x＝1.1 【分析】（1）先将原式化简为4.5x－8.1＝2.7，再根据等式的性质1，方程两边同时加上8.1，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以4.5，即可求解； （2）先将原式化简为5.8＋2x＝8.8，再根据等式的性质1，方程两边同时减去5.8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2，即可求解； （3）先将原式化简为9.9x－7.2＝32.4，再根据等式的性质1，方程两边同时加上7.2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9.9，即可求解； （4）根据等式的性质1，方程两边同时减去25.8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以6.5，即可求解； （5）根据等式的性质1，方程两边同时减去6x，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2.5，即可求解； （6）根据等式的性质1，方程两边同时加上6.5x，再同时减去3，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以6.5，即可求解。 【详解】4.5x－2.7×3＝2.7 解：4.5x－8.1＝2.7 4.5x－8.1＋8.1＝2.7＋8.1 4.5x＝10.8 4.5x÷4.5＝10.8÷4.5 x＝2.4 8.2－2.4＋2x＝8.8 解：5.8＋2x＝8.8 5.8＋2x－5.8＝8.8－5.8 2x＝3 2x÷2＝3÷2 x＝1.5 7.2x－7.2＋2.7x＝32.4 解：9.9x－7.2＝32.4 9.9x－7.2＋7.2＝32.4＋7.2 9.9x＝32.4＋7.2 9.9x＝39.6 9.9x÷9.9＝39.6÷9.9 x＝4 25.8＋6.5x＝45.3 解：25.8＋6.5x－25.8＝45.3－25.8 6.5x＝19.5 6.5x÷6.5＝19.5÷6.5 x＝3 6x＋6.25＝8.5x 解：6x＋6.25－6x＝8.5x－6x 2.5x＝6.25 2.5x÷2.5＝6.25÷2.5 x＝2.5 10.15－6.5x＝3 解：10.15－6.5x＋6.5x＝3＋6.5x 3＋6.5x＝10.15 3＋6.5x－3＝10.15－3 6.5x＝7.15 6.5x÷6.5＝7.15÷6.5 x＝1.1 32．610千米 【分析】设普通飞机每小时飞行x千米，则大型喷气式客机每小时飞行（2x－140）千米，根据等量关系：“普通飞机每小时飞行航程的2倍－140千米＝1080千米”列方程解答。 【详解】解：设普通飞机每小时飞行x千米。 2x－140＝1080 2x－140＋140＝1080＋140 2x＝1220 2x÷2＝1220÷2 x＝610 答：普通飞机每小时飞行610千米。 33．55.2元 【分析】单价×数量＝总价，设每个足球x元，根据足球单价×个数＋篮球单价×个数＝总钱数，列出方程解答即可。 【详解】解：设每个足球x元。 6x＋48.6×8＝720 6x＋388.8＝720 6x＋388.8－388.8＝720－388.8 6x＝331.2 6x÷6＝331.2÷6 x＝55.2 答：每个足球55.2元。 34．男生41件；女生23件 【分析】根据“男生做的好事件数比女生的2倍少5件”，可以设女生做了件好事，则男生做了（2－5）件好事； 根据“五（1）班同学共做了好事64”可得出等量关系：女生做好事的件数＋男生做好事的件数＝全班同学做好事的总件数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设女生做了件好事，则男生做了（2－5）件好事。 ＋2－5＝64 3－5＝64 3－5＋5＝64＋5 3＝69 3÷3＝69÷3 ＝23 男生：64－23＝41（件） 答：男生做了41件好事，女生做了23件好事。 35．3年 【分析】根据题意可知，发射第三个“百星”所用时间×13＋2年＝发射第一个“百星”所用的时间，据此设发射第三个“百星”用了x年，列方程为13x＋2＝41，然后解出方程即可。 【详解】解：设发射第三个“百星”用了x年。 13x＋2＝41 13x＋2－2＝41－2 13x＝39 13x÷13＝39÷13 x＝3 答：我国达成第三个“百星”用了3年。 36．54千米 【分析】设乙车每小时行驶千米，根据路程＝速度×时间可知，甲的路程为40×6千米，乙的路程为6x千米，再根据等量关系式甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝564千米，据此列方程，并解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行驶千米。 答：乙车每小时行驶54千米。 37．线段图见详解；270吨；90吨 【分析】以乙仓吨数为标准，画1段线段表示乙仓吨数，甲仓有这样的3段，两个粮仓共有360吨，据此作图。设乙仓存粮x吨，则甲仓存粮3x吨，根据甲仓存粮吨数＋乙仓存粮吨数＝总吨数，列出方程求出x的值是乙仓吨数，乙仓吨数×3＝甲仓吨数。 【详解】 解：设乙仓存粮x吨。 3x＋x＝360 4x＝360 4x÷4＝360÷4 x＝90 90×3＝270（吨） 答：甲、乙两仓各存粮270吨、90吨。 38．20枚；30枚 【分析】设5角硬币的数量为x枚，那么1元硬币的数量就可以用总硬币数50减x来表示。然后根据总金额列出方程0.5x＋（50－x）×1＝40，通过解方程求出x的值，进而得出1元硬币的数量，然后用总数量减5角硬币的数量，即可得1元硬币的数量，据此解答。 【详解】5角＝0.5元 解：设储蓄罐里5角的硬币有x枚，则1元的硬币有（50－x）枚。 0.5x＋（50－x）×1＝40 0.5x＋50－x＝40 50－0.5x＝40 0.5x＝10 0.5x÷0.5＝10÷0.5 x＝20 1元的硬币数量：50－20＝30（枚） 答：储蓄罐里5角的硬币有20枚，1元的硬币有30枚。 1 学科网（北京）股份有限公司 $