精品解析：河南省信阳市羊山中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上期学业水平评估八年级数学试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式，，，中，分式有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，，为边上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 6. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若是一个完全平方式，则m的值（    ） A. 10 B. C. 20 D. 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 若与的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为______． 13. 如图，，若，则的度数是______． 14. 若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 15. 请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题： 乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”． a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等． 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”． （1）判断：___________（填“是”或“不是”）“乐数”； （2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”_____________． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2） （3）； 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 已知平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标______，______，______； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小．在图中画出点P的位置，并简要说明是怎样找到的．（请在同一个平面直角坐标系中完成第（1）（3）题的画图） 19. 如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号，例如：． （1）求的值为__________； （2）求的值，其中． 21. 如图1，，与相交于点，． （1）如图1，求证：垂直平分； （2）如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 22. “数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形而积来解释一些公式．如图（1），通过观察大长方形而积，可得：． （1）如图（2），通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式； （2）现有若干张如图（3）的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形．若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，直接写出的值； （3）图（4）是由图（3）中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； （4）若图（2）也是由图（3）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为17，图（4）中的阴影部分面积为8，求图（2）整个正方形的面积． 23. 在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____________；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：平分； 若，，，，则四边形的面积为____________； （3）拓展应用：如图，在中，，，分别在边、上取点，使四边形是邻等对补四边形，当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，则的度数为____________．（直接写出答案即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期学业水平评估八年级数学试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】因为图A不是轴对称图形，所以A不符合题意； 因为图B不是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C是轴对称图形，所以C符合题意； 因为图D不是轴对称图形，所以D不符合题意． 故选：C． 2. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3. 下列各式，，，中，分式有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可． 【详解】解；由题意得是分式，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 4. 如图，在中，，为边上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一得出，再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 6. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 比较一次项系数，得， 即， 故选：． 9. 若是一个完全平方式，则m的值（    ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据二倍乘积项求解． 这里首末两项是和5的平方，那么中间项为加上或减去和5的乘积的2倍． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得． 故选． 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若与的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】将式子按照多项式乘多项式法则展开后，进行加减计算，令x的系数为0即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含x的一次项， ∴，解得：． 故答案为：3 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 13. 如图，，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，设，由等边对等角可得，然后由三角形外角性质可得，同理可求得，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14. 若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识．根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形的两边， 当为腰时，，不满足三角形三边的关系，故舍去， ∴等腰三角形的三边分别为：，，． ∴等腰三角形的周长为， 故答案为：． 15. 请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题： 乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”． a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等． 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”． （1）判断：___________（填“是”或“不是”）“乐数”； （2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”_____________． 【答案】 ①. 不是 ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了了分式的定义，因式分解的应用． （1）根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”； （2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，推出，由，为正整数，得到或5或10，据此求解即可． 【详解】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，， 故不是“乐数”； （2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为， 由题意得， 整理得，即， ∵，为正整数， ∴或5或10， ∴或4或9（舍去）， ∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或． 故答案为：不是，． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2） （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算同底数幂相乘，积的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式除以单项式，进行计算，即可作答． （3）先结合平方差公式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先整理原式，然后提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出，，三点的坐标______，______，______； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小．在图中画出点P的位置，并简要说明是怎样找到的．（请在同一个平面直角坐标系中完成第（1）（3）题的画图） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），， （3）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出，，三点的坐标； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，． 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短，此时的周长最小，点P即为所求． 19. 如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号，例如：． （1）求的值为__________； （2）求的值，其中． 【答案】（1）； （2）0． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，整式的化简求值： （1）直接根据新定义代值计算即可； （2）根据新定义得到，再根据多项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式． 21. 如图1，，与相交于点，． （1）如图1，求证：垂直平分； （2）如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定． （1）根据等角对等边可求，，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明垂直平分． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知，再通过平行线性质和直角三角形性质可求，利用三角形内角和求，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． 【小问1详解】 证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， 在的垂直平分线上， 垂直平分． 【小问2详解】 证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 即解得， ， 又， 是等边三角形． 22. “数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形而积来解释一些公式．如图（1），通过观察大长方形而积，可得：． （1）如图（2），通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式； （2）现有若干张如图（3）的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形．若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，直接写出的值； （3）图（4）是由图（3）中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； （4）若图（2）也是由图（3）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为17，图（4）中的阴影部分面积为8，求图（2）整个正方形的面积． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，多项式乘多项式与图形面积问题．正确的识图，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）的积，即可得出的值，进一步计算即可； （3）根据阴影部分的面积等于两张型纸片和两张型纸片的面积之和减去大正方形的面积，求解即可； （4）根据题意，得到，，利用完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 解：∵大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴需要A型纸片张，B型纸片2张，C型纸片7张， 即：， ∴； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴； 即：整个正方形的面积为． 23. 在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____________；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：平分； 若，，，，则四边形的面积为____________； （3）拓展应用：如图，在中，，，分别在边、上取点，使四边形是邻等对补四边形，当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，则的度数为____________．（直接写出答案即可） 【答案】（1）； （2）见解析；； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“邻等对补四边形”定义判定即可； （）过作于点，作，交于点，则，又四边形是邻等对补四边形，所以，又，则有，证明，所以，从而得点在角平分线上，即有平分；由得，，所以， 又，平分，则，根据三角形性质得，然后通过四边形的面积为，再代入即可求解； （）分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别求出的大小即可. 【小问1详解】 解：和中对角不互补；符合邻等对补四边形的定义， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：过作于点，作，交于点，如图， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在角平分线上， ∴平分； 由得，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在中，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴；（不满足四边形仅有一组邻边相等，舍去） 当时，如图， 同理；（不满足四边形仅有一组邻边相等，舍去） 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：的大小为或 或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $