专题05 垂线和平行线（必备知识+十三大题型+分层训练）（期末复习讲义）四年级数学上学期苏教版

该小学数学期末复习讲义通过表格系统梳理垂线和平行线的核心考点、复习目标与考情规律，结合分层知识点（线段射线直线、角的认识度量与分类、垂直平行的特征及画法等）构建知识体系，清晰呈现概念内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“基础-重难-拓展”三层练习设计，如基础通关练的角的度量、重难突破练的路线最短问题，结合实际情境培养几何直观与空间观念。方法指导注重操作规范，如用三角尺画平行线的“重合靠紧移动画线”步骤，帮助不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题05 垂线和平行线（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 垂直与平行的概念： 理解垂直是两条直线相交成直角，平行是同一平面内不相交的两条直线。 准准确判断两条直线垂直或平行关系，清晰阐述垂直与平行的定义。 多以选择、判断、填空形式出现，考查对概念的理解和运用。 点到直线的距离： 明确点到直线的距离是点到直线垂直线段的长度，且垂线段最短。 能找出点到直线的垂线段并测量其长度，解决相关实际问题。 常结合图形题考查，检验对距离概念的掌握和应用能力。 垂线的画法： 掌握用三角尺画垂线，做到一条直角边与已知直线重合，直角顶点或另一直角边按需定位。 熟练、规范地画出过直线上或直线外一点的垂线，确保准确性。 以作图题形式为主，重点考察动手操作和规范画图能力。 平行线的画法： 学会利用三角尺和直尺，通过“重合、靠紧、移动、画线”画已知直线的平行线。 能准确画出过直线外一点的已知直线的平行线，动作步骤规范。 多在作图题中出现，考查对平行线画法步骤的掌握。 角的度量： 认识量角器结构（中心点、内外圈刻度、0°刻度线）。 掌握量角步骤：点点重合（中心与顶点对齐）、线边重合（0°刻度线与角的一边对齐）、读刻度（另一边对应刻度）。 熟练认读量角器刻度，准确测量角的大小，误差控制在±2°以内。 能根据角的开口方向选择正确的刻度圈（开口向右读内圈，开口向左读外圈）。 常以填空题、选择题形式出现，如“量出∠1的度数并填空”。 角度的计算： 基础计算：已知角与直角、平角、周角的关系； 组合计算：多个角组合成平角或周角时的未知角度求解； 实际应用：结合钟表、三角尺等工具计算角度。 掌握角度加减法，能快速计算直角、平角、周角的组合问题。 熟练运用三角尺的特殊角度（30°、45°、60°、90°）进行拼角计算。 多以解决问题形式出现，如“用三角尺拼出105°的角，并说明拼法”。 知识点01：线段、射线、直线 特征比较：线段有两个端点，不能向两端延伸，长度是有限的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，长度是无限的；直线没有端点，可以向两端无限延伸，长度也是无限的。 联系：线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分。 两点间的距离：两点之间线段最短，连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 知识点02：角的认识 定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角通常用符号“∠”来表示，角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。 角的大小：角的大小和角的两边张开的大小有关，与两条边的长短无关。 知识点03：角的度量 度量工具：量角器。 计量单位：度，用符号“°”表示。 测量方法：“两重合，一看数”。即量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对应的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 知识点04：角的分类 锐角：大于0°而小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这样的角叫做平角，平角等于180°。 周角：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，周角等于360°。 关系：1周角 = 2平角 = 4直角 知识点05：画角 用量角器画角： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点。 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 用三角尺画角：一副三角尺的度数分别是30°、60°、90°和45°、45°、90°，用一副三角尺还能画出15°（60 - 45或45 - 30）、75°（45 + 30）、105°（60 + 45）、120°（90 + 30）、135°（90 + 45）和150°（90 + 60）的角。 知识点06：垂直 定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 知识点07：画垂线 过直线上一点画已知直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合，从直角的顶点起沿另一条直角边画一条直线，并标上垂直符号。 过直线外一点画已知直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点，沿这条直角边画一条直线，并标上垂直符号。 知识点08：平行 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 平行线的性质：平行线永远不会相交，平行线间的距离处处相等。 画平行线： 可以用直尺和三角尺来画平行线。先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，最后沿三角尺的直角边画一条直线，所画的直线就与已知直线平行。 也可以利用方格纸来画平行线。在方格纸上，横格线（或竖格线）都是互相平行的，沿着横格线（或竖格线）画直线，这些直线就是互相平行的。 题型一 线段、直线、射线的认识及特征 【例1】（24-25四年级上·江苏常州·期末）以下面的射线为一条边，分别画出40°和135°的角。 【答案】见详解 【思路引导】将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合，根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。 【规范解答】 【变式】（23-24四年级上·江苏泰州·期末）（1）以点O为顶点，图中射线为一条边，画一条射线，与其组成一个60°的角。（画在已有射线上方） （2）经过点A分别向角的两条边画垂直线段。 （3）围成的四边形有（    ）个直角，（    ）个钝角。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）2；1 【思路引导】（1）使量角器的中心和已知射线的端点O重合，0°刻度线和已知射线重合，然后在量角器60°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 （2）把三角尺的一条直角边与已知射线重合，沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条边与点A重合；过点A沿三角尺的直角边画一条垂线段；在垂足处标出垂直符号。再用同样的方法画出另一条垂线段并标出垂直符号。 （3）锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°而小于180°的角。据此解答。 【规范解答】（1）（2） 如图： （3）由图可知围成的四边形有2个直角，1个钝角。 题型二 数图形（线段、直线、射线） 【例2】（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，经过2个点可以画1条直线，经过3个点最多可以画3条直线，经过4个点最多可以画6条直线…… 经过5个点最多可以画（    ）条直线，请在下图中画一画。 【答案】10；画图见详解 【思路引导】根据题意，经过2个点可以画1条直线，经过3个点最多可以画1＋2＝3（条）直线，经过4个点最多可以画1＋2＋3＝6（条）直线……，可以发现规律：有几个点，最多可以画的直线条数就是从1依次加到（点数－1）的所有数字的和；所以，经过5个点最多可以画的直线条数，就是从1加到4的所有数字的和； 画图时，先从第一个点出发，可以向剩下的4个点画出4条直线，再从第二个点出发，可以向剩下的3个点画出3条直线，再从第三个点出发，可以向剩下的2个点画出2条直线，最后从第四个点出发，可以向剩下的1个点画出1条直线；同时印证了经过5个点最多可以画的直线条数就是（1＋2＋3＋4）条，据此解答并作图。 【规范解答】1＋2＋3＋4 ＝3＋3＋4 ＝6＋4 ＝10（条） 所以，经过5个点最多可以画10条直线。 画图如下： 【变式】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）图中能数出( )条线段，( )条直线。 【答案】 6 1 【思路引导】直线没有端点，是可以无限延伸的，线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段，据此解答。 【规范解答】根据图示可知，图中单独的线段有3条，分别是AB、BC、CD，由两条单独的线段组成的线段有2条，分别是AC、BD，由三条单独的线段组成的线段有1条，是AD，所以一共有6条线段；直线没有端点，所以图中有1条直线。 题型三 角的概念及表示方法 【例3】（23-24四年级上·山东菏泽·期末）如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 【答案】 ＞ ＜ 【思路引导】如下图，如果敌机继续往前飞，那么炮筒要逆时针方向转动；如果敌机向后方逃跑那么炮筒要顺时针方向转动，画出可能的两个角度与40°对比，据此即可解答。 【规范解答】根据分析可知，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应＞ 40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应＜40°。 【变式】由一点引出的3条射线，可以组成多少个角？由一点引出10条射线，可以组成多少个角？ 【答案】3个；45个 【思路引导】从一点出发引出3条射线，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以3条射线就可以组成2＋1＝3个角； 从一点出发引出10条射线，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，依此可得组成角的个数是9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45个角。 【规范解答】2＋1＝3（个） 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（9＋1）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（个） 答：由一点引出的3条射线，可以组成3个角；由一点引出10条射线，可以组成45个角。 【考点剖析】本题考查了数角的概念，要有总结规律的能力或公式应用的能力。 题型四 数图形（数角） 【例4】（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加( )个角。 【答案】3 【思路引导】 根据题意，图中原有3个角，以点A为端点再画一条射线，图中就会有6个角，增加了3个角；例如：，左图中射线AC与原来的三条射线分别形成∠1、∠2、∠3，这3个角为新增的角。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知， 或 以点A为端点再画一条射线，共6个角，如图上图所示，图中会增加3个角。 【变式】（24-25四年级上·江苏泰州·期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝( )°。 【答案】20 【思路引导】锐角是大于0°小于90°的角，观察发现∠1、∠2、∠3都是锐角，而（∠1＋∠2）、（∠2＋∠3）也是锐角，（∠1＋∠2＋∠3）还是锐角； 因为∠1＝∠2＝∠3，把∠2看成1份，图中所有的锐角有3＋2＋1＝6（个），则份数有（1＋1＋1＋2＋2＋3）份，用200除以总份数，计算出1份的度数，也就是∠2的度数；据此解答。 【规范解答】根据分析： 锐角个数：3＋2＋1＝6（个） 把∠2看成1份 1＋1＋1＋2＋2＋3＝10（份） 200°÷10＝20° 所以∠2＝20°。 题型五 角的度量 【例5】（24-25四年级上·江苏盐城·期末）按要求画一画。 （1）如上图，量一量，∠A＝（    ）°。 （2）一只蚂蚁从点B爬到AD边，怎样走最近？（在图中画出来） 【答案】（1）50 （2）沿着垂直AD的方向爬最短；画图见详解 【思路引导】（1）把量角器的中心与点A重合，0刻度线与AD重合，与AB重合的刻度就是∠A的度数； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短，把三角板一直角边与AD重合，平移三角板，当另一直角边经过点B时，沿三角板这一边从B点向AD划线，标出直角符号；即可作出从B爬到AD最短的距离。 【规范解答】（1）经测量，∠A＝50°； （2） 【变式】（22-23四年级下·江苏淮安·期末）下边是一副三角尺。把一块三角尺的直角与另一块三角尺的一个锐角拼在一起，拼成的最大是 °；把一块三角尺的一个锐角与另一块三角尺的一个锐角拼在一起，拼成的角最小是 °（所拼角不重叠）。 【答案】 150 75 【思路引导】一副三角板中的度数有：90°、60°、45°、30°；最大的角是90°，是直角；最大的锐角是60°，两个三角尺上最小的锐角分别是30°和45°；按照题目要求求出它们的和，即可解答。 【规范解答】90°＋60°＝150° 30°＋45°＝75° 把一块三角尺的直角与另一块三角尺的一个锐角拼在一起，拼成的最大是150°；把一块三角尺的一个锐角与另一块三角尺的一个锐角拼在一起，拼成的角最小是75°。 题型六 平角、周角的认识及特征 【例6】（24-25四年级上·江苏无锡·期末）如图，用线段表示0度到360度（周角）。 （1）请在线段上用点C表示出直角。 （2）点A表示（    ）角，点B表示（    ）角。（填“锐”“直”或“钝”） 【答案】（1）见详解 （2）钝；锐 【思路引导】根据题图，将线段表示的0度到360度，平均分成了4份，每份是360÷4＝90（度），由等于90度的角为直角，据此可标出直角的位置；A点在第一段和第二段之间，表示大于90度，小于180度的角，是钝角；B点在0度和90度之间，是锐角；据此可解此题。 【规范解答】根据分析： （1）直角位置如图C点： （2）点A表示钝角，点B表示锐角。 【变式】（24-25四年级上·江苏南通·期末）操作。 （1）“育才路”经过少年宫，且与永昌路平行。在图中用一条直线表示“育才路”。 （2）永兴佳苑需要铺设天然气管道，主管道在深南路上，怎样铺设最节省材料？把它画出来。 （3）图中的∠1和∠2相等吗？我是这样想的：_______________________________________。 【答案】（1）（2）见详解 （3）相等；理由：∠1和永昌路另一侧的角组成一个平角，∠2和永昌路另一侧的角同样组成一个平角，所以∠1＝∠2 【思路引导】（1）“育才路”经过少年宫，且与永昌路平行，也就是过直线外一点作这条直线的平行线，用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和少年宫重合，用直尺靠紧和少年宫重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过少年宫画直线即可； （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；因此过永兴佳苑作深南路的垂线段即可。过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可； （3）根据图示可知，∠1和永昌路另一侧的角组成一个平角，∠2和永昌路另一侧的角同样组成一个平角，所以∠1和∠2相等，据此解答即可。 【规范解答】（1）（2） （3）图中的∠1和∠2相等，我是这样想的：∠1和永昌路另一侧的角组成一个平角，∠2和永昌路另一侧的角同样组成一个平角，所以∠1和∠2相等。 题型七 用量角器画角 【例7】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）如图所示为学校平面图的一部分。地下有一根水管经过点A，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线表示这根水管。 （2）有一条小路经过点A，并且与水管的夹角为60°，请画出这小路所在的直线。 （3）图中点A处有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，怎样挖才能使其长度最短？请在图中画一条线段表示排水沟。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路引导】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线，过A点作下水道的平行线即为这根水管。 （2）将量角器的中间点和A点重合，0°刻度线和这根水管重合，在量角器上找到60°的点一个点，与点A连接，即可画出与水管的夹角为60°的小路，直线没有端点无限长，据此画出所在的直线。 （3）从直线外一点到这条直线所画的所有线段中垂直线段最短，据此过点A作下水道的垂直线段，即为排水沟最短的长度。 【规范解答】 （1）（2）（3）如图： 【变式】（24-25四年级上·江苏徐州·期末） （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【思路引导】（1）用三角板的一条直角边和彩虹路重合，移动三角板使另一条直角边和江北小区重合，用直尺靠紧和江北小区重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过江北小区画直线即可。 （2）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。过急民小区作育英路的垂线，因此垂线段的位置，就是接管道的位置，据此解答即可。 （3）由题意可知，阳光大道应该在中心广场的右下角，使量角器的中心和中心广场重合，0°刻度线和彩虹路重合，然后在量角器105°刻度线的地方点一个点，最后将这个点与中心广场相连接，所形成的角为105°，据此解答即可。 【规范解答】（1）（2）（3）如图： 题型八 用三角尺画角 【例8】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）用一副完整的三角尺不能拼出（    ）°的角。 A．105 B．75 C．135 D．125 【答案】D 【思路引导】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°，依此即可选择。 【规范解答】A．60°＋45°＝105°，因此用一副三角尺能拼出105°的角。 B．30°＋45°＝75°，因此用一副三角尺能拼出75°的角。 C．90°＋45°＝135°，因此用一副三角尺能拼出135°的角。 D．用一副三角尺不能拼出125°的角。 故答案为：D 【变式】（22-23四年级上·江苏扬州·期末）图中，∠1等于( )°。 【答案】15 【思路引导】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；因此用60°减去45°即可，依此计算。 【规范解答】60°－45°＝15°，即∠1等于15°。 题型九 角度的计算 【例9】（24-25四年级上·安徽合肥·期末）下图中，∠1＝60°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 120 60 120 【思路引导】从图中可知，∠1加∠2是一个平角为180°，用180°减去∠1的度数即可得到∠2的度数；∠2加∠3是一个平角为180°，用180°减去∠2的度数即可得到∠3的度数；∠1加∠4是一个平角为180°，用180°减去∠1的度数即可得到∠4的度数。 【规范解答】∠1＝60° ∠2＝180°－60°＝120° ∠3＝180°－120°＝60° ∠4＝180°－60°＝120° 则∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝60°，∠4＝120°。 【变式】（24-25四年级上·江苏泰州·期末）小刚把一副三角板重叠，使它的顶点和顶点重合于O点（如下图），已知∠1＝25°，求∠2的度数。请写出思考过程。 【答案】25° 【思路引导】根据题意可知：重叠在一起的这两个三角形都是直角三角形，即∠AOB＝∠DOC＝90°，如下图我们可以将中间那个角标为∠3，那么要求∠2度数，用90°－∠3即可，而∠3＝90°－∠1的，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： ∠3：90°－∠1＝90°－25°＝65° ∠2：90°－65°＝25° 答：∠2的度数是25°。 题型十 垂直的特征 【例10】（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图，王大爷家到集市的路有3条路，而且他家离河边不远。 （1）王大爷去集市走（    ）条路最近，你的依据是（      ）。 （2）王大爷每天都去河边挑水，他怎样走最近？请在图中画出来。你的依据是（        ）。 【答案】（1）王大爷去集市走第②条路最近，因为两点之间线段最短 （2）直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，所以王大爷去河边挑水应走垂直线；图见详解 【思路引导】（1）首先明确两点之间线段最短，王大爷去集市走第②条路最近。 （2）直线外一 点到直线的线段中， 垂线段最短，所以王大爷去河边挑水应走垂直线。从王大爷家向河边画垂线即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）王大爷去集市走第②条路最近 因为两点之间线段最短。 （2）王大爷去河边挑水应走垂直线。画图如下： 【变式】（24-25四年级上·江苏·期末）两条直线相交所成的4个角中，如果其中一个角是锐角，那么其余3个角中必有( )个锐角，( )个钝角。如果有一个角是90°，那么这两条直线一定( )。 【答案】 1 2 互相垂直 【思路引导】两条直线相交，如果其中一个角是锐角，作图如下： 由图可知，其余三个角有1个锐角，2个钝角。 两条直线相交，如果其中一个角是90°，作图如下： 由图可知，这两条直线互相垂直。 【规范解答】两条直线相交所成的4个角中，如果其中一个角是锐角，那么其余3个角中必有1个锐角，2个钝角。如果有一个角是90°，那么这两条直线一定互相垂直。 题型十一 画垂线 【例11】（24-25四年级上·河南新乡·期末）过点A分别画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【思路引导】过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【规范解答】 【变式】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）快递行业为人们的生活带来了极大的便利。快递员小张需要将一批包裹从A仓库送到幸福路。 （1）请你画出小张从A仓库到幸福路最短的路线。 （2）过A点画出与幸福路平行的直线。 （3）以B点为顶点画一条射线，使其与幸福路相交成80°的角。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路引导】（1）直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要做出这个一点到直线的垂线段即可，过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 （3）用量角器画角：将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合，根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。 【规范解答】 （1）（2）（3）如图： 题型十二 平行的特征及性质 【例12】（23-24四年级上·安徽合肥·期末）下图是某街区的平面示意图。 （1）和人民路平行的是（    ）路，和人民路垂直的是（    ）路。 （2）银杏小区需要铺设一条水管，主管道在幸福路上，怎样铺设最节省材料？请你在图中画出来。 【答案】（1）幸福；光明 （2）图见详解 【思路引导】（1）永不相交的两条直线互相平行，人民路所在的直线与幸福路所在的直线不会有交点，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，人民路与光明路相交且两条所在的直线相交成直角。据此解答。 （2）要使水管最节省材料，要使其最短，即从银杏小区向幸福路作垂线段，将直角三角尺的一条直角边与幸福路重合，使得银杏小区在另一条直角边上，沿着这条直角边过银杏小区所在点的位置向幸福路画线段，即为垂线段，这条垂线段即为铺设管道的路线。 【规范解答】（1）和人民路平行的是幸福路，和人民路垂直的是光明路。 （2）作图如下： 【变式】（22-23四年级上·江苏镇江·期末）仔细读下面四句话，一共有（    ）句是正确的。 ①长方形相邻的两条边互相垂直。 ②两条线段互相平行，那么这两条线段同样长。 ③同一平面内，两条直线不是互相平行就是互相垂直。 ④180°的角是平角，小于180°的角是钝角。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】①因为长方形的四个角都是直角，所以长方形相邻的两条边互相垂直； ②两条线段互相平行，这两条线段不一定一样长； ③同一平面内两条直线的位置有两种：平行、相交；同一平面内两条直线的位置关系只有两种平行和相交，垂直只是相交中的一种特殊情况； ④大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，所以小于180°的角可能是锐角、直角或者钝角。 据此分析这四句话的对错。 【规范解答】①长方形相邻的两条边互相垂直，说法正确； ②两条线段互相平行，那么这两条线段同样长，说法错误； ③同一平面内，两条直线不是互相平行就是互相垂直，说法错误； ④180°的角是平角，小于180°的角是钝角，说法错误。 所以共有1句是正确的。 故答案为：A 题型十三 画平行线 【例13】（24-25四年级上·河南平顶山·期末）画一画，填一填。 （1）量一量，如图的角是___________。 （2）经过点画出边的平行线。 （3）经过点分别向角的两条边画垂线。 （4）围成的四边形里有___________个直角和___________个钝角。 【答案】（1）120° （2）（3）见详解 （4）2；1 【思路引导】（1）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一直角边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （3）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （4）直角三角尺上最大的那个角就是直角，用三角尺的直角进行对比，大于直角的是钝角，小于直角的是锐角。据此数出各个角的数量。 【规范解答】（1）量一量，如图的角是120°。 （2）（3）作图如下： （4）围成的四边形里有2个直角和1个钝角。 【变式】（24-25四年级上·江苏扬州·期末）如图是某市某街区的平面示意图。 （1）用量角器量出∠1＝（    ）°。 （2）解放路在胜利小学西面，与和平路平行，且经过图书馆，在图中画一条直线表示解放路。 （3）胜利小区需铺设天然气管道，主管道在华山路上，怎样铺最节省材料？请在图中画出来。 【答案】（1）50 （2）（3）见详解 【思路引导】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）平面上方向为上北下南、左西右东，那么解放路在胜利小学西面也就是在胜利小学的左面，注意过图书馆；平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与和平路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移至与图书馆的点重合时，沿直角边画出另一条直线； （3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；那么过胜利小区的点，作一条垂线到华山路即可；过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线（华山路）重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此解答。 【规范解答】根据分析： （1）用量角器量出∠1＝50°。 （2）（3）如图： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）下图是一个破损量角器测量角的大小，这个角的度数是（    ）。 A．60° B．150° C．90° 【答案】C 【思路引导】角的两条边对应度数读出来，再相减即为答案；这里量角器有外圈度数，也有内圈度数，选择一种读数方法即可；我们可以读外圈度数，外圈显示这个角是从60°到150°，用150°减去60°即为这个角的度数。 【规范解答】150°－60°＝90° 这个角的度数是90°。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·江苏常州·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．15×4÷15×4＝1。 B．用滴管滴水，1毫升水大约有100滴。 C．过直线外一点可以画无数条直线与已知直线垂直。 D．把写有1～9的数字卡片打乱顺序分别反扣在桌上，从中任意摸出一张，摸出单数的可能性大。 【答案】D 【思路引导】A．计算出结果，再根据计算结果判定； B．用滴管滴水，1毫升水大约有20滴； C．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； D．把写有1～9的数字卡片打乱顺序分别反扣在桌上，1～9中单数有5个，双数有4个，5＞4，比较单数与双数的数量，数量多的摸出的可能性大。 【规范解答】A．15×4÷15×4＝16； B．用滴管滴水，1毫升水少于100滴； C．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； D．把写有1～9的数字卡片打乱顺序分别反扣在桌上，从中任意摸出一张，1～9中单数有5个，双数有4个，5＞4，摸出单数的可能性大。 故答案为：D 3．（24-25四年级上·江苏南京·期末）把一张正方形纸对折、再对折，打开后的折痕（    ）。 A．一定互相垂直 B．一定互相平行 C．可能平行也可能垂直 【答案】C 【思路引导】 如果两次都朝着一个方向对折，折痕互相平行；如果对折方向不同，折痕互相垂直，如图： 【规范解答】 把一张正方形纸对折、再对折，打开后的折痕可能平行也可能垂直。 故答案为：C 4．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）下面各组直线中，互相垂直的是( )，互相平行的是( )。（填序号） 【答案】 ③ ② 【思路引导】同一平面内，不相交的两条直线互相平行。两条直线相交成90度，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。据此解答。 【规范解答】根据分析，互相垂直的是③，互相平行的是②。 5．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）1个平角和1个钝角的差一定是( )角；1个直角和1个锐角的和一定是( )角。 【答案】 锐 钝 【思路引导】平角是180°，钝角是大于90°小于180°的角，所以1个平角和1个钝角的差一定是小于90°的，也就是锐角；直角是90°，锐角是大于0°小于90°的角，所以1个直角和1个锐角的和一定大于90°，也就是钝角。 【规范解答】1个平角和1个钝角的差一定是锐角；1个直角和1个锐角的和一定是钝角。 6．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图①中，量角器测量的∠1＝( )°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝( )°。 【答案】 80 75 【思路引导】根据图示，从量角器外圈（内圈）分别读出两个数，然后再进行相减，图中量角器测量的∠1＝120°－40°＝80°；一副三角尺度数是：90°、45°、30°、60°，图中用一副三角尺拼成的∠2＝30°＋45°＝75°；据此解答即可。 【规范解答】120°－40°＝80° 30°＋45°＝75° 下面图①中，量角器测量的∠1＝80°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝75°。 7．（24-25四年级上·江苏南通·期末）下图中的∠1和∠2相等吗？为什么？请说明理由。 【答案】相等；∠1和∠2都和同一个角加起来等于一个平角。 【思路引导】平角为180°，设和中间的角为，观察图可以发现∠1与∠3组成平角，那么∠1＝180°－∠3，∠2和∠3组成平角，那么∠2＝180°－∠3，据此解答即可。 【规范解答】由分析知， ∠1＝180°－∠3， ∠2＝180°－∠3， 所以∠1＝∠2， 所以和相等，因为∠1和∠2都和同一个角加起来等于一个平角。 8．（23-24四年级上·江苏常州·期末）有一个四边形ABCD（如下图） （1）经过A点向CD边画垂线。 （2）经过C点画AB的平行线。 （3）量出∠B＝（    ）°。 （4）量出B点到AD边的距离是（    ）毫米。 【答案】（1）（2）见详解 （3）115° （4）20 【思路引导】（1）过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行；。 （3）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【规范解答】 （1）（2）如图： （3）经测量∠B＝115°。 （4）B点到AD边的距离是如图垂线的距离 经测量B点到AD边的距离是20毫米。 9．（23-24四年级上·广东佛山·期末）张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示： （1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（    ），∠4＝（    ）。 （2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（    ）。 （3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。 【答案】（1）45°；50° （2）这两个角相等 （3）见详解 【思路引导】（1）量角器可以分别量出∠2、∠4的度数（把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。 （2）根据量出的各角度数，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同，据此解答。 （3）根据以上发现，即可完成如图的台球运动线路图。 【规范解答】（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，经测量∠2＝45°，∠4＝50°。 台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，发现这两个角相等。 （3）如图： 10．经过点“A”画出已知直线的垂线。 【答案】见详解 【思路引导】垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线。 【规范解答】 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如图，小明、小亮和小强三人过马路，他们选择了不同的路线，（    ）选择的路线最短。 A．小明 B．小亮 C．小强 【答案】B 【思路引导】要走过人行横道，把人行横道的另一端看成一条直线，根据点到直线的距离可知，点到直线的距离，垂线段最短；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，小亮走的是垂线，小明和小强走的是斜线；所以小亮选择的路线最短。 故答案为：B 2．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了（    ）条射线。 A．4 B．3 C．2 【答案】A 【思路引导】 射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。一条直线上有2个点，如图：，以A点为端点的射线有2条，以B点为端点的射线有2条，一共有（2＋2＝4）条。 【规范解答】一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了4条射线。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）钟面上9时30分，时针与分针所成的夹角是（    ）。 A．75度 B．90度 C．105度 D．120度 【答案】C 【思路引导】把钟面看作一个周角是360°，已知钟面上一共有12个大格，每个大格是360°÷12＝30°；时针走过一个大格表示1小时，9时30分时针走在9和10的中间，分针指着6，时针与分针的夹角刚好是3个大格加半格，据此用每个大格的度数30°乘3个大格再加上半格的度数（30°÷2），即得到夹角的度数；据此解答。 【规范解答】360°÷12＝30° 30°×3＋30°÷2 ＝90°＋15° ＝105° 所以，时针与分针所成的夹角是105度。 故答案为：C 4．（25-26四年级上·江苏南京·期末）看图填一填。 已知∠2＝60°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 120 120 60 【思路引导】根据图示可知，∠2和∠1组成一个平角，所以用180°减去∠2的度数，即可求出∠1的度数；∠1和∠4组成一个平角，所以用180°减去∠1的度数，即可求出∠4的度数；∠4和∠3组成一个平角，所以用180°减去∠4的度数，即可求出∠3的度数。据此解答。 【规范解答】∠1：180°－60°＝120° ∠4：180°－120°＝60° ∠3：180°－60°＝120° 所以已知∠2＝60°，∠1＝120°，∠3＝120°，∠4＝60°。 5．（24-25四年级上·贵州贵阳·期末）如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 【答案】 150 钝 75 锐 135 【思路引导】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。由图可知，∠1是直角和三角尺上60°的角组成的，直接用加法即可算出∠1的度数；∠2是三角尺上45°的角和三角尺上30°的角组成的，直接用加法即可算出∠2的度数；大于0°小于90°的角叫作锐角，直角的度数等于90°，大于90°小于180°的角叫作钝角；用一副三角板去拼角，直接把三角尺上的两个角相加或相减即可算出可以拼出的角的度数。 【规范解答】∠1＝90°＋60°＝150°，∠1是钝角。 ∠2＝45°＋30°＝75°，∠2是锐角。 90°＋45°＝135°，即一副三角板可以拼出135°的角。 60°＋45°＝105°，即一副三角板可以拼出105°的角。 90°＋30°＝120°，即一副三角板可以拼出120°的角。 故∠1＝150°，是钝角。∠2＝75°，是锐角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出135°。（答案不唯一） 6．（23-24四年级上·贵州毕节·期末）钟面上6时整，时针和分针所形成的角是( )度，这个角是( )角。 【答案】 180 平 【思路引导】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°；6时整，时针和分针之间有6个大格，则时针和分针的夹角是6个30°；根据角的分类可知，等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，大于90°且小于180°的角是钝角，等于180°的是平角，等于360°的是周角。 【规范解答】，所以钟面上6时整，时针和分针所形成的角是180度，这个角是平角。 7．（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，有一块梯形的草坪。 （1）用量角器量一量，∠B＝（    ）°。 （2）过点D画出边AB的平行线。 （3）从点A走到对边CD，怎样走最近？（在图中画出来） 【答案】（1）110°； （2）（3）见详解 【思路引导】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点B重合， 0°刻度线与角的一条AB边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）固定三角尺，使一条直角边与AB边重合，用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺平移到D点，沿直角边画出另一条直线即可画出过点D与边AB平行的直线； （3）CD边外一点A与这条直线所有点的连线中，垂线段最短即距离最近，所以只要做出点A到直线CD的垂线段即可。过直线外一点作垂线的方法：把三角尺的一条直角边与CD边重合沿着直线移动三角尺，使直线外的点A在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。A点到垂足部分就为垂线段。 【规范解答】（1）∠B＝110°； （2）（3）如下图所示： 答：从A点沿着垂线段AF走路线最近。 8．（23-24四年级上·四川巴中·期末）如图所示，一张画有一个角的纸损坏了，请你画一画想办法量出角的度数。这个角是（    ）度。 【答案】画一画见详解；60 【思路引导】角的两边是以角的顶点为公共端点的两条射线，反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角器量出这个角的度数。 【规范解答】 根据用量角器量角的方法：这个角量出来是60度。 9．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）如图是某街区的平面示意图。 （1）与人民路平行的是（    ）路。 （2）用量角器量出∠1＝（    ）度。 （3）庐州小区安装供水设备，需要连接供水主管道，供水主管道在光明路上，怎样铺设连接管道最节省材料，请在示意图中画出来。 【答案】（1）和平 （2）60 （3）见详解 【思路引导】（1）同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。根据图示可知，解放路垂直于人民路和和平路，所以与人民路平行的是和平路，据此解答； （2）角的度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈。据此用量角器量出∠1的度数； （3）过直线外一点和已知直线的所有连线中，垂线段最短，则过泸州小区作光明路的垂线段即可。用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和泸州小区点重合，过泸州小区点沿直角边向已知直线画直线即可。 【规范解答】（1）与人民路平行的是和平路。 （2）∠1＝60度。 （3）如图所示： 10．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）小李家附近有一条河。 （1）请画出小李家到河边最近的路线。 （2）小李想到河对岸去，请量出小李家到桥头的图上距离是（    ）厘米。 【答案】（1）见详解 （2）1.5 【思路引导】（1）从直线外一点到直线所有的连线中，垂线段最短。从小李家作河岸的垂线段即可；过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过这个点时，沿这条直角边画的直线就是过这个点作的直线的垂线。 （2）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间，线段最短；据此连接小李家和桥头两点并测量距离即可；测量时将点小李家与直尺的0刻度线对齐，使直尺与连接小李家和桥头两点的线段重合，桥头对应直尺的刻度就是两点间的距离。 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图所示： 小李家到桥头的图上距离是1.5厘米。（答案不唯一） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24四年级上·江苏苏州·期末）一张长方形纸如图那样折起，已知，那么( )。 【答案】120 【思路引导】观察图片可以发现，把这张长方形纸展开，以∠1、∠2的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°；当把纸折起来后，∠1盖住了一个与它度数相等的角，所以展开后，就是∠1＋∠1＋∠2＝180°，已知∠1＝30°，据此可以求出∠2的度数。 【规范解答】根据分析可得，∠2的度数是： 180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 【考点剖析】本题的关键是理解∠1盖住了一个和它相等的角。 2．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）如图，把一个正方形沿虚线对折、再对折，然后打开后从AB处剪开，得到一个五边形。这个五边形中的两个钝角都是( )°。 【答案】135 【思路引导】沿虚线AB对折后形成的两部分完全相同，两个角同样大，平分90度角。形成的钝角＝直角＋对折形成的小角。 【规范解答】在图中增加∠1和∠2。 ∠1＝∠2且∠1＋∠2＝90度。 ∠1＝∠2＝45度。 形成的钝角＝直角＋对折形成的小角＝90＋45＝135度。 【考点剖析】1、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形。 2、图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称。 3．（23-24四年级上·江苏南京·期末）经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线……，经过7个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 【答案】21 【思路引导】2个点确定一条直线，每增加一个点，原来的点到新增的点都会增加一条直线，故3个点比2个点增加了1个点，增加了2条直线；4个点比3个点增加了1个点，增加了3条直线；5个点比4个点增加了4条直线；6个点比5个点增加了5条直线；故7个点比6个点增加了6条直线。 【规范解答】1＋2＋3＋4＋5＋6 ＝3＋3＋4＋5＋6 ＝6＋4＋5＋6 ＝10＋5＋6 ＝15＋6 ＝21 故7个点中的每两个点最多画21条直线。 【考点剖析】通过画图，正确的找得到其中的规律是解答本题的关键。 4．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）把长方形纸折叠后（如图），∠2＝75°，则∠1等于( )°。 【答案】30 【思路引导】折叠后与∠2重叠部分的角度也是75°，∠2、与∠2重叠的部分和∠1构成一个平角，由此解答。 【规范解答】180°－75°×2 ＝180°－150° ＝30° 【考点剖析】本题考查了简单的折叠问题的应用，对折重叠的两个角相等是解题的关键。 5．图中有( )条线段，( )条直线，( )条射线。我发现：数射线条数，先数由A点发出的射线有( )条，再数由B点发出的射线有( )条，最后数由C点发出的射线有( )条，共有( )条射线。 【答案】 2 1 6 2 3 1 6 【思路引导】线段有两个端点，可以度量；射线有一个端点，一端无限延长，不可度量；直线没有端点，两端无限延长，不可度量；据此解答。 【规范解答】图中有2条线段：AB、BC；1条直线；6条射线； 发现：由A点出发的射线有2条，由B点出发的射线有3条，由C点出发的射线有1条；共6条。 【考点剖析】本题考查直线、线段与射线的特性，关键掌握射线有一个端点，一端无限延长。 6．钟面上5时整，时针与分针的夹角是( )度；从走到，分钟转动了( )度。 【答案】 150° 120° 【思路引导】在钟面上，每个格子对应的圆心角是360°÷60；当钟面上5时整时，时针指向5，分针指向12，时针和分针之间的格子数是25，用格子数乘每个格子数的圆心角度数就可以求出角度；从走到，共走了20个格子，据此解答。 【规范解答】（1）360°÷60×25 ＝6°×25 ＝150° （2）360°÷60×20 ＝6°×20 ＝120° 【考点剖析】本题考查的是钟面角的相关计算，知道在某个时间时，时针和分针分别指向哪里、每个格子度数的求法是解本题的关键。 7．用一张长方形的纸怎么折能得到和的角？在下面画一画，试一试，写出你的想法。 【答案】将一条边折叠到与它相邻的边重合即可得到，画图见解析。 【思路引导】根据长方形的特征和性质，长方形的四个角都是直角，为，直角的一半是，让直角对折即可，而135°的角需要45°角加上90°的角即可。 【规范解答】长方形的四个角都是直角，为，直角的一半是，将一条边折叠到与它相邻的边重合，可得到一个角。如图，可得为，则可得到。 【考点剖析】本题考查了角的组成和学生动手能力，掌握长方形的特性是解题的关键。 8．在桌面上任意摆两根小棒，会有哪几种情况？请你把它们画下来．并根据其特点进行分类，你可以吗？ 【答案】如图所示 【规范解答】【解答】答案不唯一；有多重情况，例如：垂直、相交、平行、相离等等，答案不唯一． 故答案为是不唯一． 【思路引导】此题考查的是垂直，两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直． 9．如图 （1）过点A画直线的垂线。 （2）量出点A到已知直线的距离为（    ）。 （3）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成80°的角。 【答案】（1）（3）见详解；（2）2厘米 【思路引导】（1）①用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可； （2）利用刻度尺测量出点A与垂足之间的线段的长度，就是点A到直线的距离； （3）①量角器的中心点对准射线的端点B，0刻度线对准已知直线； ②对准量角器的刻度线80°点一个点（找点）；   ③把点和点B连接，然后标出角的度数即可。 【规范解答】作图如下： 【考点剖析】此题考查了画指定度数的角和画垂线以及测量线段的方法。 10．假如直线AB是一条公路，公路同侧有甲、乙两个村庄(如下图所示).现要在公路上修建一个公共汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短.则车站应该建在什么地方？ 【答案】如图所示: 【规范解答】如果甲、乙两村分别在AB的两侧(如下左图)，因为两点之间线段最短，那么汽车站应建在C处.现在，甲、乙两村在公路的同侧，汽车站应建在什么位置呢？我们不妨把甲村(或乙村)搬到公路的另一侧(搬的时候，不能改变它到公路的距离)，如右图所示，甲村到P点的距离与丙到P点的距离一定要相等.连接乙村与丙，与AB交于C点，此时两个村子的人到汽车站的路线之和最短，汽车站应设在C处.选择最短路线，可以借助辅助线来解决. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 垂线和平行线（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 垂直与平行的概念： 理解垂直是两条直线相交成直角，平行是同一平面内不相交的两条直线。 准准确判断两条直线垂直或平行关系，清晰阐述垂直与平行的定义。 多以选择、判断、填空形式出现，考查对概念的理解和运用。 点到直线的距离： 明确点到直线的距离是点到直线垂直线段的长度，且垂线段最短。 能找出点到直线的垂线段并测量其长度，解决相关实际问题。 常结合图形题考查，检验对距离概念的掌握和应用能力。 垂线的画法： 掌握用三角尺画垂线，做到一条直角边与已知直线重合，直角顶点或另一直角边按需定位。 熟练、规范地画出过直线上或直线外一点的垂线，确保准确性。 以作图题形式为主，重点考察动手操作和规范画图能力。 平行线的画法： 学会利用三角尺和直尺，通过“重合、靠紧、移动、画线”画已知直线的平行线。 能准确画出过直线外一点的已知直线的平行线，动作步骤规范。 多在作图题中出现，考查对平行线画法步骤的掌握。 角的度量： 认识量角器结构（中心点、内外圈刻度、0°刻度线）。 掌握量角步骤：点点重合（中心与顶点对齐）、线边重合（0°刻度线与角的一边对齐）、读刻度（另一边对应刻度）。 熟练认读量角器刻度，准确测量角的大小，误差控制在±2°以内。 能根据角的开口方向选择正确的刻度圈（开口向右读内圈，开口向左读外圈）。 常以填空题、选择题形式出现，如“量出∠1的度数并填空”。 角度的计算： 基础计算：已知角与直角、平角、周角的关系； 组合计算：多个角组合成平角或周角时的未知角度求解； 实际应用：结合钟表、三角尺等工具计算角度。 掌握角度加减法，能快速计算直角、平角、周角的组合问题。 熟练运用三角尺的特殊角度（30°、45°、60°、90°）进行拼角计算。 多以解决问题形式出现，如“用三角尺拼出105°的角，并说明拼法”。 知识点01：线段、射线、直线 特征比较：线段有两个端点，不能向两端延伸，长度是有限的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，长度是无限的；直线没有端点，可以向两端无限延伸，长度也是无限的。 联系：线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分。 两点间的距离：两点之间线段最短，连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 知识点02：角的认识 定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角通常用符号“∠”来表示，角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。 角的大小：角的大小和角的两边张开的大小有关，与两条边的长短无关。 知识点03：角的度量 度量工具：量角器。 计量单位：度，用符号“°”表示。 测量方法：“两重合，一看数”。即量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对应的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 知识点04：角的分类 锐角：大于0°而小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这样的角叫做平角，平角等于180°。 周角：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，周角等于360°。 关系：1周角 = 2平角 = 4直角 知识点05：画角 用量角器画角： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点。 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 用三角尺画角：一副三角尺的度数分别是30°、60°、90°和45°、45°、90°，用一副三角尺还能画出15°（60 - 45或45 - 30）、75°（45 + 30）、105°（60 + 45）、120°（90 + 30）、135°（90 + 45）和150°（90 + 60）的角。 知识点06：垂直 定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 知识点07：画垂线 过直线上一点画已知直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合，从直角的顶点起沿另一条直角边画一条直线，并标上垂直符号。 过直线外一点画已知直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点，沿这条直角边画一条直线，并标上垂直符号。 知识点08：平行 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 平行线的性质：平行线永远不会相交，平行线间的距离处处相等。 画平行线： 可以用直尺和三角尺来画平行线。先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，最后沿三角尺的直角边画一条直线，所画的直线就与已知直线平行。 也可以利用方格纸来画平行线。在方格纸上，横格线（或竖格线）都是互相平行的，沿着横格线（或竖格线）画直线，这些直线就是互相平行的。 题型一 线段、直线、射线的认识及特征 【例1】（24-25四年级上·江苏常州·期末）以下面的射线为一条边，分别画出40°和135°的角。 【变式】（23-24四年级上·江苏泰州·期末）（1）以点O为顶点，图中射线为一条边，画一条射线，与其组成一个60°的角。（画在已有射线上方） （2）经过点A分别向角的两条边画垂直线段。 （3）围成的四边形有（    ）个直角，（    ）个钝角。 题型二 数图形（线段、直线、射线） 【例2】（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，经过2个点可以画1条直线，经过3个点最多可以画3条直线，经过4个点最多可以画6条直线…… 经过5个点最多可以画（    ）条直线，请在下图中画一画。 【变式】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）图中能数出( )条线段，( )条直线。 题型三 角的概念及表示方法 【例3】（23-24四年级上·山东菏泽·期末）如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应( )（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 【变式】由一点引出的3条射线，可以组成多少个角？由一点引出10条射线，可以组成多少个角？ 题型四 数图形（数角） 【例4】（24-25四年级上·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加( )个角。 【变式】（24-25四年级上·江苏泰州·期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝( )°。 题型五 角的度量 【例5】（24-25四年级上·江苏盐城·期末）按要求画一画。 （1）如上图，量一量，∠A＝（    ）°。 （2）一只蚂蚁从点B爬到AD边，怎样走最近？（在图中画出来） 【变式】（22-23四年级下·江苏淮安·期末）下边是一副三角尺。把一块三角尺的直角与另一块三角尺的一个锐角拼在一起，拼成的最大是 °；把一块三角尺的一个锐角与另一块三角尺的一个锐角拼在一起，拼成的角最小是 °（所拼角不重叠）。 题型六 平角、周角的认识及特征 【例6】（24-25四年级上·江苏无锡·期末）如图，用线段表示0度到360度（周角）。 （1）请在线段上用点C表示出直角。 （2）点A表示（    ）角，点B表示（    ）角。（填“锐”“直”或“钝”） 【变式】（24-25四年级上·江苏南通·期末）操作。 （1）“育才路”经过少年宫，且与永昌路平行。在图中用一条直线表示“育才路”。 （2）永兴佳苑需要铺设天然气管道，主管道在深南路上，怎样铺设最节省材料？把它画出来。 （3）图中的∠1和∠2相等吗？我是这样想的：_______________________________________。 题型七 用量角器画角 【例7】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）如图所示为学校平面图的一部分。地下有一根水管经过点A，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线表示这根水管。 （2）有一条小路经过点A，并且与水管的夹角为60°，请画出这小路所在的直线。 （3）图中点A处有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，怎样挖才能使其长度最短？请在图中画一条线段表示排水沟。 【变式】（24-25四年级上·江苏徐州·期末） （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 题型八 用三角尺画角 【例8】（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）用一副完整的三角尺不能拼出（    ）°的角。 A．105 B．75 C．135 D．125 【变式】（22-23四年级上·江苏扬州·期末）图中，∠1等于( )°。 题型九 角度的计算 【例9】（24-25四年级上·安徽合肥·期末）下图中，∠1＝60°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【变式】（24-25四年级上·江苏泰州·期末）小刚把一副三角板重叠，使它的顶点和顶点重合于O点（如下图），已知∠1＝25°，求∠2的度数。请写出思考过程。 题型十 垂直的特征 【例10】（24-25四年级上·河南平顶山·期末）如图，王大爷家到集市的路有3条路，而且他家离河边不远。 （1）王大爷去集市走（    ）条路最近，你的依据是（      ）。 （2）王大爷每天都去河边挑水，他怎样走最近？请在图中画出来。你的依据是（        ）。 【变式】（24-25四年级上·江苏·期末）两条直线相交所成的4个角中，如果其中一个角是锐角，那么其余3个角中必有( )个锐角，( )个钝角。如果有一个角是90°，那么这两条直线一定( )。 题型十一 画垂线 【例11】（24-25四年级上·河南新乡·期末）过点A分别画已知直线的垂线。 【变式】（24-25四年级上·江苏宿迁·期末）快递行业为人们的生活带来了极大的便利。快递员小张需要将一批包裹从A仓库送到幸福路。 （1）请你画出小张从A仓库到幸福路最短的路线。 （2）过A点画出与幸福路平行的直线。 （3）以B点为顶点画一条射线，使其与幸福路相交成80°的角。 题型十二 平行的特征及性质 【例12】（23-24四年级上·安徽合肥·期末）下图是某街区的平面示意图。 （1）和人民路平行的是（    ）路，和人民路垂直的是（    ）路。 （2）银杏小区需要铺设一条水管，主管道在幸福路上，怎样铺设最节省材料？请你在图中画出来。 【变式】（22-23四年级上·江苏镇江·期末）仔细读下面四句话，一共有（    ）句是正确的。 ①长方形相邻的两条边互相垂直。 ②两条线段互相平行，那么这两条线段同样长。 ③同一平面内，两条直线不是互相平行就是互相垂直。 ④180°的角是平角，小于180°的角是钝角。 A．1 B．2 C．3 D．4 题型十三 画平行线 【例13】（24-25四年级上·河南平顶山·期末）画一画，填一填。 （1）量一量，如图的角是___________。 （2）经过点画出边的平行线。 （3）经过点分别向角的两条边画垂线。 （4）围成的四边形里有___________个直角和___________个钝角。 【变式】（24-25四年级上·江苏扬州·期末）如图是某市某街区的平面示意图。 （1）用量角器量出∠1＝（    ）°。 （2）解放路在胜利小学西面，与和平路平行，且经过图书馆，在图中画一条直线表示解放路。 （3）胜利小区需铺设天然气管道，主管道在华山路上，怎样铺最节省材料？请在图中画出来。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）下图是一个破损量角器测量角的大小，这个角的度数是（    ）。 A．60° B．150° C．90° 2．（24-25四年级上·江苏常州·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．15×4÷15×4＝1。 B．用滴管滴水，1毫升水大约有100滴。 C．过直线外一点可以画无数条直线与已知直线垂直。 D．把写有1～9的数字卡片打乱顺序分别反扣在桌上，从中任意摸出一张，摸出单数的可能性大。 3．（24-25四年级上·江苏南京·期末）把一张正方形纸对折、再对折，打开后的折痕（    ）。 A．一定互相垂直 B．一定互相平行 C．可能平行也可能垂直 4．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）下面各组直线中，互相垂直的是( )，互相平行的是( )。（填序号） 5．（24-25四年级上·河南平顶山·期末）1个平角和1个钝角的差一定是( )角；1个直角和1个锐角的和一定是( )角。 6．（24-25四年级上·江苏徐州·期末）下面图①中，量角器测量的∠1＝( )°，图②中，用这副三角尺拼成的∠2＝( )°。 7．（24-25四年级上·江苏南通·期末）下图中的∠1和∠2相等吗？为什么？请说明理由。 8．（23-24四年级上·江苏常州·期末）有一个四边形ABCD（如下图） （1）经过A点向CD边画垂线。 （2）经过C点画AB的平行线。 （3）量出∠B＝（    ）°。 （4）量出B点到AD边的距离是（    ）毫米。 9．（23-24四年级上·广东佛山·期末）张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示： （1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（    ），∠4＝（    ）。 （2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（    ）。 （3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。 10．经过点“A”画出已知直线的垂线。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·贵州毕节·期末）如图，小明、小亮和小强三人过马路，他们选择了不同的路线，（    ）选择的路线最短。 A．小明 B．小亮 C．小强 2．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）一条直线上有2个点，这2个点把这条直线分成了（    ）条射线。 A．4 B．3 C．2 3．（24-25四年级上·江苏泰州·期末）钟面上9时30分，时针与分针所成的夹角是（    ）。 A．75度 B．90度 C．105度 D．120度 4．（25-26四年级上·江苏南京·期末）看图填一填。 已知∠2＝60°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 5．（24-25四年级上·贵州贵阳·期末）如图，∠1＝( )°，是( )角。∠2＝( )°，是( )角。像这样用一副三角板去拼角，还可以拼出( )°。 6．（23-24四年级上·贵州毕节·期末）钟面上6时整，时针和分针所形成的角是( )度，这个角是( )角。 7．（24-25四年级上·江苏南通·期末）如图，有一块梯形的草坪。 （1）用量角器量一量，∠B＝（    ）°。 （2）过点D画出边AB的平行线。 （3）从点A走到对边CD，怎样走最近？（在图中画出来） 8．（23-24四年级上·四川巴中·期末）如图所示，一张画有一个角的纸损坏了，请你画一画想办法量出角的度数。这个角是（    ）度。 9．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）如图是某街区的平面示意图。 （1）与人民路平行的是（    ）路。 （2）用量角器量出∠1＝（    ）度。 （3）庐州小区安装供水设备，需要连接供水主管道，供水主管道在光明路上，怎样铺设连接管道最节省材料，请在示意图中画出来。 10．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）小李家附近有一条河。 （1）请画出小李家到河边最近的路线。 （2）小李想到河对岸去，请量出小李家到桥头的图上距离是（    ）厘米。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24四年级上·江苏苏州·期末）一张长方形纸如图那样折起，已知，那么( )。 2．（23-24四年级上·江苏盐城·期末）如图，把一个正方形沿虚线对折、再对折，然后打开后从AB处剪开，得到一个五边形。这个五边形中的两个钝角都是( )°。 3．（23-24四年级上·江苏南京·期末）经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线……，经过7个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 4．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）把长方形纸折叠后（如图），∠2＝75°，则∠1等于( )°。 5．图中有( )条线段，( )条直线，( )条射线。我发现：数射线条数，先数由A点发出的射线有( )条，再数由B点发出的射线有( )条，最后数由C点发出的射线有( )条，共有( )条射线。 6．钟面上5时整，时针与分针的夹角是( )度；从走到，分钟转动了( )度。 7．用一张长方形的纸怎么折能得到和的角？在下面画一画，试一试，写出你的想法。 8．在桌面上任意摆两根小棒，会有哪几种情况？请你把它们画下来．并根据其特点进行分类，你可以吗？ 9．如图 （1）过点A画直线的垂线。 （2）量出点A到已知直线的距离为（    ）。 （3）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成80°的角。 10．假如直线AB是一条公路，公路同侧有甲、乙两个村庄(如下图所示).现要在公路上修建一个公共汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短.则车站应该建在什么地方？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $