学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（重庆专用，人教版）

■■■■ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 9[A][B][CD] 2[A[B][C[D] 6A]B][C]D] 10[AB][C]D] 4 3[A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 阙 4[A]B][C][D] 8A]B][C]D] 二、填空题（每小题4分，共24分) 11. 警 13 15 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.(8分) 432101234中 18.(8分) D A B ① ② ④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) 8对人数 6 3 BCD等级 (1)补全条形统计图，并填空：a= b= (2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减工作落实得更好？请说明理 由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完 成课后作业时间不超过90分钟的总人数. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 6 01234567x 图1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 0 北 西 东 南 A出 24.（10分) B B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B M ◇ D B D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） ___________① ___________② ___________③ ___________④ 三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （10分） (1)补全条形统计图，并填空：___________，___________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （10分） 22． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版全部内容 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（）    A．40° B．50° C．130° D．150° 4．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 6．如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 7．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 9．如图，将正方形折叠，使得点落在边的点上，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 10．已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（   ） ①若与是方程的两个实数根，则； ②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种； ③若该方程存在4个实数根记为，，，，若，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．重庆东站于年月日投用运营．其总建筑面积约平方米，将数据“”用科学记数法表示为 ． 12．现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票，除正面图案外完全相同，现将三枚邮票背面朝上放置，随机抽取一枚邮票不放回，从剩下的邮票中再次抽取一枚，则抽中的两枚邮票中其中一枚邮票的图案为磁器口的概率是 ． 13．如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为 ． 14．在中，则边的长为 ． 15．如图，是的外接圆，过圆心作交于点，延长交于点，连接，点是劣弧的中点．在延长线上取一点，连接，使得，若， ，则的半径为 ， ． 16．如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为 ．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为 ． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（8分）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 19．（10分）先化简，再求值：，其中． 20．（10分）教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间（单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生在组的数据是：62，65，78，78，82，85，88 抽取的九年级学生的数据分别是： 32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105 八、九年级所抽学生课后作业时间统计表 八年级所抽学生课后作业时间条形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 77 77 中位数 85 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并填空：___________，___________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 21．（10分）某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水蜜桃的进货费用为元． (1)求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？ 22．（10分）如图1，在中，为上一点，，动点P从E出发，沿方向运动，到达点B时停止运动，连接．设点P走过的路程为的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围． 23．（10分）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值； (3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25．（10分）已知，在等腰中，，． (1)点为平面上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点． ①如图1，若点在边上，且点为中点，求的长度； ②如图2，连接，若点，，三点共线，且满足，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明： (2)如图3，点在线段上，连接，以为直角边在上方作等腰直角，且，点P，Q，R分别为，，的中点，连接，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，，当且取得最小值时，直接写出的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版全部内容 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 2．三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（）    A．40° B．50° C．130° D．150° 4．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 6．如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 7．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 9．如图，将正方形折叠，使得点落在边的点上，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 10．已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（   ） ①若与是方程的两个实数根，则； ②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种； ③若该方程存在4个实数根记为，，，，若，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．重庆东站于年月日投用运营．其总建筑面积约平方米，将数据“”用科学记数法表示为 ． 12．现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票，除正面图案外完全相同，现将三枚邮票背面朝上放置，随机抽取一枚邮票不放回，从剩下的邮票中再次抽取一枚，则抽中的两枚邮票中其中一枚邮票的图案为磁器口的概率是 ． 13．如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为 ． 14．在中，则边的长为 ． 15．如图，是的外接圆，过圆心作交于点，延长交于点，连接，点是劣弧的中点．在延长线上取一点，连接，使得，若， ，则的半径为 ， ． 16．如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为 ．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为 ． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（8分）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 19．（10分）先化简，再求值：，其中． 20．（10分）教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间（单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生在组的数据是：62，65，78，78，82，85，88 抽取的九年级学生的数据分别是： 32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105 八、九年级所抽学生课后作业时间统计表 八年级所抽学生课后作业时间条形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 77 77 中位数 85 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并填空：___________，___________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 21．（10分）某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水蜜桃的进货费用为元． (1)求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？ 22．（10分）如图1，在中，为上一点，，动点P从E出发，沿方向运动，到达点B时停止运动，连接．设点P走过的路程为的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围． 23．（10分）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值； (3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25．（10分）已知，在等腰中，，． (1)点为平面上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点． ①如图1，若点在边上，且点为中点，求的长度； ②如图2，连接，若点，，三点共线，且满足，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明： (2)如图3，点在线段上，连接，以为直角边在上方作等腰直角，且，点P，Q，R分别为，，的中点，连接，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，，当且取得最小值时，直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版全部内容 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较四个数的大小，先区分正负数，负数小于正数；再比较两个负数，绝对值大的负数更小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴最小的数是， 故选：C． 2．三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形，将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 3．如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（）    A．40° B．50° C．130° D．150° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠A，即可解答. 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠A＝50°， ∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°， 故选C．    【点睛】此题考查平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键. 4．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减和乘法运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，再根据即可求出实数的范围． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【详解】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，如图，过作轴于，过作轴于，证明，再利用面积公式列方程求解即可，熟记反比例函数比例系数的性质是解本题的关键. 【详解】：如图，过作轴于，过作轴于，      ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴,，，, ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， 故选B 7．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，由题意，得， 解得：（舍去），， 故选A． 8．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 故选：D． 9．如图，将正方形折叠，使得点落在边的点上，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形和折叠的性质，通过证明三角形全等求出正方形边长及相关线段，再证明三角形相似，结合勾股定理求解的长度． 【详解】连接交于，过作于，过作于点． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形，． 由折叠可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，设，则， ∴． 由折叠可知，， ∴，． 在中，， ∴， 解得（舍去负根）． ∴，，，，． ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴，即， ∴，， ∴， 在中，． 故选：． 10．已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（   ） ①若与是方程的两个实数根，则； ②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种； ③若该方程存在4个实数根记为，，，，若，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】解：将代入方程得，， 将代入方程得，． 两式相加得：， ． ①是正确的，符合题意； ，且，为整数，，，，都是非零整数， ，且各平方数可能取值为等． ， 或或， 符合条件的情况有3种， ②是不正确的，不符合题意； 对于四次方程，若存在4个实数根，，，，根据韦达定理，根与系数的关系为：，​​（注意：四次方程的根之积为）． 已知，则，所以，所以③是正确，符合题意． 综上所述，正确的是①③，所以正确的个数是2个，故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．重庆东站于年月日投用运营．其总建筑面积约平方米，将数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：将数据“”用科学记数法表示为． 故答案为：． 12．现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票，除正面图案外完全相同，现将三枚邮票背面朝上放置，随机抽取一枚邮票不放回，从剩下的邮票中再次抽取一枚，则抽中的两枚邮票中其中一枚邮票的图案为磁器口的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查用树状图或列表格求概率，掌握相关知识是解决问题的关键.利用树状图列出所有结果，然后根据概率公式求出概率即可. 【详解】解：设摸到图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三种邮票的事件分别为, 共有6种等可能性的结果，其中摸到图案为磁器口的有4种，所以摸到图案为磁器口的概率为. 故答案为：. 13．如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，证明得出，作于，设，则，，，再由勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14．在中，则边的长为 ． 【答案】3或5 【详解】解：在中，， ， 在中，，，， ， 分两种情况讨论： ①，设，如图所示： 在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； ②，令，如图所示： 在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：3或5． 15．如图，是的外接圆，过圆心作交于点，延长交于点，连接，点是劣弧的中点．在延长线上取一点，连接，使得，若， ，则的半径为 ， ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，交于点，则， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴，即， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得，，则， ∴， 根据题意，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 过点作于点，则四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 故答案为：； ． 16．如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为 ．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1， ， ， ，， 即，， ∵， ∴，即， 要使“拆解数”M最大，则取， ， “拆解数”M的最大值为； ∵， ∴千位数字,百位数字,十位数字,个位数字， 要求P的最小值，， 可假设取最小值为，即， ∴，， ∴， ， ， ， ∴， ， ， 为整数 为的倍数， 要求P的最小值，， 尽可能小， ①当时，为的倍数，， ， 只能等于3，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 该方程无实数根， 不成立； ②当时，为的倍数， ， 只能取， 此时，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 解得， 则或， 综上所述，当时，可取最小值为， 故答案为：；． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示解析 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得，即， 不等式的解集在数轴上表示如下： 18．（8分）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）根据题意利用尺规作图作出的平分线，即可； （2）利用平行四边形的性质求得，，利用证明，推出，，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质求得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：（1）所作图形如图所示： 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 19．（10分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，零指数幂，乘方，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简分式，再求出的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， 将代入，得原式． 20．（10分）教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间（单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生在组的数据是：62，65，78，78，82，85，88 抽取的九年级学生的数据分别是： 32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105 八、九年级所抽学生课后作业时间统计表 八年级所抽学生课后作业时间条形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 77 77 中位数 85 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并填空：___________，___________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 【答案】(1) (2)八年级，见解析 (3)人 【详解】（1）解：八年级组人数为人， 补全统计图如下， 根据题意得抽取的九年级学生的数据排在第位的是， ， 抽取的九年级学生的数据中最多，有个， ， 故答案为：； （2）解：我认为八年级的双减工作落实得更好， 八年级的课后作业时间中位数82小于九年级的课后作业时间中位数85； （3）解：人 答：估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数约为1120人 21．（10分）某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水蜜桃的进货费用为元． (1)求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？ 【答案】(1)水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克； (2)水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克． 【详解】（1）解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ， 答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克； （2）解：水蜜桃降价销售的价格为m元， ， 解得， 答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克． 22．（10分）如图1，在中，为上一点，，动点P从E出发，沿方向运动，到达点B时停止运动，连接．设点P走过的路程为的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3)且 【详解】（1）解：当点P在上时，，则， 根据勾股定理，得， 过点P作，交于点D， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 当点P在上时，，则， ∴. ∴； （2）解：列表： x 0 2 6 y 6 0 如图所示， 由图象可知，当时，y有最大值； （3）. 解：当直线经过点时，两个图象没有交点， 即， ∴当且时，两个图象有1个交点. 23．（10分）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 【答案】(1)公里 (2)丙最晚达目的地D点 【详解】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； （2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值； (3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)3 (3)，，见解析 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 解这个方程组，得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：直线过点， 直线的函数表达式为， 在中， 令，得， 解这个方程，得（舍），． ． ，， ，且， ， ． ， ． 过点作轴交于点，则， 又， ， ， ． 设点，，则点． ． ， 当时， 的长度取得最大值，此时点， 过点作轴，过点作于点，过点作于点． 在中，， ， ，当点、、三点共线时取等号， ∴； （3）解：符合条件的点的坐标有，． ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点， 又∵，，， ∴将该抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度，得到平移后抛物线的函数表达式为，即，， 当时，如图，则轴． 在中，令， 得， 解这个方程，得（舍），． ． 当时，如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，即点是直线与平移后抛物线的交点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，解得，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标有，． 25．（10分）已知，在等腰中，，． (1)点为平面上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点． ①如图1，若点在边上，且点为中点，求的长度； ②如图2，连接，若点，，三点共线，且满足，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明： (2)如图3，点在线段上，连接，以为直角边在上方作等腰直角，且，点P，Q，R分别为，，的中点，连接，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，，当且取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：①如图，令交于， ∵在等腰中，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴垂直， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； ②，证明如下： 由旋转的性质可得：，， 如图，在上截取，过点作交于， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴为直径， ∴， 令点的轨迹为， 作点关于的对称点，连接， 则由轴对称的性质可得：， ∴，当、、共线时，最小， 作于，连接，作交的延长线于，作于， ∵点为的中点，为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由圆周角定理可得：， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B B B A D D B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11． 12． 13．16 14．3或5 15． 16． 3、 解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（8分）【详解】解：， （2分） 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得，即， （6分） 不等式的解集在数轴上表示如下： （8分） 18．（8分） 【详解】解：（1）所作图形如图所示： （4分） 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （8分） 19．（10分） 【详解】解： ， （5分） ∵， 将代入，得原式． （8分） 20．（10分） 【详解】（1）解：八年级组人数为人， 补全统计图如下， 根据题意得抽取的九年级学生的数据排在第位的是， ， 抽取的九年级学生的数据中最多，有个， ， 故答案为：； （4分） （2）解：我认为八年级的双减工作落实得更好， 八年级的课后作业时间中位数82小于九年级的课后作业时间中位数85； （8分） （3）解：人 （10分） 答：估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数约为1120人 21．（10分） 【详解】（1）解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， （5分） ， 答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克； （2）解：水蜜桃降价销售的价格为m元， ， 解得， 答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克． （10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：当点P在上时，，则， 根据勾股定理，得， 过点P作，交于点D， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 当点P在上时，，则， ∴. ∴； （4分） （2）解：列表： x 0 2 6 y 6 0 如图所示， 由图象可知，当时，y有最大值； （7分） （3）. 解：当直线经过点时，两个图象没有交点， 即， ∴当且时，两个图象有1个交点. （10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, （5分） 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； （2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． （10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 解这个方程组，得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （3分） （2）解：直线过点， 直线的函数表达式为， 在中， 令，得， 解这个方程，得（舍），． ． ，， ，且， ， ． ， ． 过点作轴交于点，则， 又， ， ， ． 设点，，则点． ． ， 当时， 的长度取得最大值，此时点， 过点作轴，过点作于点，过点作于点． 在中，， ， ，当点、、三点共线时取等号， ∴； （7分） （3）解：符合条件的点的坐标有，． ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点， 又∵，，， ∴将该抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度，得到平移后抛物线的函数表达式为，即，， 当时，如图，则轴． 在中，令， 得， 解这个方程，得（舍），． ． 当时，如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，即点是直线与平移后抛物线的交点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，解得，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标有，． （10分） 25．（10分） 【详解】（1）解：①如图，令交于， ∵在等腰中，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴垂直， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； （4分） ②，证明如下： 由旋转的性质可得：，， 如图，在上截取，过点作交于， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （8分） （2）解：∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴为直径， ∴， 令点的轨迹为， 作点关于的对称点，连接， 则由轴对称的性质可得：， ∴，当、、共线时，最小， 作于，连接，作交的延长线于，作于， ∵点为的中点，为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由圆周角定理可得：， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $