学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（北京专用，人教版）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~九年级下册第二十七章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列事件的发生，为必然事件的是（   ） A．上数学课，忘记带数学课本 B．射击运动员射击一次，命中10环 C．杭州明年五一节当天最高气温 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 4．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（   ） A． B． C． D． 7．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若点，在二次函数的图像上，则 （填，或）． 10．方程的根为 ． 11．有3个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这3个试剂瓶中任意抽取2个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是 ． 12．如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 13．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ． 14．如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是 ． 15．如图，与关于点成中心对称，，则的长是 ． 16．已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是 ． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数的表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（5分）．解方程：． 18（5分）．已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 19（5分）．已知是方程的一个解，求代数式的值． 20（6分）．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 21（5分）．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 22（6分）．国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． (1)甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 23．（5分）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 24（6分）．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 25．（5分）如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（6分）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 27．（7分）在中，，平面内有一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，点D为内一点时，若，连接，请直接写出的度数________； (2)如图2，点D为外一点时，若，连接，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题2分，共16分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 4 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 闻 4[A]B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题（每小题2分，共16分） 9. 10 3 14 15 器 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(5分) 18.(5分) 19.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) E 21.(5分) 22.(6分) A机器人技术 B.计算机视觉 C.自然语言处理 D.专家系统 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(5分) D 24.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(5分) B D E 26.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(7分) 图1 图2 28.(7分) VA :A o 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 8 B D D B C B C D 第二部分（非选择题共84分) 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.< 10.0和2 n.青 12.2 13.3 14.25+2/2+2V5 15.5 16.①③4 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(5分)【详解】解：x2+2x-5=0, x2+2x=5, x2+2x+1=5+1, (x+1)2=6, (2分) x+1=±V6, x=√6-1，x,=-6-1. (5分) 18.(5分)【详解】(1)1)把点(k,一1)代入y=2+1,得2+1-1， k 1/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 k=-写(2分) (2):在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， .2k+1>0 解得：>子(6分) 19.(5分)【详解】解：：a是方程2x2+7x-3=0的一个解， .2a2+7a-3=0, .2a2+7a=3,(2分) (2a-1)(a+4)+5 =2a2+8a-a-4+5 =2a2+7a+1 =3+1 =4.(5分) 20.(6分)【详解】证明：：∠BDE+LC=180°，∠ADE+∠BDE=180°， .∠ADE=∠C,(4分) 又∠A为公共角， :△ADE∽△ACB.(6分) 21.(5分)【详解】(1)证明：△=(2m-1)2-4×2×(m-1) =4m2-4m+1-8m+8 =4m2-12m+9 =(2m-3)≥0， 所以，方程2x2+(2m-)x+m-1=0总有实数根；(2分) (2)解：由题意得，x+5= 2m-1 2 又：x1=2x2+10, 2m-1 .2x,+10+x2=- 2 119 6’ ·￥=2x,+10=-2m+1 -m+ 3 3 2/11 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又xx,=m-， 2 〔》- 整理得，4m2+7m-200=0, 解得，m=2 4，m2=-8, 4 25 ∴.m= 4 不符合题意； 当8时、名=号-+号-9>0 3 .m=-8.(5分) 22.(6分)【详解】(1)：共有4个主题， :甲同学选择“A.机器人技术”直播的概率是：；(2分) (2)列表如下： A B D 乙甲 A A,B) (A,C) (A,D) B (B,A (B,C (B,D C (C,4) (C,B) (C,D) D (D,A (D,B) (D,C) 共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D.专家系统”的共有6种结果. 所以P(甲乙都没有选择“D.专家系统)=。-} 122·(6分) 23.(5分)【详解】(1)证明：：线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF, .∠EAF=60°，AE=AF, :在菱形ABCD中，∠BAD=120°， ∴AB=BC,∠BAC=∠CAD=。∠BAD=60°， 3/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .ABC、△ACD是等边三角形， AC=AD,∠ACD=∠CAD=60°， ∠CAE=∠DAF, .△ACE≌△ADF(SAS), .∠ADF=∠ACD=∠CAD=60°， .DF∥AC;(3分) (2)解：如图，连接BD,设BD与AC相交于点O, C :四边形ABCD是菱形， BD⊥AC,BD=2B0,∠ADO=30°， :AB=4,ABC是等边三角形， A0=2,B0=VAB2-AO2=23, :BD=43, 由(1)可得△ACE≌△ADF,AC∥DF, DF=CE=1,DF⊥BD. 在RtoBDF中，BF=VDF2+BD2=V45+12=7.(5分) 24.(6分)【详解】(1)解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出(20+2x)件， 依题意得：（40-x)(20+2x)=1200, 整理得：x2-30x+200=0, 解得：x1=10,x2=20. 又：要尽量减少库存， .x=20, 答：每件服装应降价20元；(3分) (2)解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出(20+2y)件， 4/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 依题意得：（40-y)(20+2y)=1500, 整理得：y2-30y+350=0. :△=(-30)2-4×1×350=-500<0， 该方程无实数根， :.平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元.(6分) 25.(5分)【详解】(1)证明：连接0D B D :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :CD平分∠ACB LACD=LDCB=45°， .∠A0D=2LACD=90°， AB⊥OD, DE∥AB, .OD⊥DE, 又：0D是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线.(3分) (2)解：过B作BF⊥CD于F, FA. D :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， :∠ADC=60°， 5/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠CDB=30°， .在Rt△CBF中，∠BCF=45°， .∠CBF=90°-∠BCF=45°， BC=4,BF2+CF2=BC2, .CF=BF= BC =22, :BD =2BF=42, :在Rt△DBF中，DF=VBD2-BF2=V3BF=2W6, .CD=DF+CF=2V2+26.(5分) 26.(6分)【详解】(1)解：：二次函数y=ar2+bx-8的图象与x轴的交点为A-2,0)、B(4,0)两点， 4a-2b-8=0 116a+4h-8=0 a=1 1b=-2 ·.抛物线解析式为y=x2-2x-8;(2分) (2)解：①在y=x2-2x-8中，当x=-1时，y=（-12-2×(-1)-8=-5, :M(-1,-5); 在y=2x+4中，当x=-1时，y=2×-1+4=2, .N-1,2), .MN=2--5)=7; x=6 ②联立 三x2一2x一8，解得} x=-2 y=2x+4 =0或U=16 .直线y=2x+4与抛物线y=x2-2x-8交于点(-2,0)和点(6,16)， ·.当-2≤x≤6时，一次函数y=2x+4的函数值大于或等于二次函数y=x2-2x-8的函数值； 在y=x2-2x-8中，当x=t时，y=t2-2t-8, M6,t2-2t-8: 在y=2x+4中，当x=t时，y=2t+4, N(i,2t+4), 6/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .MN=21+4-(2-21-8 =-12+4t+12 =-(t-22+16, -1<0, :.当2<t≤6时，MN随t的增大而减小.(6分) 27.（7分)【详解】(1)解：a=45°，将线段AD绕点A逆时针旋转2a得到线段AE. AD=AE,∠DAE=90°， 又：AC=AD, :C、D、E三点在以A为圆心，以AC为半径的圆上， ·DE=DE, D 7 B ∠DCE=∠DAE=x90°=45°.(3分) 2 (2)解：补全图形如下 A G B 数量关系：BD2+BE2=4BC2 证明：延长BC到G,使CG=BC,连接AG、DG. :∠ACB=90°，CG=BC,AC=AC, △ACG≌△ACB(SAS), .AG=AB,LGAC=∠BAC=a 又：线段AD绕点A逆时针旋转2a得AE, 7/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AD=AE,∠DAE=2a, ∠DAE=∠GAB=2a, ∴.∠BAE=∠GAD. (AD=AE 在△ADG和△AEB中， ∠GAD=∠BAE, AG=AB .△ADG≌△AEB(SAS), :DG=BE. BC=CD,BC=CG, .点D在以C为圆心、BC为半径的圆上，BG=2BC是直径， .∠BDG=90°. 在Rt△BDG中，BD2+DG2=BG2, :.BD2+BE2=(2BC)2=4BC2.(7分) 28.(7分)【详解】(1)解：①AB,的中点坐标为 15 该点与圆心O的距离为 2 =2,故点B符合定义： 0 121+1 AB2的中点坐标为 浅点与心0的距离为，写产图 =2,故点B2符合定义； AB,的中点坐标为 )0引 该点与酒心0的距离为，+2，故点8不特合定义： 2 故答案为：B,B2· ②根据定义，△OAB为直角三角形， :00,0,A0,1, 由图可知，若∠AOB=90°，则点B在x轴上，不符合题意； 8/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 若∠AB0=90°，则0B<0A=1<2,则点B在⊙O内，不符合题意； 故只有L0AB=90°一种情况， :AB⊥y轴， 点B的纵坐标为1， 设川，则的中点能标为号各小月 XB +12=2, 解得xg=2V3,或xg=-2V3(由题意，负值舍去)， B25,1 ③设该点为点Cc,kc+b), 由定义，可知AC的中点坐标为 2’2 由定义，得 整理，得(1+k2)c2+2(b+1kc+b2+2b-15=0, :有且只有一个点满足定义， :△=[2(b+1k]-41+k2)(b2+2b-15)=0, .16k2-b2-2b+15=0, 求点A关于⊙O的“直角关联点”，由②可知，LAC0=90°的情况不存在， 所以分两种情况： 当∠A0C=90°时，由②可知，点C在x轴上，.C(c,0), 40的中华标为0'生台》】 +》 =2, 解得c=√5，或c=-√5， “√5k+b=0,即b=-5k或-5k+b=0,即b=√5k, 9/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 分别代入16k2-b2-2b+15=0,解得k=√15（负值已舍去）， 当∠0AC=90°时，由②可知，c=2V5,或c=-2√5，kc+b=1, 25k+b=1,即b=1-2V3k,或-25k+b=1,即b=1+2V5k, 分别代入16k2-b2-2b+15=0,解得k=√5（负值已舍去)， :k的值为√15或√5.(3分) (2)解：如图，构造0P,由题意，可知，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，且在0P内， 当LPDQ=90°时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在OP上，为最近端，和点D在PC上，为 最远端， 显然，当点D在⊙P上时，记为D,此时点Q也在0P上， 当点D在PC上时，记为D2,设此时D2的“直角关联点”为点M,中点为N, PD2=PC-CD2=3-1=2, :D,N =PN2-PD,2=9-4=5, .D2M=2D,N=2V5, ∴PM=VPD,2+D,M2=V4+20=2√6， ·当OT的圆弧均在如图所示的圆环中时，满足题意， 分两种情况，第一种：⊙T的圆心在圆环中，直径小于圆环宽度，即2r<PM-PC=2√6-3， 0r<6-号5分) 第二种，OT的圆心与点P重合，圆弧在圆环内，且当⊙T为圆环最外部时仍满足题意，即PC<”≤PM, .3<r≤2V6, 当∠DPQ=90°时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在OP上，为最近端，和点D在PC上，为 10/11 ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~九年级下册第二十七章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列事件的发生，为必然事件的是（   ） A．上数学课，忘记带数学课本 B．射击运动员射击一次，命中10环 C．杭州明年五一节当天最高气温 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 4．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（   ） A． B． C． D． 7．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若点，在二次函数的图像上，则 （填，或）． 10．方程的根为 ． 11．有3个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这3个试剂瓶中任意抽取2个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是 ． 12．如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 13．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ． 14．如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是 ． 15．如图，与关于点成中心对称，，则的长是 ． 16．已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是 ． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数的表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（5分）．解方程：． 18（5分）．已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 19（5分）．已知是方程的一个解，求代数式的值． 20（6分）．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 21（5分）．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 22（6分）．国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． (1)甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 23．（5分）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 24（6分）．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 25．（5分）如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（6分）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 27．（7分）在中，，平面内有一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，点D为内一点时，若，连接，请直接写出的度数________； (2)如图2，点D为外一点时，若，连接，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） 19． （5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（5分） 22.(6分) 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（5分） 24.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（7分） 28. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~九年级下册第二十七章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列事件的发生，为必然事件的是（   ） A．上数学课，忘记带数学课本 B．射击运动员射击一次，命中10环 C．杭州明年五一节当天最高气温 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生，也有可能不发生的事件，不可能事件指在一定条件下，不可能发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、上数学课，忘记带数学课本，这是随机事件，不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中10环，这是随机事件，不符合题意； C、杭州明年五一节当天最高气温，这是随机事件，不符合题意； D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，这是必然事件，符合题意； 故选：D． 4．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的结构特征，直接确定顶点坐标对应的和的值． 【详解】解：对于抛物线的顶点式，其顶点坐标为， 在抛物线中，，所以顶点坐标为． 故选：B． 5．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 7．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用到2023年的出口量年的出口量平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得． 故选：C． 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像的对称性、二次函数的最值是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③正确；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，可得当时，，即可判断②正确；根据抛物线的对称性可知点在抛物线上，由抛物线开口向下，可得时，，即可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， ∵二次函数的对称轴是， ∴， ∴，故①正确； ∵最大值为， ∴， ∴，即，故③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故②正确； ∵点在此抛物线上， ∴点在抛物线上， ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴关于x的不等式的解集是，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共个． 故选：D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．若点，在二次函数的图像上，则 （填，或）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．根据点关于轴的对称点为，当时，随的增大而增大，且，可得． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线y轴， 点关于轴的对称点为， 时，随的增大而增大，且， ， 故答案为：． 10．方程的根为 ． 【答案】0和2 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解法求解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：0和2． 11．有3个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这3个试剂瓶中任意抽取2个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据题意列出表格，求得所有等可能结果，找出符合题意的结果数，根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：醋酸与稀盐酸是是酸性溶液，碳酸钠溶液不是酸性溶液 列表如下， 醋酸 稀盐酸 碳酸钠 醋酸 醋酸，稀盐酸 醋酸， 碳酸钠 稀盐酸 醋酸，稀盐酸 碳酸钠，稀盐酸 碳酸钠 醋酸，碳酸钠 碳酸钠，稀盐酸 共有6种等可能结果，其中抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的有两种， ∴抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是 故答案为：． 12．如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为​），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， 上两式左右相加，得， ∵， ∴， 故答案为：2． 13．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， ∴交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，与关于点成中心对称，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，利用与关于点C成中心对称，得出，，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴在中，， 故答案为：5． 16．已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是 ． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数的表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 【答案】①③④ 【详解】解：设过，两点的直线为， ∴ 解得： ∴直线为： 当时， ∴函数经过 故①符合题意； 此函数的图象为抛物线 且经过，，， 则 解得： ∴抛物线为： ∴抛物线的开口向上，故②不符合题意； 当函数的解析式为，且经过，，， 同理设抛物线 则解得： ∴抛物线为： ∴对称轴为直线 而 故③符合题意， 二次函数过，，则 解得： 所以抛物线为： ∴开口向下，且，而 ∴，而 即 ∴ 即 故④符合题意； 故答案为：①③④ 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（5分）．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法解方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 18（5分）．已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围． 【详解】（1）1）把点（k，—1）代入，得， ∴． （2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 19（5分）．已知是方程的一个解，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 先由一元二次方程根的定义得到，然后化简，再整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ． 20（6分）．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 21（5分）．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． （1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可； （2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， 所以，方程总有实数根； （2）解：由题意得， 又∵， ∴ ∴， ∴ 又， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时， ∴不符合题意； 当时， ∴． 22（6分）．国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． (1)甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）∵共有4个主题， ∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是； （2）列表如下： 乙甲 共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果． 所以（甲乙都没有选择“．专家系统”）． 23．（5分）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的判定得出； （2）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，设与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴，． 在中，． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质以及平行线的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定和性质和菱形的性质． 24（6分）．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【答案】(1)每件服装应降价20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 25．（5分）如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理，求出，利用等腰直角三角形的性质求得，过点B作于F，利用30角的直角三角形的性质得，得，即得 【详解】（1）证明：连接 ∵是的直径， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：过B作于F， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 26．（6分）平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①7；② 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ②联立，解得或， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 27．（7分）在中，，平面内有一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，点D为内一点时，若，连接，请直接写出的度数________； (2)如图2，点D为外一点时，若，连接，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)补全图形见解析，，证明见解析 【详解】（1）解： ，将线段绕点逆时针旋转得到线段 ，， 又， 三点在以为圆心，以为半径的圆上， ， ． （2）解：补全图形如下 数量关系： 证明：延长到，使，连接、． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， 又∵ 线段绕点逆时针旋转得， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 在和中，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ 点在以为圆心、为半径的圆上，是直径， ∴ ． 在中，， ∴ ． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，；②；③的值为或 (2)，或，或 【详解】（1）解：①的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点不符合定义； 故答案为：，． ②根据定义，为直角三角形， ∵，， 由图可知，若，则点B在x轴上，不符合题意； 若，则，则点B在内，不符合题意； 故只有一种情况， ∴轴， ∴点B的纵坐标为1， 设，则的中点坐标为，即， ∴， 解得，或（由题意，负值舍去）， ∴． ③设该点为点， 由定义，可知的中点坐标为 ，即， 由定义，得， 整理，得， ∵有且只有一个点满足定义， ∴， ∴， 求点A关于的“直角关联点”，由②可知，的情况不存在， 所以分两种情况： 当时，由②可知，点C在x轴上，∴， 此时的中点坐标为，即， ∴， 解得，或， ∴，即或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， 当时，由②可知，，或，， ∴，即，或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， ∴的值为或． （2）解：如图，构造，由题意，可知，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，且在内， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 显然，当点D在上时，记为，此时点Q也在上， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的圆弧均在如图所示的圆环中时，满足题意， 分两种情况，第一种：的圆心在圆环中，直径小于圆环宽度，即， ∴， 第二种，的圆心与点重合，圆弧在圆环内，且当为圆环最外部时仍满足题意，即， ∴， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点，中点为， ∵， ∴， ∴， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， 同理，可得， ∴， 同之前说理，分两种情况，第一种：在圆环内，此时， 第二种：的圆心与点P重合，此时， 综上，，或，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $