16.3 命题与证明（讲义） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本初中数学讲义聚焦“命题与证明”核心知识点，系统梳理命题的定义、题设与结论分析、逆命题改写，以及证明的步骤（画图、写已知求证、完整推理过程），构建几何推理的基础学习支架，衔接前期图形认识与后期逻辑证明。 资料亮点在于例题变式覆盖多地期中期末考题，结合具体情境培养学生数学眼光（几何直观），规范证明步骤训练推理意识，通过补全证明依据、举反例等题型强化逻辑思维。课中辅助教师分层教学，课后过关练习助学生查漏补缺，提升用数学语言表达推理过程的能力。

沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.3 命题与证明 知识梳理 知识点 相关题型 命题 判断命题的真假 分析命题的题设和结论 写出命题的逆命题 证明 给证明过程补充依据 证明一个真命题 通过举反例说明一个命题是假命题 知识点讲解 1. 命题 （1） 定义 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.如：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a²=b²,那么a=b. 易错点：假命题也是命题，譬如“如果a²=b²,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. （2） 题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析.例如“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. （3） 逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 易错点：原命题是真命题，逆命题不一定是真命题.如：“对顶角相等”但“相等的角是对顶角”却是假命题. 2.证明 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： （1）根据题意画出示意图； （2）根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”； （3）写出由条件推出结论的完整过程. 例题讲解 【题型1】判断命题的真假 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．同位角相等 D．相等的角是对顶角 【变式2】（（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【题型2】写出命题的题设和结论 【例2】（24-25八年级上·上海松江·月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【题型3】写出一个命题的逆命题 【例3】（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 【题型4】补充证明依据 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明． 如图，平分，平分，且． 求证：．证明：平分（已知）， （　　　　　　）． 平分（已知）， 　　　　　　（角平分线的定义）． （）． （已知）， （　　　　　　）． ∴（　　　　　　）． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）填写证明过程中的推理或根据： 如图所示，已知：，，．求证：． 证明：， ．（____________） ， ．（____________） _________（____________） 又， ．（____________） _________（____________） ．（____________） ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在下面解题过程的空白处填上适当的内容． 如图，已知，分别平分和求证： 证明：（已知）， （已知）， （角平分线的定义）， 同理， ． （等量代换）， （ ）． 【题型5】进行简单的推理证明 【例5】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 23． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）(1)求证“两条平行线被第三条直线直线所截，内错角的平分线互相垂直”. (2)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【题型6】举反例说明一个命题是假命题 【例6】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． （2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于． 过关练习 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 6．（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 8．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 9．（22-23七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 10．（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 11．（25-26七年级下·山东·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 12.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 13．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点在直线上，，平分，． (1)求的度数； (2)求证：平分． 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知于点，，，求证：． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，点B、C、E、F共线，，．求证：． 16．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 45 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.3 命题与证明 知识梳理 知识点 相关题型 命题 判断命题的真假 分析命题的题设和结论 写出命题的逆命题 证明 给证明过程补充依据 证明一个真命题 通过举反例说明一个命题是假命题 知识点讲解 1. 命题 （1） 定义 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.如：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a²=b²,那么a=b. 易错点：假命题也是命题，譬如“如果a²=b²,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. （2） 题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析.例如“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. （3） 逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 易错点：原命题是真命题，逆命题不一定是真命题.如：“对顶角相等”但“相等的角是对顶角”却是假命题. 2.证明 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： （1）根据题意画出示意图； （2）根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”； （3）写出由条件推出结论的完整过程. 例题讲解 【题型1】判断命题的真假 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键． 根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意； B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意； C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意； D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意． 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．同位角相等 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解决本题的关键是判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据对顶角、平行线的性质、平方的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、如果，则，成立，该选项符合题意； B、如果，则，不一定，该选项不符合题意； C、同位角相等的前提是两直线平行，该选项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，该选项不符合题意． 故选A． 【变式2】（（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理． 【详解】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题； 故选：A． 【题型2】写出命题的题设和结论 【例2】（24-25八年级上·上海松江·月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等 【分析】此题考查命题的结构，根据命题的改写规则，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论．原命题的条件是两个三角形全等，结论是它们的对应高线相等． 【详解】原命题“全等三角形的对应高线相等”中，“全等三角形”是条件，“对应高线相等”是结论． 因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等． 故答案为如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 【题型3】写出一个命题的逆命题 【例3】（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 【分析】本题考查命题与定理，根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【详解】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 【题型4】补充证明依据 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明． 如图，平分，平分，且． 求证：．证明：平分（已知）， （　　　　　　）． 平分（已知）， 　　　　　　（角平分线的定义）． （）． （已知）， （　　　　　　）． ∴（　　　　　　）． 【答案】角平分线的定义 ； ；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】本题考查角平分线的定义、等量代换以及平行线的判定等知识点，掌握角平分线的定义、平行线的判定是解题关键． 利用角平分线的性质得到与、与的关系，再结合已知条件推出，最后根据同旁内角互补，两直线平行的定理判断与是否平行． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． （）． （已知）， （等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义 ； ；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）填写证明过程中的推理或根据： 如图所示，已知：，，．求证：． 证明：， ．（____________） ， ．（____________） _________（____________） 又， ．（____________） _________（____________） ．（____________） ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质及垂线的定义，根据平行线的判定性质即可解答． 【详解】证明：， ．（垂线的定义） ， ．（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） 又， ．（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在下面解题过程的空白处填上适当的内容． 如图，已知，分别平分和求证： 证明：（已知）， （已知）， （角平分线的定义）， 同理， ． （等量代换）， （ ）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质，以及判定方法是解题的关键． 根据平行线的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定进行作答即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理，． （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行 【题型5】进行简单的推理证明 【例5】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】见解析 【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 23． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）(1)求证“两条平行线被第三条直线直线所截，内错角的平分线互相垂直”. (2)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【分析】本题考查了命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分．求证： 证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； （2）①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题． 故答案为：真． ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 故答案为：假． 【题型6】举反例说明一个命题是假命题 【例6】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． （2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于． 【答案】（1）假命题；举例见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可，反证法的应用，命题的改写要区分题设和结论． （1）根据一个命题可以举例推翻的原则来判断假命题，进而当a为正数和b为负数是就可推翻此命题； （2）先假设与题设相反的结论，中三个内角都小于，然后根据三角形内角和为，证明假设错误，即可得出原结论正确． 【详解】解：（1）此命题是假命题； 如，，符合，但不满足； （2）假设中没有一个角大于或等于，即三个内角都小于， ∴三个内角和小于， ∵三角形的内角和为， ∴假设不成立， ∴中至少有一个角的度数大于等于． 过关练习 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查几何命题的真假判断，了解平行公理、邻补角性质、垂线段最短等知识是解题的关键． 选项A为平行公理，正确；选项B中，邻补角的角平分线互相垂直，正确；选项C为垂线段最短性质，正确；选项D中，当两条直线重合时，该命题不成立，因此是假命题． 【详解】A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，正确，故该选项不符合题意； B．两个角互为邻补角，则两角之和为，它们的角平分线之间的角为两角和的一半，即，故互相垂直，正确，故该选项不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段最短性质，正确，故该选项不符合题意； D．垂直于同一条直线的两条直线可能重合，而重合的直线不平行（初中定义中平行线不包括重合），故该命题不总是成立，是假命题，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若，则，并非，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可． 【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意； 、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意； 故选：． 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 6．（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 【答案】 两个角是等角的余角 这两个角相等 【分析】本题主要考查了命题的结构， 根据命题是由条件和结论两部分组成，再将条件和结论写成由“如果”，“那么”引领即可. 【详解】解：把命题“等角的余角相等”改写成：“如果两个角是等角的余角”，那么“这两个角相等”. 故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等. 7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 【答案】 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”， 逆命题为“两直线平行，同位角相等”， 故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平行，同位角相等． 8．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 9．（22-23七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 10．（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 11．（25-26七年级下·山东·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 12.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点在直线上，，平分，． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ， ， ． （2）解：平分，理由如下： 理由：∵， ， ， 平分． 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及垂直的传递性，解题的关键是通过平行线性质进行角的等量代换，证明FG与AD平行． 由得；结合，得，证得；再由，推出． 【详解】证明：∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴ （等量代换）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∵ ， ∴ （一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，点B、C、E、F共线，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，得到，即可得出结论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）利用邻补角的性质求得，求得，利用“内错角相等，两直线平行”即可得到； （2）由得到，由，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $