福建省福州第一中学2026届高三上学期第四次质量检测（12月）数学试卷

福建省福州第一中学2026届高三上学期第四次质量检测（12月） 数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. “集合A、B满足：”的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 将自然数按照如图排列，我们将称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（ ） A. 36 B. 58 C. 67 D. 78 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，均为复数，下列命题中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 若，则动点的轨迹长度为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 11. 设是函数的导数，若，且对任意的，有，则下列各项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，写出函数的单调递减区间____________． 13. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则______. 14. 甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内） （1）求两点之间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 17. 已知函数. （1）判断在区间的单调性； （2）证明：当时，； （3）证明：在上有且只有一个零点. 18. 如图，几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点 （1）证明：平面BCG； （2）若，且点到平面ABG的距离为. （i）求AD； （ii）若是劣弧上的动点，是半圆弧上的动点，求直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值. 19. 已知函数，数列满足：，当时，. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）证明：存在，使得对于任意的，有； （3）证明：对于任意的，存在，使得当时，有. 福建省福州第一中学2026届高三上学期第四次质量检测（12月） 数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）直线与直线不垂直，理由如下： 在三角形中，由余弦定理得， ， 在三角形中，由正弦定理得， ， 直线与直线不垂直，理由如下： , 所以直线与直线不垂直. 【17题答案】 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2）令，， 在上单调递增，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即， 因为，所以， 所以. （3）依题得，， ，令， 则， 当时，且，且两项不同时为0， 所以，在上单调递减， 因为，， 由零点存在定理得，存在，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，所以， 又因为， 由零点存在定理得，存在，使得， 因为在上单调递减，所以零点唯一， 又因为当时，单调递增，所以，在此区间无零点. 综上，在上有且只有一个零点. 【18题答案】 【答案】（1）证明： 连接DG、CE，因为， 所以为等腰直角三角形，， 在半圆DGC上，是半圆弧中点，所以，所以， 因为，所以四边形ECBF为在平行四边形，， 所以，在半圆DGC上，，所以， 又因为平面平面ABF，所以， 因为平面平面， 所以平面BCG . （2）（i）2；（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）设， 由（1）知，在上单调递减， ， 由零点存在定理知，，使得，即， 若，则， 因为 所以对于任意的，有. （3）由题意，，所以， 假设当时，有，则有，即， 所以数列单调递增， 所以， 由（1）知，当时，在上单调递减， 所以，即， 所以，即， 因为，所以， 又因为，所以， 若，取，则，有； 若，取， 则，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $