专题04 相似三角形（12大类基础+2大类提升）（高效培优期末专项训练）数学浙教版九年级上学期

专题04 相似三角形 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 成比例线段 2 题型2 比例性质 2 题型3 黄金分割比 2 题型4 由平行判断成比例的线段 3 题型5 由平行截线求相关线段的长或比值 4 题型6 相似三角形的判定综合 4 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 5 题型8 利用相似三角形的性质求解 6 题型9 相似三角形的实际应用 6 题型10 相似图形及性质 7 题型11位似图形的性质 8 题型12作图-位似图形 9 【优选提升题】 10 题型1 相似三角形的判定与性质综合 10 题型2 相似三角形-动点问题 16 【经典基础题】 题型1 成比例线段 1．下列四组线段中，不是成比例线段的为（     ） A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，， 2．若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 题型2 比例性质 1．若（，都不为0），则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（　　） A． B． C． D． 3．若，则 ． 题型3 黄金分割比 1．如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ） A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 4．顶角是的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边和腰的比为黄金比，若“黄金三角形”的腰长为4，则底边长为 （结果保留根号）． 题型4 由平行判断成比例的线段 1．如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型5 由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（    ） A． B．2 C．3 D．9 3．如图，，若，，则的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 题型6 相似三角形的判定综合 1．给出下列结论： ①任意两个等边三角形相似 ②顶角对应相等的两个等腰三角形相似 ③两条边对应成比例的两个直角三角形相似 其中正确的是(  ) A． ②③ B．①③ C．①② D．①②③ 2．如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有 个． 3．的三边长，，，的三边长，，，则 ． 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，在中，点，分别在，上，连接．若单独添加下列条件，其中不能使的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型8 利用相似三角形的性质求解 1．如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 题型9 相似三角形的实际应用 1．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 2．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了(    ) A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m 3．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米． 4．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米． 题型10 相似图形及性质 1．如图，照片E放大到F这种图形变化是（   ） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 2．如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 题型11 位似图形的性质 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 4．一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 题型12 作图-位似图形 1．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，以原点O为位似中心，将放大到2倍得到． (1)在现有网格图中画出； (2)记线段的中点为M，求放大后点的对应点的坐标． 3．图①、图②都是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，以点C为位似中心，将放大到原来的2倍； (2)在图②中，在线段上作点D，使得． 【优选提升题】 题型1 相似三角形的判定与性质综合 1．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图，在中，，，，作，垂足为点． (1)求线段的长； (2)点是上的一点，满足，连接交于点，求． 3．如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 4．如图，内接于，为的直径，为上一点，为弧上一点，连结交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 5．如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． (1)求的值； (2)如图2，当点B恰好在的延长线上时，求的长． 6．如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． (1)证明：； (2)若，，求的长． 7．如图，是矩形的对角线，，交、于点、，点为的中点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接． (1)求的半径和的长． (2)求证：． (3)线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长． 9．如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点． ①当，求线段的长． ②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示． 10．已知锐角内接于于点于点，交于点，交于点，连结． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，连结，若． ①探究与的数量关系； ②如图3，连结，在上取点，使得，求的面积． 11．如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、，与交于点，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． (3) 设，，求关于的函数表达式． 题型2 相似三角形-动点问题 1．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题 (1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由； (2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由； (3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 成比例线段 2 题型2 比例性质 2 题型3 黄金分割比 3 题型4 由平行判断成比例的线段 5 题型5 由平行截线求相关线段的长或比值 7 题型6 相似三角形的判定综合 9 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 10 题型8 利用相似三角形的性质求解 12 题型9 相似三角形的实际应用 14 题型10 相似图形及性质 16 题型11位似图形的性质 18 题型12作图-位似图形 20 【优选提升题】 24 题型1 相似三角形的判定与性质综合 24 题型2 相似三角形-动点问题 43 【经典基础题】 题型1 成比例线段 1．下列四组线段中，不是成比例线段的为（     ） A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】解：A、∵，∴四组线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四组线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； C、∵，∴四组线段1，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； D、∵，∴四组线段2，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键． 设线段c是a，b的比例中项，根据比例中项的定义列方程求解即可． 【详解】解：设线段c是a，b的比例中项， ∴，即， ∴（负数舍去）． 故选D． 题型2 比例性质 1．若（，都不为0），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，因为，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，由已知条件可得，然后求得的值后即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 利用设法进行计算，即可解答． 【详解】， 设，则， ． 故答案为： 题型3 黄金分割比 1．如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：B． 2．黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和（）且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义即可得到答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ； 选：D ． 3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ） A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 【答案】A 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 4．顶角是的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边和腰的比为黄金比，若“黄金三角形”的腰长为4，则底边长为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和方程思想，黄金分割，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键； 根据黄金三角形的定义即可得到方程，求解即可； 【详解】解：由于黄金比为， 设底边长为， ， ； 故答案为： 题型4 由平行判断成比例的线段 1．如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 2．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解： ， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 题型5 由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】 ， 即 故选：B． 2．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（    ） A． B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 3．如图，，若，，则的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选C． 题型6 相似三角形的判定综合 1．给出下列结论： ①任意两个等边三角形相似 ②顶角对应相等的两个等腰三角形相似 ③两条边对应成比例的两个直角三角形相似 其中正确的是(  ) A． ②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理即可直接判断． 【详解】①任意两个等边三角形相似，利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到一定相似； ②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得结论正确； ③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似．可得③错误. 故选C. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 2．如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有 个． 【答案】2 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得对边分别平行；根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可得△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，根据相似三角形的传递性即可求得． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AD∥BC, ∴△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA， ∴△ABF∽△EDA， ∴与△ABF相似的三角形共有2个. 故答案为2. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定.相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似. 3．的三边长，，，的三边长，，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可知两三角形的对应边成的比值相等，由此即可得答案. 【详解】∵AB=5，BC=4，AC=3， A'B'=10，B'C'=8，A'C'=6， ∴AB： A′B′=BC：B′C′=AC：A′C′=1：2， ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， 故答案为∽. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知三边的比对应相等的两个三角形相似是解题的关键. 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，在中，点，分别在，上，连接．若单独添加下列条件，其中不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，解决本题的关键是根据添加的条件与已知条件是否满足相似三角形的判定定理． 【详解】解：和中已有， A选项：，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：，故A选项不符合题意； B选项：，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：，故B选项不符合题意； C选项：，，其中不是对应成比例的两边的夹角，不能判定，故C选项符合题意； D选项：，，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得：，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：，， A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求， D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 3．如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的各种判定方法；判定三角形相似的方法有两组相等的角的三角形相似，两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似，三边对应成比例的三角形相似，根据判定方法一一判断即可； 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，根据有两组相等的角的三角形相似得， 故A和B正确； 当时，即，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得， 故C正确； 当时，不是夹角，故不能判定和相似， 故D错误； 故选D． 题型8 利用相似三角形的性质求解 1．如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比，然后化简即可． 【详解】解：两个相似三角形面积的比为， 它们的相似比． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 2．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的对应角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 3．如图，在正方形网格上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角， 根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 4．已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 题型9 相似三角形的实际应用 1．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故选：C． 2．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了(    ) A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m 3．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米． 【答案】8 【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可． 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP=90°， ∵∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP ∴， 即 解得：CD=8米． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决． 4．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米． 【答案】8 【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可． 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP=90°， ∵∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP ∴， 即 解得：CD=8米． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决． 题型10 相似图形及性质 1．如图，照片E放大到F这种图形变化是（   ） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的相关概念及性质，深刻理解相似的定义是解题的关键． 根据相似的定义并结合题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， 故选：． 2．如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，矩形的性质，相似多边形的判定和性质．①正确，证明即可；②正确，设，则，利用相似多边形的性质求出，可得结论． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点F是线段的黄金分割点，故①正确； ②∵， ∴可以假设，则， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴矩形与矩形全等， ∴矩形与矩形相似，故②说法正确， 故选：A． 题型11 位似图形的性质 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，位似比等于相似比，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积比是； 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解题关键． 根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 【详解】解：∵，把的对应边长放大2倍， ∴点的坐标是：或， 即或． 故选：D． 4．一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的周长比等于位似比，掌握位似图形的周长比等于位似比是解答本题的关键． 根据位似图形的周长比等于位似比解答即可． 【详解】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是， 图形的周长是， 故选：C． 5．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为； 故答案为． 题型12 作图-位似图形 1．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、等腰三角形的三线合一、作图—位似变换，解题关键是熟练掌握画位似图形的一般步骤． （1）利用网格特点确定中点，连接，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是的角平分线； （2）利用网格特点确定、中点、，连接，则和是位似图形，位似中心是点． 【详解】（1）解：如图，为所作： （2）解：如图，为所作： 2．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，以原点O为位似中心，将放大到2倍得到． (1)在现有网格图中画出； (2)记线段的中点为M，求放大后点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点M在上对应点的坐标为 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标与图形等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质找到对应点D、E、F，然后顺次连接即可； （2）由题意可知，先求出的中点坐标，再求出对应边的中点坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由题意得，，， ∴BC中点M的坐标为， ∵放大到2倍得到， ∴点M在上对应点的坐标为． 3．图①、图②都是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，以点C为位似中心，将放大到原来的2倍； (2)在图②中，在线段上作点D，使得． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； （1）根据位似的性质作图即可； （2）取格点M，N，使，且，连接，交于点D， 点D即为所求． 【详解】（1）如图①，即为所求． （2）取格点M，N，使，且， 连接，交于点D， ， ， ， ， 则点D即为所求． 【优选提升题】 题型1 相似三角形的判定与性质综合 1．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 2．如图，在中，，，，作，垂足为点． (1)求线段的长； (2)点是上的一点，满足，连接交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，利用等面积法求出的长，在中，根据勾股定理求得线段的长即可； （2）过点作于点，证得，根据相似三角形的性质证得，再证得，利用相似三角形的性质求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得，， 则， 即， 解得， 在中，由勾股定理得，， 因此，线段的长为； （2）解：过点作于点， 、， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 4．如图，内接于，为的直径，为上一点，为弧上一点，连结交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先利用弧、弦、圆心角的关系推得，再由同弧或等弧所对的圆周角相等即可证明； （2）结合半圆（直径）所对的圆周角是直角，用勾股定理解三角形求出，再证明，结合相似三角形的性质即可求得，由即可得解． 【详解】（1）证：， ， ； （2）解：是的直径， ， ，， 中，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是利用弧、弦、圆心角的关系求证，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握圆的相关性质． 5．如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． (1)求的值； (2)如图2，当点B恰好在的延长线上时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可证，再根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，再根据三角形的性质可得，再根据（1）的结论即可得解． 【详解】（1）解：将绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 的值为； （2）解：， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键熟练掌握相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，并能综合运用以上知识解决问题． 6．如图，是的直径，是上一点，连接和，是的中点，连接和，分别交于点和． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，根据垂径定理得到，即可得到结论； （2），根据勾股定理求出，继而得到，可得到，得出，，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 是的中点， 垂直平分， ， ， ； （2）解：由（1）， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 7．如图，是矩形的对角线，，交、于点、，点为的中点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，，再得出，然后证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得证； （2）取的中点，连接，先根据相似三角形的性质可得的长，再根据三角形的中位线定理可得，根据平行线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由（1）已得：， ∴， 解得， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴， 则在中，． 8．如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接． (1)求的半径和的长． (2)求证：． (3)线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长． 【答案】(1)的半径为， (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判断与性质、等腰三角形的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由勾股定理可得，再结合圆的定义可求得圆的半径；如图：作于点H，则、、，再运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）如图，过O作于点I，先说明、，易得，运用相似三角形的性质可得，然后运用线段的和差即可证明结论； （3）如图：过点G作于点N．再说明，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，                                                               ∴的半径为． 如图：作于点H， ∴，，， ∴． ∴． （2）解：如图，过O作于点I， ∴，， 由可得，即，解得， ∴，即． （3）解：如图：过点G作于点N． 由（2）可得， ∴，即是等腰直角三角形， ∵是直径， ∴， ∴． 点P由以下两种可能： ①当时，是等腰直角三角形． ∴EP＝FP＝1． ②当时， ∵ ∴，即，解得． 9．如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点． ①当，求线段的长． ②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据正方形的性质可证 ，推出，，进而推出，即可证明为等腰直角三角形； （2）①先证，为等腰直角三角形，通过导角证明，解求出，即可求出线段的长；②证明，推出，结合，可得 ，再证，可得与的相似比为k，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形． （2）解：① 为等腰直角三角形， ， 又 ， ，为等腰直角三角形， 在和中，，， ， 在中，， ， ， 为等腰直角三角形， ； ② ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 正方形中， ，， ， ， 与的相似比为k， 与的面积比为， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10．已知锐角内接于于点于点，交于点，交于点，连结． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，连结，若． ①探究与的数量关系； ②如图3，连结，在上取点，使得，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由，可得，则，，，进而结论得证； （2）①如图2，连接，证明，则，由勾股定理得，，证明，则；②由①可知，，，则，如图3，作于，，由可得，证明，则，求得，由勾股定理得，，即，求出满足要求的，，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）①解：如图2，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：由①可知，，， 则， 如图3，作于， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，整理得，， 由勾股定理得，，即，整理得，， ∴， ∴，， 解得，，（舍去），，（舍去）， 当，， 当，，（不满足，舍去）； ∴，，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理是解题的关键． 11．如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、，与交于点，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． (3)设，，求关于的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）利用垂径定理可得，然后证明即可； （2）①连接，证明是等边三角形，利用圆心角和圆周角关系定理证明即可；②证明，结合相似三角形的性质列式计算即可． （3）根据表示出，再证明，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：①连接，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②∵的半径为6，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：由（2）得， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴关于的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、函数解析式等知识，熟练掌握圆的基本定理和三角形相似的判定和性质是解题的关键． 题型2 相似三角形-动点问题 1．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题 (1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由； (2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由； (3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)存在；理由见解析 (3)不存在；理由见解析 【分析】（1）结合直角三角形性质，由△APC∽△ACB，得，即可求解； （2）过点P作PM⊥AC，根据线段垂直平分线性质，求QM，AM的表达式，证△APM∽△ABC，得，即可求解； （3）假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，则PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得，得BP=2t=3，故PQ≠BP. 【详解】（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm， ∴AB=6， 由运动知，BP=2t，AQ=， ∴AP=6﹣2t， ∵△APC∽△ACB， ∴t=； （2）存在， 理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ=， ∴AP=6﹣2t，CQ=， ∵点P是CQ的垂直平分线上，过点P作PM⊥AC ，∴QM=CM= ∴AM=AQ+QM=， ∵∠ACB=90°， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC ∴，即 ∴解得t=1； （3）不存在 理由：由运动知，BP=2t，， ∴AP=6﹣2t， 假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形， ∴PQ∥BG，PQ=BG， ∴△APQ∽△ABC， ， ∴BP=2t=3， ∴PQ≠BP， ∴平行四边形PQGB不可能是菱形． 即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．解题关键时注意相似三角形的对应边成比例与分类讨论思想的应用． / 学科网（北京）股份有限公司 $