第三节 原子结构的量子力学模型（导学案）物理沪科版选择性必修第三册

该高中物理导学案围绕原子结构的量子力学模型展开，引导学生学习物质波的本质（德布罗意波长、薛定谔方程、波函数统计诠释）及电子云的概率分布，通过知识回顾衔接玻尔理论，以自主活动推导公式搭建学习支架，帮助学生建立前后知识联系。 资料设计“思考与讨论”“自主活动”等环节，引导学生推导公式、理解统计诠释，培养科学思维中的科学推理与模型建构能力，结合电子云与不确定原理对比经典与量子观点，提升物质和运动观念，习题结合实例注重理论联系实际，便于学生自主学习和教师教学评估。

第3节 原子结构的量子力学模型 导学案 1．简要介绍用电子的物质波波长解释玻尔理论中的轨道量子化。 2．简要介绍薛定谔方程以及波函数的统计诠释，说明物质波与机械波、电磁波的本质区别。 1．3．通过对电子云的简要介绍，说明量子力学对原子结构的大致描述。 在学习过程中初步认识原子结构的量子力学模型，有助于学生形成对原子结构更加完整、科学的认识，并以此提升物质和运动的观念。 【知识回顾】 一、物质波的本质 1．原子核外电子的稳定轨道周长必须等于电子物质波长的__________倍，否则原子不能形成玻尔模型所要求的定态。 核外电子轨道周长与电子波长的关系 n = 3 n = 5 2．薛定谔方程：物质波的波动方程，描述原子中电子运动的方程。 （1）薛定谔方程的解称为波函数 ψ。ψ 是随时间和位置变化的复数函数。 （2）求解薛定谔方程，就可以得到运动电子的量子能级。 （3）薛定谔将自己的新理论称为波动力学，是量子力学的一种重要表现形式。 3．德国物理学家玻恩提出了波函数的统计诠释。 （1）某一时刻，空间某一位置波函数模的二次方正比于在该处单位体积内找到波函数所描述的粒子的__________。物质波是一种__________波。 （2）利用玻恩关于波函数的统计诠释可以很好地理解单光子的双缝干涉实验。 二、电子云 1．经典力学对宏观质点运动的基本观点：质点沿_______的轨道运动，在任意时刻都有_______的位置和_______的动量。（确定／不确定） 2．德国物理学家海森堡提出了不确定原理（又称“测不准原理”），揭示了微观粒子位置和动量之间的关系。 3．从量子力学的观点来看，原子核外的电子__________（存在／不存在）确定的运动轨道。玻尔的电子轨道就是电子出现_______最大的地方。 4．如“云雾”般用小黑点的__________表示电子在核外各处出现的__________分布，这种“云雾”称为电子云。【自主预习】 物质波 1．概率波：光的干涉现象是大量光子的运动遵循波动规律的表现，亮条纹是光子到达概率大的地方，暗条纹是光子到达概率小的地方，因此光波又叫概率波． 2．物质波：任何一个运动着的物体，小到微观粒子大到宏观物体都有一种波与它对应，其波长，为运动物体的动量，为普朗克常量． 思考与讨论： 物质波的本质 德布罗意在提出实物粒子的波粒二象性时，利用物质波的波长公式和玻尔理论中的轨道量子化条件，计算了核外电子轨道所满足的条件 2πr = nλ，n = 1，2，3，… （1） 式（1）表明，原子核外电子的稳定轨道周长必须等于电子物质波波长的正整数倍。如图 14 – 17 所示，当 n 不满足上述要求时，相应的电子轨道是不稳定的。这时原子也不能形成玻尔模型所要求的定态。 图 14 – 17 核外电子轨道周长与电子波长的关系 n = 3 n = 5 利用德布罗意波长公式和玻尔理论中的核外电子轨道量子化条件推导出式（1）。 自 主 活 动 但是，德布罗意并没有给出物质波所满足的波动方程，因此无法知道物质波如何随时间变化。德布罗意的理论受到奥地利物理学家薛定谔（图 14 – 18）的极大关注。1926 年 1 月，薛定谔建立了物质波的波动方程，这个著名的方程就是描述原子中电子运动的薛定谔方程。薛定谔方程的解称为波函数 Ψ，Ψ 是随时间和位置变化的复数函数。求解薛定谔方程，就可以得到运动电子的量子化能级，而不需要人为地规定某些量子化条件。图 14 – 18 薛定谔（E. Schrödinger，1887—1961） 薛定谔方程解决了原子结构、原子光谱的一系列疑难问题，与实验结果符合得很好。薛定谔将自己的新理论称为波动力学，波动力学是量子力学的一种重要表现形式。 尽管波动力学取得了极大的成功，但是物质波既不是机械波，也不是电磁波。人们（包括薛定谔本人在内）对诸如波函数等波动力学重要概念的物理意义并不明确。1927 年，德国物理学家玻恩（图 14 – 19）提出了波函数的统计诠释。玻恩指出，某一时刻，空间某一位置波函数模的二次方 | Ψ |2 正比于在该处单位体积内找到波函数所描述的粒子的概率。按玻恩的解释，物质波是一种概率波。利用玻恩关于波函数的统计诠释可以很好地理解单光子的双缝干涉实验。图 14 – 19 玻恩（M. Born，1882—1970） 电子云 经典力学对宏观质点运动的基本观点是：质点沿确定的轨道运动，在任意时刻都有确定的位置和确定的动量。然而，微观粒子表现出波动性，对于微观粒子上述观点是否成立是需要重新考虑的。 图 14 – 20 海森堡（W. Heisenberg，1901—1976） 1927 年，德国物理学家海森堡（图 14 – 20）提出了不确定原理，揭示了微观粒子位置和动量之间的关系。不确定原理表明，如果微观粒子的位置完全确定，则粒子的动量完全不确定；反之，若微观粒子的动量完全确定，则其位置完全不确定。 微观粒子若沿确定的轨道运动，则粒子的位置确定。根据不确定原理，此时粒子的动量完全不确定，则粒子此后的运动亦无法确定。因此，微观粒子的运动无法用轨道的概念来描述。 海森堡还提出了量子力学的另一种形式——矩阵力学，矩阵力学被证明与波动力学等价。 拓 展 视 野 从量子力学的观点来看，原子核外的电子不存在确定的运动轨道。根据薛定谔方程，我们只能知道电子在原子内各处出现的概率分布。以基态氢原子为例，原子核外电子出现概率最大的区域是以原子核为球心的一个球壳，该球壳的半径约为 5.3×10−11 m，这个数值恰好与玻尔理论计算出来的基态氢原子核外电子轨道半径相同。由此可见，玻尔的电子轨道就是电子出现概率最大的地方。 我们用小圆点的疏密表示电子在核外各处出现的概率分布。这样，原子核似乎被一层“云雾”所笼罩，我们将这种“云雾”称为电子云。图 14 – 21 就是基态氢原子电子云的大致形状。 图 14 – 21 基态氢原子的电子云 20 世纪 20 年代，包括玻尔在内的一批物理学家建立了量子力学。玻尔理论的基本假设成为量子力学理论推导出来的必然结果。量子力学还成功地解释了许多玻尔理论所不能解释的现象，在说明原子结构方面取得了巨大的成功。现在它的应用已远远超出了原子结构的范围，成为物理学家研究微观世界的基本理论。 一、单选题 1．用很弱的光做双缝干涉实验，把入射光减弱到可以认为光源和感光胶片之间不可能同时有两个光子存在，如图所示是不同数量的光子照射到感光胶片上得到的照片。这些照片说明（　　） A．光只有粒子性没有波动 B．光只有波动性没有粒子性 C．少量光子的运动显示波动性，大量光子的运动显示粒子性 D．少量光子的运动显示粒子性，大量光子的运动显示波动性 2．下列说法中正确的是（　　） A．物质波属于机械波 B．只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性 C．德布罗意认为任何一个运动的物体，小到电子、质子、中子，大到行星、太阳都有一种波与之相对应，这种波叫物质波 D．宏观物体运动时，看不到它的衍射和干涉现象，所以宏观物体运动时不具有波动性 3．电子束通过电场加速后，照射到金属晶格（间距约）发生衍射，如图所示（　　） A．该实验表明电子具有粒子性 B．加速电压越大，中心亮斑半径越小 C．加速后电子物质波波长比可见光波长更长 D．根据相对论和质能方程可知加速后的电子质量会变小 4．一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由静止开始经加速电场加速后（加速电压为U），该粒子的德布罗意波长为（　　） A． B． C． D． 5．用光子能量为的单色光照射某金属，逸出的光电子最大初动能为；现用光子能量为的单色光照射该金属，则最大初动能的光电子刚逸出时，其物质波波长为（已知电子质量为、普朗克常数为） A． B． C． D． 6．汤姆孙在实验中让一束电子经过电场加速后，通过多晶晶体得到了如图所示的衍射图样。已知电子质量为 m，加速后电子速度大小为 v，普朗克常量为 h，则（　　） A．该图样说明电子具有粒子性 B．该实验中电子的德布罗意波波长为 C．加速电压越大，电子的物质波波长越短 D．加速电压越大，电子的波动性越明显 7．一个静止的电子经10V电压加速后，其德布罗意波长为λ，若加速电压为250V，不考虑相对论效应，则其德布罗意波长为（　　） A．10λ B．5λ C． D． 二、解答题 8．现代科学研究表明，光既具有波动性，又具有粒子性。某激光器能发射波长为λ的激光，发射功率为P，若已知光速为c，普朗克常量为h，求： (1)光子的能量； (2)光子的动量； (3)激光器每秒发射的光子数。 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 原子结构的量子力学模型 导学案 1．简要介绍用电子的物质波波长解释玻尔理论中的轨道量子化。 2．简要介绍薛定谔方程以及波函数的统计诠释，说明物质波与机械波、电磁波的本质区别。 1．3．通过对电子云的简要介绍，说明量子力学对原子结构的大致描述。 在学习过程中初步认识原子结构的量子力学模型，有助于学生形成对原子结构更加完整、科学的认识，并以此提升物质和运动的观念。 【知识回顾】 一、物质波的本质 1．原子核外电子的稳定轨道周长必须等于电子物质波长的正整数倍，否则原子不能形成玻尔模型所要求的定态。 核外电子轨道周长与电子波长的关系 n = 3 n = 5 2．薛定谔方程：物质波的波动方程，描述原子中电子运动的方程。 （1）薛定谔方程的解称为波函数 ψ。ψ 是随时间和位置变化的复数函数。 （2）求解薛定谔方程，就可以得到运动电子的量子能级。 （3）薛定谔将自己的新理论称为波动力学，是量子力学的一种重要表现形式。 3．德国物理学家玻恩提出了波函数的统计诠释。 （1）某一时刻，空间某一位置波函数模的二次方正比于在该处单位体积内找到波函数所描述的粒子的概率。物质波是一种概率波。 （2）利用玻恩关于波函数的统计诠释可以很好地理解单光子的双缝干涉实验。 二、电子云 1．经典力学对宏观质点运动的基本观点：质点沿）确定的轨道运动，在任意时刻都有）确定的位置和确定的动量。（确定／不确定） 2．德国物理学家海森堡提出了不确定原理（又称“测不准原理”），揭示了微观粒子位置和动量之间的关系。 3．从量子力学的观点来看，原子核外的电子不存在（存在／不存在）确定的运动轨道。玻尔的电子轨道就是电子出现概率最大的地方。 4．如“云雾”般用小黑点的疏密表示电子在核外各处出现的_概率分布，这种“云雾”称为电子云。 【自主预习】 物质波 1．概率波：光的干涉现象是大量光子的运动遵循波动规律的表现，亮条纹是光子到达概率大的地方，暗条纹是光子到达概率小的地方，因此光波又叫概率波． 2．物质波：任何一个运动着的物体，小到微观粒子大到宏观物体都有一种波与它对应，其波长，为运动物体的动量，为普朗克常量． 思考与讨论： 物质波的本质 德布罗意在提出实物粒子的波粒二象性时，利用物质波的波长公式和玻尔理论中的轨道量子化条件，计算了核外电子轨道所满足的条件 2πr = nλ，n = 1，2，3，… （1） 式（1）表明，原子核外电子的稳定轨道周长必须等于电子物质波波长的正整数倍。如图 14 – 17 所示，当 n 不满足上述要求时，相应的电子轨道是不稳定的。这时原子也不能形成玻尔模型所要求的定态。 图 14 – 17 核外电子轨道周长与电子波长的关系 n = 3 n = 5 利用德布罗意波长公式和玻尔理论中的核外电子轨道量子化条件推导出式（1）。 自 主 活 动 但是，德布罗意并没有给出物质波所满足的波动方程，因此无法知道物质波如何随时间变化。德布罗意的理论受到奥地利物理学家薛定谔（图 14 – 18）的极大关注。1926 年 1 月，薛定谔建立了物质波的波动方程，这个著名的方程就是描述原子中电子运动的薛定谔方程。薛定谔方程的解称为波函数 Ψ，Ψ 是随时间和位置变化的复数函数。求解薛定谔方程，就可以得到运动电子的量子化能级，而不需要人为地规定某些量子化条件。图 14 – 18 薛定谔（E. Schrödinger，1887—1961） 薛定谔方程解决了原子结构、原子光谱的一系列疑难问题，与实验结果符合得很好。薛定谔将自己的新理论称为波动力学，波动力学是量子力学的一种重要表现形式。 尽管波动力学取得了极大的成功，但是物质波既不是机械波，也不是电磁波。人们（包括薛定谔本人在内）对诸如波函数等波动力学重要概念的物理意义并不明确。1927 年，德国物理学家玻恩（图 14 – 19）提出了波函数的统计诠释。玻恩指出，某一时刻，空间某一位置波函数模的二次方 | Ψ |2 正比于在该处单位体积内找到波函数所描述的粒子的概率。按玻恩的解释，物质波是一种概率波。利用玻恩关于波函数的统计诠释可以很好地理解单光子的双缝干涉实验。图 14 – 19 玻恩（M. Born，1882—1970） 电子云 经典力学对宏观质点运动的基本观点是：质点沿确定的轨道运动，在任意时刻都有确定的位置和确定的动量。然而，微观粒子表现出波动性，对于微观粒子上述观点是否成立是需要重新考虑的。 图 14 – 20 海森堡（W. Heisenberg，1901—1976） 1927 年，德国物理学家海森堡（图 14 – 20）提出了不确定原理，揭示了微观粒子位置和动量之间的关系。不确定原理表明，如果微观粒子的位置完全确定，则粒子的动量完全不确定；反之，若微观粒子的动量完全确定，则其位置完全不确定。 微观粒子若沿确定的轨道运动，则粒子的位置确定。根据不确定原理，此时粒子的动量完全不确定，则粒子此后的运动亦无法确定。因此，微观粒子的运动无法用轨道的概念来描述。 海森堡还提出了量子力学的另一种形式——矩阵力学，矩阵力学被证明与波动力学等价。 拓 展 视 野 从量子力学的观点来看，原子核外的电子不存在确定的运动轨道。根据薛定谔方程，我们只能知道电子在原子内各处出现的概率分布。以基态氢原子为例，原子核外电子出现概率最大的区域是以原子核为球心的一个球壳，该球壳的半径约为 5.3×10−11 m，这个数值恰好与玻尔理论计算出来的基态氢原子核外电子轨道半径相同。由此可见，玻尔的电子轨道就是电子出现概率最大的地方。 我们用小圆点的疏密表示电子在核外各处出现的概率分布。这样，原子核似乎被一层“云雾”所笼罩，我们将这种“云雾”称为电子云。图 14 – 21 就是基态氢原子电子云的大致形状。 图 14 – 21 基态氢原子的电子云 20 世纪 20 年代，包括玻尔在内的一批物理学家建立了量子力学。玻尔理论的基本假设成为量子力学理论推导出来的必然结果。量子力学还成功地解释了许多玻尔理论所不能解释的现象，在说明原子结构方面取得了巨大的成功。现在它的应用已远远超出了原子结构的范围，成为物理学家研究微观世界的基本理论。 一、单选题 1．用很弱的光做双缝干涉实验，把入射光减弱到可以认为光源和感光胶片之间不可能同时有两个光子存在，如图所示是不同数量的光子照射到感光胶片上得到的照片。这些照片说明（　　） A．光只有粒子性没有波动 B．光只有波动性没有粒子性 C．少量光子的运动显示波动性，大量光子的运动显示粒子性 D．少量光子的运动显示粒子性，大量光子的运动显示波动性 【答案】D 【详解】由于光的传播不是连续的，而是一份一份的，每一份就是一个光子，所以每一次经狭缝只有一个光子，当一个光子到达某一位置时，该位置感光留下痕迹，由于单个光子表现粒子性，即每个光子所到达的区域是不确定的，可大量光子表现出波动性，所以长时间曝光后最后形成了第三个图片中明暗相间的条纹，因此这些照片说明了光具有波粒二象性，即少量光子的运动显示粒子性，大量光子的运动显示波动性，ABC错误，D正确。 故选D。 2．下列说法中正确的是（　　） A．物质波属于机械波 B．只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性 C．德布罗意认为任何一个运动的物体，小到电子、质子、中子，大到行星、太阳都有一种波与之相对应，这种波叫物质波 D．宏观物体运动时，看不到它的衍射和干涉现象，所以宏观物体运动时不具有波动性 【答案】C 【详解】A．机械波是机械振动在介质中传播而形成的波，物质波是指有静止质量的物体或基本粒子在运动的时候是有波动性的，其运动方式满足波动方程，所以我们叫它物质波，物质波不属于机械波，A错误； BCD．任何一个运动的物体都具有波动性，但因为宏观物体的德布罗意波波长很短，所以很难看到它的衍射和干涉现象，C正确，BD错误； 故选C。 3．电子束通过电场加速后，照射到金属晶格（间距约）发生衍射，如图所示（　　） A．该实验表明电子具有粒子性 B．加速电压越大，中心亮斑半径越小 C．加速后电子物质波波长比可见光波长更长 D．根据相对论和质能方程可知加速后的电子质量会变小 【答案】B 【详解】A．电子衍射现象说明了电子具有波动性，故A错误； B．根据动能定理可得 根据物质波波长公式 联立可得 可知加速电压越大，电子的物质波波长越短，中心亮斑半径越小，故B正确； C．金属晶格间距约，发生衍射的电子物质波波长与金属晶格间距相当，而可见光的波长约，所以加速后电子物质波波长比可见光波长更短，故C错误； D．加速后电子的速度变大，根据相对论和质能方程可知加速后的电子质量会变大，故D错误。 故选B。 4．一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由静止开始经加速电场加速后（加速电压为U），该粒子的德布罗意波长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】带电粒子经加速电场，有 动量 根据德布罗意波长公式 故选C。 5．用光子能量为的单色光照射某金属，逸出的光电子最大初动能为；现用光子能量为的单色光照射该金属，则最大初动能的光电子刚逸出时，其物质波波长为（已知电子质量为、普朗克常数为） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据光电效应方程，最大初动能 已知当光子能量为时，，代入可得逸出功 改用光子能量为时，新的最大初动能为 根据动能与动量关系 得 物质波波长 得 故选C。 6．汤姆孙在实验中让一束电子经过电场加速后，通过多晶晶体得到了如图所示的衍射图样。已知电子质量为 m，加速后电子速度大小为 v，普朗克常量为 h，则（　　） A．该图样说明电子具有粒子性 B．该实验中电子的德布罗意波波长为 C．加速电压越大，电子的物质波波长越短 D．加速电压越大，电子的波动性越明显 【答案】C 【详解】A．图为电子束通过多晶薄膜的衍射图样，因为衍射是波所特有的现象，所以说明了电子具有波动性，故A错误； BCD．该实验中电子的德布罗意波波长为 根据动能定理可知加速电压越大，电子获得的动能越大，动量也就越大，电子的德布罗意波长越短，电子的粒子性就越明显，故BD错误，C正确。 故选C。 7．一个静止的电子经10V电压加速后，其德布罗意波长为λ，若加速电压为250V，不考虑相对论效应，则其德布罗意波长为（　　） A．10λ B．5λ C． D． 【答案】C 【详解】设电子经过电压加速后的速度大小为，由动能定理得 电子的动量大小为 电子的德布罗意波长为 联立解得 结合 解得 故选C。 二、解答题 8．现代科学研究表明，光既具有波动性，又具有粒子性。某激光器能发射波长为λ的激光，发射功率为P，若已知光速为c，普朗克常量为h，求： (1)光子的能量； (2)光子的动量； (3)激光器每秒发射的光子数。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）光子能量的公式 结合 得 （2）由德布罗意关系式可知光子动量 （3）激光器每秒发射的总能量为P。单个光子能量为，故光子数 本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ / 学科网（北京）股份有限公司 $