16.2 平行线（讲义） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦平行线核心知识点，系统梳理平行公理（含定义、画法、基本事实及推论）、三线八角辨识、平行线的判定与性质（同位角、内错角、同旁内角的判定与性质），形成从概念到公理再到应用的完整知识链，搭建清晰学习支架。 资料通过易错点辨析（如“直线外一点”正误判断）、分类例题（三线八角辨识、判定性质辨析等）和推理填空练习，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，查漏补缺，提升知识应用能力。

沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.2 平行线 知识梳理 知识点 相关题型 平行公理 对平行线的理解 过直线外一点画已知直线的平行线 三线八角的辨识 平行线的判定 平行线判定和性质的辨析 平行线的性质 应用平行线的判定和性质进行推理、证明 知识点讲解 1.平行公理 （1）平行的定义 在在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作：AB//CD，读作：直线AB平行于直线CD。 （2）平行线的画法 口诀：一靠、二移、三画 （3）一个基本事实 基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。 易错点：强调是“直线外一点” 尝试判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ╳ ）错的 （2）在同一平面内，不平行的两条直线一定相交（ √ ）对的 （3）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行（ ╳ ）错的 （4）如果直线a//b,a//c,那么b//c. ( √ )对的 （3）平行公理的推论——传递性 定理：如果两条在同一平面内，如果直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 几何语言： ∵a//b，b//c ∴a//b （4）反证法： 已知：直线a、b、c在同一平面上，a//c,b//c. 求证：a//b. 证明： 假设a与b不平行，且相交于点P,那么过点P就有两条直线a、b都和直线c平行，这与平行公理矛盾. 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 反证法的证题步骤： (1) 先假设求证的结论是错误的； (2) 由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果； (3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 2.平行线的判定和性质 （1）三线八角的认识 ①两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角” ②同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 【1】∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。图中的同位角还有∠2与∠5，∠3与∠8，∠4与∠7 【2】∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“N”。 图中的内错角还有∠1与∠8 【3】∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字符“匚”。图中的同旁内角还有∠4与∠8 （2）平行线的判定与性质1 两条直线平行的公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠1=∠5 ∴a//b (同位角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） （3）平行线的判定与性质2 平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行. 平行线的性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠3=∠5 ∴a//b (内错角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） （4）平行线的判定与性质3 平行线的判定定理3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 几何语言表述： 判定： ∵∠2+∠5= ∴a//b (同旁内角互补，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠2+∠5=（两直线平行，同旁内角互补） （5）补充：垂直于同一条直线的两直线平行. 几何语言： ∵a⊥b，a⊥c ∴b//c (6)平行线判定与性质的比较 图形 判定 性质 同位角相等，两直线平行 ∵∠1=∠2,∴a//b 两直线平行，同位角相等 ∵a//b∴∠1=∠2 内错角相等，两直线平行 ∵∠3=∠2,∴a//b 两直线平行，内错角相等 ∵a//b∴∠3=∠2 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠4+∠2=,∴a//b 两直线平行，同旁内角互补 ∵a//b∴∠4+∠2 例题讲解 【题型1】对平行线的理解 这一部分的定义、定理、公理极易混淆，加之学生初学极易出错，一定要结合图形辨析清楚. 【例1】（24-25七年级下·上海·月考）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行公理，两直线的位置关系，垂线的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离，故该选项正确，符合题意； C. 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，故该选项不正确，不符合题意； D. 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质、平行公理及推论． 由题意直接根据平行线的判定与性质、平行公理及推论依次进行分析即可判断． 【详解】解：①同一平面内不相交的两条直线互相平行，所以①正确； ②经过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，所以②错误； ③平行于同一条直线的两条直线平行，所以③正确； ④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直，所以④正确． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】A 【分析】本题考查了平行的传递性、平行线的性质，对顶角，熟练掌握知识点解答本题的关键． 根据平行的传递性可判断A；根据两直线的位置关系可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、根据平行的传递性可知A正确，故本选项符合题意； B、若与相交，与相交，则与可能相交或平行，故本选项不符合题意； C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意． 故选：A． 【题型2】过直线外一点画已知直线的平行线 【例2】（24-25七年级下·北京东城·期末）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格作图，作已知直线的平行线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格的性质，过点作的平行线，即可作答． （2）结合网格的性质，过点作的平行线，与直线交于点，即可作答． 【详解】（1）解：过点作的平行线，如图所示： （2）解：如图所示； 【变式2】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图：点A，B，C分别是的边上的点．连接，过B点作交于点E，点D是线段上任意一点，过点D作交线段于点F． (1)补全图形； (2)请判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． （1）连接，过B点作交于点E，点D是线段上任意一点，过点D作交线段于点F即可； （2）依据平行线的性质，即可得到与的关系． 【详解】（1）解：补全图形如图， （2）解：与的数量关系为， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3】三线八角的辨析 【例3】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可，“两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．” 【详解】解：的同位角是；的内错角是或；的同旁内角是或或或， 故答案为：；（答案不唯一）；（答案不唯一）． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，不是的同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，解题关键是正确识别图形，能够准确判断同位角、内错角和同旁内角．观察图形，根据同旁内角、内错角和同位角的定义，对各个选项中的角与的关系进行判断即可． 【详解】解：A．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； B．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； C．观察图形可知：和不是同旁内角，故此选项符合题意； D．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型4】平行线判定和性质的辨析 【例4】如图，(1)∠1=∠A，则____________，依据是 ； ⑵∠3=∠B ，则____________，依据是 ； ⑶∠2+∠A=180°，则____________，依据是 ； ⑷∠1=∠4 , 则____________，依据是 ； ⑸∠C+∠B=180°, 则____________，依据是 ； ⑹∠4=∠A ，则____________，依据是 ； A B F E G D C 1 2 3 4 【分析】平行线的判定． 【详解】解： 如图，(1)∠1=∠A，则GC//AB，依据是 内错角相等，两直线平行； ⑵∠3=∠B ，则EF//AB，依据是 同位角相等，两直线平行； ⑶∠2+∠A=180°，则GC//AB，依据是 同旁内角互补，两直线平行； ⑷∠1=∠4 , 则GC//EF，依据是内错角相等，两直线平行； ⑸∠C+∠B=180°, 则GC//AB依据是 同旁内角互补，两直线平行； ⑹∠4=∠A ，则EF//AB，依据是 同位角相等，两直线平行； 【变式1】推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定和性质： 根据平行线的判定内错角相等，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的判定同旁内角互补，两直线平行即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同位角相等即可得到结论； 根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补即可得到结论． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故答案为：，，内错角相等，两直线平行； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：，，同旁内角互补，两直线平行； ， 两直线平行，同位角相等， 故答案为：，，两直线平行，同位角相等； ， ， 故答案为：，，两直线平行，同旁内角互补． 【变式2】如图， 如果DE∥AB，那么∠A+___=180°，或∠B+_____=180°，根据是______； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠____，根据是______； 如果____∥____，那么∠DEF=∠AFE，根据是______； 如果_____∥_____．那么∠CED=∠FDE，根据是_____ 【分析】此题考查了平行线的性质，正确理解各个性质是解题的关键． 【详解】（1）如果DE∥AB，那么∠A+∠AED=180°，或∠B+∠BDE=180°，根据是两直线平行同旁内角互补； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠B，根据是；两直线平行同位角相等； 如果DE∥AB，那么∠DEF=∠AFE，根据是两直线平行内错角相等； 如果AC∥FD．那么∠CED=∠FDE，根据是两直线平行，内错角相等. 【题型5】应用平行线的判定和性质进行推理、证明 【例5】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)或． 【分析】（）．由已知可得，即得，即可得到； （）由，，可得，进而得到，即可得到，得到，即可求解； （）画出图形，分两种情况解答即可求解； 本题考查了角的和差，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示， 当时，， ∴， ∵， ∴； 如图所示， 当时，， ∵， ∴； 综上，当的度数为或时，， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江·期末）在中，是AB上一点，DEBC交AC于点，点是线段DE延长线上一点，连接， (1)如图1，求证：CFAB； (2)如图2，连接BE，若，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)100° (3)12° 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明； （2）过点E作EKAB，可得CFABEK，再根据平行线的性质即可得结论； （3）根据∠EBC：∠ECB=7：13，可以设∠EBC=7x°，则∠ECB=13x°，然后根据∠AED+∠DEB+∠BEC=180°，得出13x+7x+100=180，求出x的值，进而可得结果． 【详解】（1）证明：∵DEBC， ∴∠ADE=∠ABC， ∵∠BCF+∠ADE=180°， ∴∠BCF+∠ABC=180°， ∴CFAB； （2）解：如图，过点E作EKAB， ∵， ∴∠BEK=∠ABE=40°， ∵CFAB， ∴CFEK， ∵， ∴∠CEK=∠ACF=60°， ∴∠BEC=∠BEK+∠CEK=40°+60°=100°； （3）∵BE平分∠ABG， ∴∠EBG=∠ABE=40°， ∵∠EBC：∠ECB=7：13， ∴设∠EBC=7x°，则∠ECB=13x°， ∵DEBC， ∴∠DEB=∠EBC=7x°，∠AED=∠ECB=13x°， ∵∠AED+∠DEB+∠BEC=180°， ∴13x+7x+100=180， 解得x=4， ∴∠EBC=7x°=28°， ∵∠EBG=∠EBC+∠CBG， ∴∠CBG=∠EBG-∠EBC=40°-28°=12°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 过关练习 1. 如图，木工常用角尺画平行线，其中的道理是________ 【答案】同位角相等，两直线平行 2．下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 3．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 4．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同位角相等”得到角的等量关系． 利用，根据“两直线平行，同位角相等”，得、，求出；再由与互补，计算出． 【详解】证明：， ，． ，， ． ，， ， ． 6．如图，，交于点C，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的性质和平行线的性质，关键是利用平行线的同位角相等进行角度转化． 先由邻补角互补求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7．如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行，证明即可； （2）根据垂直于同一直线的两直线平行，平行线的性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可知，，从而得证； （2）先根据，推出，然后利用，求得，接着利用平角，求得，根据（1）可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 9．（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2）你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 【答案】（1）作图见详解；（2）相等或互补 【分析】本题考查网格中作平行线、平行线的性质及互补定义，掌握平移性质是解决问题的关键． （1）连接，由图可知是矩形的对角线，如图所示，取格点，作直线即可得到；由是矩形的对角线，如图所示，取格点，作直线即可得到； （2）根据题意，作出图形，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ； 如图所示： ； （2）解：如图所示： ； ， ； 综上所述，与的大小关系为相等或互补． 10．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④；能判定的条件有②． 故答案为：①③④；②． 11．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【答案】对顶角相等，2，3，a，c，同位角相等，两直线平行，b，c，平行于同一直线的两条直线互相平行 【分析】根据对顶角相等得到，从而得到，再根据平行线的判定定理得到，从而根据平行线的推论证得． 【详解】解：因为（已知） （对顶角相等） 所以2=3（等量代换） 所以ac（同位角相等，两直线平行） 又因为（已知） 所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行） 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质定理． 12．完善下面解题步骤，并说明解题依据．如图，已知，，垂足为点B、F，，求证：． 证明：∵，， ∴（    ） ∴（    ）（          ） 又∵， ∴（    ）（    ）（          ） ∴（    ）（    ）（          ） 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】结合垂直的定义，根据平行线的判定，完成证明过程即可． 【详解】证明：∵，， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，平行线公理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 13.如图∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D， 那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。 D A B C 【分析】本题考查了同旁内角互补两直线平行的判定． 【详解】解： ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D， ∴2， ∴， ∴AD//BC 同理：AB//CD． 14.如图，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,且∠1+∠2=90°,请说明AB//CD的理由. 【分析】本题考查了同旁内角互补两直线平行的判定和角平分线的定义． 【详解】解： ∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD ∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2 ∵∠1+∠2=9 ∴， ∴AB//CD． 15．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，请你通过推理说明与有怎样的数量关系？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，易得，有，利用，得到，从而得到结果． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， 又， ， ． 16．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)两边分别平行的两个角相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质、等量代换等知识点，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后等量代换即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后等量代换即可解答； （3）综合（1）（2）即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ． （2）如图2，，理由如下： ，， ， ． （3）综合（1）（2）可得，两边分别平行的两个角相等或互补． 17．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据平行线的性质解答即可； （）求出，再根据平行线的性质解答即可； 本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18.如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据，结合角的和差倍分进一步求解，然后根据两直线平行，内错角相等求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，代入， ∴， 解得：， 由（1）得， ∴． 故的度数为． 试卷第1页，共3页 45 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 16.2 平行线 知识梳理 知识点 相关题型 平行公理 对平行线的理解 过直线外一点画已知直线的平行线 三线八角的辨识 平行线的判定 平行线判定和性质的辨析 平行线的性质 应用平行线的判定和性质进行推理、证明 知识点讲解 1.平行公理 （1）平行的定义 在在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作：AB//CD，读作：直线AB平行于直线CD。 （2）平行线的画法 口诀：一靠、二移、三画 （3）一个基本事实 基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。 易错点：强调是“直线外一点” 尝试判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ╳ ）错的 （2）在同一平面内，不平行的两条直线一定相交（ √ ）对的 （3）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行（ ╳ ）错的 （4）如果直线a//b,a//c,那么b//c. ( √ )对的 （3）平行公理的推论——传递性 定理：如果两条在同一平面内，如果直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 几何语言： ∵a//b，b//c ∴a//b （4）反证法： 已知：直线a、b、c在同一平面上，a//c,b//c. 求证：a//b. 证明： 假设a与b不平行，且相交于点P,那么过点P就有两条直线a、b都和直线c平行，这与平行公理矛盾. 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 反证法的证题步骤： (1) 先假设求证的结论是错误的； (2) 由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果； (3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 2.平行线的判定和性质 （1）三线八角的认识 ①两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角” ②同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 【1】∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。图中的同位角还有∠2与∠5，∠3与∠8，∠4与∠7 【2】∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“N”。 图中的内错角还有∠1与∠8 【3】∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字符“匚”。图中的同旁内角还有∠4与∠8 （2）平行线的判定与性质1 两条直线平行的公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠1=∠5 ∴a//b (同位角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） （3）平行线的判定与性质2 平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行. 平行线的性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠3=∠5 ∴a//b (内错角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） （4）平行线的判定与性质3 平行线的判定定理3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 几何语言表述： 判定： ∵∠2+∠5= ∴a//b (同旁内角互补，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠2+∠5=（两直线平行，同旁内角互补） （5）补充：垂直于同一条直线的两直线平行. 几何语言： ∵a⊥b，a⊥c ∴b//c (6)平行线判定与性质的比较 图形 判定 性质 同位角相等，两直线平行 ∵∠1=∠2,∴a//b 两直线平行，同位角相等 ∵a//b∴∠1=∠2 内错角相等，两直线平行 ∵∠3=∠2,∴a//b 两直线平行，内错角相等 ∵a//b∴∠3=∠2 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠4+∠2=,∴a//b 两直线平行，同旁内角互补 ∵a//b∴∠4+∠2 例题讲解 【题型1】对平行线的理解 【例1】（24-25七年级下·上海·月考）下列叙述正确的是（    ） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【变式1】（23-24七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型2】过直线外一点画已知直线的平行线 【例2】（24-25七年级下·北京东城·期末）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【变式2】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图：点A，B，C分别是的边上的点．连接，过B点作交于点E，点D是线段上任意一点，过点D作交线段于点F． (1)补全图形； (2)请判断与的关系，并证明你的结论． 【题型3】三线八角的辨析 【例3】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，不是的同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】平行线判定和性质的辨析 【例4】如图，(1)∠1=∠A，则____________，依据是 ； ⑵∠3=∠B ，则____________，依据是 ； ⑶∠2+∠A=180°，则____________，依据是 ； ⑷∠1=∠4 , 则____________，依据是 ； ⑸∠C+∠B=180°, 则____________，依据是 ； ⑹∠4=∠A ，则____________，依据是 ； A B F E G D C 1 2 3 4 【变式1】推理填空： 如图：若， 则______ ______（______ ） 若， 则____________（______ ） 当____________时， （______ ） 当____________时，（______） 【变式2】如图， 如果DE∥AB，那么∠A+___=180°，或∠B+_____=180°，根据是______； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠____，根据是______； 如果____∥____，那么∠DEF=∠AFE，根据是______； 如果_____∥_____．那么∠CED=∠FDE，根据是_____ 【详解】（1）如果DE∥AB，那么∠A+∠AED=180°，或∠B+∠BDE=180°，根据是两直线平行同旁内角互补； 如果EF∥BC，那么∠EFA=∠B，根据是；两直线平行同位角相等； 如果DE∥AB，那么∠DEF=∠AFE，根据是两直线平行内错角相等； 如果AC∥FD．那么∠CED=∠FDE，根据是两直线平行，内错角相等. 【题型5】应用平行线的判定和性质进行推理、证明 【例5】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【变式1】（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江·期末）在中，是AB上一点，DEBC交AC于点，点是线段DE延长线上一点，连接， (1)如图1，求证：CFAB； (2)如图2，连接BE，若，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数． 过关练习 1. 如图，木工常用角尺画平行线，其中的道理是________ 2．下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，．求和的度数． 6．如图，，交于点C，，求的度数． 7．如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2）你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 10．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 11．如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 12．完善下面解题步骤，并说明解题依据．如图，已知，，垂足为点B、F，，求证：． 证明：∵，， ∴（    ） ∴（    ）（          ） 又∵， ∴（    ）（    ）（          ） ∴（    ）（    ）（          ） 13.如图∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D， 那么AB∥CD ，AD∥BC．请说明理由。 D A B C 14.如图，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,且∠1+∠2=90°,请说明AB//CD的理由. 15．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，请你通过推理说明与有怎样的数量关系？ 16．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知，，与交于点． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 17．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图1，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图2是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 18.如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 45 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $