专题03 投影、视图与展开图相关解答题分类训练（专项训练）数学北京版九年级下册

专题03 投影视图与展开图相关解答题分类训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行投影解直角三角形（难点） 1 题型二、利用三视图判断立方体最多和最少数量（难点） 13 题型三、利用三视图求面积（常考点） 21 题型四、利用三视图求体积 27 题型五、平面展开图相关最短路径问题（难点） 33 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行投影解直角三角形（难点） 1．九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 【答案】(1)点到水平地面的距离为6米； (2)小明测得的九天楼高度为米． 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：过C作交延长线于H， 在中，， ∴（米）； 答：点到水平地面的距离为6米； （2）解：过H作交于E， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ∴，即 解得， ∴（米）． 答：小明测得的九天楼高度为米． 2．综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 3．甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作于点，交于点，延长交于点，由坡坡度为，可设，，得，即得到，解得，得到，， 进而得到，，，即可得，再根据可得，即可求解； （）设阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，由斜坡坡度为， 设，，得，即得，，，再根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，平行投影，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； （2）解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 4．十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】居民楼的高度约为 16 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后设米，则米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据同一时刻物高与影长是成正比例列出比例式，从而进行计算可求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 设米， 则米， 在中，（米）， 米， 由题意得：， ， 解分式方程得：， 经检验：是原方程的根， 米， 答：居民楼的高度约为16米． 5．如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，， 【答案】米 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，平行投影，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．首先过点作于点，则四边形为矩形，根据同一时刻的太阳光线是平行的可得，根据相似三角形对应边成比例可知，设大树的高度为米，根据，可得方程，解方程即可求出大树的高度． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 设米，则米， 根据题意知， ， ， ， ， 米， 米，米， 在处测得的俯角为， ， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大树的高度约为米． 6．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 【答案】(1)52 (2)塔的高度为 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键： （1）根据同一时刻，同一地点，不同物体的物高之比等于影长之比，进行求解即可； （2）设塔的高度为，解直角三角形，分别求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为：52； （2）设塔的高度为， 在中，， 在中，， ∴， 解得：； 答：塔的高度为． 7．光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：） (1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高； (2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了． 【答案】(1)此时太阳能利用率不是最高，理由见解析 (2)此时太阳能光伏板没有遮挡，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，掌握同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例且方向相同是解答本题的关键． （1）分别求出，，即可得出结论； （2）过点作交所在直线于点，根据平行投影的性质得，求出米，根据求出米，求出米，即可得出结论． 【详解】（1） ∵垂直于太阳光线时 此时太阳能利用率不是最高 （2）过点作交所在直线于点 ∴米 米 米 ∴米 米， 此时太阳能光伏板没有遮挡 8．研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据． 数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端处竖立一根标杆，的影长，标杆，然后在纪念碑影子上的处安装测倾器，测得纪念碑顶端的仰角为，量得，． 数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点，，，在同一水平直线上．请根据上述数据，计算百团大战纪念碑顶部点到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 过点作于点，根据矩形的性质得、，利用设、，先证得，可得，把各个值代入得，解方程，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵由题意得，四边形是矩形，                                                                                                                                                                                                                                                                   ∴，． 在，，， ∴， ∴． 设，， ∴，，， ∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴解得：． ∴． 答：点到地面的距离约为． 题型二、利用三视图判断立方体最多和最少数量（难点） 9．如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三视图． （1）分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图即可； （2）分别找出主视图、左视图不变时可以添加的位置，取公共位置即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：保持主视图和左视图不变，可在如下位置添加， 即最多可以再添加2个小立方块． 故答案为：2． 10．如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为___________； (3)重新用小立方块搭一个几何体，并保持主视图和左视图不变，则搭这样一个几何体最少要___________个小立方块． 【答案】(1)图见解析 (2)26 (3)6 【分析】本题考查了三视图，掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据几何体的特征画图即可； （2）观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，再根据几何体的表面积公式计算即可； （3）由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层，第一层需要4个小立方块，第二层至少需要2个小立方块，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，三视图如下， （2）解：观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形， ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：26； （3）解：由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层， 第一层需要4个小立方块，第二层至少需要2个小立方块， ∴搭这样一个几何体最少要（个）小立方块． 故答案为：6． 11．图1是地面上由8个棱长为的正方体积木搭成的几何体，回答下列问题： (1)在图2中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)将图1中小立方块①移走后，从 面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走 个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)正，2 【分析】本题考查立体图形的三视图，理解三视图的定义并发挥空间想象能力是解题关键． （1）根据三视图的定义作图即可； （2）根据三视图的定义进行判断即可． 【详解】（1）三视图如下： （2）结合（1）中的三视图可判断出，只有正面看到形状图没有发生改变； 要保持所看到的形状，最多还可以从右侧移走两个立方体． 12．（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． 【答案】（1）答案见解析 （2）①该几何体最少由7个小立方体搭成；②该几何体最多由10个小立方体搭成；③主视图见解析 【分析】本题考查了作图—三视图，解题的关键是掌握：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的小立方体个数． （1）主视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；依此画出图形即可 （2）根据左视图和俯视图，可确定几何体最少、最多小立方体个数，由最多的小立方体个数画出主视图即可． 【详解】解：（1）根据主视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1，图形如下： （2）由左视图和俯视图可知： ①该几何体最少由7个小立方体搭成； ②该几何体最多由10个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，主视图如下： 13．在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体． (3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查几何体的三视图、添加小正方体的限制条件及表面积计算，涉及知识点：三视图的画法、几何体的空间结构、表面积的计算（注意接触面不喷漆）．解题关键是准确判断三视图的形状及暴露面的数量，易错点是添加小正方体时忽略视图限制，或计算表面积时重复/遗漏面． （1）根据几何体的层数和列数画三视图；按正、左、上三个方向观察几何体，画出视图即可； （2）结合左视图和俯视图的限制，确定可添加小正方体的位置； （3）分别计算各个方向的暴露面，求和得喷漆面积． 【详解】（1） （2）保持左视图和俯视图不变，如图所示： 最多添加3． （3）小正方体棱长为，每个面面积为，计算暴露面： 前面/后面：各看到个面，共个； 左面/右面：各看到个面，共个； 上面：看到个面； 接触面（底面）不喷漆，故总面积为 14．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图并求该几何体的表面积（包括底面）； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体． 【答案】(1)图见详解， (2)2 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）根据几何体的特征可进行作图，然后根据三视图可进行求解； （2）根据几何体的特征及三视图可进行求解 【详解】（1）解：所作三视图如下： 该几何体的主视图、左视图和俯视图如下： ∴该几何体的表面积为； （2）解：由题意可得在备注数字的位置添加相应数量的小正方体， 所以最多可以添加2个， 故答案为：2； 15．如图，是由个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； (2)用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_______个小立方块． 【答案】(1)画图见解析 (2)9 【分析】本题考查了作图——从三个方向看以及应用，解题的关键是运用空间想象能力画出从三个方向看的几何体的形状． （1）根据立体图形分别画出从三个不同方向看到的形状图即可； （2）在从上面看的图的相应位置上标出该位置所放置的小立方体的个数，从而得出最少需要的小立方体的个数． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与方格中所画一致，最少如图所示， ∴共个小正方体． 故答案为：9． 16．如图1，在平整的地面上，用8个棱长为1的小立方块搭成一个几何体． (1)请在图2所示的网格中依照从正面看到的这个几何体的形状图，画出从左面和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)求这个几何体的表面积（包括与地面接触的部分）； (3)如果保持从左面和上面看到的这个几何体的形状图不变，那么最多可以再添加_____________个小立方块． 【答案】(1)见解析． (2) (3)1 【分析】本题考查几何体的三视图、表面积计算及空间拼接问题，解题关键是通过分析三视图确定几何体结构，结合视图规则计算或推理． (1)  左视图：从左面看，确定每层小立方块的列数与层数，画出对应形状；俯视图：从上面看，确定底层小立方块的分布，画出对应形状． (2) 计算表面积：分别数出几何体前、后、左、右、上、下（包括地面）各面露出的小正方形个数，每个面面积为1，求和得表面积． (3) 求最多添加小立方块数，根据左视图和俯视图的形状限制，确定每个位置可添加的小立方块数量，求和得最大值． 【详解】（1）从左面看和从上面看到的形状图如图所示： （2）表面积． （3）从左面和上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加1个小立方块． 故答案为1． 题型三、利用三视图求面积（常考点） 17．如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)120平方厘米 【分析】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积，解题的关键是： （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的棱长的和以及表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：由题知，该几何体的表面积． 18．某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是 ； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱； (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，以及圆柱的侧面积公式． （1）根据几何体三视图即可得出结论； （2）代入圆柱侧面积公式即可， ． 【详解】（1）解：由三视图可知，原几何体为圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：根据图中数据知，圆柱的底面半径为，高为6， ∴圆柱的侧面积． 19．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图. (1)写出这个几何体的名称； (2)求出这个几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体以及几何体的表面积，几何体的表面积等于底面积加上侧面积． （1）根据几何体的三视图，可得出几何体是直三棱柱； （2）由图可得底面三角形的三边分别为6，8，10，正三棱柱的高为4，侧面积等于三个矩形的面积，表面积等于侧面积加上两个底面积． 【详解】（1）解：这个几何体是直三棱柱； （2）解：主视图是一个直角三角形，直角三角形斜边是： ， 这个几何体的表面积为： ， 即几何体的表面积为． 20．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据展开图判断几何体即可； （2）根据三视图的定义判断即可； （3）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：展开图由两个等腰直角三角形和三个矩形组成，这是直三棱柱的典型展开图，直三棱柱的两个底面是等腰直角三角形，侧面是矩形，所以这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱， （2）故答案为：直三棱柱； 解：主视图显示的是直三棱柱的侧面，即一个矩形，俯视图应该显示的是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图则应该显示的是直三棱柱的另一个侧面，也是一个矩形，但其高度为，宽度为等腰直角三角形的斜边长度，即，根据这些信息，可以判断图④和图⑤不正确， 故答案为：④⑤； （3）解：由题意可知， ， 该几何体的表面积为． 21．北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【答案】(1)这两次技术改造日产量的平均增长率为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、几何体的三视图，掌握相关知识点是解题的关键． （1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，根据题意列出方程，求出x的值即可解答； （2）由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为，据此求出盲盒的表面积即可． 【详解】（1）解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为． （2）解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为， ∴盲盒的表面积， 答：此类盲盒的表面积为． 22．如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． (1)这个几何体的名称是________； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积；（结果保留π） 【答案】(1)圆柱； (2)； 【分析】（1）根据从不同方向看到的图形判断即可； （2）根据圆柱的侧面积公式计算即可； 本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的展开图，理解圆柱的特征是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由从不同方向看到的形状可知该几何体是圆柱． 故答案为∶圆柱； （2）解：由图可知，圆柱体的底面直径为2，高为3， 所以侧面积． 23．一个几何体的三种视图如图所示． (1)这个几何体的名称是 ； (2)求这个几何体的表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】（）根据主视图及左视图都为长方形，底面是圆形即可判断求解； （）根据表面积侧面积底面积列式计算即可求解； 本题考查了由三视图判断几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由几何体的三视图可知，这个几何体的名称是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：几何体的表面积． 24．一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图． （1）根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； （2）根据三视图可知底面是正五边形，用底面的边长乘以高再乘以5即可求出侧面积． 【详解】（1）解：根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； 故答案为：五棱柱； （2）解：由三视图可知，这个几何体的侧面是五个长为，宽为的矩形， 这个几何体的侧面积为：， 答：这个几何体的侧面积是． 题型四、利用三视图求体积 25．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，求几何体的体积， （1）由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，即可解答． （2）由三视图可知，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，再结合体积公式解答即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个圆柱． 故答案为：圆柱． （2）解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为4、4、3，圆柱体的底面圆的直径为2，高为3， ∴该几何体的体积为． 26．如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． (1)该几何体的名称是_______； (2)若，，，，求该几何体的体积． 【答案】(1)三棱柱； (2)该几何体的体积为． 【分析】（1）由三视图可知该几何体名称； （2）作交于点，结合锐角三角函数和勾股定理求出，，，继而求出，即可求得该几何体的体积． 【详解】（1）解：根据三视图可知，该几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：作交于点， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 该三棱柱的体积为． 【点睛】本题考查的知识点是三棱柱的三视图、体积、锐角三角函数、勾股定理，解题关键是熟练掌握以上知识点． 27．长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查长方体的三视图、体积的计算方法及用平面截几何体的方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （2）由三视图确定长方体的长、宽、高，利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形． 故答案为：①②③ （2）解：由主视图可知长方体的长为，高为， 由俯视图可知长方体的宽为， ∴该几何体的体积为． 28．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 29．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图计算几何体的体积，由三视图还原几何体是解题的关键． 根据三视图可知该几何体为圆锥和圆柱的结合体，进而根据三视图中的数据计算体积即可． 【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体， 其体积为：． 30．张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，，， 所以可设． 根据勾股定理，得，解得， ∴， 由三视图，可知． （2）解：直三棱柱的体积为． 31．如图是小静画的一个几何体的三视图． (1)这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)正方体，圆柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的三视图，正方体和圆柱的体积公式，利用几何体的三视图还原几何图形是解题关键． （1）由主视图和左视图可得到这两个物体都是柱体，由俯视图可得下面的是长方体，上面的是圆柱； （2）根据几何体的体积长方体的体积圆柱的体积，进行计算即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由正方体和圆柱这两个立体图形组成的． 故答案为：正方体，圆柱． （2）解：几何体的体积为：． 故这个几何体的体积为． 32．在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 【答案】(1)①，② (2)， 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分别从正面、左面看到的图形，得出几何体的主视图和左视图，进行作答即可． （2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积． 【详解】（1）解：由题意可得，该几何体的主视图是①，左视图是②； 故答案为：①，②； （2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变， 则这个几何体的表面积为：， 这个几何体的体积为：， 答：这个几何体的表面积与体积分别为，． 题型五、平面展开图相关最短路径问题（难点） 33．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    34．追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 35．如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 【答案】130cm 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点，根据两点之间线段最短可知B的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，连接B交EC于F，则B即为最短距离． ∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处， ∴D＝50cm，BD＝120cm， ∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm． 【点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 36．如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） (1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ (2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？ 【答案】(1)6分米 (2)分米 【分析】（1）设这个圆柱形容器的底面直径为分米，根据圆柱容积公式得出方程求解即可； （2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则长即为绳子长度，再根据勾股定理求出的长即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的体积，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个圆柱形容器的底面直径为分米， 圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍， ， ， 这个圆柱形容器的底面直径为6分米； （2）由题意将圆柱侧面展开如图所示，则长即为绳子长度， 圆柱形容器的底面直径为6分米， 圆柱形容器的底面周长为18分米， 高为直径的分米， 绳子长度至少为（分米）． 37．如图1是长方体模型，棱长如图所示，图2是它的一种表面展开图． （1）①在图2中，表示出Cˈ可能的位置； ②在图3中画出长方体的一种展开图（不同于图2）； （2）图1中，一只在顶点A的蚂蚁，要吃到Cˈ处的甜食，求它沿长方体表面爬行的最短距离； （3） 在满足AB+BC+BBˈ=9的条件下，当AB为何值时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短，并写出其中的一种方案． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）最短路径为；（3）AB=4.5时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短 【分析】（1）①根据长方体的平面展开图即可找到位置； ②根据题意画出正确的图形即可； （2）连接AC′，求出AC′的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC′的长，再找出最短的即可； （3）设AB=x，则BC′=，由勾股定理构建二次函数，根据二次函数的最值，即可求得答案． 【详解】（1）①Cˈ可能的位置如图所示： ②长方体的一种展开图如图所示： （2）分为三种情况： 如图1， AB=4，BC′=3+2=5， 在Rt△ABC′中，由勾股定理得： ， 如图2， AC=4+2=6，CC′=3， 在Rt△ACC′中，由勾股定理得： ， 如图3， =3+4=7，C′=2， 在′中，由勾股定理得： ， ∴最短路径为； （3）如图1： 设，则BC′=， 在Rt△ABC′中，由勾股定理得： ， d=， 令y=2(x-)+， ∵且， ∴当时，， ∴当时，． 只要AB=4.5时，另外两棱和为4.5时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，以及二次函数最值的应用，根据勾股定理得到得出关于x的函数关系式是解题关键． 38．地上有一个正方体物块，一只蜘蛛在正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来.这样的最短路线有几条？ 【答案】 这样的最短线路一共有6条. 【分析】求从点A到点B的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形来考虑．如图所示，我们都有这样的实际经验，在两点之间，走直线路程最短，因而沿着从点A到点B的虚线走，路程最短，然后再把展开图折叠起来． 【详解】解：所走的最短路线是正方体平面展开图中从点A到点B的连线． 在正方体上，像这样的最短路线一共有六条，如图所示． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的能力． 39．如图所示，圆柱形玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度． 【答案】蚂蚁吃到食物所走的最短路线长为 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题关键在于构造出直角三角形． 展开后连接，求出的长就是蚂蚁要走的最短路程． 【详解】解：如图所示，圆柱的侧面展形为长方形，过S作于点， 由题意可知，， 在中， ∵,∴， 因此，蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长为. 40．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 一、单选题 1．从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个圆及圆心， ∴此几何体为圆锥， 故选：D． 2．下图是一个正方体的展开图，折叠后与“数”字相对的是（ ） A．学 B．思 C．乐 D．趣 【答案】D 【分析】本题主要考查正方体相对面，掌握正方体展开图的特点，确定相对面是关键． 根据“同行（或列）隔一面”或“”型首尾端为相对面的方法求解即可． 【详解】解：折叠后与“数”字相对的是“趣”， 故选：D． 3．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，应分别根据从前面、上面和左侧面的形状，综合起来考虑整体形状．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看最有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：根据从上面看到的图可得，第一层有5个小立方体； 根据从正面看到的图可知：共有2层，第二层最多有4个小立方体， ∴搭成该几何体最多需要小立方块的个数是（个）， 故选：B． 二、填空题 4．如图，一个三棱柱盒子底面三边的长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ．      【答案】13 【分析】本题考查了立体图形表面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将三棱柱侧面展开为平面图形，再利用勾股定理计算最短路径． 【详解】解：将三棱柱侧面展开，底面三边总长为，盒子高为， 由勾股定理，最短路程为． 故答案为：13． 5．如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，即相似三角形的对应边成比例．先根据，可得出∽，由相似三角形的对应边成比例可求出的长，再由圆的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，， ∴， ∽， ， 即， 解得， 故答案为： 6．圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点A沿着圆柱的侧面爬行到点B的最短路线长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理，解题关键是将圆柱侧面展开，把空间中的最短路径问题转化为平面直角三角形的斜边的长度问题，利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面问题，再利用勾股定理计算最短路径． 【详解】解：把圆柱的侧面展开，得到一个长方形．展开图如图所示，连接，过点作于点． 由题意，得，， ． 故一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为． 故答案为：． 三、解答题 7．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)24 【分析】本题考查了画几何体的三视图及几何体表面积的计算． （1）根据题中所给出的几何体正确将正视图、左视图及俯视图画出即可； （2）观察整个几何体发现有3个边长为2的正方形，3个六边形及3个边长为1的小正方形，分别计算其表面积后最终相加即可得到． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：该几何体中有3个边长为2的正方形，表面积为， 有3个六边形，其表面积为， 有3个边长为1的小正方形，表面积为， ∴该几何体的表面积为． 8．如图1是一张矩形硬纸板，，．将这张硬纸板的四个角剪去四个全等的小矩形后，折叠成如图2所示的有盖的长方体收纳盒．经测量可知该长方体收纳盒的底面的面积为，求该长方体收纳盒的长、宽、高分别为多少厘米． 【答案】该长方体收纳盒的长、宽、高分别为，， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及长方形面积公式．通过设未知数，根据矩形的边长与长方体收纳盒长、宽、高的关系列出方程，进而求解长方体收纳盒的长、宽、高． 【详解】解：设该长方体收纳盒的高为， 根据题意，得， 整理，得，解得（舍去），， ∴，， 即该长方体收纳盒的长、宽、高分别为，，． 9．如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 (2)6 (3)①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 投影视图与展开图相关解答题分类训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行投影解直角三角形（难点） 1 题型二、利用三视图判断立方体最多和最少数量（难点） 5 题型三、利用三视图求面积（常考点） 8 题型四、利用三视图求体积 10 题型五、平面展开图相关最短路径问题（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行投影解直角三角形（难点） 1．九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 2．综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 3．甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 4．十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 5．如图，要测量某小区居民楼下一棵大树的高度，已知居民楼的高度为，在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点、、、在同一条直线上，求大树的高度． （结果精确到，参考数据：，， 6．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为 ； (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，， ） 7．光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：） (1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高； (2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了． 8．研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据． 数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端处竖立一根标杆，的影长，标杆，然后在纪念碑影子上的处安装测倾器，测得纪念碑顶端的仰角为，量得，． 数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点，，，在同一水平直线上．请根据上述数据，计算百团大战纪念碑顶部点到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，） 题型二、利用三视图判断立方体最多和最少数量（难点） 9．如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 10．如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为___________； (3)重新用小立方块搭一个几何体，并保持主视图和左视图不变，则搭这样一个几何体最少要___________个小立方块． 11．图1是地面上由8个棱长为的正方体积木搭成的几何体，回答下列问题： (1)在图2中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)将图1中小立方块①移走后，从 面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走 个小立方块． 12．（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． 13．在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示． (1)画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； (2)如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体． (3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？ 14．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图并求该几何体的表面积（包括底面）； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体． 15．如图，是由个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； (2)用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_______个小立方块． 16．如图1，在平整的地面上，用8个棱长为1的小立方块搭成一个几何体． (1)请在图2所示的网格中依照从正面看到的这个几何体的形状图，画出从左面和从上面看到的这个几何体的形状图； (2)求这个几何体的表面积（包括与地面接触的部分）； (3)如果保持从左面和上面看到的这个几何体的形状图不变，那么最多可以再添加_____________个小立方块． 题型三、利用三视图求面积（常考点） 17．如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 18．某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是 ； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留） 19．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图. (1)写出这个几何体的名称； (2)求出这个几何体的表面积． 20．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 21．北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 22．如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． (1)这个几何体的名称是________； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积；（结果保留π） 23．一个几何体的三种视图如图所示． (1)这个几何体的名称是 ； (2)求这个几何体的表面积．（结果保留） 24．一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 题型四、利用三视图求体积 25．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 26．如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． (1)该几何体的名称是_______； (2)若，，，，求该几何体的体积． 27．长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 28．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 29．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 30．张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 31．如图是小静画的一个几何体的三视图． (1)这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 32．在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)该几何体的主视图是 ，左视图是 ；（填序号） (2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积． 题型五、平面展开图相关最短路径问题（难点） 33．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    34．追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 35．如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 36．如图，圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3） (1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？ (2)现用一根绳子绕圆柱侧面两周，绳子的两个端点分别与点A、点B重合，则绳子长度至少为多少分米？ 37．如图1是长方体模型，棱长如图所示，图2是它的一种表面展开图． （1）①在图2中，表示出Cˈ可能的位置； ②在图3中画出长方体的一种展开图（不同于图2）； （2）图1中，一只在顶点A的蚂蚁，要吃到Cˈ处的甜食，求它沿长方体表面爬行的最短距离； （3） 在满足AB+BC+BBˈ=9的条件下，当AB为何值时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短，并写出其中的一种方案． 38．地上有一个正方体物块，一只蜘蛛在正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来.这样的最短路线有几条？ 39．如图所示，圆柱形玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度． 40．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 一、单选题 1．从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆锥 2．下图是一个正方体的展开图，折叠后与“数”字相对的是（ ） A．学 B．思 C．乐 D．趣 3．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 二、填空题 4．如图，一个三棱柱盒子底面三边的长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ．      5．如图，圆桌正上方的灯泡（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影．若桌面的半径，桌面与地面的距离，灯泡到桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为 （结果保留） 6．圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点A沿着圆柱的侧面爬行到点B的最短路线长为 cm． 由题意，得，， ． 故一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为． 三、解答题 7．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 8．如图1是一张矩形硬纸板，，．将这张硬纸板的四个角剪去四个全等的小矩形后，折叠成如图2所示的有盖的长方体收纳盒．经测量可知该长方体收纳盒的底面的面积为，求该长方体收纳盒的长、宽、高分别为多少厘米． 9．如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $