寒假作业03 点、直线与圆的位置关系8大必刷题型（巩固培优）九年级数学苏科版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 点、直线与圆的位置关系 一．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d（OP）， （1）点P在圆上⇔d=r（OP=r）；（2）点在圆内⇔d＜r（OP＜r）；（3）点在圆外⇔d＞r（OP＞r） 二．直线与圆的位置关系 1.相交：直线与圆有两个公共点，这时我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线； 2.相切：直线与圆有一个公共点，这时我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； 3.相离：直线与圆没有公共点，这时我们说这条直线与圆相离。 设⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，由上述直线与圆的位置关系可知： （1）l与⊙Ｏ 相交ｄ＜ｒ；（２）直线l与⊙Ｏ相切ｄ＝ｒ；（３）直线l与⊙Ｏ相离ｄ＞ｒ． 四．圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l 过圆上一点的切线作法：①连接OP；②过点Ｐ作直线l⊥OP；则直线l即为所作 五．圆的切线的判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 六．切线长的概念和切线长定理 1.切线长的概念：过圆外一点能够作圆的两条切线， 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。 2.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 3.过圆外一点引切线的作法： ①连接OP． ②以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A、B． ③连接PA、PB． 则直线PA、PB即为所作 七．三角形的内切圆 1. ⊙Ｏ是△ABC的内切圆，Ｏ是△ABC的内心； 2. 八．三角形的外接圆 1.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心：外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 3.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 4.作法： （1）连接AB，BC， （2）分别作线段 AB，BC 的垂直平分线，设它们交于点O． （3）以点O为圆心、OA为半径作圆．则⊙O即为所作 总结：经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆，其圆心只能是线段AB，BC的垂直平分线的交点O 所以，不在同一直线上的三个点确定一个圆。 九．圆的内接四边形 圆的内接四边形，对角互补，外角等于内对角 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠CDA+∠CBA=180°,∠DCB+∠DAB=180°,∠C=∠DAH 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 点与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在中，，，，以点为圆心，以为半径画圆，则点与的位置关系是（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是 ． 3．（24-25九年级上·上海·月考）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）有下列命题： ①已知的半径为，点P在圆外，则线段的长度取值范围是； ②不在上的点P到上的点的最小距离是4，最大距离是9，则的半径是； ③已知是的两条平行弦，，，的半径为5，则弦与的距离为1或7． 其中真命题的是 （填序号）． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知矩形的边．若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 题型二 圆与直线的位置关系 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）若的直径为12，直线l上有一点P满足，则直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 9．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 10．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 11．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 12．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 14．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，以为直径作．若与有两个交点，则的取值范围为 ． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在中，，，，以边上一点为圆心，为半径作． (1)如图1，若与边、都相切，求的值； (2)若与边相切，与边只有一个公共点，求的取值范围； (3)若，且与边、有3个公共点，直接写出的取值范围． 题型三 切线长定理 16．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，设正方形的边长为，长为，则与的函数关系式为 题型四 圆的切线的性质和判定综合 20．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，，在上，且是的直径，过点作，垂足为，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 21．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，，求阴影部分的面积．(π取3) 22．（25-26九年级上·湖南·月考）如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 23．（25-26九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 24．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心、长为半径的与相切于点D，与相交于点E． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若E为的中点，，求线段的长． 25．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 26．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 题型五 三角形的内切圆 27．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 28．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 29．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 30．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 三角形的外接圆 31．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 32．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标 ； (2)的半径为 ； (3)中弧的长度为 ；（结果保留π） (4)点到上最近的点的距离为 ． 33．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 34．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，若外接圆的圆心坐标为，则和的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 35．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有 个． 题型七 作图题 36．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 37．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． (1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； (2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） (3)迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 38．（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 39．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 题型八 最值问题 40．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 41．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是 ；若D为的中点，则线段的最小值为 ． 42．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 43．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 44．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值 ． 45．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 46．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，点是的中点，点是上的任意一点，连接、、，过点作，垂足为，交于点，若，则的最小值为 ． 47．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，函数与轴交于两点，是以点为圆心、为半径的圆上的一点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是 ． 48．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：如图，在中，，点N是边的中点，点M 是射线上的一动点(不与B，C重合)，连接，将沿翻折得，连接，，当线段的长取最大值时，的值为 ． 49．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为 ． 51．（25-26八年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，，，，我们规定是平面直角坐标系绕点逆时针旋转的变换，其中为正整数，如：当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转；当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转，以此类推，变换后点的对应点为点，当面积最大时，的最小值为 ． 52．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为 ． 53．（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 ． 54．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，点分别是正方形的边上的动点，且，过原点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ． 55．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，抛物线交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，则m的值为 ． 56．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    57．（25-26九年级上·浙江金华·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 58．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的上一点，直线m是外一条直线，于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段的最大值为______； 【问题解决】 （2）如图2，点P是正方形内一点，连接、，则，若，求的最小值； 【类比提升】 （3）如图3，在矩形中，，，以为直径作，延长到点A，使，点Q是上的动点，线段的中点为M，点P为上一动点． ①直线与的位置关系为______； ②的最小值为______． 59．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点A为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到______． （3）如图3，，求证：． 【深入理解】 （4）如图4，平行四边形ABCD中，，，，P是边的中点，Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长度的最小值为______． （5）如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点．若点，，当最大时，点N的坐标为______． 60．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．直线分别与轴，轴交于、两点，且． (1)点的坐标： ；点的坐标： ． (2)若以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点．则的取值范围为 ． (3)如图①，点是线段上的一点，以点为圆心，为半径的圆分别与线段、交于、两点．连接、，若，试判断直线与的位置关系并说明理由． (4)如图②，点是轴负半轴上的一点，且，线段的垂直平分线为直线，在直线上是否存在第三象限的一点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 61．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 62．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 63．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，设的半径为r，对于外一点P，给出如下定义：若上存在点M，使点P绕点M逆时针旋转后的对应点Q落在的内部或上，则称点P是点M关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点______是点 M关于的“逆转点”； ②若点P是点M关于的“逆转点”，则点P的横坐标的最大值是______； (2)当时，直线上存在点M关于的“逆转点”时，直接写出b的取值范围． 64．（25-26九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，的半径为，是外两点，给出如下定义：平移线段，得到的弦（分别为点的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． (1)如图，平移线段得到的长度为的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点与点 的线段的长度等于线段到的“平移距离”； (2)已知点， ①若点，则线段到的“平移距离”是 ，此时点的坐标是 ； ②若点，则线段到的“平移距离”是 ，此时点的坐标是 ； ③若线段，设线段到的“平移距离”是，直接写出的取值范围． 65．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形，如果在图形上存在点（可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点． (1)如下图，已知点． 在这四个点中，与点是线段的一对平衡点的是__________； (2)如下图，已知圆的半径为1，点为，点，且点与点是圆的一对平衡点，直接写出的取值范围． (3)如下图，已知点，以点为圆心，长为半径画弧交轴的正半轴于点，点（其中）是坐标平面内一个动点，且，圆是以点为圆心，半径为3的圆，若弧上的任意两个点都是圆的一对平衡点，直接写出的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 点、直线与圆的位置关系 一．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d（OP）， （1）点P在圆上⇔d=r（OP=r）；（2）点在圆内⇔d＜r（OP＜r）；（3）点在圆外⇔d＞r（OP＞r） 二．直线与圆的位置关系 1.相交：直线与圆有两个公共点，这时我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线； 2.相切：直线与圆有一个公共点，这时我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； 3.相离：直线与圆没有公共点，这时我们说这条直线与圆相离。 设⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，由上述直线与圆的位置关系可知： （1）l与⊙Ｏ 相交ｄ＜ｒ；（２）直线l与⊙Ｏ相切ｄ＝ｒ；（３）直线l与⊙Ｏ相离ｄ＞ｒ． 四．圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l 过圆上一点的切线作法：①连接OP；②过点Ｐ作直线l⊥OP；则直线l即为所作 五．圆的切线的判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 六．切线长的概念和切线长定理 1.切线长的概念：过圆外一点能够作圆的两条切线， 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。 2.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 3.过圆外一点引切线的作法： ①连接OP． ②以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A、B． ③连接PA、PB． 则直线PA、PB即为所作 七．三角形的内切圆 1. ⊙Ｏ是△ABC的内切圆，Ｏ是△ABC的内心； 2. 八．三角形的外接圆 1.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心：外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 3.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 4.作法： （1）连接AB，BC， （2）分别作线段 AB，BC 的垂直平分线，设它们交于点O． （3）以点O为圆心、OA为半径作圆．则⊙O即为所作 总结：经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆，其圆心只能是线段AB，BC的垂直平分线的交点O 所以，不在同一直线上的三个点确定一个圆。 九．圆的内接四边形 圆的内接四边形，对角互补，外角等于内对角 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠CDA+∠CBA=180°,∠DCB+∠DAB=180°,∠C=∠DAH 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 点与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在中，，，，以点为圆心，以为半径画圆，则点与的位置关系是（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系的判定，熟练掌握“点与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键． 比较点到圆心的距离与圆的半径大小即可解答． 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴点到圆心的距离． ∵的半径，且， ∴点在外， 故选：C． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是 ． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 3．（24-25九年级上·上海·月考）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）有下列命题： ①已知的半径为，点P在圆外，则线段的长度取值范围是； ②不在上的点P到上的点的最小距离是4，最大距离是9，则的半径是； ③已知是的两条平行弦，，，的半径为5，则弦与的距离为1或7． 其中真命题的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理．根据点与圆的位置关系，圆外点到圆心的距离大于半径；点与圆上点的最小和最大距离需考虑点在圆内或圆外两种情况；平行弦的距离需通过弦心距计算，并分同侧和异侧讨论，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：对于命题①：点P在外，则半径，故命题①正确； 对于命题②：点P不在上，可能位于圆外或圆内， 若点P在圆外，设，则，解得； 若点P在圆内，则解得； 命题仅给出，忽略另一种情况，故命题②错误； 对于命题③：当弦和在圆心同侧时，如图， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴由勾股定理得： ， ∴； ②当弦和在圆心异侧时，如图②， 过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 则， ∴与之间的距离是1或7． 故答案为：①③ 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知矩形的边．若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的半径r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆内，时点在圆外，结合矩形的边长和勾股定理确定距离范围是解题的关键． 先求出矩形中各点到圆心的距离，再根据点与圆的位置关系确定半径的取值范围． 【详解】解：连接，如图． ， ． 以点A为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外， 的半径的取值范围是． 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 题型二 圆与直线的位置关系 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）若的直径为12，直线l上有一点P满足，则直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离分垂直于直线l，不垂直于直线l两种情况讨论． 【详解】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切； 当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交． 故直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 9．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 设直线的解析式为，当直线与圆相切时切点为C，连接，则，由于直线与x轴正方向夹角为，所以是等腰直角三角形，故，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解： ∵直线与x轴正方向夹角为， ∴设直线的解析式为，切点为C，连接， ∴， ∵的半径为1， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，， ∴． 10．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 11．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 【答案】 【分析】该题考查了切线的性质，一次函数与几何综合，得出点的运动轨迹是解题的关键． 根据题意得出点的运动轨迹为以4为半径的，得出当的图象与只有1个交点时，即与的图象相切，根据等面积法求解即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， ∴，且， 故点的运动轨迹为以4为半径的， 在中，令，则，即， 令，则，即， 则， 当的图象与只有1个交点时， 即与的图象相切， 此时， 如图，则，即， 解得：， 故答案为：． 12．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间． 【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 13．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键． 作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 14．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，以为直径作．若与有两个交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的综合题、解直角三角形、平行四边形的性质等知识点，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：分别过A，O两点作、垂足分别为点E，点F，则，再列方程求解即可解答． 【详解】解：如图：分别过A，O两点作、，垂足分别为点E，点F， ∴，就是圆心O到的距离， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵在中，，， ∴，解得：， ∴， ∵为的直径，且， ∴当时，与相切于F点， ∴，解得：， ∴当时，与相切； 当点C在时，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴若与有两个交点，则的取值范围为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）在中，，，，以边上一点为圆心，为半径作． (1)如图1，若与边、都相切，求的值； (2)若与边相切，与边只有一个公共点，求的取值范围； (3)若，且与边、有3个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，切线性质，勾股定理等． （1）设与边、分别相切于点，通过切线性质可得四边形为正方形，后得到，再利用相似三角形性质即可得到本题答案． （2）根据题意可知与边相切，此时与只有一个公共点；当与边相切，且经过点时，此时设与切点为，设，根据勾股定理可得，再利用相似三角形性质和判定可求出的值，继而得到本题答案． （3）分情况讨论，当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当经过点时，过点作，利用相似三角形性质和判定求出的值，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：设与边、分别相切于点，连接，如图： ， ∵与边、分别相切于点， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：，解得：； （2）解：若与边相切，则与边只有一个公共点， ∵与边相切， ∴由（1）知，的取值范围为； 当与边相切且经过点时， 设与边相切于点，连接，如图： ， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∵与边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：，解得：， ∵当点与点重合时，与边相切于点，与边只有一个公共点， ∴， ∵若与边相切，与边只有一个公共点， ∴， 综上所述：或； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴当点为中点时，经过三点， ∴符合，且与边、有3个公共点，此时， 当与边切于点时，连接，如图： ， 则， ∵与边切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：，解得：， ∵与边、有3个公共点， ∴的取值范围为：； 当与边切于点时，连接，如图： ， 则， ∵与边切于点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 当经过点时，连接，过点作于点，如图： ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴或， ∵与边、有3个公共点， ∴的取值范围为：， 综上，与边、有3个公共点，的取值范围为或． 题型三 切线长定理 16．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，设正方形的边长为，长为，则与的函数关系式为 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由正方形的性质可得，根据切线长定理有，，则，，再根据勾股定理可得，代入数值整理即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵过点作半圆的切线，与半圆相切于点，长为， ∴根据切线长定理有，， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， 即， 整理可得：， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·全国·期末）如图所示，已知，切于A，B两点，C是上一动点，过点C作的切线交于点M，交于点N，连接，，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 根据三角形内角和定理求出的度数，根据补角的概念求出，根据切线长定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 18．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选：C． 19．（25-26九年级上·山西忻州·月考）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们探讨有关不同情况下扇形与圆的关系问题． 【初步探究】 （1）如图1，已知的半径为10，扇形的顶点，，都在上，扇形ABC的圆心角，求扇形的半径． 【深入探究】 （2）“智慧小组”提出问题：如图2，扇形的圆心角，半径为10，若与扇形的两条半径，及都相切，求的半径． 【拓展探究】 （3）“创新小组”突发奇想，提出问题：如图3，在正方形中，与扇形相切，与边，相切，若扇形的半径为10，请直接写出的半径． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）在根据勾股定理中得到，再根据即可求解； （2）过点G作于点M，设与的切点为，由切线的性质可得，由切线长定理得到平分，即，从而，根据求出，即可解答； （3）过点作于点F，连接，根据正方形的性质得到，，，．根据切线长定理得到，因此点在上．设的半径为r，与扇形相切于点H，则，，根据切线的性质得到，进而在中求出，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵的半径为10， ∴， ∵， ∴， ∴， 即扇形的半径为． （2）过点G作于点M，设与的切点为， ∵是的切线， ∴是的半径， ∴， ∵，是的切线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 即的半径为． （3）过点作于点F，连接， ∵扇形的半径为10， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∴在中，． ∵与边，相切， ∴， ∴点在上， 设的半径为r，与扇形相切于点H， 则，， ∵，与边相切， ∴是的半径，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，即， ∴， ∴的半径为． 题型四 圆的切线的性质和判定综合 20．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，，在上，且是的直径，过点作，垂足为，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，圆周角定理，三角函数等： （1）连接，由等腰三角形和角平分线的性质可得，进而可得，结合，即可求证； （2）连接，由圆周角定理得，进而由三角函数可得，再利用勾股定理可得，再根据可得，据此即可求解． 【详解】（1）如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为半径， ∴是的切线． （2）如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵的半径为， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 21．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为5，，求阴影部分的面积．(π取3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连结，由等边对等角得出，进而得出，由平行线的性质得出，进一步即可证明是的切线． （2）由直径所对的圆周角等于90度，可得出，结合已知条件可得出，再由平行线的性质得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，进而可得出． （3）连结，先求出，再求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，记与交于点I，如图， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）证明：∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 则， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某条直线是圆的切线，直径所对的圆周角等于90度，等腰三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22．（25-26九年级上·湖南·月考）如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由可得，再由直径所对的角是直角有，由，可得，最后根据切线的判定定理求解即可； （2）在中，根据勾股定理可得，由可证得，根据相似三角形的性质有，即，设，，可得，由此求解即可； （3）连接，设，根据圆的性质，平行线的判定与相似三角形的判定可证得，由则有，，，，因此，在中，根据勾股定理可得，最后联立两式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， 又， ， 即且是的半径， 是的切线； （2）在中，， 且， ， ， 设，， 则， ， 解得， ； （3）连接，设， 是的直径， 又， ， ， ，则，，，， ① 在中，， ② 将②代入①式得． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的性质与判定，切线的判定定理等，灵活运用相关知识，构造合适的辅助线是解题的关键． 23．（25-26九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为 【分析】本题考查菱形的性质，圆的切线判定和三角函数，熟练运用垂径定理是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得，故，再由和菱形的性质可推出，进而可证是的切线． （2）由的半径与菱形的边长之比为，可设参数表示、，再由菱形的性质和垂径定理可推出，在中求出，进而求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵，∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径与菱形的边长之比为，， ∴， 设，∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，∴，即， ∵， ∴． ∴． 答：的值为． 24．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心、长为半径的与相切于点D，与相交于点E． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若E为的中点，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及平行线分线段成比例定理， （1）连接，结合切线性质得出，证明，求出，即可求出结论； （2）先求出，根据平行得出，即可求出． 【详解】（1）解：连接， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：连接， ∵E为的中点，， ， 由（1）知，， ， ， ，即， 解得：． 25．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据全等的性质可得， 结合等腰三角形和直角三角形的性质可求出，， 利用勾股定理和含直角三角形的性质可求得的长，最后根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由如下： 如图所示，连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 26．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据垂径定理可知是的垂直平分线，得，则，再利用可证明，从而证明结论； （2）利用，得，从而得出答案； （3）设，则，，由垂径定理可知是的中位线，得，，在中，由勾股定理得：，从而得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用参数法表示出中各边的长是解题的关键． 题型五 三角形的内切圆 27．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 28．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 【答案】 【分析】连接、，由切线的性质得，，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 是的内切圆，切点分别是、、， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、四边形的内角和等于、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 29．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【答案】 【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解； （）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解； 本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解． 【详解】解：（）连接， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：； （）∵的面积为， ∴， ∴即， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 30．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 题型六 三角形的外接圆 31．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 32．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标 ； (2)的半径为 ； (3)中弧的长度为 ；（结果保留π） (4)点到上最近的点的距离为 ． 【答案】(1)；作图见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心的确定方法、弧长公式是解题的关键. （1）根据三角形的外心的定义、线段垂直平分线的性质确定圆心，根据坐标与图形写出圆心的坐标； （2）根据勾股定理求出的半径； （3）根据勾股定理的逆定理得到，再根据弧长公式计算； （4）根据圆的半径、的长计算. 【详解】（1）解：如图，点M为所作；点M的坐标为； 故答案为：； （2）解：的半径为：， 故答案为：； （3）解：如图，连接、、， 由勾股定理得：， 则， ， 的长为：， 故答案为：； （4）解：的半径为，， 点到上最近的点的距离为：， 故答案为：. 33．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ． ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 34．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，若外接圆的圆心坐标为，则和的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，根据三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，从而得出，，计算即可得解，熟练掌握三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，且外接圆的圆心坐标为， ∴，， ∴，， 故选：C． 35．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，直角三角形的性质．作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，根据的外心一定在直线上，得出当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心，点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，画图得出答案即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的外心一定在直线上， ∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是的外心， ∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上， ∴如图，，与、、的交点即为点P的位置， ∵， ∴点在上， ∴符合条件的点P有4个， 故答案为：4． 题型七 作图题 36．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心； （2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点； （3）根据垂径定理，分两种情况计算点到线段的距离，即可求的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点，即为所求； （3）如图所示，连接、、、、，设交于点， 则， ，， ， 在中，， ， ，， 故的面积为或． 37．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． (1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； (2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） (3)迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案； （2）作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求； （3）作的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：连接、，    ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为． 故答案为：； （2）解：如图中，点P为所求． ∵点在的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴过点E， ∵， ∴， （3）解：如图，作的外接圆，    ∵，， 当时，为最长弦，即直径， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，是等边三角形， ∴， ∵， ∴的取值范围为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 38．（2025·江苏徐州·模拟预测）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 39．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 题型八 最值问题 40．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径． 由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 41．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是 ；若D为的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】如图所示，连接，首先求出，然后利用圆周角定理即可求出的度数；连接，，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】如图所示，连接， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴ ∴； 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，， 当点D在上时，的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ，， ∴， ∵， ∴． ∴线段的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆上一点到圆外一点最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 42．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 43．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 44．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值 ． 【答案】2 【分析】要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的上运动，且为定值，设F在以为弦的上运动，，，在中可求得 的半径，在中求出，点A在外，要想最短，点F应在线段上，问题进而得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 点F在以为弦的上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ，， ， ， ，即AF最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹． 45．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为； 故答案为：4． 46．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，点是的中点，点是上的任意一点，连接、、，过点作，垂足为，交于点，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，，，求出，得到点F在以为直径的圆上运动，取的中点Q，连接，过点Q作于点H，连接，求出，得到，然后求出，由得到当点Q，F，B三点共线时，有最小值，即的值，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵是的直径，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， 取的中点Q，连接，过点Q作于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点Q，F，B三点共线时，有最小值，即的值， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上定理与性质并确定出点F的运动路径． 47．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，函数与轴交于两点，是以点为圆心、为半径的圆上的一点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、三角形中位线定理、圆的性质及两点间距离公式，熟练掌握三角形中位线定理和圆上一点到圆外一点距离的最值求法是解题的关键． 先确定抛物线与轴交点、的坐标，利用三角形中位线定理建立与的联系，再根据圆的性质，当、、共线且在、之间时，取得最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：连接、、， 令，则，即， 解得． ∴，． ∴，即是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∵是以为圆心、为半径的圆上的点，根据两点间线段的距离最短可得， ∴当、、共线且在、之间时，最大，此时． ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 48．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：如图，在中，，点N是边的中点，点M 是射线上的一动点(不与B，C重合)，连接，将沿翻折得，连接，，当线段的长取最大值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，轴对称的性质，点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解答本题的关键是掌握翻折的性质 ． 由翻折可知：，所以，点E在以N为圆心，为半径的圆上，点共线时，此时最大，由翻折可知是的垂直平分线，延长交于点D，可得平分，过点D作，然后证明，可得，根据勾股定理可以解决问题． 【详解】解：如图，由翻折可知：， 所以，点E在以N为圆心，为半径的圆上，点共线时，此时最大， 在中，∠， ， ∴， ∵点N是边的中点， ∴， ， 由翻折可知是的垂直平分线， ∴， 延长交于点D， ∵， ∴， ∴平分∠， 过点D作， ， ， 在和中 ， ， 在中，， ， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ， 解得，， 在中，，， 由勾股定理得，， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，勾股定理，旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 由题意可求出，可判断点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，交点A的运动轨迹于点和，从而得出以为底时，高的取值范围，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长5， ∴． ∵正方形的边长是2， ∴点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，设线段的中点为，连接，交点A的运动轨迹于点和，如图， ∵，， ∴点A在运动过程中，距离的最小距离为， 最长距离为， ∴， ， ∴S的取值范围是． 故选：D． 50．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为 ． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为出发，因为，所以点D必定在以直径的圆上．作出圆后，找到符合要求的横坐标最大的点即可． 【详解】解：如图，以为直径作圆， 设中点为点E，点O关于点E的对称点为点F， ， 由题意可知，点A坐标为，点B坐标为， 由勾股定理可知，， ∵点E为中点， ∴点E坐标为， ∵， ∴点O在上， ∵点O与点F关于点E的对称， ∴点F也在上， ∵点是弦的“可及点”， ∴， ∴点是在上， ∵点关于的对称点在上或其内部， ∴点是在弧上（不与点A和点B重合）， 当轴时，点的横坐标最大， ∵， ∴点D坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理和勾股定理，掌握好圆的基本性质是解题关键． 51．（25-26八年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，，，，我们规定是平面直角坐标系绕点逆时针旋转的变换，其中为正整数，如：当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转；当时，平面直角坐标系绕点逆时针旋转，以此类推，变换后点的对应点为点，当面积最大时，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查平面直角坐标系中的几何变换与最值问题，掌握点的旋转轨迹及垂直关系的应用是解题的关键，通过分析三角形面积公式，确定当高最大时面积最大，即旋转后点D到直线的距离最大，此时垂直于． 【详解】解：∵是平面直角坐标系绕点逆时针旋转的变换， 由于旋转中心是原点，点C到原点的距离，因此点D始终在以O为圆心、半径为2的圆上运动． 过点A作轴于点H，点B作轴于点G， ∵， ∴，， ∴， 在中，，， ∴ 同理可得， 即， ∴B、O、A三点共线， ∴是以为底，h为高的三角形，其中h是点D到直线的距离， ∴长度固定，当h长度最大时，有面积最大， ∵点D在以O为圆心、半径为2的圆上运动， ∴点D到直线的距离h的最大值等于圆的半径2，当且仅当垂直于直线时达到，因此，问题转化为求k使垂直于． ∴， ∴， 即点C绕O逆时针旋转至少第一次垂直于， ∵点C绕O逆时针以长度旋转到点D， 即， ∴． 故答案为：5． 52．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，直线与圆的位置关系，矩形的性质，含直角三角形的性质，三角形的面积计算；若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，等价于将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，连接、、，过作，、，则四边形为矩形，当时，点M是线段上唯一在上的点，设，则，分类讨论：①当，即时，利用建立方程求解；②当，即时，利用求解. 【详解】解：由旋转的性质可得： ∵若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上， ∴将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，如图1所示， ∵点、点分别为、所在直线上的动点，由图可知当点在点C右侧或点在点C下方时，线段与没有交点， ∴点、点分别为射线、射线上的动点， 连接、、，过作，、，则四边形为矩形， ∵的半径与的半径相同为， ∴当时，点M是线段上唯一在上的点， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 设，则， ①当，即时，则，，如图1所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图1可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ②当，即时，则，，如图2所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图2可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴. 综上：或时线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上. 故答案为：或. 53．（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的有关性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平方式的非负性等知识，利用平方式的非负性求解是解答的关键． 分两种情况：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时，当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时，过点P作于N，连接，通过证明所构造的四边形是矩形，设，结合矩形的性质利用勾股定理可得关于的式子，再分别计算可求解． 【详解】解：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点O作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， 则， ∴， ∴当最大值时，值最大， 令， 则， ∵，∴， ∴当，即时，y有最大值， ∴， 故当时，最大，最大值为：； 当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点P作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ， ∴， ∵，， ∵时，随x的增大而增大，也随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为． ∵ ∴的最大值为． 故答案为：． 54．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，点分别是正方形的边上的动点，且，过原点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示，先证明，再证点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大，由相似三角形的性质可求，的长，由三角形的面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，交于，连接，取的中点，连接，过点作于，交于点，作于点，如图所示： 直线分别与轴、 轴相交于点、， 点，点， , ， ， 四边形是正方形， ， ，， 又， ， ， 点是的中点，即点是的中点， ， ， ， 点在以直径的圆上运动，则当点在的延长线上时，点到的距离最大， 点是的中点， ， ，， ， 则， ， ， 又， ， ， 则 ，解得，， ， ，， ， ，即， ， ， 点到的最大距离为， 面积的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，涉及正方形的性质、勾股定理、一次函数图象与性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、动点最值-辅助圆问题等知识，求出的长是解题的关键． 55．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，抛物线交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，则m的值为 ． 【答案】或1或 【分析】此题是二次函数的综合题，主要考查了切线的性质，及二次函数与一次函数的关系．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解，要注意分类讨论，不要丢解． 分为①当以为直径的圆和x轴相切时，②当点A或B在直线上时，分别求解即可． 【详解】解：①当以为直径的圆和x轴相切时，符合题设条件，连接 设的中点为点S，则轴， 设点的横坐标为， ∴， ∴， 联立与， 即， 整理得， 则， ∴， 而点S的横坐标为， ∴点S的坐标为， ，则， 即，解得； ②当点A或B在直线上时，也符合题设条件，即此时轴， 如图： 或轴，如图 对于，当时，则， 解得或， ∴， 将点代入， 得或，解得或． 综上，或1或． 故答案为：或1或． 56．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 57．（25-26九年级上·浙江金华·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 【答案】初步应用：；问题解决：；问题拓展： 【分析】初步应用：由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可． 问题解决：利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可． 问题拓展：由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理关系求解取值范围即可． 【详解】解： 初步应用：以为圆心，为半径作， ， 点、、在上， ，， ， ， ， ， ； 问题解决：连接、、， 点关于直线的对称点是， ， ，， ，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，， ， ∵， 的最小值为； 问题拓展： 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， ∵将沿所在直线翻折得到， 以为圆心，为半径作辅助圆，如下图： ∵， ∴点，D在上， ∴当点、M、C在一条直线上时，线段取得最小值， 过点M作，交的延长线于点E， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴线段的最小值． 过点A作，交的延长线于点F，如下图： 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， m的取值范围为． 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键． 58．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的上一点，直线m是外一条直线，于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段的最大值为______； 【问题解决】 （2）如图2，点P是正方形内一点，连接、，则，若，求的最小值； 【类比提升】 （3）如图3，在矩形中，，，以为直径作，延长到点A，使，点Q是上的动点，线段的中点为M，点P为上一动点． ①直线与的位置关系为______； ②的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3）①相离；② 【分析】（1）当线段经过圆心O时，线段取得最大值，利用此性质解答即可； （2）利用圆周角定理得到点P在以为直径的半圆O上运动，再利用正方形的性质，勾股定理解答即可得出结论； （3）①过点O作于点F，通过得到圆的半径，利用直线与圆相离的判定定理解答即可； ②利用三角形的中位线的判定与性质得到，可得点M的轨迹为以点B为圆心，为半径的圆，作出该圆，当点P，M，B在一条直线上时，的值最小；利用轴对称的性质作出点C关于直线DE的对称点，连接，分别交于点P，交于点M，则此时的值最小，最后利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）当线段经过圆心O时，线段取得最大值，如图， 由题意得：圆心O到直线m的距离为7，即， 线段的最大值 故答案为：； （2）， 点P在以为直径的半圆O上运动，如图， 当点A，O，P三点在一条直线上时，的值最小， ，四边形为正方形， ，， 为的中点， ， ， 的最小值 （3）①为的直径，， ， 过点O作于点F，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ， ， 直线与的位置关系为相离． 故答案为：相离； ②连接，，如图， 为的直径，， ， ， 线段的中点为M， 为的中位线， ， 点M的轨迹为以点B为圆心，为半径的圆，作出该圆，如图， 当点P，M，B在一条直线上时，的值最小． 作出点C关于直线的对称点，连接，分别交于点P，交于点M，则此时的值最小． 由题意得：， ， ， ， 的最小值 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，直线与圆的位置关系，圆周角定理，正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，轴对称的性质等知识，解题关键是添加适当的辅助圆． 59．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点A为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到______． （3）如图3，，求证：． 【深入理解】 （4）如图4，平行四边形ABCD中，，，，P是边的中点，Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长度的最小值为______． （5）如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点．若点，，当最大时，点N的坐标为______． 【答案】（1）见解析   （2）32    （3）见解析    （4）    （5） 【分析】（1）取的中点，连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）以点A为圆心，为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； （3）以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交于点E，连接，利用直径所对的圆周 角为直角的性质解答即可； （4）利用折叠的性质得到点M在以P为圆心，为半径的圆上运动，以P为圆心，为半径作圆P，则点P，M，D在一条直线上时，的长度取得最小值，连接，过点P作，交的延长线于点E，利用平行四边形的性 质，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可； （5）由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：取的中点O，连接，如图， ，， ， ，B，C三点在以的中点为圆心，为半径圆上； （2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， ， 故答案为：32； （3）证明：以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交于点E，连接，如图， ， 点C、D必在上， ， 为圆的直径， ， ， ； （4）解：将沿所在直线翻折得到， ， ， 点M在以P为圆心，为半径的圆上运动， 以P为圆心，为半径作圆P，如图， 则点P，M，D在一条直线上时，的长度取得最小值， 连接，过点P作，交的延长线于点E， 四边形为平行四边形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 的长度的最小值为， 故答案为：； （5）解：如图，利用三角形外角的性质得， ∵， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接，过点C作于点E，连接，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，点的坐标的特征，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的 关键． 60．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．直线分别与轴，轴交于、两点，且． (1)点的坐标： ；点的坐标： ． (2)若以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点．则的取值范围为 ． (3)如图①，点是线段上的一点，以点为圆心，为半径的圆分别与线段、交于、两点．连接、，若，试判断直线与的位置关系并说明理由． (4)如图②，点是轴负半轴上的一点，且，线段的垂直平分线为直线，在直线上是否存在第三象限的一点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)见详解 (4)或 【分析】（1）先令代入求出值即可求出点的坐标和的长度，再由即可求出点的坐标； （2）分圆与相切、圆过A点和圆过B点三种情况，求出对应情形下的半径即可得到答案； （3）连接，因是圆直径，得，推出，所以， 由，得， 已知，结合，可推出，即，所以，故是圆切线； （4）由得四点共圆，再用勾股定理逆定理证，进而得， 因直线垂直平分，所以，是等腰直角三角形，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ，解得，， 点的坐标为，， ，且点在轴上， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，过点O作于H， 在中， ， ， ， 当与相切时，半径， 当与相交且只有一个公共点时，与线段的 一端相交，另一个端点在圆外， ， 当时，与线段有且只有一个公共点， 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． （3）直线是的切线，理由如下： 连接， 是的直径 ， ， ， ， ， ，， ， ， 是的切线； （4）存在，． 如图，当点M在第三象限，连接， ， 四点共圆， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 直线垂直平分线段， ， 是等腰直角三角形， 令直线交的交点，则点为的中点， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何问题，一次函数与坐标轴的交点，切线的判定，四点共圆，垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理等知识，确定四点共圆是解题的关键． 61．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． (1)对点的“最近覆盖距离”为________________； (2)点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________； (3)若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； (4)，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）求出原点到点的距离，再将距离减1即为对该点的“最近覆盖距离”； （2）设点P的坐标为，根据对点P的“最近覆盖距离”为2可列方程求解； （3）根据题意可得，一次函数与x轴的交点为，对和的临界状态进行分类讨论； （4）根据题意可得倾斜角度为，长度为，，对m的取值范围进行分类讨论，列不等式求出d的取值范围． 【详解】（1）解：原点到点的距离为，的半径为1， “最近覆盖距离”为， 答：． （2）解：设点， 原点到点的距离为，对点P的“最近覆盖距离”为2， ， ， 解得，，分别代入， 可得点的坐标为或， 答：或． （3）解：如下图，一次函数分别交x、y轴于E、D点，过O做于点C，考虑临界状态，一次函数上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为， 时， 中，时，，时，， ， ，， 当时， ，， ， ， ， 设，， 由勾股定理得， 解得，（舍去）， ，， 此时，， 经过分析可知，一次函数图像比临界状态更靠近轴时，则存在点C，即． 同理得，当时，， 答：的取值范围为或． （4）解：根据题意可得，且倾斜角度为， 可在圆上找到两条与之平行且相等的弦，， 当在上或在上，有， 当时，， 即； 当时，， 即； 综上，． 答：的取值范围为． 【点睛】本题主要考查“最近覆盖距离”问题，掌握圆的基本知识，两点间距离公式，一次函数的图像性质，三角形的相似与判定．找到临界状态并分类讨论是解题关键． 62．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，；②；③的值为或 (2)，或，或 【分析】本题主要考查“中点坐标公式”“勾股定理”“点与圆的位置关系”，正确理解题目中的新定义，并根据定义，找到合适的等量关系是解题关键． （1）①分别计算这三个点与点A连线的中点是否在圆上，即连线中点与圆心的距离是否等于半径即可； ②利用直角确定点B的纵坐标，再通过的中点在圆上，计算点B的横坐标即可； ③先设出关联点坐标，借助关联点与点A连线的中点在圆上，且具有唯一性，通过一元二次方程根的判别式，得到k与b的关系，再通过直角，计算的到关联点的坐标，代入到一次函数中，得到第二个k与b的关系，解方程组，求出k的值即可； （2）由于圆具有旋转对称性，因此利用圆上一点，确定以该点为点C的情况下，点D的直角关联点的位置，进而利用这个位置，通过上对于任意一点均满足，得到圆心的位置的可能情况，从而求出r的取值范围． 【详解】（1）解：①的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点不符合定义； 故答案为：，． ②根据定义，为直角三角形， ∵，， 由图可知，若，则点B在x轴上，不符合题意； 若，则，则点B在内，不符合题意； 故只有一种情况， ∴轴， ∴点B的纵坐标为1， 设，则的中点坐标为，即， ∴， 解得，或（由题意，负值舍去）， ∴． ③设该点为点， 由定义，可知的中点坐标为 ，即， 由定义，得， 整理，得， ∵有且只有一个点满足定义， ∴， ∴， 求点A关于的“直角关联点”，由②可知，的情况不存在， 所以分两种情况： 当时，由②可知，点C在x轴上，∴， 此时的中点坐标为，即， ∴， 解得，或， ∴，即或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， 当时，由②可知，，或，， ∴，即，或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， ∴的值为或． （2）解：如图，构造，由题意，可知，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，且在内， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 显然，当点D在上时，记为，此时点Q也在上， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的圆弧均在如图所示的圆环中时，满足题意， 分两种情况，第一种：的圆心在圆环中，直径小于圆环宽度，即， ∴， 第二种，的圆心与点重合，圆弧在圆环内，且当为圆环最外部时仍满足题意，即， ∴， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点，中点为， ∵， ∴， ∴， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， 同理，可得， ∴， 同之前说理，分两种情况，第一种：在圆环内，此时， 第二种：的圆心与点P重合，此时， 综上，，或，或． 63．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，设的半径为r，对于外一点P，给出如下定义：若上存在点M，使点P绕点M逆时针旋转后的对应点Q落在的内部或上，则称点P是点M关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点______是点 M关于的“逆转点”； ②若点P是点M关于的“逆转点”，则点P的横坐标的最大值是______； (2)当时，直线上存在点M关于的“逆转点”时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①B；② (2) 【分析】（1）①在图中分别作出三个点所对应的逆转点判定是否符合条件即可． ②根据旋转的性质得出绕点M顺时针旋转的，则上或内部所有点都是点M关于的“逆转点”，然后求出点B的横坐标，即可得出点P横坐标的最大值． （2）同理（1）可得出点M关于的“逆转点”的范围为圆心为O，半径为和的同心圆围成的圆环，然后根据直线沿着x轴在直线和之间平移时都存在点M关于的“逆转点”，即可求出和，即可由得出b的取值范围． 【详解】（1）①如图，分别作出A、B、C三点绕点M逆时针旋转后的对应点、、其中点与点O重合． 从图中可以看出只有点符合条件． 故答案为：； ②如图，半径为，过点B作x轴的平行线交右侧于点 由①可知点O绕点M顺时针旋转得到点， 根据旋转的性质，上或内部的所有点都是点M关于的“逆转点”， ∴点D为所有“逆转点”中横坐标最大的点，． 故答案为：； （2）解：如图，，点O顺时针旋转得到点E，作直线交于N、F点，分别以和作圆， 根据（1）可知半径为和的同心圆所形成的圆环区域就是点M关于的“逆转点”的范围． 直线分别与半径为的相切， 从图中可以看出当直线沿着x轴平移时，只要其处于直线和之间，都会存在点M关于半径为的的“逆转点”， ， ，， 根据中心对称的性质，， ，， 对于直线，令，则， 当或时，即或， 【点睛】本题考查了关于圆的新定义问题，圆与直线的位置关系，一次函数的图象和性质，旋转，三角函数，准确理解新定义是解答本题的关键． 64．（25-26九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，的半径为，是外两点，给出如下定义：平移线段，得到的弦（分别为点的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． (1)如图，平移线段得到的长度为的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点与点 的线段的长度等于线段到的“平移距离”； (2)已知点， ①若点，则线段到的“平移距离”是 ，此时点的坐标是 ； ②若点，则线段到的“平移距离”是 ，此时点的坐标是 ； ③若线段，设线段到的“平移距离”是，直接写出的取值范围． 【答案】(1)平行， (2)①；或；②；；③ 【分析】（1）根据平移的性质可得，再根据定义可得第二空的答案； （2）①可求出轴，，当弦在y轴右侧时，取线段的中点H，连接，由垂径定理可勾股定理可求出的长，进而可得点的坐标，再求出的长；同理可求出当弦在y轴左侧时，点的坐标和的长，据此可得答案； ②当弦在y轴右侧时，取线段的中点H，连接，求出，由垂径定理和勾股定理可得，；求出直线解析式为，设直线解析式为，直线与x轴交于S，与y轴交于T，可证明是等腰直角三角形，进而可求出直线解析式为，设，则，解方程可得答案；同理可求出当弦在y轴左侧时，点的坐标和的长，据此可得答案； ③可证明当点B在上运动时，点在上运动，则当三点共线，且点在线段上时，有最小值，当三点共线，且点O在线段上时，有最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴； 由图可知平移线段得到弦和时，点A的对应点分别是 经过平移得到，且， ∴在点中，连接点与点的线段的长度等于线段到的“平移距离”； （2）解：①∵，， ∴轴，， 如图2-1所示，当弦在y轴右侧时，取线段的中点H，连接， 由平移的性质可得， ∴轴， 又∵（垂径定理）， ∴点H在x轴上， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴线段到的“平移距离”是； 同理可得当线段对应的弦在y轴左侧时，，线段到的“平移距离”是； 综上所述，线段到的“平移距离”是，点的坐标为或； ②如图2-2所示，当弦在y轴右侧时，取线段的中点H，连接， ∵， ∴， 由平移的性质可得， 由垂径定理可得，； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，直线与x轴交于S，与y轴交于T， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图2-3所示，当弦在y轴左侧时，取线段的中点H，连接， ∵， ∴， 由平移的性质可得， 由垂径定理可得，； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，直线与x轴交于S，与y轴交于T， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵， ∴线段到的“平移距离”是，此时点的坐标是； ③∵线段， ∴点B在以点A为圆心，半径为2的圆上； 由平移的性质可得， 如图2-4所示，在上取一条弦，使得，过点A作，交于B，则一定有，， ∴当点B在上运动时，点在上运动， ∴当三点共线，且点在线段上时，有最小值，最小值为， 当三点共线，且点O在线段上时，有最大值，最大值值为， ∴． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，平移的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 65．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形，如果在图形上存在点（可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点． (1)如下图，已知点． 在这四个点中，与点是线段的一对平衡点的是__________； (2)如下图，已知圆的半径为1，点为，点，且点与点是圆的一对平衡点，直接写出的取值范围． (3)如下图，已知点，以点为圆心，长为半径画弧交轴的正半轴于点，点（其中）是坐标平面内一个动点，且，圆是以点为圆心，半径为3的圆，若弧上的任意两个点都是圆的一对平衡点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）先算出点O到上一点的最小距离和最大距离，再分别算出到上一点的最小距离和最大距离，并分析中哪些点到上一点的距离与点O到上一点的距离有相同值，即可求解． （2）在上取一点为M，算出线段的取值范围为，线段的取值范围为，根据线段和存在长度相同，可得，再解不等式组，即可求解． （3）根据和圆的半径以及，可知弧和圆相切，令切点为点F，在上取一点为N，求出的取值范围为，当时，弧上到距离最远的点为点H，得的取值范围为，根据线段和存在长度相同，得，再根据，解得，根据图形整体关于y轴对称，得，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：设线段上有一点Q， ， ， ， ，，，， 四条线段中，存在与相等长度的是和， 故与点是线段的一对平衡点的是或． （2）在上取一点为M， 根据题意可知的最小距离为，最大距离，故， ， ， 要使线段和存在长度相等， 则，即， 解得或． （3）根据题意可知弧和圆相切， 当，设切点为点F，在上取一点为N， 如图， 根据图形可知弧上到距离最近的点为点F， ， 可知弧上到距离最远的点为点H， 点C坐标为，点H坐标为， ， ， ， ， ， 要使线段和存在长度相等， 则，即， 又， 解得， 图形整体关于y轴对称， 当，， 综上所述，a的取值范围为， 又， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了不等式的解集，勾股定理，圆的性质，点的坐标，掌握点到圆的最短距离和最长距离的求法，并熟悉两个不等式存在公共解的要求是解题的关键． 3 学科网（北京）股份有限公司 $