数学一模突破卷02（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 1.【答案】B 【解析】易知，故A错误；易知，但，故B错误； 易知，故C错误；易知. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2.【答案】D 【解析】. 故选：D 3.在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 3.【答案】C 【解析】由题可得，且， 则，故C正确. 故选：C. 4. 已知为常数，在某个相同的闭区间上，若为单调递增函数，为单调递减函数，则称此区间为函数的“”区间.若函数，则此函数的“”区间为（ ） A. B. C. D. 4.【答案】A 【解析】对于函数， 对于函数， 则此函数的“”区间满足： ，即， ∴ 故选：A 5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 5.【答案】C 【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以，又，则， 所以，所以甲圆锥的高， 乙圆锥高，所以. 故选：C. 6. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6.【答案】D 【解析】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且， 若丁的判断正确，即，则， 此时丙的判断错误，不符合题意； 若乙的判断正确，即，此时满足，且， 此时甲、丙都正确，符合题意. 故选：D. 7. 在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）． A. 8 B. 25 C. 18 D. 16 7.【答案】B 【解析】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：B 8. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 8.【答案】D 【解析】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示： 由图可得，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．拋物线的准线方程为 B．若直线过，且轴，则 C．若直线过，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 9.【答案】ABD 【解析】由可知抛物线的焦点在轴正半轴上，且. 对于A，拋物线的准线方程为，故A正确； 对于B，因直线过，且轴，把代入，解得， 故，故B正确； 对于C，由上分析知，因直线的斜率不能为0，故可设其方程为， 代入，可得，由韦达定理，可得，故C错误； 对于D，由图知，，当且仅当经过点时，等号成立. 设直线的方程为，，代入，可得， 则，由韦达定理，可得，， 则， 因，故可得，即得， 设的中点为，而即点到轴的距离， 因， 故当时，的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确. 故选：ABD. 10.关于曲线C：下列说法正确的有（ ） A. 曲线C的方程可化简为 B. 曲线C与直线有且只有一个公共点 C. 曲线C全部位于第四象限内 D. 点在曲线C上，则 10.【答案】ACD 【解析】依题意，， 对于A，令函数，函数在上单调递增，而， 则，，A正确； 令函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，， 因此，， 对于B，当时，，而，则，解得， 与矛盾，因此，B错误； 对于C，由，得， 即曲线上的点位于直线的下方； 由，得曲线上的点位于直线的上方，曲线全部位于第四象限，C正确； 对于D，曲线上的点满足方程， 令，则方程有解，， 由，得；由，得， 在上递增，在上递减， ，解得， 当从大于的方向趋近于时，，当时，， 因此必有解，D正确 故选：ACD 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 11.【答案】BC 【解析】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为_______. 12.【答案】 【解析】 13. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种． 13.【答案】9 【解析】某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种． 故答案为：9. 14．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 14.【答案】 【解析】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 15．（13分） 【解析】 （1）由得，，两式相减得. 因为数列是等比数列，所以. 2分 当时，，则，所以. 4分 综上. 6分 （2）由，得. 8分 所以 10分 由于，，所以. 13分 16．（15分）已知. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：函数有且仅有两个零点，且. 16．（15分） 【解析】 （1）， 1分 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 3分 当时，令，得或， 当，即时，由得， 得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 4分 当，即时，恒成立，在上单调递增； 当，即时，由得， 由得， 5分 所以在和上单调递增，在上单调递减. 6分 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 7分 （2）由第（1）问中时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，因为，，， 由零点存在性定理可得：函数在区间上存在唯一零点，且， 使得； 9分 当时，，，则， 则， 显然一元二次方程的两个不等实根为：和， 其中， 取， ， 即，且， 由零点存在性定理可得：函数在区间上存在唯一零点，且， 使得； 所以当时，函数有且仅有两个零点； 11分 因为为零点，所以， 所以， 所以， 令，， 当时，，，所以在上单调递减， 因为，，所以， 13分 所以，所以，所以， 因为在上单调递减， 所以，所以. 15分 17．（15分） 如图在三棱台中，，，，若平面，点是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 17．（15分） 【解析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，，，，，， 则，，， 2分 设平面的法向量为， 则，令，即，，则， 4分 所以，则，所以平面. 5分    （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 7分 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 9分 设平面与平面的夹角为， 则， 11分 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 12分 （3）由（2）知平面的法向量为，又， 所以点到平面的距离为. 15分 18.（17分） 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 18.（17分） 【解析】 （1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． 2分 （i）当棋手得分为分，则局均负，即； 3分 （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 5分 （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 6分 ， ． 7分 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 8分 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 9分 （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， 10分 （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 11分 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 12分 所以． 13分 14分 因为，所以， 15分 所以，所以单调递减， 16分 所以当时，取最大值为． 17分 19.（17分） 已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点． (1)求椭圆的方程； (2)A，分别为椭圆的左右顶点，，，是椭圆上非顶点的三点，若∥， ∥，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 19.（17分） 【解析】（1）设两圆⊙：与⊙：的交点为， 依题意有， 由椭圆定义知，得；       2分 因为，分别为椭圆的左右焦点，所以，解得， 4分 所以椭圆的方程为； 5分 （2） 由题意可知，，设， ∵是椭圆上的点，∴，即，∴， 6分 ∵∥，∥，∴, ∵、、是椭圆上非顶点的三点，∴直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，， 由，得， 9分 由，得 （*） 10分 且，， ∴， 11分 ∵，∴，整理得， 12分 代入（*）得， ∵ ， 13分 原点到直线的距离， 14分 ∴（定值）. 16分 综上所述，的面积为定值3. 17分 另解：由题意可知，， 设，∵是椭圆上的点， ∴，即， 5分 ∴， 6分 ∵∥，∥，∴, ∵、、是椭圆上非顶点的三点， ∴直线，的斜率存在且不为零，且, 9分 设直线的方程为，则直线的方程为， 设，， 由，得，用换可得， 则， 13分 因为，所以与异号， 14分 ∴（定值）. 16分 综上所述，的面积为定值3. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3.在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知为常数，在某个相同的闭区间上，若为单调递增函数，为单调递减函数，则称此区间为函数的“”区间.若函数，则此函数的“”区间为（ ） A. B. C. D. 5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）． A. 8 B. 25 C. 18 D. 16 8. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．拋物线的准线方程为 B．若直线过，且轴，则 C．若直线过，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 10.关于曲线C：下列说法正确的有（ ） A. 曲线C的方程可化简为 B. 曲线C与直线有且只有一个公共点 C. 曲线C全部位于第四象限内 D. 点在曲线C上，则 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为_______. 13. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种． 14．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 16．（15分）已知. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：函数有且仅有两个零点，且. 17．（15分）如图在三棱台中，，，，若平面，点是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 18.（17分） 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 19.（17分）已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点． (1)求椭圆的方程； (2)A，分别为椭圆的左右顶点，，，是椭圆上非顶点的三点，若∥， ∥，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3.在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知为常数，在某个相同的闭区间上，若为单调递增函数，为单调递减函数，则称此区间为函数的“”区间.若函数，则此函数的“”区间为（ ） A. B. C. D. 5.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）． A. 8 B. 25 C. 18 D. 16 8. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．拋物线的准线方程为 B．若直线过，且轴，则 C．若直线过，则 D．若，则的中点到轴距离的最小值为2 10.关于曲线C：下列说法正确的有（ ） A. 曲线C的方程可化简为 B. 曲线C与直线有且只有一个公共点 C. 曲线C全部位于第四象限内 D. 点在曲线C上，则 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为_______. 13. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种． 14．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 16．（15分）已知. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：函数有且仅有两个零点，且. 17．（15分） 如图在三棱台中，，，，若平面，点是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 18.（17分） 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 19.（17分） 已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点． (1)求椭圆的方程； (2)A，分别为椭圆的左右顶点，，，是椭圆上非顶点的三点，若∥， ∥，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C A C D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．9 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】 （1）由得，，两式相减得. 因为数列是等比数列，所以. 2分 当时，，则，所以. 4分 综上. 6分 （2）由，得. 8分 所以 10分 由于，，所以. 13分 16．（15分） 【解析】 （1）， 1分 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 3分 当时，令，得或， 当，即时，由得， 得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 4分 当，即时，恒成立，在上单调递增； 当，即时，由得， 由得， 5分 所以在和上单调递增，在上单调递减. 6分 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 7分 （2）由第（1）问中时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，因为，，， 由零点存在性定理可得：函数在区间上存在唯一零点，且， 使得； 9分 当时，，，则， 则， 显然一元二次方程的两个不等实根为：和， 其中， 取， ， 即，且， 由零点存在性定理可得：函数在区间上存在唯一零点，且， 使得； 所以当时，函数有且仅有两个零点； 11分 因为为零点，所以， 所以， 所以， 令，， 当时，，，所以在上单调递减， 因为，，所以， 13分 所以，所以，所以， 因为在上单调递减， 所以，所以. 15分 17．（15分） 【解析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，，，，，， 则，，， 2分 设平面的法向量为， 则，令，即，，则， 4分 所以，则，所以平面. 5分    （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 7分 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 9分 设平面与平面的夹角为， 则， 11分 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 12分 （3）由（2）知平面的法向量为，又， 所以点到平面的距离为. 15分 18.（17分） 【解析】 （1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． 2分 （i）当棋手得分为分，则局均负，即； 3分 （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 5分 （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 6分 ， ． 7分 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 8分 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 9分 （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， 10分 （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 11分 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 12分 所以． 13分 14分 因为，所以， 15分 所以，所以单调递减， 16分 所以当时，取最大值为． 17分 19.（17分） 【解析】（1）设两圆⊙：与⊙：的交点为， 依题意有， 由椭圆定义知，得；       2分 因为，分别为椭圆的左右焦点，所以，解得， 4分 所以椭圆的方程为； 5分 （2） 由题意可知，，设， ∵是椭圆上的点，∴，即，∴， 6分 ∵∥，∥，∴, ∵、、是椭圆上非顶点的三点，∴直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，， 由，得， 9分 由，得 （*） 10分 且，， ∴， 11分 ∵，∴，整理得， 12分 代入（*）得， ∵ ， 13分 原点到直线的距离， 14分 ∴（定值）. 16分 综上所述，的面积为定值3. 17分 另解：由题意可知，， 设，∵是椭圆上的点， ∴，即， 5分 ∴， 6分 ∵∥，∥，∴, ∵、、是椭圆上非顶点的三点， ∴直线，的斜率存在且不为零，且, 9分 设直线的方程为，则直线的方程为， 设，， 由，得，用换可得， 则， 13分 因为，所以与异号， 14分 ∴（定值）. 16分 综上所述，的面积为定值3. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）