数学一模突破卷04（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D A D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得 9 10 11 BCD ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 3 ； 0 13． ； 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）补全列联表如下表： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 零假设：假设“航天达人”与性别无关，根据表中的数据计算得到，    （3分） 查表可知，    所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，因此“航天达人”与性别无关；（4分） （2）抽取的男航天达人有人，女航天达人有人， 所有可能取值为：. 则，，， （5分） 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望为.（7分） （3）从道题目中取道题，恰有道小明会做的题目概率， 设，（8分） 当时，，（9分） ， 当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，小明答对道题目的可能性最大. （13分） 16．（15分） 【详解】（1）设数列的前项和为，数列的前项和为， 依题意，， ， ， 当时，， 当时，， 所以（4分） （2）因为， ，又是等比数列，所以， 所以，则， 设数列的前项和为，（5分） 由， ， 两式作差得 所以.（8分） （3），则，所以， 所以. 令，则， 所以单调递减，即，即，（11分） 令，则， 所以，累加可得，（13分） 因为当时，，所以， 所以不存在常数使得对于任意恒成立. （15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即；（3分） （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以（5分） 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，（6分） 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为.（9分） （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即，（11分） 令，则，所以，（13分） 即， 所以 .（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， ，已知，则， 因为椭圆过点，代入方程得到， 联立方程解得， 所以椭圆方程为.（4分） （2）    ①设直线的方程为 ， ， 联立方程得到 ， 易知 ， ；（7分） 直线的方程为，直线的方程为； 联立方程，（9分） 解得； 所以点P的横坐标为定值3. （11分） ② ， 而，所以，（13分） 则，（15分） 令 ，则，所以 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）将替换成，原方程不变，于是点M形成的轨迹关于y轴对称， 不妨令，， 若，则，即，点M的轨迹是一条线段； 若，则，即，点M的轨迹是另一条线段；（2分） 再利用图象关于y轴对称，最终点M形成的轨迹图形如下： 由得，即,（5分） 则点M形成的轨迹图形关于点成中心对称图形且该图形为菱形， 由图及对称性可知，最短距离是点Q到直线的距离； 而最大距离是点Q到的距离，， 所以的取值范围为；（7分） （2）①先证明柯西不等式： 设，，由于， 于是，当且仅当时，等号成立，（9分） 于是令，，则， 所以，当且仅当取等号，所以的最小值为；（11分） ②将x替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将y替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将z替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 于是点N形成的轨迹关于点成中心对称图形， 去绝对值后可以得到8个平面的方程，（15分） 当时，为, 与三个平面围城三角形，顶点为， 则为正三角形，边长，其面积为 ， 则最终点的轨迹形成图形的全面积为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用) 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码☒ 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[A][B][C[D] 7[A][B][CD] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合是质数，，则（    ） A． B．{2} C．{3} D． 2．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 4．已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 6．已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的三个零点为，，，且，则下列结论不正确的是（    ）． A．在上单调递减 B．曲线是中心对称图形 C．，都有 D．，都有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 10．设函数，则 （    ） A．为偶函数 B．有且仅有1个零点 C．有且仅有3个极值点 D．在区间内单调递增 11．已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若的图象关于中心对称，则 ； ． 13．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有人玩游戏. 若3人玩一轮游戏，平局的概率= ；若求人玩一轮游戏，平局的概率= ．（结果用n表示） 14．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 2025年4月24日是第十个中国航天日. 十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新. 某校部分学生十分关注中国航天的发展，若将累计关注中国航天发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”. 现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 女 合计 (1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置道题目， 其中道题目是小明能答对的， 规定每位参赛者从道题中随机抽取道作答，则要使小明恰好答对道题目的概率最大，那么取多少？ 附： 16．（15分） 已知数列，对于任意，都有成立. (1)若，求数列的前项和. (2)若数列是等比数列，且，求数列的前项和. (3)若，是否存在常数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分） 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 18．（17分） 已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值；②求面积的最大值． 19．（17分） （1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围； （2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点． ①求的最小值； ②求点的轨迹形成图形的全面积． 注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试(江苏专用) 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合是质数，，则（    ） A． B．{2} C．{3} D． 2．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 4．已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 6．已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的三个零点为，，，且，则下列结论不正确的是（    ）． A．在上单调递减 B．曲线是中心对称图形 C．，都有 D．，都有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 10．设函数，则 （    ） A．为偶函数 B．有且仅有1个零点 C．有且仅有3个极值点 D．在区间内单调递增 11．已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若的图象关于中心对称，则 ； ． 13．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有人玩游戏. 若3人玩一轮游戏，平局的概率= ；若求人玩一轮游戏，平局的概率= ．（结果用n表示） 14．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 2025年4月24日是第十个中国航天日. 十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新. 某校部分学生十分关注中国航天的发展，若将累计关注中国航天发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”. 现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 女 合计 (1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置道题目， 其中道题目是小明能答对的， 规定每位参赛者从道题中随机抽取道作答，则要使小明恰好答对道题目的概率最大，那么取多少？ 附： 16．（15分） 已知数列，对于任意，都有成立. (1)若，求数列的前项和. (2)若数列是等比数列，且，求数列的前项和. (3)若，是否存在常数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分） 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 18．（17分） 已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值；②求面积的最大值． 19．（17分） （1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围； （2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点． ①求的最小值； ②求点的轨迹形成图形的全面积． 注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试（江苏专用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合是质数，，则（    ） A． B．{2} C．{3} D． 【答案】C 【分析】通过解不等式先求出集合，变形，分析出要使是质数，而必须是2的正因数，将和分别代入验证，即可求出集合，再求即可得解. 【详解】由，解得，故. 因为， 要使是质数，必须是整数，而必须是2的正因数. 因为2的正因数有1和2， 所以当时，，此时，4不是质数，不符合要求，舍去； 所以当时，，此时，3是质数，符合要求，故. 所以. 故选：C 2．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数对称中心的通式，结合函数内部的线性变换和平移量，求出对称中心的横、纵坐标表达式，再通过取整参数验证选项是否符合通式。 【详解】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 故选：A 3．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念，再由模长公式即可求解. 【详解】， ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 4．已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 5．双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选：A 6．已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆锥的母线、底面半径和高，再由轴截面内切圆求出内切球半径，分别求出体积，根据体积比与高之比的关系即可得解. 【详解】由题意，，则， 则圆锥母线，底面半径，高， 圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，且其半径为，轴截面如图所示， ，得， 则，而， 设水面高度为，则，得. 故选：D. 7．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 8．已知函数的三个零点为，，，且，则下列结论不正确的是（    ）． A．在上单调递减 B．曲线是中心对称图形 C．，都有 D．，都有 【答案】D 【分析】求导后结合定义域即可得A；计算为定值可得B；结合函数单调性可得，，取值范围，再计算出，结合在上单调性即可得C；举出反例即可得D. 【详解】对A：由，则其定义域为， ，则当时，恒成立， 故在、、上单调递减，故A正确； 对B：， 又定义域为，故曲线关于点对称， 即曲线是中心对称图形，故B正确； 对C：由在、、上单调递减， 且函数有三个零点，则，，， 则，有， 又，即， 则， 由，则，则， 又，且，在上单调递减， 故对恒成立，故C正确； 对D：取，则， 则有，， 即，，此时，故D错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 10．设函数，则 （    ） A．为偶函数 B．有且仅有1个零点 C．有且仅有3个极值点 D．在区间内单调递增 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义，函数零点定义，应用导数研究函数的极值点、复合函数单调性判断各个选项. 【详解】对于A，易知定义域为，且，所以为偶函数，A正确； 对于B，由，即，有，解得，因此有2个零点，B错误； 对于C，易知定义域为，令，则，根据绝对值性质对分段， 当时，，此时，求导， 令，解得（不在此区间，舍去）； 当时，，此时，求导，令，解得. 再考虑函数在处的情况， 在左侧（且趋近于2）时导数为负，右侧（且趋近于2）时导数为正； 在左侧（且趋近于）时导数为负，右侧（且趋近于）时导数为正； 在处的导数为0，所以有且仅有3个极值点，C正确. 对于D，当时，，令，在区间内单调递增， 又为增函数，根据复合函数“同增异减”原则， 在区间内单调递增，D正确； 故选：ACD. 11．已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 【答案】AC 【分析】对A：借助折叠性质与勾股定理逆定理计算即可得；对B：借助线面垂直判定定理可得为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可得；对C：借助等体积法计算即可得；对D：设出球心，结合外接球性质，利用勾股定理计算即可得. 【详解】对A：，，， 有，故，故A正确； 对B：由，故、， 又、平面，，故平面， 故，故B错误； 对C：设点到平面的距离为，则由可得： ，则，故C正确； 对D：设三棱锥外接球球心为，半径为， 由，平面，取中点， 则，且，则， 则有， 即，故D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若的图象关于中心对称，则 ； ． 【答案】 3 0 【分析】对分离常数后，可注意到为中心对称图象，因此是由经过伸缩、上下平移变换所得到的函数，进而确定了对称中心，即可求解. 【详解】. 对于函数易知，由， 因此是关于中心对称图形， 而是由经过伸缩、上下平移变换所得到的， 因此对称中心的横坐标不变，故， 因此的对称中心为, 有，解得. 故答案为：3；0. 13．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有人玩游戏. 若3人玩一轮游戏，平局的概率= ；若求人玩一轮游戏，平局的概率= ．（结果用n表示） 【答案】 【分析】应用古典概型公式计算可得第一空；应用古典概型及对立事件概率公式计算可得第二空. 【详解】用坐标表示三人出的手势顺序，则三人所有可能手势情况有： （石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头）， （布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀）， （布，布，布），（石头，石头，布），（石头，布，石头，），（布，石头，石头）， （石头，石头，剪刀），（石头，剪刀，石头，），（剪刀，石头，石头），（布，布，石头）， （布，石头，布），（石头，布，布），（剪刀，布，布），（布，剪刀，布）， （布，布，剪刀），（剪刀，剪刀，布），（剪刀，布，剪刀），（布，剪刀，剪刀）， （石头，剪刀，剪刀），（剪刀，石头，剪刀），（剪刀，剪刀，石头）， 共27种，其中，平局的情况有 （石头，剪刀，布），（石头，布，剪刀），（剪刀，石头，布），（剪刀，布，石头）， （布，石头，剪刀），（布，剪刀，石头），（石头，石头，石头），（剪刀，剪刀，剪刀）， （布，布，布），共有9种， 所以平局的概率； 由于平局的情况比较多，我们可以考虑人玩游戏分出胜负的概率， ， 其中表示分出胜负的三种情况， 即人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负， 而分出胜负与平局是对立事件， 故. 故答案为：①；②. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用古典概型及对立事件概率求解. 14．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由得出关于对称，根据时的表达式结合对称性作出的图象，分，，三种情况讨论与的交点情况，并利用交点数恰好为得出对应的实数的范围，从而求解． 【详解】因为，所以关于对称，且的图象是过点的折线， 由时，，作出与的图象如下图所示， 当时，函数是过定点，开口向上的折线， 如图，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点， 设切点，其中，的导数为，所以处切线斜率为， 所以，解得，满足条件，所以； 当时，函数与的交点情况如下图所示， 所以时，函数与的图象有个交点，满足条件； 当时，函数是过定点，开口向下的折线，如图所示， 此时函数与的图象恒有两个交点，满足条件； 综上所述，实数的取值范围是或， 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）2025年4月24日是第十个中国航天日. 十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新. 某校部分学生十分关注中国航天的发展，若将累计关注中国航天发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”. 现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 女 合计 (1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置道题目， 其中道题目是小明能答对的， 规定每位参赛者从道题中随机抽取道作答，则要使小明恰好答对道题目的概率最大，那么取多少？ 附： 15．（13分）【答案】(1)列联表见解析，认为“航天达人”与性别无关 (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】（1）根据题意，补全的列联表，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量X的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. （3）求出小明恰好答对道题目的概率，设，通过分类讨论分析的单调性，求得的最大值即可得解 【详解】（1）补全列联表如下表： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 零假设：假设“航天达人”与性别无关，根据表中的数据计算得到，     查表可知，    所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，因此“航天达人”与性别无关； （2）抽取的男航天达人有人，女航天达人有人， 所有可能取值为：. 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望为. （3）从道题目中取道题，恰有道小明会做的题目概率， 设， 当时，， ， 当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，小明答对道题目的可能性最大. 16．（15分）已知数列，对于任意，都有成立. (1)若，求数列的前项和. (2)若数列是等比数列，且，求数列的前项和. (3)若，是否存在常数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（15分）【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用题中递推求出数列的通项，再求出，然后分和两种情况讨论可得； （2）利用已知的对数的运算求出数列的通项，再由错位相减法求和可得； （3）利用已知求出，然后构造函数，求导分析单调性后可得，然后再用累加法可得. 【详解】（1）设数列的前项和为，数列的前项和为， 依题意，， ， ， 当时，， 当时，， 所以 （2）因为， ，又是等比数列，所以， 所以，则， 设数列的前项和为， 由， ， 两式作差得 所以. （3），则，所以， 所以. 令，则， 所以单调递减，即，即， 令，则， 所以，累加可得， 因为当时，，所以， 所以不存在常数使得对于任意恒成立. 17．（15分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 17．（15分）【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 18．（17分）已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，右焦点F为，且经过． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F作不与坐标轴平行的直线交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直线与直线相交于P点． ①求证：点P的横坐标为定值； ②求面积的最大值． 18．（17分）【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）设出椭圆方程，由题目条件得到，将点代入椭圆方程，最后列方程组求解得，从而得到椭圆方程； （2）①设出相关点的坐标以及直线的方程，与椭圆联立利用韦达定理得到，再写出直线与直线的方程，联立得到点的横坐标，计算其为定值即可； ②先由题目条件写出的面积的表达式，再利用换元法以及基本不等式求解最大值即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， ，已知，则， 因为椭圆过点，代入方程得到， 联立方程解得， 所以椭圆方程为. （2）    ①设直线的方程为 ， ， 联立方程得到 ， 易知 ， ； 直线的方程为，直线的方程为； 联立方程， 解得； 所以点P的横坐标为定值3. ② ， 而，所以，则 ， 令 ，则，所以 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 19．（17分）（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围； （2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点． ①求的最小值； ②求点的轨迹形成图形的全面积． 注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：． 19．（17分）【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据集合A的图形是中心对称图形，再结合图形，利用点到直线的距离公式求解即可； （2）①直接用柯西不等式直接可得；②由对称性，研究得时图形为正三角形，求出其面积，最后乘8即可. 【详解】（1）将替换成，原方程不变，于是点M形成的轨迹关于y轴对称， 不妨令，， 若，则，即，点M的轨迹是一条线段； 若，则，即，点M的轨迹是另一条线段； 再利用图象关于y轴对称，最终点M形成的轨迹图形如下： 由得，即, 则点M形成的轨迹图形关于点成中心对称图形且该图形为菱形， 由图及对称性可知，最短距离是点Q到直线的距离； 而最大距离是点Q到的距离，， 所以的取值范围为； （2）①先证明柯西不等式： 设，，由于， 于是，当且仅当时，等号成立， 于是令，，则， 所以，当且仅当取等号，所以的最小值为； ②将x替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将y替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将z替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 于是点N形成的轨迹关于点成中心对称图形， 去绝对值后可以得到8个平面的方程， 当时，为, 与三个平面围城三角形，顶点为， 则为正三角形，边长，其面积为 ， 则最终点的轨迹形成图形的全面积为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $