专题04 走进几何世界（期末复习专项训练，10大题型）七年级数学上学期新教材苏科版

专题04 走进几何世界 题型1 常见的几何体（常考点） 题型6 截面问题（重点） 题型2 点、线、面、体关系（常考点） 题型7 平移、翻折、旋转中图形的变化规律（重点） 题型3 几何体展开图的认识（常考点） 题型8 阴影面积问题（难点） 题型4 平面图形旋转成立体图形（常考点） 题型9 七巧板计算（难点） 题型5 正方体相对面的字或图案（重点） 题型10 欧拉公式（难点） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常见的几何体（常考点） 1．下列图形为三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于（   ） A．球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 3．一个七棱柱，所有侧棱长的和为21cm，则每条侧棱的长是 cm． 题型二 点、线、面、体关系（常考点） 1．汽车的雨刮器在挡风玻璃上运动，这里把雨刮器抽象成线段，用数学知识解释这一现象（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 2．下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 C．扔出的一块小石子在空中飞行的路线 D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 3．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是 ． 题型三 几何体展开图的认识（常考点） 1．某厂家推出一种新款月饼礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（    ） A． B． C． D． 2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 3．如图是一个几何体表面的展开图．根据图中所给信息，该几何体的体积是 （结果保留）． 题型四 平面图形旋转成立体图形（常考点） 1．将下列选项中的图形绕轴旋转一周，可得到下面几何体的是（    ） A． B． C． D． 2．随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 3．将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的几何体是 ． 题型五 正方体相对面的字或图案（重点） 1．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是(    )． A．的 B．中 C．国 D．梦 2．如图是一个正方体的展开图，下面的四个正方体中，只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（　　） A． B． C． D． 3．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    题型六 截面问题（重点） 1．用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 2．用一个平面截一个几何体，得到的截面形状是长方形，则这个几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，用经过D、E、G三点的平面截去长方体上面的一角，剩下部分是一个新的几何体，若这个新几何体的面数为x，顶点数为y，则的值为 ． 题型七 平移、翻折、旋转中图形的变化规律（重点） 1．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 2．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 3．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 题型八 阴影面积问题（难点） 1．已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（　　） A． B．π﹣2 C．1+ D．π﹣1 2．如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为40和32，且四个阴影部分的周长为44，则长方形的周长为 ．    3．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示． (1)如果正方形的边长为6，直接写出的值； (2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图． 题型九 七巧板计算（难点） 1．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 3．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 题型十 欧拉公式（难点） 1．将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 2．欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 3．设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． $专题04 走进几何世界 题型1 常见的几何体（常考点） 题型6 截面问题（重点） 题型2 点、线、面、体关系（常考点） 题型7 平移、翻折、旋转中图形的变化规律（重点） 题型3 几何体展开图的认识（常考点） 题型8 阴影面积问题（难点） 题型4 平面图形旋转成立体图形（常考点） 题型9 七巧板计算（难点） 题型5 正方体相对面的字或图案（重点） 题型10 欧拉公式（难点） 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常见的几何体（常考点） 1．下列图形为三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的识别． 根据三棱柱的定义判断即可． 【详解】 解：A．是圆柱； B．是三棱柱； C．    是三棱锥； D．是圆锥； 故选：B． 2．生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于（   ） A．球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等． 根据图形直接得到答案． 【详解】解：如图所示的蒙古包屋顶的形状类似于圆锥． 故选：D． 3．一个七棱柱，所有侧棱长的和为21cm，则每条侧棱的长是 cm． 【答案】3 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确七棱柱有7条侧棱且侧棱长度相等． 根据七棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：七棱柱有7条侧棱，且每条侧棱的长度相等，则每条侧棱的长为． 故答案为3． 题型二 点、线、面、体关系（常考点） 1．汽车的雨刮器在挡风玻璃上运动，这里把雨刮器抽象成线段，用数学知识解释这一现象（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，利用点、线、面、体的概念解答． 【详解】解：汽车的雨刮器工作时候，可用线动成面的数学知识点来解释． 故选：B． 2．下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 C．扔出的一块小石子在空中飞行的路线 D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键． “面动成体”指平面图形运动形成立体图形，分析各选项，只有D选项中的门旋转时，作为面运动形成体． 【详解】解：A选项流星划过是点动成线，不符合题意； B选项雨刷划痕是线动成面，不符合题意； C选项石子飞行路线是点动成线，不符合题意； D选项门旋转痕迹是面动成体，符合题意； 故选D． 3．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是 ． 【答案】点动成线 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，根据点动成线的原理进行分析． 【详解】答：雨滴可以看作点，雨滴下落时形成的轨迹像线，这反映了点动成线的数学原理． 故答案为：点动成线． 题型三 几何体展开图的认识（常考点） 1．某厂家推出一种新款月饼礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的展开图；根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形能是三棱柱的展开图. 【详解】解：A、是三棱柱的展开图，故A符合题意； B、中间长方形的边与上下三角形的边不匹配，故B不符合题意； C、中间长方形的边与下三角形的边不匹配，故C不符合题意； D、中间长方形的边与下三角形的边不匹配，故D不符合题意； 故选：A. 2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】此题重点考查学生对空间立体图形的认识，把握四棱锥的特点是解题的关键． 根据几何体的展开图把它利用空间思维复原即可得到答案． 【详解】解：仔细观察几何体的展开图，根据底面正方形的形状可以确定它是四棱锥． 故选C 3．如图是一个几何体表面的展开图．根据图中所给信息，该几何体的体积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱的体积计算，熟练掌握圆柱的展开图特征及体积公式是解题的关键．先判断几何体类型，确定圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是圆柱， 底面半径 ，圆柱的高 ， ∴， 故答案为：． 题型四 平面图形旋转成立体图形（常考点） 1．将下列选项中的图形绕轴旋转一周，可得到下面几何体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了面动成体，根据面动成体判断出各个选项中的平面图形旋转得到的立体图形即可得出结论． 【详解】解：A、根据题意可得该图形绕轴旋转一周所得的几何体为圆台，符合题意； B、根据题意可得该图形绕轴旋转一周所得的几何体为球，不符合题意； C、根据题意可得该图形绕轴旋转一周所得的几何体为圆柱，不符合题意； D、根据题意可得该图形绕轴旋转一周所得的几何体为圆锥，不符合题意； 故选：A． 2．随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解． 本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键． 【详解】解：观察四个选项，A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶， 故选：A． 3．将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的几何体是 ． 【答案】圆锥 【分析】本题考查点、线、面、体的知识，运用空间想象思想，根据 “面动成体” 原理，关键是明确直角三角形绕直角边旋转的方式，易错点是对旋转形成的空间图形想象错误；依据直角三角形绕直角边旋转的规则，判断形成的几何体形状． 【详解】解：该图形是直角三角形绕其一条直角边（虚线）旋转一周，根据 “面动成体” 的原理，得到的几何体是圆锥． 题型五 正方体相对面的字或图案（重点） 1．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是(    )． A．的 B．中 C．国 D．梦 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面或“”字形的首尾端，判断即可． 【详解】解：把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是“梦”， 故选：D． 2．如图是一个正方体的展开图，下面的四个正方体中，只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方体展开图，根据正方体展开图的11种特征，属于“1﹣4﹣1”型，折叠成正方体后，两个含有圆的面相对所以排除B；C上面应是深色圆形，所以排除C；D前面应是涂色的三角形而不是空白，所以也要排除；所以只有选项A合适． 【详解】解： 折叠成正方体后，两个含有圆的面相对所以排除B；C上面应是深色圆形，所以排除C；D前面应是涂色的三角形而不是空白，所以也要排除，四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是： 故选：A． 3．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 题型六 截面问题（重点） 1．用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，解题关键是熟悉常见几何体． 根据四个选项中的图形，逐一分析能否得到截面的形状是圆，再作出选择． 【详解】 解：一个平面去截截面的形状不可能是圆，故A不符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故B不符合； 一个平面去截截面的形状可能是圆，故C符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故D不符合； 故选：C． 2．用一个平面截一个几何体，得到的截面形状是长方形，则这个几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．掌握圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征是解题的关键． 【详解】解：用一个平面截一个几何体， A．当该平面与长方体的一个面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； B．当该平面与圆柱的底面垂直时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； C．选项的截面不可能是长方形，故该选项符合题意； D．当该平面与三棱柱的一个侧面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，用经过D、E、G三点的平面截去长方体上面的一角，剩下部分是一个新的几何体，若这个新几何体的面数为x，顶点数为y，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了长方体的截面．明确长方体的面数．顶点数，棱的条数，数形结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数是解题的关键．截去长方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，少了一个顶点． 【详解】解：由图可得，多面体的面数是7；长方体有8个顶点，被截去了1个顶点，故多面体的顶点数是7． 所以． 故答案为：14． 题型七 平移、翻折、旋转中图形的变化规律（重点） 1．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的旋转角，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 先求出各选项图形的最小旋转角，然后比较即可解答． 【详解】解：A．图形的旋转角度； B． 图形的旋转角度； C． 图形的旋转角度； D． 图形的旋转角度． 综上，旋转角度最小的是C选项． 故选C． 2．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 3．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 【答案】(1)见解析 (2)B (3)270 (4)2 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转—次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【详解】（1）解：如图，图2，图3即为所求； （2）解：观察图形可知，旋转—次循环， ， 所以风叶①到达了图4中位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转 270 度（旋转一周内），风叶（1）也能到达第（2）问中位置． 故答案为： 270 ； （4）解：由如图5可知，最少翻折 2 次，也能到达第（ 2 ）问中位置． 故答案为： 2 ． 题型八 阴影面积问题（难点） 1．已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（　　） A． B．π﹣2 C．1+ D．π﹣1 【答案】B 【分析】结合题意，根据正方形、圆形面积的性质及其和差关系计算，即可得到答案． 【详解】∵每个网格中小正方形的边长都是1，阴影图案由半径分别为1和2的圆弧围成 ∴半径为1的四分之一圆面积为：；半径为2的四分之一圆面积为： 如下图： 阴影部分的面积是：半径为2的四分之一圆面积-（边长都1的正方形面积）-（半径为1的四分之一圆面积）-（边长都1的正方形面积-半径为1的四分之一圆面积） ∴阴影部分的面积是： 故选：B． 【点睛】本题考查了平面图形的知识；解题的关键是熟练掌握平面图形形状识别的性质，从而完成求解． 2．如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为40和32，且四个阴影部分的周长为44，则长方形的周长为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，列代数式，代数式求值，长方形的性质，求出的长是解答此题的关键． 根据小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长可求出的长，再根据两正方形的周长可得和的长即可得出结论． 【详解】解：由图形可得：小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长，即4个的长，    即：， ， 长方形的长为，宽为， ， ∵， ， 长方形的周长为， 故答案为： 3．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示． (1)如果正方形的边长为6，直接写出的值； (2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图． 【答案】(1) (2)图见详解 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由图4可知每个小正方形的边长为，要裁剪出一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子的展开图，则需剪去四个边长为的正方形，进而问题可求解 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：所作图形如下所示： 题型九 七巧板计算（难点） 1．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 2．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 【答案】40 【分析】本题考查七巧板，关键是掌握七巧板中各图形之间的面积关系．根据七巧板中各图形之间的面积关系分别得出每个部分的面积，即可求解． 【详解】解：的面积等于， 和的面积为，的面积为，的面积为， 由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于． 故答案为：． 3．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)见解析 (3)见解析，正方形的面积为8． 【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：， 图形块3的面积为：， 图形块4的面积为：， 图形块5的面积为：， 图形块6的面积为：， 图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 正方形的面积为8． 题型十 欧拉公式（难点） 1．将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键． （1）只要将图①〜⑤中各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐含的数量关系，将这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． 2．欧拉是世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数、面数和棱数之间存在一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式，请你观察下列图表，解答下列问题． 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 正方体 正八面体 正十二面体 【实践操作】（1）直接写出 _______，_______， _______； 【归纳总结】（2），，之间的数量关系是_______； 【尝试应用】（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】（1）4，6，；（2）；（3） 【分析】本题考查了正多面体，多面体的顶点数，面数和棱数的关系，掌握以上知识并正确理解题意是解答本题的关键； （1）直接观察多面体模型，即可求解； （2）根据正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：，通过分析即可得到规律； （3）先求得该多面体的棱数，然后根据（2）中的，即可求解； 【详解】解（1）由多面体模型图案可得：正四面体顶点数为4，正方体面数为6，正八面体棱数为， 故答案为：；6；； （2）∵正四面体：，正方体：，正八面体：， 正十二面体：， ∴， 故答案为：； （3）∵该多面体有个顶点，每个顶点处都有条棱， ∴共有条棱， ∵， ∴， 解得， ∴该多面体外表面个数为个， ∴； 3．设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】(1)4；4；6；6；6；10 (2)11；11；20；；； (3)； 【分析】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识． （1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； （2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可； ②根据n棱锥的特征填写即可； （3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系； ②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 【详解】（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，； 故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，； 故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． $