第二十一章 四边形 习题（课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“四边形”章节习题21.1，涵盖四边形与多边形内角和、外角和计算，正多边形内角求解，几何推理及实际应用等核心知识点。以基础概念辨析（如内角能否全为锐角）为起点，通过表格归纳、公式推导（如n边形内角和）到实际问题解决（如木架稳定性），构建层层递进的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动思维发展，如通过“推导n边形内角和”培养抽象能力与几何直观（数学眼光），借助正多边形内角计算强化运算能力与逻辑推理（数学思维），结合木架稳定性问题渗透模型意识与应用意识（数学语言）。实例丰富，如五边形内角相等求角度、四边形变形问题等，助力学生发展数学核心素养，也为教师提供分层教学与素养导向的优质习题资源。

习题21.2 R·八年级数学下册 四边形 21 1 复习巩固 1. 如果四边形 ABCD 是平行四边形，AB = 6，且 AB 的长是 ▱ABCD 周长的 ，那么 BC 的长多少？ 解：∵AB = 6，且 AB 的长是 ▱ABCD 周长的 ， ∴▱ABCD 的周长是 6÷ = 32. 又平行四边形的对边相等，∴BC = (32－6×2)÷2 = 10. 答：BC 的长是 10. 2. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板. 如果光线 与纸板右下方所成的 ∠1 是 72°15′，那么光线与纸板左上方 所成的 ∠2 是多少度？为什么？ 解：∠2 = 72°15′ . 理由： 如图，∵光线 AD∥BC，纸板对边 AB∥DC， ∴光线与纸板所形成的四边形 ABCD 是平行 四边形，而平行四边形的对角相等， ∴∠2 = ∠1 = 72°15'. A D B C 3. 如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， 且 AC + BD = 36，AB = 11. 求 △OCD 的周长. A B D C O 解：∵▱ ABCD 的对角线互相平分且和为 36， ∴OC + OD = (AC + BD) = ×36 = 18. 又▱ABCD 的对边相等， ∴DC = AB = 11， ∴△OCD 的周长= OC + OD + DC = 18 + 11 = 29. 答：△OCD 的周长为 29. A B D C O 平行四边形中与周长有关的结论： （1）C△AOB = C△DOC = (AC + BD) + AB (或CD)； （2）C△AOD = C△BOC = (AC + BD) + AD (或BC)； （3）C△AOB － C△BOC = AB － BC ； （4）C△ABC － C△ABD = AC － BD . 4. 在 ▱ ABCD 中，∠A = 45°，AB = 4，AD = 2. 求 ▱ ABCD 的面积. 解：如图，过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E， ∴∠BEA = 90°. ∵∠A = 45°，∴∠ABE = 45°= ∠A . ∵AB = 4，∴易得 BE = AB = . ∴S▱ABCD =AD·BE = 2× = . 5. 如图，在 ▱ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上， 且 AF = CE . 求证：四边形 AECF 是平行四边形. 平行四边形判定方法的选择： 已知条件 证明思路 一组对边相等 （1）另一组对边相等 （2）该组对边平行 一组对边平行 （1）另一组对边平行 （2）该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 5. 如图，在 ▱ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上， 且 AF = CE . 求证：四边形 AECF 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，即 AF∥CE . 又 AF = CE， ∴四边形 AECF 是平行四边形. 6. 如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F， G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO = CO，BO = DO. 又 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点， ∴EO = AO，FO = BO，GO = CO，HO = DO . ∴EO = GO，FO = HO . ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 7. 如图，在长方形台球桌面上击球，得到球的运动轨迹恰好为 四边形 EFGH. 当台球每次撞击一条桌边时，入射方向与这条 桌边的夹角等于反弹方向与这条桌边的夹角，如∠BEH = ∠AEF， 则四边形 EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形 EFGH 是平行四边形. 理由如下： 由题意知∠BEH = ∠AEF，∠AFE =∠DFG，∠BHE = ∠CHG. ∵∠B = ∠A = 90°， ∴∠BHE = ∠AFE . ∴∠AFE = ∠DFG = ∠BHE = ∠CHG . ∴易得∠EFG = ∠GHE . 同理可得∠HEF = ∠FGH . ∴四边形 EFGH 是平行四边形 . 8. 如图，四边形 AEFD 和四边形 EBCF 都是平行四边形. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， ∴AD EF，EF BC，∴AD BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 9. 如图，直线 l1∥l2，△ABC 与△DBC 的面积相等吗？为什么？ 你还能画出一些与△ABC 面积相等的三角形吗？ A D B C l2 l1 解：△ABC 与△DBC 的面积相等. 理由：∵l1∥l2，∴△ABC与△DBC 同底等高，面积相等. 图中还能画出无数个与△ABC 的面积相等的三角形，凡是以 BC 为底，另一顶点在 l1上的三角形均与△ABC 的面积相等. 综合运用 10. 如图，在 ▱ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠ADE = 30°， EA 平分∠BED，DE = 8. 求 △ADE 的面积. A D B C E F 解：如图，过点 E 作 EF ⊥ AD 于点 F . 在 Rt△DEF 中，DE = 8，∠ADE = 30°， ∴ EF = DE = 4 . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE = ∠BEA. ∵EA 平分∠BED，∴∠DEA = ∠BEA， ∴∠DAE = ∠DEA，∴AD = DE = 8. ∴S△ADE = AD·EF = ×8×4 = 16. 11. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠A = ∠B. 求证 AD = BC . A B D C 转化到同一个三角形中. 证明: 如图，过点 C 作 CE ∥AD，交 AB 于点 E. ∵AB∥DC，∴四边形 AECD 是平行四边形. ∴AD = CE . ∵CE∥AD，∴∠A = ∠CEB . 又∠A = ∠B，∴∠B =∠CEB，∴CE = BC . ∴AD = BC . E 12. 如图，▱ OABC 的顶点 O，A，C 的坐标分别是（0，0）， （a，0），（b，c）. 求顶点 B 的坐标. 解：如图，延长 BC 交 y 轴于点 M . ∵四边形 OABC 为平行四边形， ∴BC OA . 根据题意可知，OA 与 x 轴重合，OA = a . ∴BC∥x 轴，BC = a，∴CM = b . ∴点 B 的纵坐标为 c，横坐标为 BC + CM = a + b . 即顶点 B 的坐标为（a + b，c）. M 13. 如图，已知△ABC，过点 A，B，C 分别作 B'C'∥CB， C'A'∥AC，A'B'∥BA，那么∠ABC 与∠B' 有什么关系？ 线段 AB' 与线段 AC' 呢？为什么？ 解：∠ABC =∠B'，AB' = AC' . 理由： ∵A'B'∥BA，B'C'∥CB，C'A'∥AC， ∴四边形 ABCB' 、四边形 C'BCA 都是平行四边形， ∴∠ABC = ∠B' ，且 AB' = BC，AC' = BC， ∴AB' = AC' . 14. 如图，四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD = 12， DO = OB = 5，AC = 26， ∠ADB = 90°. 求 BC 的长和四边形 ABCD 的面积. 解：在△ADO 中，AD = 12，DO = 5，∠ADO = 90°， ∴AO = = = 13. ∵AC = 26，∴OC = AC－AO = 26－13 = 13， 即 AO = OC. 又 DO = OB = 5，∴四边形 ABCD 是平行四边形，BD = 10， ∴BC = AD = 12，S▱ABCD =2S△ABD = 2× BD·AD = 10×12 = 120. 拓广探索 15. 如图，在▱ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥BC， GH∥AB . 图中哪两个平行四边形面积相等？为什么？ 分析：利用题中平行关系找出相应的 平行四边形，再结合平行四边形的对 角线平分其面积得到 S△ABD = S△CBD， S△EBP = S△GBP，S△HPD = S△FPD， 最后由面积的和差关系找出面积相等 的平行四边形. 解：▱AEPH 与▱PGCF面积相等. 理由： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴S△ABD = S△CBD，AB∥CD，AD∥BC . 结合 EF∥BC，GH∥AB，易证四边形 EBGP、四边形 PFDH、 四边形 AEPH、四边形 PGCF 都是平行四边形. ∴ S△EBP = S△GBP，S△HPD = S△FPD， ∴S△ABD －S△EBP － S△HPD = S△CBD － S△GBP －S△FPD， 即 S▱AEPH = S▱PGCF . 同理还有：S▱ABGH = S▱BCFE，S▱AEFD = S▱CDHG . 16. 如图，用硬纸板剪一个平行四边形，找出它的对角线的交点 O， 把一根细直木条平放在硬纸板上，用大头针固定在点 O 处， 并使细木条可以绕点 O 随意转动. 拨动细木条，让它转动后停止. 观察若干次拨动的结果，你能发现什么结论？证明你的发现. E F 分析：连接 AC，BD，结合平行四边形的对角线互相平分，找出图中的全等三角形，从而得到线段、面积的等量关系. 解：如图，设木条与AD，BC 的交点分别为 E，F. 发现：（1）OE = OF，（2）AE = CF， （3）DE = BF，（4）S四边形ABFE = S四边形CDEF . 证明（1）过程如下：连接 AC，BD . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAO =∠FCO . 又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE = OF. 其余结论证明略. E F 17. 求证：平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和. 分析：画出图形，作某条边上的高，结合勾股定理得到几个关于平方的等式，通过等式的变形代入，进而证明结论正确. 已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD 是它的对角线. 求证：AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2 . 证明：如图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E，过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F . 设 BE = x，AE = h，AB = CD = a，AD = BC = b，AC = c，BD = d， ∴AC2 + BD2 = c2 + d2， AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = a2 + b2 + a2 + b2 = 2a2 + 2b2 . 易证△ABE≌△DCF，∴CF = BE = x，DF = AE = h. 在Rt△ABE 中，由勾股定理，a2 = h2 + x2；① 在Rt△ACE 中，由勾股定理，c2 = h2 + (b－x)2；② 在Rt△DBF 中，由勾股定理，d2 = (b + x)2 + h2，③ ∴c2 + d2 = 2h2 + (b－x)2 + (b + x)2 = 2h2 + 2b2 + 2x2 = 2(h2 + x2) + 2b2 = 2a2 + 2b2， 即 AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2 . $习题21.3 人教·八年级数学下册 四边形 21 1 复习巩固 1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交 于点 O，且 ∠1 = ∠2. 四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ 解：四边形 ABCD 是矩形. 理由： ∵∠1 = ∠2，∴OB = OC. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. ∴OA = OC = OB = OD. ∴AC = BD . ∴ □ ABCD 是矩形. 【选自教材第78页 习题21.3 第1题】 2. 如图，一个木匠要制作一块矩形的木板. 他在一块对边平行 的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到 矩形木板. 为什么？ 解：如图，∵AB ⊥ BC，CD ⊥ BC， ∴易得 AB∥CD，∠ABC = 90°. ∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠ABC = 90°，∴ □ ABCD 是矩形. 因此，他能得到矩形木板. 【选自教材第79页 习题21.3 第2题】 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC . 利用本节所学的直角三角形的性质，求∠A，∠B 的度数. 解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 是Rt△ABC 斜边上的中线， ∴△ACD 是等边三角形. ∴∠A = 60°. 又∠ACB = 90°，∴∠A + ∠B = 90°，∴∠B = 30°. ∴CD = AB = AD . ∵AB = 2AC，∴AC = AB. ∴AC = CD = AD . 【选自教材第79页 习题21.3 第3题】 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求： （1）∠BAD，∠ABC 的度数； （2）AB，AC 的长. 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CA 平分∠BCD，AD∥BC . ∴∠BCD = 2∠ACD = 60°. ∴∠BAD = ∠BCD = 60°. 又AD∥BC，∴∠ABC = 180°－∠BAD = 120°. 【选自教材第79页 习题21.3 第4题】 （2）设 AC 与 BD 交于点 O . 由（1）知∠BAD = 60°，AB = AD， ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB = BD = 6. 在Rt△ABO 中，AB = 6，BO = BD = 3， ∴AO = = = 3 ，∴AC = 2AO = 6 . 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求： （1）∠BAD，∠ABC 的度数； （2）AB，AC 的长. 【选自教材第79页 习题21.3 第4题】 5. 如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF，且交 AE 于点 D，连接 CD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵AE∥BF， ∴∠DAC = ∠BCA，∠ADB = ∠CBD . ∵AC 平分∠BAD，BD 平分∠ABC， ∴∠BAC = ∠DAC，∠ABD = ∠CBD . ∴∠BAC = ∠BCA，∠ABD = ∠ADB . ∴AB = AD = BC. 又AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵AB = BC，∴ □ ABCD 是菱形. 【选自教材第79页 习题21.3 第5题】 6. 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE = BC， 过点 E 且与 BD 垂直的直线交 CD 于点 F，连接 BF. DE 与 CF 相等吗？说一说你的理由. 解：DE = CF. 理由： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠C = 90°，∠BDC = 45°. ∵EF ⊥ BD，∴∠DEF = ∠BEF = 90°. ∴∠DFE = 90°-∠BDC = 45°. ∴∠BDC = ∠DFE，∴DE = EF . 在Rt△BEF 和Rt△BCF 中， BF = BF， BE = BC， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）. ∴EF = CF，∴DE = CF. 【选自教材第79页 习题21.3 第6题】 综合运用 7. 如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角. 要得到一个正方形，裁剪线与折痕应成多少度的角？ 解：裁剪线与折痕应成 45°的角. 【选自教材第79页 习题21.3 第7题】 8. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′，AD 相交于点 E，AD = 8，AB = 4. DE 的长 是多少？△BDE 的面积呢？ 解：∵纸片ABCD是矩形，∴∠A = 90°，AD∥BC， ∴∠ADB = ∠CBD. 由折叠知∠C'BD = ∠CBD， ∴∠C'BD = ∠ADB. ∴BE = DE. 设 DE = BE = x，则 AE = AD－DE = 8－x . 在Rt△ABE 中，由勾股定理，AE2 + AB2 = BE2， 即 (8－x)2 + 42 = x2，解得 x = 5. ∴DE = 5. ∴S△BDE = DE·AB = ×5×4 = 10. 【选自教材第79页 习题21.3 第8题】 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D， ∠ACD = 3∠BCD，E 是边 AB 的中点. ∠ECD 是多少度？为什么？ 解：∠ECD = 45°. 理由： ∵∠ACB = 90°，∴∠BCD + ∠ACD = 90°. ∵∠ACD = 3∠BCD， ∴∠BCD + 3∠BCD = 90°， ∴∠BCD = 22.5°，∠ACD = 67.5°. ∵CD ⊥ AB，∴∠A + ∠ACD = 90°. ∴∠A = 22.5°. 在Rt△ABC中，E 是斜边 AB 的中点， ∴CE = AB = AE . ∴∠ACE = ∠A = 22.5°. ∴∠ECD =∠ACD－∠ACE = 67.5°－22.5°= 45°. 【选自教材第80页 习题21.3 第9题】 10. 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M，N 分别在 AB，AD 上，且 BM = DN，MG∥AD，NF∥AB；点 F，G 分别在 BC，CD 上，MG 与 NF 相交于点 E. 求证：四边形 AMEN，EFCG 都是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = DA = BC = CD，AB∥CD，AD∥BC. ∵MG∥AD，NF∥AB， ∴AB∥NF∥CD，AD∥BC∥MG. ∴四边形 AMEN，BCGM，CDNF，EFCG 都是平行四边形. ∴BM = CG，DN = CF. ∵BM = DN，∴CG = CF，AB－BM = DA－DN，即AM = AN. ∴ □ AMEN， □ EFCG 都是菱形. 【选自教材第80页 习题21.3 第10题】 11. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O， AC = 8，DB = 6，DH ⊥ AB，垂足为 H. 求 DH 的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥ BD，AO = AC = 4，BO = DB = 3. ∴AB = = = 5. ∵S菱形ABCD = AC·DB = AB·DH， 即 ×8×6 = 5DH. ∴DH = . 【选自教材第80页 习题21.3 第11题】 12.（1）如图（1），四边形 OBCD 是矩形，O，B，D 三点 的坐标分别是 (0，0)，(b，0)，(0，d). 求点 C 的坐标. 解：（1）∵四边形 OBCD 是矩形， ∴OD = BC，OB = DC， 且 CD ⊥ OD，CB ⊥ OB. ∵D(0，d)，B(b，0)， ∴C(b，d) . 【选自教材第80页 习题21.3 第12题】 （2）如图（2），四边形 ABCD 是菱形，C，D 两点的坐标 分别是 (c，0)，(0，d)，点 A，B 在坐标轴上. 求 A，B 两点的坐标. （2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AO = CO，BO = DO . ∵C (c，0)，∴A (－c，0). ∵D (0，d)，∴B (0，－d). 【选自教材第80页 习题21.3 第12题】 （3）如图（3），四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的 坐标分别是 (0，0)，(0，d). 求 B，C 两点的坐标. （3）∵四边形 OBCD 为正方形， ∴OD = CD = CB = OB， 且 CB ⊥ OB，CD ⊥ OD. 又D (0，d)， ∴B (d，0)，C (d，d). 【选自教材第80页 习题21.3 第12题】 13. 如图，将等腰三角形纸片 ABC 沿底边 BC 上的高 AD 剪成 两个三角形. 用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？ 试一试，分别求出它们的对角线的长. 解：能拼成三种平行四边形. （1）如图①的矩形，其对角线长均为 m. （2）如图②的平行四边形. 其两条对角线长分别为 n， . （3）如图③的平行四边形， 其两条对角线长分别为 h， . 【选自教材第80页 习题21.3 第13题】 14. 如图，矩形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E， F，G，H. 试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论. 【选自教材第81页 习题21.3 第14题】 解：四边形 EFGH 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD =∠ABC =∠CDA = ∠DCB = 90°. ∵AF，BH，CH，DF 分别是四个内角的平分线， ∴∠BAF = ∠DAF = ∠ADF = ∠ABE = ∠CBH = ∠BCH = 45°. ∴AE = BE，∠HEF = ∠AEB = 180°－45°－45°= 90°， ∠F = ∠H = 180°－45°－45°= 90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 易证△ADF≌△BCH（ASA）. ∴AF = BH. ∴AF-AE = BH－BE，即 EF = EH . ∴矩形 EFGH 是正方形. 15. 如图，一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的笔直 小路，使这两条小路将草地分成面积相等的四部分， 你有多少种方法？与同学交流一下. 有多种方法，两条小路均经过正方形对角线的交点且两条小路互相垂直即可. 【选自教材第81页 习题21.3 第15题】 拓广探索 16. 如图，四边形 ABCD 是正方形. G 是边 BC 上任意一点， DE ⊥ AG，垂足为 E；BF∥DE，交 AG 于点 F. 求证：AF－BF = EF. 分析：由图易知AF－AE = EF，所以只需证明 BF = AE 即可.通过证明 BF，AE 各自所在的△ABF 与△DAE 全等可得到 BF = AE. 【选自教材第81页 习题21.3 第16题】 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB = AD，∠BAD = 90°. ∴∠BAF + ∠DAE = 90°. ∵DE ⊥ AG，∴∠DEA = ∠DEF = 90°. ∵BF∥DE，∴∠AFB = ∠DEF = 90°= ∠DEA. ∴∠ABF + ∠BAF = 90°. ∴∠ABF = ∠DAE. ∴△ABF≌△DAE（AAS）. ∴AE = BF. ∴AF－BF = AF－AE = EF. 17. 如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线，BD 与 CE 相交于点 O. BO 与 OD 的长度有什么关系？BC 边上的中线是否 一定过点 O？为什么？（提示：分别作 BO，CO 的中点 M，N， 连接 ED，EM，MN，ND.） 解：（1）BO = 2OD. （2）BC 边上的中线一定过点 O. 【选自教材第81页 习题21.3 第17题】 证明：（1）∵E，D 分别是 AB，AC 的中点， ∴ED 是△ABC 的中位线，∴ED∥BC，且 ED = BC. ∵M，N 分别是 BO，CO 的中点， ∴MN 是△OBC 的中位线，OM = BM = BO. ∴MN∥BC，且 MN = BC . ∴ED MN. ∴四边形 EMND 是平行四边形. ∴OM = OD. 又OM = BO，∴BO = 2OD. （2）作三角形 BC 边上的中线，与 BD 相交于点 O′. 同（1）中过程可证 BO′ = 2O′D . ∴点 O 与点 O′ 重合，即 BC 边上的中线一定过点 O. 18. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 24 cm， BC = 26 cm. 点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动； 同时点 Q 从点 C 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动. 规定其中 一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 从运动开始， 需经过多长时间，才能使 PQ = CD？为什么？ 分析：由题意可知，需分两种情况讨论： ①四边形 PQCD 为平行四边形； ②四边形 PQCD 为等腰梯形. 【选自教材第81页 习题21.3 第14题】 解：经过 6 s或7 s，才能使 PQ = CD. 理由：设经过 t s 使 PQ = CD，则 DP = (24－t) cm，QC = 3t cm， 分以下两种情况讨论： ①四边形 PQCD 为平行四边形，由平行四边形的性质可得 DP = QC，即 24－t = 3t，解得 t = 6； ②四边形 PQCD 是等腰梯形，则此时下底 QC 比上底 PD 长 2×(26－24) = 4（cm）， 即 3t－(24－t) = 4，解得 t = 7. 综上所述，经过 6 s 或 7 s，才能使 PQ = CD. $习题21.1 人教·八年级数学下册 四边形 21 1 复习巩固 1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？ 可以都是直角吗？为什么？ 解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角. 理由如下： 若四个角都是锐角，则四边形的内角和小于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾.故四边形的四个角不可以都是锐角. 若四个角都是钝角，则四边形的内角和大于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾. 故四边形的四个角不可以都是钝角. 【选自教材第52页 习题21.1 第1题】 若四个角都是直角，则四边形的内角和等于 360°，符合四边形的内角和定理. 故四边形的四个角可以都是直角. 复习巩固 1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？ 可以都是直角吗？为什么？ 【选自教材第52页 习题21.1 第1题】 2. 填表： 多边形的边数 3 4 5 6 8 12 20 内角和 外角和 180° 360° 360° 360° 540° 360° 720° 360° 1080° 360° 1800° 360° 3240° 360° 【选自教材第52页 习题21.1 第2题】 3. 求正五边形和正十边形的每个内角的度数. 解：∵正五边形的每个外角的度数为 360°÷5 = 72°， ∴每个内角的度数为 180°－72°= 108°. ∵正十边形的每个外角的度数为 360°÷10 = 36°， ∴每个内角的度数为 180°－36°= 144°. 【选自教材第53页 习题21.1 第3题】 4.（1）一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数； （2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数. 解：（1）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°，解得 n = 4. ∴它的边数为 4. （2）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°×， 解得 n = 3. ∴它的边数为 3. 【选自教材第53页 习题21.1 第4题】 综合运用 5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D，AB 与 DC 有怎样的位置关系？为什么？BC 与 AD 呢？ 解：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠A = ∠C，∠B = ∠D， ∴2(∠A + ∠D) = 360°， 即∠A + ∠D = 180°. 故 AB∥DC . 同理可得 ∠A + ∠B = 180°. 故 BC∥AD . 【选自教材第53页 习题21.1 第5题】 6. 如图，在 n 边形内任取一点 O，连接点 O 与 n 边形的各个 顶点，n 边形被分成多少个三角形？请你利用这种方法推导 n 边形的内角和公式. 解：由题意，得 n 边形被分成 n 个三角形. ∵ 1 个三角形的内角和等于 180°， ∴ n 个三角形的内角和等于 n×180°. 去掉中间的周角，得 n 边形的内角和为 n×180°－360°， 即 n 边形的内角和公式为 (n－2)×180°. 【选自教材第53页 习题21.1 第6题】 n－1 7. 如图，五边形 ABCDE 的内角都相等，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求 x 的值. 解：∠DEA = ∠EDC = ∠DCB = = 108°. (5－2)×180° 5 在△DEA 中，∠DEA + ∠1 + ∠2 = 180°. ∵∠1 = ∠2，∴∠1 = 36°. 在△DCB 中，∠DCB + ∠3 + ∠4 = 180°. ∵∠3 = ∠4，∴∠3 = 36°. ∴∠ADB = ∠EDC-∠1-∠3 = 108°-36°-36°= 36°，即 x = 36. 【选自教材第53页 习题21.1 第7题】 拓广探索 8. 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的两条对角线. 比较 AC + BD 与四边形周长的大小. 解：在△ABD 中，根据三角形的三边关系，得 AB + AD > BD. 同理可得，AB + BC > AC，AD + CD > AC，BC + CD > BD， ∴2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD) ， 即 AB + BC + CD + AD > AC + BD. ∴AC + BD 小于四边形的周长. 【选自教材第53页 习题21.1 第8题】 9. 如图，要使四边形木架（用 4 根木条钉成）不变形，至少 要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 分析：要使多边形木架不变形，钉上木条使其变成三角形即可. 解：四边形木架至少要再钉上 1 根木条，五边形木架至少要再钉上 2 根木条， 六边形木架至少要再钉上 3 根木条. 【选自教材第53页 习题21.1 第9题】 $