专题04 平面直角坐标系（期末复习专项训练，10大题型）八年级数学上学期新教材苏科版

专题04平面直角坐标系 题型1 平面直角坐标系的基本概念（常考点） 题型6 象限角平分线上的坐标特征（常考点） 题型2 已知点的位置写坐标（常考点） 题型7 用坐标表示地理位置（常考点） 题型3 已知坐标描点并判断图形形状（常考点） 题型8 平面直角坐标系中的动点问题（难点） 题型4 点的平移与坐标变化（常考点） 题型9 平面直角坐标系中的图形面积问题（重点） 题型5 关于坐标轴及原点对称的点的坐标（常考点） 题型10 平面直角坐标系中的综合问题（难点） 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面直角坐标系的基本概念（常考点） 1．在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点所在的象限求参数．根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），判断的取值范围，再对比选项． 【详解】解：点位于第二象限， 横坐标，纵坐标． 选项A、B、C均不大于0，只有选项D中的， 故选：D． 2．已知二元一次方程组，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解二元一次方程组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 解方程组求出、的值，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：， 得， 把代入①，可得， 可得， 所以， 为，在第二象限， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征．根据轴上点的纵坐标为零的特征，令点的纵坐标等于，求解的值． 【详解】解：点在轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 题型二 已知点的位置写坐标（常考点） 1．如图为某县甲，乙两镇在平面直角坐标系中的位置示意图，则下列关于甲，乙两镇坐标描述正确的是（   ） A．乙 B．乙 C．甲 D．甲 【答案】D 【分析】本题考查确定平面直角坐标系中点的坐标，直接根据平面直角坐标系得到甲、乙两镇的坐标，即可解答． 【详解】解：由图可得，甲镇的坐标为，乙镇的坐标为． 故选：D． 2．如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若B点的坐标是，则A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．过点作轴于点，根据等边三角形的性质，得到，，再结合勾股定理得出，即可得到A点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， B点的坐标是， ， 是等边三角形， ，， ， A点的坐标是， 故选：C． 3．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：，两点的坐标分别为、， 得出坐标轴如图所示位置： ∴． 故答案为：． 题型三 已知坐标描点并判断图形形状（常考点） 1．已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，两点之间的距离公式的运用，先分别计算，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形， 故选C 2．已知，，，那么的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不是 【答案】B 【分析】先根据两点之间的距离公式可得，，，再根据勾股定理的逆定理即可得． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， 是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 3．已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形． 【分析】根据题意作出，然后根据图形，得到,，可判断的形状． 【详解】解：∵各点坐标分别是，和 ，根据题意，如下图所示 则：，， ， ∴，， ∴的形状是等腰直角三角形， 故答案是：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理、坐标与图形性质，熟悉相关性质是解题的关键． 题型四 点的平移与坐标变化（常考点） 1．已知坐标平面内的点，现将点P向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，那么新的点在坐标系下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的平移规则． 根据点的平移规则：向左平移，x坐标减小；向上平移，y坐标增大．直接计算新坐标即可． 【详解】解：∵点向左平移2个单位，向上平移3个单位， ∴新的点， 即新坐标为． 故选：B． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：点坐标平移，左减右加，上加下减． 由，，，，可得线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，则，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至， ∴，， ∴， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 题型五 关于坐标轴及原点对称的点的坐标（常考点） 1．在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标规律． 关于y轴对称的点坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点Q关于y轴对称， ∴点Q的坐标为． 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标与轴对称变化，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数,检查解答即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴关于x轴对称的点的横坐标不变，为0；纵坐标互为相反数，为， ∴对称点的坐标为． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】0 【分析】直接利用关于直线对称点的坐标特点：横坐标不变，是两个点的纵坐标的中点，得出的值，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于直线对称 故答案为：0． 【点睛】本题考查了关于直线对称点的性质，解决问题的关键是正确得出的值. 题型六 象限角平分线上的坐标特征（常考点） 1．点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质和勾股定理，熟知第二、四象限的角平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据第二、四象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点在第二、四象限的角平分线上， 所以点的横纵坐标互为相反数． 又因为点到原点的距离等于， 所以， 则时，；时，， 所以点坐标为或． 故选：． 2．已知点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了各个象限内点的坐标特征，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是关键；由点在第一、三象限，则点的横坐标与纵坐标同号，且在第一、三象限的角平分线上，则点的两个坐标相等，由此得关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意知：， 解得：， ∴， 故选：A． 3．如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，平面直角坐标系中点的坐标．过点B作轴于点C，由轴，点A的坐标得到轴，点B的纵坐标为6，再由角平分线的性质得到，从而点B的横坐标为6，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点C， ∵轴，点A的坐标， ∴轴，点B的纵坐标为6，即， ∵是第一象限的角平分线， ∴， ∴点B的横坐标为6， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 题型七 用坐标表示地理位置（常考点） 1．根据下列表述，不能确定位置的是（    ） A．东经，北纬 B．杭州市采荷路2号 C．北偏东 D．音乐厅第2排第6座 【答案】C 【分析】本题考查位置确定的必要条件． 选项A、B、D均能唯一确定一个点，而选项C仅表示方向，缺乏参考点，无法确定具体位置． 【详解】解：A．选项的经纬度坐标能唯一确定地球上的一个点； B．选项的具体地址能唯一确定一个建筑位置； C．选项“北偏东”只给出了方向，未指定起始点和距离，因此不能确定具体位置； D．选项的座位号能唯一确定音乐厅内的一个座位； 故选：C． 2．如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 【答案】 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据已知条件，可知，，从而得到点向右走个格点，向上走个格点到点，反过来即可得到答案． 【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负 ∴记为，记为，记为； （2）∵， ∴， ∴点向右走个格点，向上走个格点到点 ∴应记为． 故答案是：（1），，，，，；（2） 【点睛】本题考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 题型八 平面直角坐标系中的动点问题（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点A的坐标为 (3)存在，符合条件的t值为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定、轴对称的性质，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，，根据即可证明； （3）分2种情况讨论：①点N在上；②点N在轴负半轴上，利用轴对称的性质列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点N在上时，， ∴， ∵关于x轴对称， ∴， ， 解得； ②当点N在轴负半轴上时，， ∵关于y轴对称， ∴， ， 解得； ∴综上所述，存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形，符合条件的t值为或． 2．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值． (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据三角形外角平分线和三角形内角和定理进行求解即可； （3）按照t的取值范围，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解之得：． ． （2）解：如图， 平分平分， ， ， ， ， ， ∴， 即， 在中，， ， ， ， ； （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图， 解得， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图， ， ， 解得， 综上，当或时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的. 【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握非负数性质，一元一次方程的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，矩形性质，三角形、矩形面积公式，是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 题型九 平面直角坐标系中的图形面积问题（重点） 1．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积计算、非负数的性质． （1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，，； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 故答案为：． 2．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点，直线经过点，且满足，连接． (1)求点的坐标． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)若动点在直线上运动，当与的面积之比为时，直接写出点的纵坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)点的纵坐标为或． 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，勾股定理及其逆定理的应用，点到坐标轴的距离，三角形的面积公式； （1）根据实数的非负性，确定a，b的值，继而确定点的坐标； （2）根据的坐标，结合勾股定理分别计算，根据，即可求解； （3）先计算，设的纵坐标为，分点在上和的延长线上两种情况分析，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴，， （2）解：是直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∵，即 ∴是直角三角形； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵与的面积之比为， ∴， 设的纵坐标为， 当在上时， ∴，即 解得： 当在的延长线上时， ∴，即 解得： ∴点的纵坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上关于原点对称，，，， (1)求点的坐标； (2)作的角平分线交轴于点，点为轴正半轴上一点，求的面积（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接，时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标，得到，由轴对称的性质，得到，再结合三角形的面积，得出，即可得到点的坐标； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质，得到，再利用三角形面积公式，推出，设，求出，根据点得到，即可表示出的面积； （3）过点作直线、、轴的垂线，垂足分别为、、，连接．设，则，根据等腰三角形的判定和性质，以及角平分线的判定和性质，推出平分，进而得出轴，则点的纵坐标为4，设，则，，证明，得出，求得，进而得到点的横坐标为5，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 、关于原点对称， ， ， 又，且， ， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为， 平分，且， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ， 点为轴正半轴上一点， ， ， ； （3）解：如图，过点作直线、、轴的垂线，垂足分别为、、，连接． 平分，，， ，， 设， ， ， 在等腰三角形中，， ，， ， 又， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， ， ， 轴， 点的纵坐标为4， 设，则， ，， ，， ， ， ， 解得， ， ， 点的横坐标为5， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，角平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 题型十 平面直角坐标系中的综合问题（难点） 1．在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． (3)如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①见解析；②； (3)或 【分析】本题考查了几何新定义，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，理解新定义，分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解； （3）根据题意画出图形，找到的最大值与最小值，根据全等三角形的性质结合坐标系，得出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或， 故答案为：或； （2）解：①如图所示，直线即为所求 理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵点的坐标为， ∴ ∴ 故答案为：； （3）解：如图所示，设，过点分别作垂足分别为，分别在轴上， ∵点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点， ∵，则，是等腰直角三角形， ∴ 即，且， 设P为线段的美好点，， 过P作直线轴，过F作于t，过G作于S，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 或， 解得， 或， 当P在上时，，即， ∴ ∴， ∵， ∴，符合题意； 当P在上时，，即或， ∴或， ∴（与P在左侧矛盾，舍去）或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当P在上时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当P在上时，，不符合题意； 综上所述，t的取值范围为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动． (1)如图1所示，当点D的坐标为时，则点E的坐标为________； (2)如图2所示，点D在线段上运动时，连接、，连接并延长与y轴交于点P，求点P的坐标； (3)如图3，设的边与y轴交于点G，与x轴交于点F，当点D在线段上运动，且满足时，在线段上取点H，且，连接交y轴于点Q．试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）过点E作轴于点F， 根据证明，则可得，，进而可得，则可得点E的坐标为． （2）由（1）知，则可得，．由A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，可得，进而可得 ，，则可得，， ，则可得，点P的坐标为 （3）在x轴上截取，连接．根据证明，则可得，，，进而可得， ．再根据证明，则可得， ，，进而可得． 【详解】（1）解：如图，过点E作轴于点F， 则， ∵， ∴， 又∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为：． （2）过点E作轴于点F，如图： 由（1）知，， ∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：； 理由：如图在x轴上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合应用，掌握坐标与图形，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，余角的性质是解题的关键． 3．如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)存在，或或或 【分析】（1）根据完全平方数和绝对值的非负性得到，，解一元一次方程即可得出答案； （2）过点作轴于点，易证得，于是可得，，进而可求出点的坐标，又可得出，于是可求出的度数； （3）由（2）可得，因此，，于是可推出，进而可求出，于是，，据此即可求出点的坐标；取点，连接，连接交于点，易证得，于是有，，进而可证得垂直平分，连接交于点，连接，则，此时最小，，然后由角平分线的性质及三角形的面积公式即可得出此时与之间的数量关系； （4）当点在轴上运动时，点在直线上运动，根据垂线段最短可知：当时，最短，过点作于点，过点作于点，进而可求得点的坐标，设，若是等腰三角形，则分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别列方程求解，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，, 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， ，， 又， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取点，连接，连接交于点， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，即， 垂直平分， 点与点关于直线对称， 如图，连接交于点，连接， 垂直平分， ， 此时最小，， ， 是的角平分线， 点到，的距离相等， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：，； （4）解：存在，理由如下： 由（2）、（3）可得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短可知：当时，最短， 如图，过点作于点，过点作于点， ， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 设，若是等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， 则有：， 即：， 解得：， ； 当时， 则有：， 即：， 解得：，， 或； 当时， 则有：， 即：， 解得：（此时点与点重合，故舍去），， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质（及），已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，等式的性质，等角对等边，线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，角平分线的性质，三角形的面积公式，垂线段最短，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接开平方法解一元二次方程等知识点，正确作出辅助线并运用分类讨论思想是解题的关键． $专题04平面直角坐标系 题型1 平面直角坐标系的基本概念（常考点） 题型6 象限角平分线上的坐标特征（常考点） 题型2 已知点的位置写坐标（常考点） 题型7 用坐标表示地理位置（常考点） 题型3 已知坐标描点并判断图形形状（常考点） 题型8 平面直角坐标系中的动点问题（难点） 题型4 点的平移与坐标变化（常考点） 题型9 平面直角坐标系中的图形面积问题（重点） 题型5 关于坐标轴及原点对称的点的坐标（常考点） 题型10 平面直角坐标系中的综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面直角坐标系的基本概念（常考点） 1．在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 2．已知二元一次方程组，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 题型二 已知点的位置写坐标（常考点） 1．如图为某县甲，乙两镇在平面直角坐标系中的位置示意图，则下列关于甲，乙两镇坐标描述正确的是（   ） A．乙 B．乙 C．甲 D．甲 2．如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若B点的坐标是，则A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为 ． 题型三 已知坐标描点并判断图形形状（常考点） 1．已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．已知，，，那么的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不是 3．已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是 ． 题型四 点的平移与坐标变化（常考点） 1．已知坐标平面内的点，现将点P向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，那么新的点在坐标系下的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 题型五 关于坐标轴及原点对称的点的坐标（常考点） 1．在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点和点关于直线对称，则 ． 题型六 象限角平分线上的坐标特征（常考点） 1．点A在第二、四象限的角平分线上，且到原点的距离等于，则点A的坐标可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为 ． 题型七 用坐标表示地理位置（常考点） 1．根据下列表述，不能确定位置的是（    ） A．东经，北纬 B．杭州市采荷路2号 C．北偏东 D．音乐厅第2排第6座 2．如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 题型八 平面直角坐标系中的动点问题（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 2．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值． (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 题型九 平面直角坐标系中的图形面积问题（重点） 1．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段AB交y轴于点D．在y轴上存在一动点E（点E不与点O重合）．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)在y轴上是否存在这样的E点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为y轴负半轴上一动点，过点E作，分别作，的平分线交于点M，在点E的运动过程中的度数始终不变，则的度数是 ． 2．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点，直线经过点，且满足，连接． (1)求点的坐标． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)若动点在直线上运动，当与的面积之比为时，直接写出点的纵坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上关于原点对称，，，， (1)求点的坐标； (2)作的角平分线交轴于点，点为轴正半轴上一点，求的面积（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接，时，求点的坐标． 题型十 平面直角坐标系中的综合问题（难点） 1．在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． (1)若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． (2)若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． (3)如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动． (1)如图1所示，当点D的坐标为时，则点E的坐标为________； (2)如图2所示，点D在线段上运动时，连接、，连接并延长与y轴交于点P，求点P的坐标； (3)如图3，设的边与y轴交于点G，与x轴交于点F，当点D在线段上运动，且满足时，在线段上取点H，且，连接交y轴于点Q．试判断线段与的数量关系，并说明理由． 3．如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． $