数学一模提分卷01（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 3．“”是“函数的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为 12．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 13．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为 ． 14．设数列的前项积为，满足，其中常数．若，则 ；若数列为等差数列（非常数列），则 ． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图象关于原点中心对称； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数极值点个数为3． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）记的内角的对边分别为，已知，. (1)求及； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17．（14分）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体． (1)证明：平面； (2)若该四棱台的高为2，，，，求二面角的正弦值． 18．（13分）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 19．（15分）已知平面内一定点，定直线，现有一动点满足到直线的距离与到点的距离之比为2 . (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)已知点在上，动直线与轨迹交于，Q两点（不同于H），记的斜率分别为，若，求证:直线过定点 20．（15分）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 21．（15分）已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. (1)判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. (2)若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； (3)是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年高考第一次模拟考试 ! 高三数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 粉 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9[A]B][C]D] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 10[A][B][CD] 3[A][B]CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][CD] 8[A]B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分) 11 12. 13 14 相 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 剂 请在各题目蜜题好揹内鱼瓷页超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) A B D C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (近9并)道S患素嗾 i※￥著易佣年☒兴的到项形身凿吊爵‘易年习瑶易佣目暗号尹巢 (SI)O i壬業易州海☒惑的到环狂，毋遄吊爵·易年习暗易明目酷号剿 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 3．“”是“函数的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为 12．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 13．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为 ． 14．设数列的前项积为，满足，其中常数．若，则 ；若数列为等差数列（非常数列），则 ． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图象关于原点中心对称； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数极值点个数为3． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）记的内角的对边分别为，已知，. (1)求及； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17．（14分）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体． (1)证明：平面； (2)若该四棱台的高为2，，，，求二面角的正弦值． 18．（13分）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 19．（15分）已知平面内一定点，定直线，现有一动点满足到直线的距离与到点的距离之比为2 . (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)已知点在上，动直线与轨迹交于，Q两点（不同于H），记的斜率分别为，若，求证:直线过定点 20．（15分）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 21．（15分）已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. (1)判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. (2)若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； (3)是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，解得，即集合， 且，所以. 故选：D． 2．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 3．“”是“函数的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若的值域为， 则对有，解得或， “”是“或”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故选：B. 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 6．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设，，， 由可得，则， 于是在点处的切线方程为， 又，化简方程得， 同理得C在点N处的切线方程为， 又两切线交于点，故得， 即点，都在直线上，也即直线MN的方程为， 因为点在直线MN上，代入得，得，故线段PF的中点为， 故选项中可以为线段PF中点是. 故选：A 7．已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点， 设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知， 所以在中，， 由三角形内切圆可得，可得，即，化简得， 圆锥表面积为，内切球表面积， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比， 故选：B. 8．在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【详解】设的公比为， 记， 由， 得， 所以．令， 则． 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，所以的最小值为27． 故选：C． 9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，总存在唯一实数，使得， 即，总存在唯一实数，使得. 因为，所以 因为总存在唯一实数使得，所以，即. 故选：B. 10．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 令，， 则， 在上递增， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 令，， ∴ ， ∴ 是增函数． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述． 故选：D． 【点睛】本题解题的关键是对常见三角不等式模型的理解记忆，对放缩的要求较高． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为 【答案】 【详解】由题意可知，解得， 由的二项展开式的通项为， 则含有项的系数为. 故答案为：. 12．已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为 ． 【答案】3 【详解】由双曲线C的方程：，得，所以. 设点，则，化简得：， 即，解得：（增根已舍去），所以. 所以P到x轴的距离为. 故答案为：.    13．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 因为，故，故， 故，所以， 延长至，使得，连接，则为的垂直平分线， 故，故，当且仅当共线时等号成立， 而， 故的最小值为. 故答案为：. 14．设数列的前项积为，满足，其中常数．若，则 ；若数列为等差数列（非常数列），则 ． 【答案】 1 【详解】因为为数列的前项积，，所以当时，， 当时，，即，若，则； 当时，， 则，若数列为等差数列， 则，故， 整理得，解得或． 当时，，此时令，得到， 而，解得， 则当时，，则，即， 故为以2为首项，1为公差的等差数列，则， 得到，此时； 当时，，则当时，， 则，即，又，则， 得到，故为常数列，即，不合题意． 故答案为：1； 15．已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图象关于原点中心对称； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数极值点个数为3． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】对于①：定义域为，对，， 所以是偶函数，关于轴对称，①错误； 对于②：令，， 由零点存在性定理，，，即，②正确； 对于③：令，因为， 所以当时，， 即函数的图象在函数的图象上方； 当时，， 即函数的图象在函数的图象下方； 所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③正确； 对于④：，令， 当时， 因为， 所以在单调递增，又， 所以，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值，是一个极小值点. 当时，， 所以在单调递减，又， 所以，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，是一个极大值点. 又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点， 所以函数至少有个极值点，④错误； 故答案为：②③. 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）记的内角的对边分别为，已知，. (1)求及； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【详解】（1）由和余弦定理可得. 因为为的内角，所以，故， 3分 由变形得，由正弦定理得. 6分 （2）选择条件①：， 由正弦定理得，解得， 因为为的内角，所以，故， 与相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①， 选择条件②：， 因为，，所以， 解得， 8分 由余弦定理得， 化简得，解得或（舍）， 11分 所以. 13分 选择条件③：， 因为，所以. 因为，所以， 8分 由余弦定理得，化简得. 解得或， 11分 当时，是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以. 13分 17．（14分）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体． (1)证明：平面； (2)若该四棱台的高为2，，，，求二面角的正弦值． 【详解】（1）记与的交点为O，由平面，平面， 可知， 2分 而，，平面，平面， 故平面． 4分 由题易得平面与平面为同一平面，故平面． 6分 （2）显然， 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 8分 记平面与平面的法向量分别为，， 则，即， 令，则， 所以取， 10分 又，即， 令，则， 所以取， 12分 记二面角的平面角为，则， 可知， 所以二面角的正弦值为． 14分 18．（13分）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【详解】（1）（i）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 2分 所以. 3分 （ii）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 5分 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 7分 数学期望. 8分 （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 11分 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团助力的概率的最小值为. 13分 19．（15分）已知平面内一定点，定直线，现有一动点满足到直线的距离与到点的距离之比为2 . (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)已知点在上，动直线与轨迹交于，Q两点（不同于H），记的斜率分别为，若，求证:直线过定点 【详解】（1）设点，由题意有， 2分 整理得， 化简得，所以动点的轨迹标准方程为； 5分 （2）先考察直线，此时，且，满足题意， 7分 若该定点存在，则必在轴上，记为， 设为，，联立直线与椭圆的方程， 8分 所以，则， 所以，， 10分 所以 所以，则分子、分母中关于的系数对应成比例， 13分 所以，可得，该定点为. 15分 20．（15分）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【详解】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 2分 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 5分 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． 7分 （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是 而，，函数有三个零点时， 必有解得． 8分 当时，， 又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减， 10分 故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为． 11分 ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则， 当时，，故， 13分 故在区间上单调递减，故.因此成立． 又因为，故． 15分 21．（15分）已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. (1)判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. (2)若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； (3)是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 【详解】（1）对于，若使得，只能是，此时，所以具有性质P。 1分 对于，取，则，但， 不满足条件②，所以不具有性质P。 2分 （2）取，具有性质. ，则∴， 若，，， 3分 时，，， ∴∣A∣最小值为2； 4分 ​设中的最大值为，则， 时，，， 时， 是满足性质的， 5分 再添加，就必须添加1，这样集合，， 时，∵，∴， ，∴， 再添加1，2，3，，，满足性质的， 7分 若时，， ，,， ∴∣A∣的最大值为5. 8分 （3），是奇数，， 以此类推，一切小于的正奇数都属于A， ∵，∴，， 记，， 9分 依此类推，可得到任意大的偶数属于A， ， ， 依此类推得到所有偶数属于A， ∴只要具有性质P且为无限集的集合A中含有大于等于7的奇数，则所有的正整数都属于集合A. 11分 若没有大于等于7的奇数，则必有大于7的偶数，，时比更大的偶数，由此得出任意大的偶数属于A，从而属于A，于是得出所有的偶数都属于A， 这样一来，奇数1，3，5是可选的， 13分 ∵， ∴集合A中5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合： 有大于等于7的奇数时，只有一个， 没有大于7的奇数时有4个： ，， ，. 15分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B D B C A B C B D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．3 13．. 14．1； 15．②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．【详解】（1）由和余弦定理可得. 因为为的内角，所以，故， 3分 由变形得，由正弦定理得. 6分 （2）选择条件①：， 由正弦定理得，解得， 因为为的内角，所以，故， 与相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①， 选择条件②：， 因为，，所以， 解得， 8分 由余弦定理得， 化简得，解得或（舍）， 11分 所以. 13分 选择条件③：， 因为，所以. 因为，所以， 8分 由余弦定理得，化简得. 解得或， 11分 当时，是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以. 13分 17．【详解】（1）记与的交点为O，由平面，平面， 可知， 2分 而，，平面，平面， 故平面． 4分 由题易得平面与平面为同一平面，故平面． 6分 （2）显然， 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 8分 记平面与平面的法向量分别为，， 则，即， 令，则， 所以取， 10分 又，即， 令，则， 所以取， 12分 记二面角的平面角为，则， 可知， 所以二面角的正弦值为． 14分 18．【详解】（1）（i）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 2分 所以. 3分 （ii）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 5分 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 7分 数学期望. 8分 （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 11分 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团助力的概率的最小值为. 13分 19．【详解】（1）设点，由题意有， 2分 整理得， 化简得，所以动点的轨迹标准方程为； 5分 （2）先考察直线，此时，且，满足题意， 7分 若该定点存在，则必在轴上，记为， 设为，，联立直线与椭圆的方程， 8分 所以，则， 所以，， 10分 所以 所以，则分子、分母中关于的系数对应成比例， 13分 所以，可得，该定点为. 15分 20．【详解】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 2分 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 5分 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． 7分 （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是 而，，函数有三个零点时， 必有解得． 8分 当时，， 又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减， 10分 故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为． 11分 ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则， 当时，，故， 13分 故在区间上单调递减，故.因此成立． 又因为，故． 15分 21．【详解】（1）对于，若使得，只能是，此时，所以具有性质P。 1分 对于，取，则，但， 不满足条件②，所以不具有性质P。 2分 （2）取，具有性质. ，则∴， 若，，， 3分 时，，， ∴∣A∣最小值为2； 4分 ​设中的最大值为，则， 时，，， 时， 是满足性质的， 5分 再添加，就必须添加1，这样集合，， 时，∵，∴， ，∴， 再添加1，2，3，，，满足性质的， 7分 若时，， ，,， ∴∣A∣的最大值为5. 8分 （3），是奇数，， 以此类推，一切小于的正奇数都属于A， ∵，∴，， 记，， 9分 依此类推，可得到任意大的偶数属于A， ， ， 依此类推得到所有偶数属于A， ∴只要具有性质P且为无限集的集合A中含有大于等于7的奇数，则所有的正整数都属于集合A. 11分 若没有大于等于7的奇数，则必有大于7的偶数，，时比更大的偶数，由此得出任意大的偶数属于A，从而属于A，于是得出所有的偶数都属于A， 这样一来，奇数1，3，5是可选的， 13分 ∵， ∴集合A中5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合： 有大于等于7的奇数时，只有一个， 没有大于7的奇数时有4个： ，， ，. 15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $