九年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（华东师大版，举一反三）

九年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【华东师大版】 测试范围：九年级全册 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北随州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若时，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，中，点为的中点，点在上，点在上，且，若，，则下列叙述何者正确？（   ） A．， B． C． D．，与不平行 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校数学活动小组用20米长的围栏，在学校劳动基地围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，大家提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形，正五边形这四种方案，这四种方案你认为最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 7．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，点C在上，，D为的中点，的延长线与交于点E，和交于点F，则的值为（  ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，中，，点D是边上的中点，连接交的延长线于点E．G是上一点，连接交于点F，若，则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 12．如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为 ． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 14．（2025·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为 ． 15．如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是 ． 16．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·上海·模拟预测）如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 18．（6分）（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 19．（8分）（2025·江苏苏州·一模）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题． (1)本次调查的学生共有______________人，C组占扇形统计图中圆心角度数为______________度． (2)在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率． 20．（8分）（2025·江苏·二模）如图，C，D为线段上两点，且，过点D作的垂线，与以为直径的交于点E，作射线． (1)求证：为的切线； (2)F为上一点，弦与直径交于点G，当F为中点时，求的长． 21．（10分）（2025·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数是常数， (1)若函数图象经过点，求该函数图象的对称轴及顶点坐标． (2)在（1）的条件下，当x满足时，y的取值范围为，求m的取值范围． (3)若，是该函数图象上的两点，试比较，的大小． 22．（10分）（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图． (1)当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径，点C为弧的中点．求扇形的面积（结果保留）； (2)当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，，求点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留）； (3)在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留）． 24．（12分）（2025·广东深圳·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形? 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．     2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先计算，然后运用二次根式的乘法、除法以及混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：， A． ，故不符合题意； B． ，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故符合题意． 故选D． 2．（24-25九年级上·湖北随州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若时，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解不等式组，由，，则，所以或，可得，故有∴，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴或， 解得：或， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，中，点为的中点，点在上，点在上，且，若，，则下列叙述何者正确？（   ） A．， B． C． D．，与不平行 【答案】D 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用这些知识是解题的关键． 由，，求得，假设，正确，则，所以，与已知条件不符，可判断不符合题意；由，证明，则，故B不符合题意；假设正确，由D为AB的中点，得，与已知条件不符，可判断C不符合题意；连接、，设，由，得，则，求得，所以，可知，由，可知与不平行，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，， ∴， 假设，正确，则， ∴，与已知条件不符， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； 假设正确， ∵为的中点， ∴，与已知条件不符， 故C不符合题意； 连接、，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与EC不平行， 故D符合题意， 故选：D． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校数学活动小组用20米长的围栏，在学校劳动基地围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，大家提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形，正五边形这四种方案，这四种方案你认为最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键．方案1：设矩形的宽为米，表示出，求出最值；方案2：设等腰三角形的底边长为米，高为米，表示出求出最值；方案3：求出半径，计算面积；方案4： 求出正五边形的边长为米，正五边形可以分成5个全等的等腰三角形，作其中一个等腰的高，利用等腰三角形的性质和角的正切值求面积． 【详解】解：方案1：设矩形的宽为米，则长为米， ， 当时，有最大值， 即当矩形的宽为米，长为米时，菜园面积最大为平方米； 方案2：设等腰三角形的底边长为米，高为米， 是等腰三角形， 米，米， ， ， 解得， ， ， 令，则， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最大值，最大值为， 即当等腰三角形的底边长为米时，菜园面积最大为平方米； 方案3：设半圆的半径为米， 则，解得， 此时平方米， 即当半圆的半径为米时，菜园面积最大约为平方米； 方案4：设正五边形的边长为米， 则，解得，即正五边形的边长为米， 正五边形可以分成5个全等的等腰三角形，作其中一个等腰的高， 正五边形， ，， ，米， 在中，， ， 米， 平方米， 即当正五边形的边长为米时，菜园面积最大约为平方米； 综上可知，半圆形菜地面积最大，即方案3是最佳方案， 故选：C． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 7．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，点C在上，，D为的中点，的延长线与交于点E，和交于点F，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．连接，作于点，证明是等边三角形，是等腰直角三角形，设的半径为，利用勾股定理求得，证明，求得，∴，据此求解即可． 【详解】解：连接，作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，中，，点D是边上的中点，连接交的延长线于点E．G是上一点，连接交于点F，若，则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可证；故①正确；由相似三角形的性质可得，可得；故②正确；由勾股定理可求的长，可求的长，可求，通过证明，即可求，故③正确；若，同理可求，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵，点是边上的中点， ， ， ， ， ， 又， ∴，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 设， ， ， ， ， ， 如图，作，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 若， ∵， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．解直角三角形求得，，由旋转的性质求得，过点A作于点H，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点A作于点H， 则，在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 14．（2025·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论． 【详解】解：作交于点H， ， ， 是的中点， ， ∵D是边上的中点，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴（负值舍去）， ， ∵是的中点， ， ， ∵， ∴，即， ， 故答案为：． 15．如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F 设． ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，则 ∴点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长：的长， 故答案为：． 16．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·上海·模拟预测）如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三角形和相似三角形的判定和性质，解题关键是根据结合图形，利用相似三角形或三角函数转化线段比． （1）根据求出，进而由勾股定理求出， ，再由面积法求出， （2）过点作于点H，由相似三角形的判定和性质先求出，进而由得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）过点作于点H， ∴， ∴ ∴① ∵在中， 代入①得：， ∴ ， ∴， 18．（6分）（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 19．（8分）（2025·江苏苏州·一模）为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题． (1)本次调查的学生共有______________人，C组占扇形统计图中圆心角度数为______________度． (2)在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率． 【答案】(1)100，126 (2) 【分析】本题考查了列表法求概率以及扇形与条形统计图的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据条形统计图和扇形统计图的信息求出总人数，进而根据圆心角的计算公式即可求解； （2）根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中选中小组的结果有，共2种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解． 【详解】（1）由题意得本次调查的学生共有， 组占扇形统计图中圆心角度数为， 故答案为：100，126 （2）依题意用列表法表示所有可能出现的结果如下： 第一次第二次 A B C D A B C D 由以上，可得共有12种等可能的结果，其中选中C，D小组的结果有共2种， 20．（8分）（2025·江苏·二模）如图，C，D为线段上两点，且，过点D作的垂线，与以为直径的交于点E，作射线． (1)求证：为的切线； (2)F为上一点，弦与直径交于点G，当F为中点时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为， 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，则，根据线段的和差关系求出的长，进而可求出的长，解直角三角形求出的长，进而证明，推出则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，由相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ，且， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）解；连接，则， 为的中点， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， 解得， 的长为， 21．（10分）（2025·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数是常数， (1)若函数图象经过点，求该函数图象的对称轴及顶点坐标． (2)在（1）的条件下，当x满足时，y的取值范围为，求m的取值范围． (3)若，是该函数图象上的两点，试比较，的大小． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点为： (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线表达式，即可求解； （2）根据的取值范围为，即在x轴下方部分，可得m在和顶点之间，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点A、B和对称轴的距离分别为：、，进而求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到不等式，熟悉函数的图象和性质以及分类求解是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入抛物线表达式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：令， 解得：， ∴抛物线和x轴的交点为和， 的取值范围为，即在x轴下方部分， ∴m在直线和顶点之间， ∴m的取值范围为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，是该函数图象上的两点， ∴点A、B和对称轴的距离分别为：、， 当时，则，此时； 当时，则，此时； 综上所述，当时，；当时，． 22．（10分）（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过P作轴于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，分P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答； （3）先利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，分当点D在线段上时，当点D在延长线上、当点D在延长线上，三种情况，过P作轴于H，交于Q，则轴，，证明得到，则，利用坐标与图形性质列方程求得m值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是， ∴， 当P在x轴上方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴； 当P在x轴下方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：存在． 设直线的函数表达式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设， 如图，当点D在线段上时，过P作轴于H，交于Q，则轴，， ∴， ∴，则， ∴， 解得或， ∴或， ∴或； 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴． 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴或， ∴． 综上，点P坐标为或或或． 23．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图． (1)当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径，点C为弧的中点．求扇形的面积（结果保留）； (2)当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，，求点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留）； (3)在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留）． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则是等腰直角三角形，据此求出AC的长，再根据扇形面积计算公式求解即可； （2）过点C作于T，连接，，可证明O、C、T三点共线，根据勾股定理和扇形的面积公式即可得到结论； （3）可证明OC垂直平分，则点C一定在的某条直径EF上运动，设，交于M，解直角三角形得到的值，则随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大，当点C与点E重合时，有最小值，当点M恰好与点O重合时，有最大值，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图1， 为弧的中点．是直径，圆的半径为， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形AOC中，由勾股定理得：， ； （2）解：如图2，过点C作于T，连接，， ，， 垂直平分AB， 、C、T三点共线， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 点O与点C的距离为， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ， ； （3）解：，， 垂直平分， 点C一定在的某条直径上运动， 设，交于M， ，， ， 随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点C与点E重合时， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 如图4，当点M恰好与点O重合时，此时， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了扇形面积计算，解直角三角形，垂径定理，三线合一定理，线段垂直平分线的判定和性质等等，熟知扇形面积计算公式是解题的关键． 24．（12分）（2025·广东深圳·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形? 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．     【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或． 【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可解答； （3）设设与交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，由折叠得：，， ∵，四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图3，设，，则， 由折叠得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是类矩形； （3）解：设与交于点O， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上， ∴， 同理得：，， ∵四边形是类矩形， ∴或， ①如图4，当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图5，当时，， 由①同理得：， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $