专题01 集合与常用逻辑用语（热点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：集合与逻辑用语为必考内容，题型均固定为单选题。集合题稳居第1题，分值4分，难度较低，属于基础送分题。核心考查集合的交、并、补运算，多结合一元一次不等式命题，侧重数轴数形结合思想的应用，易错点集中在区间端点的开闭性取舍，如补集运算中边界的纳入与否。 常用逻辑用语题分值同样为4分，难度中等，重点考查充分、必要条件的判断，且融合函数、数列、向量、三角函数等知识综合考查。命题强调逻辑推理的严谨性，常渗透分类讨论思想，易错点为混淆充分与必要条件的逻辑方向，或在复杂知识背景下遗漏特殊情况。整体考查稳定，核心聚焦集合运算准确性与逻辑推理、等价转化能力，突出对理解深度与推导严谨性的要求。 预测2026年：集合与逻辑用语仍为单选必考题型。集合聚焦交、并、补运算，多结合一元一次或二次不等式，辅以数轴工具；逻辑用语以充分、必要条件判断为核心，融合函数、向量等知识，或涉及全称与存在量词命题的否定，强调知识综合应用。 题型01 元素与集合的关系及应用 解｜题｜策｜略 应用集合元素的特性解题的要点： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 例1．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 练习1．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 练习2．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习3．设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 练习4．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 题型02 子集（真子集）的个数问题 解｜题｜策｜略 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有个． （2）A的非空子集的个数有个． （3）A的真子集的个数有个 （4）A的非空真子集的个数有个． 例3．已知集合，则A的子集的个数有（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 例4．集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练】 练习1．若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 练习2．已知集合，则集合A的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 练习3．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 练习4．若集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型03 根据集合之间的关系求参数 解｜题｜策｜略 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 例5．已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例6．已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 练习2．已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习3．已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 练习4．已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型04 集合的交并补运算 解｜题｜策｜略 将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 例7．已知集合，，则（   ） A．（-1，2） B．（0，2） C．（-1，0） D．（1，2） 例8．已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式训练】 练习1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 练习2．设集合则（    ） A． B． C． D． 练习3．已知集合，则（   ） A．2 B． C．1 D． 练习4．已知集合满足，则（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 题型05 集合的新定义问题 解｜题｜策｜略 核心是紧扣新定义本质：先逐句分析新定义的规则、限制条件（如元素构成、运算方式、特殊规定），明确其具体含义，避免因理解偏差出错，这是解题的基础。 若定义较抽象，可通过举简单例子（如用具体数字、集合代入定义），将抽象规则转化为直观应用，帮助快速把握定义核心逻辑。 同时要善用集合基本性质（如元素的确定性、互异性、无序性，或集合间的包含、交并补关系），结合新定义规则推导，确保解题过程既符合新定义要求，又不违背集合基本规律，最终验证结果是否满足所有条件。 例9．已知集合，集合，，满足 ①每个集合都恰有5个元素； ②. 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．39 B．48 C．57 D．59 例10．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题: ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有； ③存在符合题设条件的集合M，P，使得； ④存在符合题设条件的集合M，P，使得. 其中所有正确命题的序号是 . 【变式训练】 练习1．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 练习2．数集，其中，若，且，求（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 练习3．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 练习4．已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 题型06 充分条件与必要条件 解｜题｜策｜略 充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 根据充分、必要条件求参数： 根据定理、有关性、图像等等将问题转化为最值、恒成立等，得到关于参数的方程或不等式组可解的 例11．已知命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例12．“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式训练】 练习1．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3．已知是平面内的两条相交直线，直线，则“与平行”是“与异面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习4．在等比数列中，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型07 全称量词与存在量词 解｜题｜策｜略 含量词命题求参数范围题型： （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 例13．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例14．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．已知命题，则的否定是（    ） A． B． C． D． 练习2．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知命题“”是假命题，则的取值范围为 ． 练习4．若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （建议用时：20分钟） 1．（2025·河南郑州·二模）已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2025·河南郑州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·二模）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．4 B．14 C．15 D．16 4．（2025·安徽·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州遵义·二模）“”是“函数在R上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·天津河北·二模）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北沧州·二模）已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 8．（2025·河北秦皇岛·一模）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 9．（2025·河北衡水·二模）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 10．（2025·江苏·二模）已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：集合与逻辑用语为必考内容，题型均固定为单选题。集合题稳居第1题，分值4分，难度较低，属于基础送分题。核心考查集合的交、并、补运算，多结合一元一次不等式命题，侧重数轴数形结合思想的应用，易错点集中在区间端点的开闭性取舍，如补集运算中边界的纳入与否。 常用逻辑用语题分值同样为4分，难度中等，重点考查充分、必要条件的判断，且融合函数、数列、向量、三角函数等知识综合考查。命题强调逻辑推理的严谨性，常渗透分类讨论思想，易错点为混淆充分与必要条件的逻辑方向，或在复杂知识背景下遗漏特殊情况。整体考查稳定，核心聚焦集合运算准确性与逻辑推理、等价转化能力，突出对理解深度与推导严谨性的要求。 预测2026年：集合与逻辑用语仍为单选必考题型。集合聚焦交、并、补运算，多结合一元一次或二次不等式，辅以数轴工具；逻辑用语以充分、必要条件判断为核心，融合函数、向量等知识，或涉及全称与存在量词命题的否定，强调知识综合应用。 题型01 元素与集合的关系及应用 解｜题｜策｜略 应用集合元素的特性解题的要点： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 例1．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又且，则， 故选：D 例2．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为，故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍）或，故，故， 所以 中所有元素之和为， 故选：B. 【变式训练】 练习1．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 练习2．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】若，， 则可能为，所以的元素个数为3. 故选：C. 练习3．设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】， 或，解得或， ，故中共有4个元素． 故选：C． 练习4．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 题型02 子集（真子集）的个数问题 解｜题｜策｜略 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有个． （2）A的非空子集的个数有个． （3）A的真子集的个数有个 （4）A的非空真子集的个数有个． 例3．已知集合，则A的子集的个数有（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】集合， 则集合的子集的个数有个. 故选：B. 例4．集合的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】因为，若，则， ∴，，又∵，∴， 所以该集合的子集的个数为. 故选：B. 【变式训练】 练习1．若集合，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】不等式，可得.又，故，其子集的个数为个. 故选:B 练习2．已知集合，则集合A的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】解方程，得或或. 由于集合，而、是无理数，因此. 根据子集个数公式：若集合有n个元素，其子集个数为. 集合A有1个元素，故子集个数为. 故选：B. 练习3．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【详解】，， 则，， 所以，其子集个数为个. 故选：B. 练习4．若集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】由，得，方程， 故方程有两个不同的解，方程组有两组不同的解， ∴有两个元素， ∴的子集个数为， 故选：C． 题型03 根据集合之间的关系求参数 解｜题｜策｜略 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 例5．已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由于，故， 由知或， 即或， 注意到，故由元素互异性知，故， 故选：C． 例6．已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，所以或， 即或，可得， 而，分如下情况讨论， ①，即，则， ②，则，则， ∴，即. 故选：A. 【变式训练】 练习1．已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【详解】当时，，成立， 当时，， 因为，故或，此时或1， 综上，，故真子集个数为. 故选：D. 练习2．已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且. 若，则，满足； 若，则，此时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 练习3．已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【详解】由得, 又， 当时，，符合题意， 当时，， 则或，解得或， 所以a的值是或， 故选：D 练习4．已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，，则， 故选：A. 题型04 集合的交并补运算 解｜题｜策｜略 将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 例7．已知集合，，则（   ） A．（-1，2） B．（0，2） C．（-1，0） D．（1，2） 【答案】B 【详解】因为不等式解得，所以， 又函数值域为，所以， 故. 故选：B. 例8．已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 【变式训练】 练习1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以， 故选：B. 练习2．设集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则， 故， 故选：D. 练习3．已知集合，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由集合，得， 解得，所以. 故选：D 练习4．已知集合满足，则（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】C 【详解】由， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 综上，C对，A、B、D错. 故选：C 题型05 集合的新定义问题 解｜题｜策｜略 核心是紧扣新定义本质：先逐句分析新定义的规则、限制条件（如元素构成、运算方式、特殊规定），明确其具体含义，避免因理解偏差出错，这是解题的基础。 若定义较抽象，可通过举简单例子（如用具体数字、集合代入定义），将抽象规则转化为直观应用，帮助快速把握定义核心逻辑。 同时要善用集合基本性质（如元素的确定性、互异性、无序性，或集合间的包含、交并补关系），结合新定义规则推导，确保解题过程既符合新定义要求，又不违背集合基本规律，最终验证结果是否满足所有条件。 例9．已知集合，集合，，满足 ①每个集合都恰有5个元素； ②. 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．39 B．48 C．57 D．59 【答案】D 【详解】由题设，又均有5个元素且， 根据题意的最小元素必有1，最大元素必有15， 要使最小，则中最小元素为，而除15外的另两个最大元素要尽量小， 所以为最大元素为时，最小； 要使最大，则中最大元素为，而除1外的另两个最小元素要尽量大， 所以中最小元素为时，最大； 所以的可能取值范围是，结合各项不可能的值为. 故选：D 例10．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题: ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有； ③存在符合题设条件的集合M，P，使得； ④存在符合题设条件的集合M，P，使得. 其中所有正确命题的序号是 . 【答案】 【详解】因为对于非空实数集合，记， 设非空实数集合满足条件 “若，则”且， 则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的集合， 对于，当集合，则，而，故错误； 对于，由于，假设中最小值为，中最小值为， 则， 因此表示不大于的所有数的集合，表示所以不大于的数的集合， 则，故②正确； 对于③，令，则，所以，故③正确； 对于④，令，，则， 所以，故④正确. 故答案为：. 【变式训练】 练习1．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 练习2．数集，其中，若，且，求（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】由题设，又且， 若，则，，， 此时中不存在元素，不合题设； 若，则，，， 此时中存在一个大于的元素，不合题设； 所以，则，，， 所以，可得且且， 所以，则. 故选：D 练习3．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 可知集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 不妨设， 可得， 可得，解得：或（舍去）， 所以的最大值为16. 故选：B. 练习4．已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】 【详解】（1）根据题意可得. （2）若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， （3）若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 题型06 充分条件与必要条件 解｜题｜策｜略 充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 根据充分、必要条件求参数： 根据定理、有关性、图像等等将问题转化为最值、恒成立等，得到关于参数的方程或不等式组可解的 例11．已知命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为命题，即，所以， 故，即p是q的充分不必要条件． 故选：A． 例12．“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】若直线与互相平行或重合， 则，即，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，此时重合， 所以当时，. 所以“”是 “”的充要条件. 故选：C 【变式训练】 练习1．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由题意可得， 由可得，解得， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 练习2．“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数的图象关于点对称，可得， 解得. 设，则是的必要不充分条件，故B正确. 故选：B. 练习3．已知是平面内的两条相交直线，直线，则“与平行”是“与异面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，， 若与平行，则与m不平行，且不相交， 所以与异面，充分性成立； 若与异面，则与可以平行，也可以不平行，故必要性不成立， 所以“与平行”是“与异面”的充分不必要条件. 故选：A 练习4．在等比数列中，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为q，因为， 若，则，即，即， 解得或，则，故充分； 若，则，即，解得，且， 当时，， 则，故不必要； 故选：A 题型07 全称量词与存在量词 解｜题｜策｜略 含量词命题求参数范围题型： （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 例13．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，． 故选：C． 例14．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【变式训练】 练习1．已知命题，则的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的否定为：， 故选：D 练习2．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 练习3．已知命题“”是假命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为命题“”是假命题， 所以其否定形式“”是真命题，即有实数根， 所以，即，解得或. 故答案为： 练习4．若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. （建议用时：20分钟） 1．（2025·河南郑州·二模）已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】因为所以即所以或， 当时的取值范围为；当时的取值范围为， 故对应的的取值范围为或， 因为或，但是或推不出， 即能推出，但是推不出，所以是的充分不必要条件. 故选：A 2．（2025·河南郑州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合， ， 则. 故选：D. 3．（2025·四川绵阳·二模）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．4 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】因为， 所以的真子集个数为（个）． 故选：C 4．（2025·安徽·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 而，所以. 故选：B 5．（2025·贵州遵义·二模）“”是“函数在R上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，函数在R上单调递增， 则“”不是“在R上单调递增” 的充分条件； 当在R上单调递增，可得， 则“”是“在R上单调递增” 的必要条件； 则“”是“在R上单调递增” 的必要不充分条件. 故选：B 6．（2025·天津河北·二模）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 7．（2025·河北沧州·二模）已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】不等式可化为，解得或， 所以， 若集合内恰有两个整数，则这两个整数为，所以. 故答案为：. 8．（2025·河北秦皇岛·一模）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】命题“，”的否定为“，”． 因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题． 设，，因为， 当且仅当即时取等号， 所以，所以，所以实数的取值范围是． 故答案为： 9．（2025·河北衡水·二模）设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得， 由可得， 当时，解得，符合题意； 当时，解得， 若是的充分条件，可知， 所以，即，成立， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025·江苏·二模）已知集合，若集合，，  ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【详解】集合共有个子集， 条件等价于并集缺少中至少一个元素， 设缺少元素，则所有子集均不含，即， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件， 假设，因为要满足这些子集的并集不等于，必须至少有一个中的元素不在任何一个子集中， 否则并集就会等于，设这个缺失的元素是，那么所有这个子集都不含，即每个子集都是的子集， 而只有个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集， 这是不可能的，因此假设不成立，不可能大于16，因此的最大值为16. 故选：B. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $