专题09 概率初步及其应用4大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 概率初步及应用 概率的定义：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记作. 概率的取值范围：必然事件发生的概率为，记作；不可能事件发生的概率为，记作；随机事件发生的概率介于和之间，即. 古典概型的概率公式：如果一次试验中，可能出现的结果有个，并且这些结果出现的可能性相等，其中事件包含的结果有个，那么事件发生的概率. 几何概型的概率公式：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件，则事件发生的概率（区域的度量可以是长度、面积或体积等）. 二、概率的应用 用频率估计概率：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该随机事件发生概率的估计值，即. 概率在实际问题中的决策作用：通过计算不同事件发生的概率，比较概率大小，为实际问题的决策提供依据. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 事件的分类 1. 下列成语描述的事件为必然事件的是（　　） A．守株待兔 B．塞翁失马 C．瓜熟蒂落 D．拔苗助长 【答案】C 【解析】A、守株待兔，是随机事件，不符合题意； B、塞翁失马，是随机事件，不符合题意； C、瓜熟蒂落，是必然事件，符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 2. 一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【解析】摸出3个球，可能为3个红球，或2个红球1个黑球，或1个红球2个黑球， ∴至少有1个球是红球， 故选：C． 3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．林深见鹿踪 【答案】C 【解析】A、黄河入海流是必然事件，符合题意； B、锄禾日当午是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，符合题意； D、林深见鹿踪是随机事件，不符合题意． 故选：C． 4. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（　　） A．旭日东升 B．瓜熟蒂落 C．大海捞针 D．十拿九稳 【答案】C 【解析】根据可能性大小逐项分析判断如下： 旭日东升、瓜熟蒂落是必然事件， 十拿九稳是随机事件，但发生的可能性比较大，不符合题意； 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：C． 题型二 概率的计算与应用 5. 在一个密封的不透明的袋子里装了2个红球、2个白球，露露伸手任意抓1个球，抓到红球的可能性是（　　） A． B． C． 【答案】A 【解析】露露伸手任意抓1个球，抓到红球的可能性是， 故选：A． 6. 在一个不透明的布袋中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（　　） A．16 B．18 C．24 D．4 【答案】A 【解析】设黑球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：x＝16， 经检验x＝16是方程的解， 所以黑球的个数为16． 故选：A． 7. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 由图可知，共有9种可能的情况，符合条件的只有1种， ∴两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是． 故选：A． 题型三 几何概率的计算与应用 8. 小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， 所以小明掷在空白区域的概率是． 故选：A． 9. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平行线的性质可得S1＝S2， 平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，则白色部分的面积占， 概率为：．故选：B． 题型三 用频率估计概率 10. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球 【答案】B 【解析】∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球， ∴白球被取得的概率，红球被取得的概率，黄球被取得的概率， 由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率， 故选：B． 11. 如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A．2.8cm2 B．22.4cm C．3.2cm2 D．22.4cm2 【答案】D 【解析】由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有，解得：x＝22.4， 即不规则图案的面积为22.4cm2．故选：D． 1. 如图，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA，OB．如果正方形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则△OAB是钝角三角形的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方形的边长为a， ∵∠AOB＞90°， ∴点O落在如图所示以AB为直径的半圆内， 半圆的面积为：， 正方形的面积是a2， ∴满足∠AOB＞90°的概率是． 故选：D． 2. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸分别用甲、乙、丙、丁表示，树状图如下， 由上可得，共有12种等可能性，其中这两瓶溶液只有一瓶变红色的有8种可能性， ∴这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为， 故选：D． 3. 将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设“金”、“明”、“中”、“学”分别用A、B、C、D表示． 列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知，共有12种等可能结果． 其中能组成“金明”（即A和B）的结果有2种：（A，B）和（B，A）． ∴P（组成“金明”）．故选：B． 4. 如图是长为4m、宽为2m的长方形花台，工人在以A、D为圆心，宽为半径所作的2个扇形区域（阴影部分）种花，剩下部分种草．甲、乙两人在花台旁边打羽毛球，羽毛球被抛进花台后，落到花丛中的概率为　　 ． 【答案】 【解析】S阴影π×22＝2π（cm2）， ∴羽毛球被抛进花台后，落到花丛中的概率为，故答案为：． 5. 8月18日，2025第二届华夏手造郑州非遗文创展在郑州国际会展中心启幕，本届文创展以“豫见非遗“为主题，汇聚了非遗文创、非遗饰品、高校非遗作品、大师级非遗技艺等多元内容，丰富的非遗项目与创新形式，为郑州乃至各地的非遗爱好者提供了一场非遗盛宴．某高校艺术社团为参加此次会展，决定从传统麦杆画（A）、布老虎（B）、浮雕画（C）和剪纸（D）中选择一种制作．下面是几种手工的图片． （1）该社团从这四种手工艺品中随机选择一种，恰好选中“C．浮雕画”的概率是　　 ； （2）为更好地宣传非物质文化遗产，该社团准备分甲、乙两个小组从这四种手工艺品中选择不同的两种制作．甲小组先从上面四种手工艺品中任选一种，乙小组再从剩下的三种手工艺品中任选一种，请用画树状图或列表的方法，求两组恰好选中“A．传统麦秆画”和“D．剪纸”的概率． 【解析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“C．浮雕画”的结果有1种， ∴恰好选中“C．浮雕画”的概率为．故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两组恰好选中“A．传统麦秆画”和“D．剪纸”的结果有：（A，D），（D，A），共2种， ∴两组恰好选中“A．传统麦秆画”和“D．剪纸”的概率为． 1. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小马），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为（　　） A．65cm2 B．55cm2 C．45cm2 D．35cm2 【答案】A 【解析】由题意知，不规则图案的面积为10×10×0.65＝65（cm2），故选：A． 2. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让红灯发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，∴能让红灯发光的概率为． 故选：A． 3. 有五张正面分别标有﹣2，﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则关于x的一元二次方程ax2+bx0有解的概率为 　　 ． 【答案】 【解析】由题意可得b＝a+1， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx0有解， ∴b2﹣4ab﹣a2＝（a+1）2﹣a2≥0且a≠0， 解得a且a≠0， ∴数字a，b使得关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0有解的概率为2÷5．故答案为：． 4. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择C2座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 【解析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小王选择C2座位的结果有1种， ∴小王选择C2座位的概率为． （2）列表如下： C1 C2 C3 B2 （B2，C1） （B2，C2） （B2，C3） B3 （B3，C1） （B3，C2） （B3，C3） B4 （B4，C1） （B4，C2） （B4，C3） 共有9种等可能的结果，其中小李和小王刚好坐在同一列的结果有：（B2，C2），（B3，C3），共2种， ∴小李和小王刚好坐在同一列的概率为． 5. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用A、B、C、D、E表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生A第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生B第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生A坐在②号座位的概率为 　　 ； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生A和学生B入座后相邻的概率． 【解析】（1）根据题意可得：学生A坐在②号座位的概率，故答案为：； （2）列表如图： 学生B 学生A ① ② ③ ④ ⑤ ① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻 ② 相邻 相邻 不相邻 不相邻 ③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻 ④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻 ⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻 根据表格可得，共有20种情况，其中学生A和学生B入座后相邻的情况有8种情况， 故学生A和学生B入座后相邻的概率． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 概率初步及应用 概率的定义：一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记作. 概率的取值范围：必然事件发生的概率为，记作；不可能事件发生的概率为，记作；随机事件发生的概率介于和之间，即. 古典概型的概率公式：如果一次试验中，可能出现的结果有个，并且这些结果出现的可能性相等，其中事件包含的结果有个，那么事件发生的概率. 几何概型的概率公式：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件，则事件发生的概率（区域的度量可以是长度、面积或体积等）. 二、概率的应用 用频率估计概率：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该随机事件发生概率的估计值，即. 概率在实际问题中的决策作用：通过计算不同事件发生的概率，比较概率大小，为实际问题的决策提供依据. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 事件的分类 1. 下列成语描述的事件为必然事件的是（　　） A．守株待兔 B．塞翁失马 C．瓜熟蒂落 D．拔苗助长 2. 一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．林深见鹿踪 4. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（　　） A．旭日东升 B．瓜熟蒂落 C．大海捞针 D．十拿九稳 题型二 概率的计算与应用 5. 在一个密封的不透明的袋子里装了2个红球、2个白球，露露伸手任意抓1个球，抓到红球的可能性是（　　） A． B． C． 6. 在一个不透明的布袋中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（　　） A．16 B．18 C．24 D．4 7. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（　　） A． B． C． D． 题型三 几何概率的计算与应用 8. 小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（　　） A． B． C． D． 9. 小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 题型三 用频率估计概率 10. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球 11. 如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A．2.8cm2 B．22.4cm C．3.2cm2 D．22.4cm2 1. 如图，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA，OB．如果正方形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则△OAB是钝角三角形的概率为（　　） A． B． C． D． 2. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（　　） A． B． C． D． 3. 将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（　　） A． B． C． D． 4. 如图是长为4m、宽为2m的长方形花台，工人在以A、D为圆心，宽为半径所作的2个扇形区域（阴影部分）种花，剩下部分种草．甲、乙两人在花台旁边打羽毛球，羽毛球被抛进花台后，落到花丛中的概率为　　 ． 5. 8月18日，2025第二届华夏手造郑州非遗文创展在郑州国际会展中心启幕，本届文创展以“豫见非遗“为主题，汇聚了非遗文创、非遗饰品、高校非遗作品、大师级非遗技艺等多元内容，丰富的非遗项目与创新形式，为郑州乃至各地的非遗爱好者提供了一场非遗盛宴．某高校艺术社团为参加此次会展，决定从传统麦杆画（A）、布老虎（B）、浮雕画（C）和剪纸（D）中选择一种制作．下面是几种手工的图片． （1）该社团从这四种手工艺品中随机选择一种，恰好选中“C．浮雕画”的概率是　　 ； （2）为更好地宣传非物质文化遗产，该社团准备分甲、乙两个小组从这四种手工艺品中选择不同的两种制作．甲小组先从上面四种手工艺品中任选一种，乙小组再从剩下的三种手工艺品中任选一种，请用画树状图或列表的方法，求两组恰好选中“A．传统麦秆画”和“D．剪纸”的概率． 1. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小马），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为（　　） A．65cm2 B．55cm2 C．45cm2 D．35cm2 2. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让红灯发光的概率是（　　） A． B． C． D． 3. 有五张正面分别标有﹣2，﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则关于x的一元二次方程ax2+bx0有解的概率为 　　 ． 4. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择C2座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 5. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用A、B、C、D、E表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生A第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生B第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生A坐在②号座位的概率为 　　 ； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生A和学生B入座后相邻的概率． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $