专题08 与圆有关的位置关系3大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 设圆的半径为，点到圆心的距离为： 点在圆外： 点在圆上： 点在圆内： （2）直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 直线与圆相离：，无公共点 直线与圆相切：，有且只有一个公共点（切点） 直线与圆相交：，有两个公共点（交点） （3）圆与圆的位置关系（两圆半径分别为、，圆心距为，） 外离：，无公共点 外切：，有且只有一个公共点 相交：，有两个公共点 内切：，有且只有一个公共点 内含：，无公共点（时为同心圆） （4）切线相关性质与判定 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角 （5）三角形的外接圆与内切圆 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） 内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等（等于内切圆半径） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 点与圆的位置关系 1. 已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 2. 已知⊙O的半径为4，若PO＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 题型二 线与圆的位置关系 3. 若⊙O的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l6 4. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　） A．点A在⊙A上 B．点C在⊙A内 C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离 6. 如图，CD是⊙O的切线，切点是点D，直线CO交⊙O于点A、B，∠A＝22°，则∠C的度数是（　　） A．44° B．46° C．48° D．50° 题型三三角形的内切圆 7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AB，AC于点D，E，F．若△ABC的周长为24cm，BC＝10cm，则AE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 8. 如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　） A．36° B．53° C．74° D．128° 1. 数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，⊙B半径为4．若点A在⊙B外，则（　　） A．t＜6或t＞10 B．6＜t＜10 C．t＜12或t＞20 D．1＜t＜20 2. 如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（　　） A．2 B． C． D．2 3. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　） A．42° B．48° C．58° D．69° 4. 在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　　 ． 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　3　 ，EH的长度为 　　 ． 6. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接CD．若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是 　　 ． 1. 如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　　 °． 2. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为AG的中点，则DP的最大值为　　 ． 3. 如图所示，在单位长度为1的网格中，一段圆弧经过A，B，C三点，其中A，C为格点，点B在小正方形的边上，过C的铅直格线是圆的切线，则的长为　　 ． 4. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：∠PAO＝2∠PBO； （2）若⨀O的半径为5，AP，求BP的长． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 设圆的半径为，点到圆心的距离为： 点在圆外： 点在圆上： 点在圆内： （2）直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 直线与圆相离：，无公共点 直线与圆相切：，有且只有一个公共点（切点） 直线与圆相交：，有两个公共点（交点） （3）圆与圆的位置关系（两圆半径分别为、，圆心距为，） 外离：，无公共点 外切：，有且只有一个公共点 相交：，有两个公共点 内切：，有且只有一个公共点 内含：，无公共点（时为同心圆） （4）切线相关性质与判定 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角 （5）三角形的外接圆与内切圆 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） 内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等（等于内切圆半径） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 点与圆的位置关系 1. 已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【答案】C 【解析】∵⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，且5＞4， ∴点P在圆外． 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 2. 已知⊙O的半径为4，若PO＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 【答案】C 【解析】∵PO＝5，半径为4， 故点P与⊙O的位置关系是点在圆外． 故选：C． 题型二 线与圆的位置关系 3. 若⊙O的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l6 【答案】B 【解析】∵⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2.5，即5＞2.5， ∴⊙O与该直线相交， ∴这条直线可能是l2， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【解析】如图，直线分别与x、y 轴交于A、B，过O作OH⊥AB于H， 当y＝0时，， ∴x＝﹣4， ∴OB＝4， 当x＝0时，y＝3， ∴OA＝3， ∴， ∵△AOB的面积， ∴5×OH＝3×4， ∴OH＝2.4， ∴O到直线l的距离d＝2.4， ∵⊙O的半径r＝3， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选：C． 5. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　） A．点A在⊙A上 B．点C在⊙A内 C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离 【答案】C 【解析】在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如图，作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴， 在直角三角形ABH中，由勾股定理得：， ∵以A为圆心作一个半径为3的圆， ∴点A为圆心，故A错误， ∵AC＝5＞3， ∴点C在⊙A外，故B错误； ∵AH＝3，AH⊥BC， ∴直线BC与⊙A相切，故C正确，D错误； 故选：C． 6. 如图，CD是⊙O的切线，切点是点D，直线CO交⊙O于点A、B，∠A＝22°，则∠C的度数是（　　） A．44° B．46° C．48° D．50° 【答案】B 【解析】∵∠A＝22°， ∴∠BOD＝2∠A＝2×22°＝44°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°， ∴在Rt△OCD中，∠C＝90°﹣∠COD＝90°﹣44°＝46°． 故选：B． 题型三三角形的内切圆 7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AB，AC于点D，E，F．若△ABC的周长为24cm，BC＝10cm，则AE的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AE＝AF，BE＝BD，CD＝CF， ∴BE+CF＝BD+CD＝BC＝10cm． ∵△ABC的周长为24cm， ∴AE+AF+BE+CF+BC＝24cm， ∴2AE＝4cm， ∴AE的长为2cm． 故选：C． 8. 如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　） A．36° B．53° C．74° D．128° 【答案】C 【解析】连接OD、OF， ∵⊙O分别与AB、AC相切于点D、点F， ∴AB⊥OD，AC⊥OF， ∴∠ODA＝∠OFA＝90°， ∵∠DEF＝53°， ∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°， ∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°， 故选：C． 1. 数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，⊙B半径为4．若点A在⊙B外，则（　　） A．t＜6或t＞10 B．6＜t＜10 C．t＜12或t＞20 D．1＜t＜20 【答案】A 【解析】∵点B表示实数16，⊙B半径为4． ∴数轴与⊙B的交点表示的数为12或20， ∵点A表示实数2t，点A在⊙B外，∴2t＜16﹣4或2t＞16+4， 解得t＜6或t＞10， 故选：A． 2. 如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设⊙O'为⊙O向左平移后与PM相切的圆，切点为B，连接O'B交PO于D，过O作OA⊥PM于A，OC⊥O'B于C，如图所示：则OO'即为⊙O平移的距离，O'B＝OP＝4，O'B⊥PM， ∵∠MPN＝60°，PO是∠MPN的平分线， ∴∠MPO＝∠OPN∠MPN＝30°， ∵OA⊥PM， ∴OAOP＝2， ∵OA⊥PM，OC⊥O'B，O'B⊥PM， ∴四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA＝2， ∴O'C＝O'B﹣BC＝2，由平移的性质得：OO'∥PN， ∴∠DOO'＝∠OPN＝30°， ∵O'B⊥PM， ∴∠O'BP＝90°， ∴∠BDP＝90°﹣∠MPO＝60°， ∵∠BDP＝∠DOO'+∠DO'O， ∴∠DO'O＝∠BDP﹣∠DOO'＝30°， ∴OCO'C，OO'＝2OC， 即⊙O平移的距离为，故选：B． 3. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　） A．42° B．48° C．58° D．69° 【答案】D 【解析】连接OD、OE， ∵⊙O与AB、BC分别相切于点D，E， ∴AB⊥OD，BC⊥OE， ∴∠ODB＝∠OEB＝90°， ∵∠B＝42°， ∴∠DOE＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B＝138°， ∴∠DPE∠DOE＝69°， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　　 ． 【答案】6 【解析】对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2， ∴直线y＝kx﹣3k+2过定点P（3，2）， ∵点A（3，0）， ∴AP2， 又∵⊙A的半径为，AP， ∴点P在⊙A内部， 根据垂径定理得：当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，如图所示： 则BP＝CP， ∴BC＝2BP， 在Rt△ABP中，AB，AP＝2， 由勾股定理得：BP3， ∴BC＝2BP＝6， 即BC的最小值为6． 故答案为：6． 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　3　 ，EH的长度为 　　 ． 【答案】3， 【解析】∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5， ∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10， ∴， ∵四边形ACDE是菱形， ∵CD＝AC＝13， ∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3， ∴， 如图，连接BC，BH， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°， ∴，即，解得：， ∴，即， 解得：，∵四边形ACDE是菱形， ∴CD∥AE， ∴∠DAE＝∠CDA，如图，过H作HM⊥AE于M， ∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故答案为：3，． 6. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接CD．若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是 　　 ． 【答案】22 【解析】如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'， 因此CO′交⊙O'于点D，此时CD的值最大， 由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′OA＝2＝O′D， 在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2， O′C2， ∴CD＝CO′+O′D＝22，故答案为：22． 1. 如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　　 °． 【答案】90 【解析】∵AB是圆的直径， ∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°， ∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 2. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为AG的中点，则DP的最大值为　3.5　 ． 【答案】3.5 【解析】如图，连接BG． ∵AP＝PG，AD＝DB， ∴DPBG， ∴当BG的值最大时，DP的值最大， ∵y（x﹣1）（x﹣9）（x﹣5）2+3， ∴C（5，3），B（9，0）， ∴BC5， 当点G在BC的延长线上时，BG的值最大，最大值＝5+2＝7， ∴DP的最大值为3.5， 故答案为：3.5． 3. 如图所示，在单位长度为1的网格中，一段圆弧经过A，B，C三点，其中A，C为格点，点B在小正方形的边上，过C的铅直格线是圆的切线，则的长为　　 ． 【答案】π 【解析】如图，作直线OT， 由正方形的性质可得：OT是AC的垂直平分线， 由条件可知圆心是OC，OT的交点O， ∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝2， ∴的长为， 故答案为：π． 4. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：∠PAO＝2∠PBO； （2）若⨀O的半径为5，AP，求BP的长． 【解析】（1）证明：如图①， 连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC， ∵AP与⨀O相切于点P， ∴∠APO＝90°， ∴∠PAO+∠AOP＝90°， ∵MO⊥CN， ∴∠AOP+∠POC＝90°， ∴∠PAO＝∠POC， ∵OP＝OB， ∴∠OPB＝∠PBO， ∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO， ∴∠PAO＝2∠PBO； （2）解：如图②所示， 连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D， 则有：AO， 由（1）可知∠POC＝∠PAO， ∴Rt△POD∽Rt△OAP， ∴，即，解得PD＝3，OD＝4， ∴CD＝OC﹣OD＝1， 在Rt△PDC中，PC， ∵CB为圆的直径， ∴∠BPC＝90°， ∴BP3， 或BP3，故BP长为3． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $