寒假作业01 数列的概念（6知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 数列的概念 一、数列的概念及表示方式 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2、数列的表示 （1）一般形式：，，，…，，… （2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。 3、数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 二、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 三、数列的函数性质 1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。 3、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法： ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 四、求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 五、由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 六、数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 数列的概念辨析 1．（24-25高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的概念判断①②③即可. 【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义； ②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列； ③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【分析】根据数列的定义和概念逐项判断即可. 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 3．数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【分析】根据数列的知识确定正确答案. 【详解】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点. 故选：B 4．（24-25高二下·甘肃定西·期末）（多选题）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误； 对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误； 对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC. 5．（24-25高二·全国·课堂例题）已知下列数列： （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3），…； （4）1，0.2，，，…； （5）0，－1，0，…，，…． 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ．（填序号） 【答案】 （1） （2）（3）（4）（5） （3） （4） （1） （2）（5） 【分析】利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义逐个分析判断即可. 【详解】（1）是常数列且是有穷数列； （2）是无穷摆动数列； （3）是无穷递增数列（因为）； （4）是无穷递减数列； （5）是无穷摆动数列． 故答案为：（1）；（2）（3）（4）（5）；（3）；（4）；（1）；（2）（5）. 题型二 数列中的规律问题 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察数列的分母和分子的规律，即可求得数列第项的值. 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 2．（24-25高二下·河南·月考）已知数列，则是这个数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】C 【分析】根据题意，令，求得的值，即可得到答案. 【详解】由数列，可得数列的通项公式为， 令，解得，所以是这个数列的第10项. 故选：C. 3．（24-25高二上·安徽·月考）已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（    ） A．第42项 B．第41项 C．第9项 D．第8项 【答案】B 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 4．（24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 5．（23-24高二下·四川成都·期中）在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（    ） A． B．64 C．128 D． 【答案】B 【分析】根据所给数列的部分项归纳数列通项公式即可得解. 【详解】由数列1，，4，，16，…，可知通项公式为， 所以. 故选：B 6．（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ）． A．70 B．92 C．105 D．118 【答案】B 【分析】解法1：从数列的项和项之间的关系角度找规律求解即可； 解法2：从图形角度找规律求解即可． 【详解】解法1：从1，5，12，22中可以得到规律，后三项是各自前一项依次加，，， 则此数列的第8项应为． 解法2：从图形角度，第二个图形可以看成一个点加上一个正方形数，即； 第三个图形可以看成三角形数“”和正方形数“”的和，即． 同理得第四个图形表示的数为， 以此类推，可知第八个图表示的数为. 故选：B． 7．（23-24高二上·湖北武汉·月考）根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数 ．    【答案】35 【分析】根据所给数据，找出规律即可得解. 【详解】依题意，， 则，根据规律，， 所以. 故答案为：35 8．（24-25高二下·山东淄博·月考）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据图中每一行的最后一个数和每一行的个数，即可总结规律，得到递推关系式，即可求出所在具体位置，求出结果. 【详解】根据图中规律可知，每一行的最后一个数为，且个数为， 则第n行的最后一个数为，个数为，， 因为， 所以排在第行最后一个， 又第行个数为， 所以， 所以. 故答案为： 题型三 根据递推关系求通项 1．若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案. 【详解】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·四川成都·期中）数列中，若，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由递推关系得到为常数列，从而可求解. 【详解】因为，所以， 所以数列为常数列，且， 所以. 故答案为:. 3．（24-25高二下·云南·期末）在数列中，若，则666是的（    ） A．第111项 B．第222项 C．第333项 D．第666项 【答案】B 【分析】根据已知递推公式计算构造常数列，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，所以，所以是常数列， 所以，则. 由，解得. 故选：B. 4．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【详解】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选： 5．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②. 【详解】由，可得，故①正确； ， 当时，，不适合上式， 所以，故②正确. 故选：C. 题型四 由数列的前n项和求通项 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列的前n项和，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】降次作差再验证即可. 【详解】， 当时，， 由于也适合此等式，∴． 故答案为：. 2．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列的前项和，则当时， ． 【答案】 【分析】根据题意，结合，准确运算，即可求解. 【详解】由数列的前项和， 当时，. 故答案为： 3．已知数列的前项和为，，则 . 【答案】 【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. 【详解】当时，， 当时，， 此时，不符，故. 故答案为： 4．（25-26高二上·天津滨海新·月考）若数列的前项和是，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】利用与之间关系直接求解即可. 【详解】当时，； 当时，，不满足； . 故答案为：. 5．（24-25高二上·福建三明·期中）若数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据已知条件写出的式子，两式相减即可求出通项公式.注意首项的检验. 【详解】∵，① ∴ 当时， ② ①②得：，即， 当时，符合上式， ∴数列的通项公式为， 故答案为：. 6．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推关系求出可得. 【详解】数列满足， 当时，， 两式相减得，因此. 又时，，满足上式，所以. 故答案为：. 7．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意分和两种情况，结合前项和与通项之间的关系分析求解. 【详解】因为①， 当时，；当时，②． ①－②可得，则③，且，不符合式③， 所以． 故答案为：. 题型五 数列的单调性及最大（小）项问题 1．（25-26高二上·福建莆田·月考）（多选题）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可． 【详解】对于A，，数列为递减数列，故A错误； 对于B，，数列为递增数列，故B正确； 对于C，，数列为递增数列，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B 3．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由数列的通项对应的函数为二次函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为，其对应的函数为二次函数， 开口向下，对称轴为，又， 所以或2时，取得最大值，故数列的最大值是. 故选：C. 4．数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则对恒成立， 即， 整理可得，对恒成立， 因函数在时单调递增，则得. 故选：B 5．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项. 【详解】数列中，由，得，由，得， 则当时，；当时，， 即， 所以数列的最小项是第6项. 故选：B 6．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和判断的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 7．（24-25高二下·江西·月考）已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的单调性求解即可. 【详解】数列是单调递减数列， 故，即 且，故. 故选：A 8．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项． 【答案】7 【分析】通过先作商再作差进行数列的单调性判断，进而找出其最大项． 【详解】由已知得， 则． 当，即时，有； 当时，有． 故， 所以数列的最大项为第7项． 故答案为：7． 题型六 数列的周期性及应用 1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）若数列满足，，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据数列的递推关系式得数列是周期数列，从而得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，， 所以是周期为4的数列，故. 故选：D. 2．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出数列的项，得出是以为周期的数列，从而可解. 【详解】数列中，且，， 所以 从而可知数列是以为周期的数列，且， 则. 故选：B 3．设定义如表，数列满足，，则 ． 1 2 3 4 5 6 4 5 1 2 6 3 【答案】5 【分析】根据给定的函数的表格以及数列的递推公式求出数列的前几项，观察其规律，发现数列具有周期性，然后利用周期来计算即可. 【详解】由题可知，，，， ，，， 即数列是以6为周期的周期数列，又， ． 故答案为：. 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）在数列中，，若，则 . 【答案】1 【分析】结合递推关系和首项，求出数列的前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故， 故答案为；1 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 2．（24-25高二下·江西上饶·期中）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据数列的项最小，利用列举法判断的最大值. 【详解】要使最大，则数列的项要尽可能的小，注意到，，依此类推，，， 所以的最大值5. 故选：A 3．（25-26高二上·福建宁德·期中）在数列中，若，.是数列的前项和，则等于（    ） A． B．1015 C．2029 D．2030 【答案】A 【分析】根据已知条件，求出数列的前项，即可得到数列的周期性，根据数列的周期性求数列的前项和即可. 【详解】因为，，所以， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 因为，所以， 即. 故选：A 4．（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得 ①， 所以时， ②， ①-②得，所以， 所以. 故选：C. 5．已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【详解】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 6．数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】递推公式两侧同时乘以，化简递推公式，得，运用累加法及裂项相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解. 【详解】因为，，， 所以有，，，，. 累加得，又， 所以，即. 当时，符合上式，所以. 则. 故选：B. 7．（24-25高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知对于任意都有，说明数列是递减数列.因为数列的通项公式是分段函数形式，所以需要分别考虑和时数列的单调性，同时还要考虑两段函数在处的衔接情况，从而确定实数的取值范围. 【详解】当时，，函数单调递减，所以，移项可得. 当时，，这是一个指数函数形式（且）经过平移变换得到的， 当时，函数单调递减. 因为对于任意都有，所以. ，. 则，可得，即，解得. 综合以上三个条件：，，，取交集可得. 实数的取值范围为， 故选：C. 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 9．（23-24高二下·辽宁大连·月考）（多选题）已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为周期数列 C．数列为单调递增数列 D．数列为常数列 【答案】AC 【分析】根据给定函数式求出，求出的范围判断A；利用周期数列、递增数列、常数列的意义判断BCD. 【详解】依题意，，， 对于A，，则，A正确； 对于BCD，显然，则，即恒成立， 因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）（多选题）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 【答案】ABD 【分析】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【详解】对于A，当时，，所以， 当时，，故，A项正确； 对于B，由，得当时， ， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以， 由二次函数的性质可知不为递减数列，C项错误； 对于B，因为， 所以当或时，取得最小值，B项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·陕西西安·月考）（多选题）已知数列满足，则（    ） A．当时，数列为递减数列 B．当时，数列一定有最大项 C．当时，数列为递减数列 D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项 【答案】BCD 【分析】对于A，根据即可排除；对于B，，通过分析发现数列先增后减，即可判定数列一定有最大项；对于C，由即可判断数的单调性 ；对于D，由为正整数得，分类讨论分析即可得出结论. 【详解】选项A，当时，，， 所以数列不是递减数列，故A错误； 选项B，当时，， 由得，由得， 所以当时，，当时，， 所以数列一定有最大项，故B正确； 选项C，当时，，即， 所以数列为递减数列，故C正确； 选项D，因为为正整数，，所以，故. 当时，，当时等号成立， 所以，此时为数列的最大项. 当时，由选项B知数列一定有最大项. 令，则，， 当时，， 由选项B知，当时，，当时，， 所以为数列的最大项， 综上，数列必有两项相等的最大项，故D正确. 故选：BCD. 12．（24-25高二上·广东惠州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是 ，五边形数所构成的数列的通项公式为 ． 【答案】 25 【分析】根据正方形数的前4项特征，即可求解第5项；根据五边形数的特征，列式递推公式，利用累加法，即可求通项公式. 【详解】正方形数所构成数列的第5项是， 五边形数所构成数列满足，，，，， 所以，， 累加可得，当时成立， 所以. 故答案为：25； 13．（25-26高二上·重庆·月考）古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式.例如，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给 5 个人，如果每人不够，每人分，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.按照此方法理解，可以分解为哪两个单分数的和？ ；按此规律，则 . 【答案】 【分析】根据题意分数都可写成若干个单分数和的形式的理解，分别对和进行拆分理解即可. 【详解】有两个面包，要平均分给7个人，如果每人不够，每人分，余， 再将这分成7份，每人得，这样每人分得， 所以； 有两个面包，要平均分给个人，如果每人不够，每人分，余， 再将这分成份，每人得，这样每人分得， 所以； 故答案为：；. 14．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，对所有的，都有，则 ． 【答案】 【分析】由题中递推公式可得，与原递推式相除可得，从而可求解. 【详解】因为， 所以， 两式相除可得． 因为，，所以， 所以. 故答案为：. 15．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】借助累加法可得数列的通项公式，再表示出后利用对勾函数性质计算即可得. 【详解】由题意可得当时， ， 当时，，满足上式， 则， 因为，所以， 则，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 16．（25-26高二上·河南·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可． 【详解】由，且，则，同理解得，， 由题意可得下表： 数列的最小正周期，由， 则． 故答案为： 17．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 【答案】(1)． (2) (3) (4) 【分析】由求解即可. 【详解】（1）由数列的前项和的定义可知． （2）当时，；当时，不满足上式． 所以通项公式为 （3）当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. （4）由题意知，当时，， 两式相减可得， 则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 1．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．672 B．673 C．1346 D．1347 【答案】D 【分析】由题可得是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，据此可得答案. 【详解】由数列各项除以2的余数， 可得为，， 所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为， 因为，所以数列的前2020项的和为. 故选：D． 2．已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用递增数列满足，即可求解. 【详解】因为，所以 由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是， 故选：B. 3．（23-24高二下·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项 【答案】B 【分析】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可判断各选项. 【详解】由此数项的前10项的规律可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于AB，，所以A错误，B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，若200中偶数项，则，得， 所以200是此数列的第20项，所以D错误， 故选：B 4．（24-25高二下·广东·月考）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解. 【详解】易得，故， 化简得，即， 由知，故， 累乘可得， 即，故， 当时，也符合上式，故，故. 故选：C. 5．（24-25高二下·四川南充·期末）若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，分离参数后利用基本不等式求解. 【详解】由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 6．（25-26高二上·浙江·月考）（多选题）已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．数列单调递增 D．数列是周期数列 【答案】ACD 【分析】根据递推公式分奇偶项讨论，计算数列的前几项或分析通项公式，进而判断选项的正确性. 【详解】已知，根据递推公式，分为奇数和偶数讨论： 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 选项A：计算前项和：，因此选项A正确； 选项B：观察奇数项规律：，发现奇数项以为周期循环， 因为是奇数，，对应周期中的第项，即，因此选项B错误； 选项C：分析偶数项，当为奇数时，；当为偶数时，， 由于恒为正数，所以数列单调递增，C正确； 选项D：奇数项：，周期为，即是周期为的周期数列，因此选项D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二下·湖北·月考）（多选题）如图，已知直线与曲线，设为曲线C上横坐标为1的点.过作x轴的平行线交于，过作x轴的垂线交曲线C于；再过作x轴的平行线交于，过作x轴的垂线交曲线C于……，设点，，…，，…的纵坐标分别为，，…，，…，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求出的坐标判断A；求出坐标，结合选项A，利用观察法得出规律判断B；利用图象数形结合判断CD. 【详解】对于A，点在曲线上，， 点，点，因此，A正确； 对于B，由选项A知，，，， 以此类推，，，，B错误； 对于C，设直线与曲线的交点纵坐标为，观察图象知， ，因此，C正确； 对于D，由图知，，因此，D正确. 故选：ACD. 8．（2025高二·全国·专题练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的新学科，它的创立为解决众多传统数学领域的难题提供了全新的思路．按照分形的规律生成的一个树形图如图所示，则第10行的空心圆的个数是 ． 【答案】21 【分析】找规律得到各行空心圆个数的关系，列举得到第十行空心圆的个数. 【详解】构造数列表示空心圆的个数，其中表示第行的空心圆的个数， 由图可知，，，当时，，因此即为所求． 通过列举得到各行的空心圆的个数依次为，，，，，，，，，，，，，，所以． 故答案为：. 9．（24-25高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 【答案】 【分析】结合题意，利用从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，使用数列的知识求解即可. 【详解】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为， 第二行的第一个数为， 第三行的第一个数为， 第四行的第一个数为，…， 第n行的第一个数为， 表中一共2018行， ∴第2018行的第一个数即． 故答案为： 10．已知数列满足，则 . 【答案】； 【分析】由题意可得，可得，两式相减可求通项公式. 【详解】由，可得， 所以， 两式相减得， 所以， 当时，，所以，适合上式， 所以. 故答案为：. 11．（23-24高二上·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 【答案】 【分析】根据题意列式，然后确定的取值情况即可. 【详解】由已知得，此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响， 所以， 又， 所以， 所以共有项的值等于100. 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：40min 完成时间：月日 天气： 作业01数列的概念 积累运用 一、 数列的概念及表示方式 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第n项叫做数列的通项 2、数列的表示 (1)一般形式：41,42,43’，0n’… (2)字母表示：上面的数列也可以记为{an}注：an是数列的第n项，也叫通项。 3、数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n), 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式 (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a,与它的前 一项a-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 二、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 项数 无穷数列 项数无限 递增数列 an+>an 递减数列 anl<an 其中n∈N, 项与项间的大 常数列 小关系 an+=an 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小 摆动数列 于它的前一项的数列 三、数列的函数性质 1、数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集{1,2，，n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按 照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 1/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。 3、判断数列的单调性的方法 (1)作差比较法： a+1-a。>0一数列{an}是递增数列；a+1-a,<0台数列{an}是递减数列； an+1-an=0一数列{an}是常数列. (2)作商比较法 i.当a,>0时，则91>1e数列{a}是递增数列；2出<1台数列{a,}是递减数列； a an anl=1e数列{a,}是常数列； an iⅱ当a。<0时，则8出>1÷数列{a}是递减数列；2出<1e数列{a,}是递增数列； an an anl=1÷数列{an}是常数列. (3)结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数 列中去。 四、求数列最大（小）项的方法 (1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项. (2)利用 a,之a,求数列中的最大项a,1 an≥an-l 利用 a,≤a,求数列中的最小项a, an≤a-l 当解不唯一时，比较各解大小即可确定， 五、由数列的前几项求数列的通项公式 (1)各项的符号特征，通过(-1)”或(-1)来调节正负项。 (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系. (3)相邻项（或其绝对值）的变化特征· (4)拆项、添项后的特征. (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律. 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的 六、数列的通项an与前n项和Sn的关系 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S,n=1 a,{s.-Sn22 ①当n=1时，a1若适合S。-Sm-1，则n=1的情况可并入n≥2时的通项a,; ②当n=1时，a1若不适合S。-Sn1,则用分段函数的形式表示. 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一：数列的概念辨析 题型二：数列中的规律问题 题型三：根据递推关系求通项 数列的概念 题型四：由数列的前n项和求通项 题型五：数列的单调性及最大（小）项问题 题型六：数列的周期性及应用 巩固提升练 题型一数列的概念辨析 1.(24-25高二下·吉林四平.期中)以下三个结论中正确的个数为() ①L,1,l,l,…是数列；②cos0,sinl,tan2不是数列；③数列的通项公式是唯一的 A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26高二上·江苏苏州·月考)下列说法中正确的是() A.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B.数列{ n+1 n 的第大夏为1+号 C.数列1,0，-1，-2与-2，-1,0,1是相同的数列 D.数列0,2,4,6，…可记为2n 3/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.数列an}的通项公式是an=n+I,neN,则它的图象是() A.直线 B.直线上孤立的点 C.抛物线 D.抛物线上孤立的点 4.(24-25高二下.甘肃定西·期末)（多选题）下列叙述不正确的有() A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列 B.数列0,1,2,3，的通项公式是an=n C.-1,1,-1,1,是常数列 D.1,2,22,2,是递增数列，也是无穷数列 5.(24-25高二·全国课堂例题)已知下列数列： (1)0,0,0,0,0,0 (2)0,-1,2,-3,4,-5,; 号 -y. n (4)1,0.2,0.22,0.2，…: (5)0,-1,0,,c0s5, 2 其中，有穷数列是一，无穷数列是， 递增数列是， 递减数列是， 常数列是 摆动数列是一·（填序号） 题型二数列中的规律问题 10 1,(25-26高二上陕西成阳期中)数列4；。，6，)5’的第7项为() A. 9 64 B. 64 D员 2.(24-25高二下·河南月考)己知数列1,3,7,15，…，2”-1，，则1023是这个数列的() A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 3.(24-25高二上安微月考)已知数列1,5，√5，√万，3，.，√2n-1,.,则9是该数列的() A.第42项 B.第41项 C.第9项 D.第8项 4.(24-25高二下湖北孝感·期中)数列1，-1,1，-1，…n∈N)的一个通项公式为() A.(-1)+2 B.cosn-lπ C.1--1) 2 D.sm2+月 5.(23-24高二下·四川成都期中)在数列1，-2,4，-8,16，.中，这个数列的第7项是() A.-64 B.64 C.128 D.-128 4/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(2025高二全国.专题练习)如果数列1,5,12,22，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来， 那么这个数列的第8项为() a A.70 B.92 C.105 D.118 7.(23-24高二上湖北武汉·月考)根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点 数 12 22 8.(24-25高二下·山东淄博·月考)如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2025应该 排在从上向下数的第m行，是该行中从左向右数的第n个数，那么m+n的值是一 234 56789 10111213141516 题型三根据递推关系求通项 1.若an=am-1+n-1,a=1则ao=() A.55 B.56 C.45 D.46 2.(2425高二下四川成都期中)数列a,}中，若a=2,an+0,则数列a,}的通项公式为 3.(24-25高二下·云南期末)在数列an}中，若a1=3,a.=n(an+1-an),则666是{an}的() A.第111项 B.第222项 C.第333项 D.第666项 ,.1 4.(24-25高二下河北期末)在数列an}中，a,=0,a+1=an+ln1+二，则{an}的通项公式为() n A.a Inn B.a=(n-1)In(n+1) C.a,=nlnn D.a,Inn+n-1 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(23-24高二下·上海浦东新·期末)数列an}满足a,a2…an=n2.给出如下两个结论：①a= 6② 25 、三52二，则下面判断正确的为《) A.①对②错 B.①错②对 C.①②都对 D.①②都错 题型四由数列的前项和求通项 1.(25-26高二·全国假期作业)已知数列{an}的前n项和S,=2n2-3n,则{an}的通项公式为 2.(25-26高二上陕西西安·月考)己知数列{an}的前n项和Sn=2”+n-7,则当n22时， d, 3.己知数列an}的前n项和为Sn,S。=2"(n∈N),则an=」 4.(25-26高二上·天津滨海新·月考)若数列{an}的前n项和是S,=n2-4n+2,则数列{an}的通项公式 是 5.(2425商二上相健三明期中)若数列a满是4+号+是++品=neN,侧轰列a的适项公 式为 6.(25-26高二上福建宁德月考)已知数列{an}满足a1+3a,++3-a,=n3(neN）,设数列{a,}的通 项公式为a4n,则an=一 7.已知数列an}满足a1+2a2+22a+…+2-an=2n-2,则an=一 题型五数列的单调性及最大（小）项问题 1.(25-26高二上福建莆田·月考)（多选题）下列数列{an}的通项公式中，是递增数列的是() A.an=-3n-1 B.a 5n-3 C.an=7+2" D.a =n2 2.(24-25高二下.四川绵阳·期末)已知{an}是一个无穷数列，“a>a2”是“{an}为递增数列的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 3 3.(24-25高二下江西景德镇期末)己知数列的通项公式an=-n2+3n+二，则数列an}的最大值是（) 4 A.3 B.2 3 D. 4 4.数列{an}的通项为an=n2-k(n∈N),且{an}为单调递增数列，则k的取值范围是() 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-0,2 B.（-0,3) C.（-0,2 D.-0,3] 5.(24-25高二下·广东珠海·期中)已知数列{an}满足an1=an+3n-16,则数列{an}的最小项是第()项 A.5 B.6 C.7 D.8 2n-2 6.(24-25高二下.四川绵阳·月考)己知数列{an}的通项公式为an= ,则a取到最小值时的值是() 2n-15 A.6 B.7 C.8 D.9 7.(24-25高二下.江西月考)已知数列 n+入 是单调递减数列，则2的取值范围为() A.（0,+0j】 B.(1,+o0】 C.[1,+oo D.I0,+0】 8.(2025高二全国专题练习)已知数列{a,}的通项公式为a,= n2,则数列{an}的最大项为第项. 题型六数列的周期性及应用 1.2526商二上福维2岩期)若数列a满足4，=6，a品，则a=（) A D.6 2.(25-26高二上海南省直辖县级单位·月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若am+2=-a.,且a=1, 43=2,则S2025=() A.0 B.1 C.2 D.3 3.设f(x)定义如表，数列xn}满足x=5,x+1=∫xn，则x2o1= + 1 2 4 6 f (x) 4 5 2 6 3 1 2an,an< 2 4.(25-26高二上甘肃兰州期中)在数列an}中，a+1= 4 若4=5则 2a,-1,4,22 a3+a2025= 能力培优练 1.(25-26高二上陕西榆林·期中)下列结论中，正确的是() A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.数列的通项公式的形式是唯一的 C.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3，…，n))上的函数 D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式 2.(24-25高二下江西上饶期中)已知{an}是各项均为整数的递增数列，且a1>4,若a1+a2+…+an=40, 则的最大值为() A.5 B.6 C.7 D.8 3.(25-26高二上福建宁德期中)在数列a,}中，若4=2，a=1-LneN,).S,是数列{a,的前n项和， a. 则S2026等于() A.202g B.1015 C.2029 D.2030 2 4.(24-25高二上黑龙江绥化期末)已知数列{an}满足a1+2a2+3a+…+nan=n(n+2),则a=() A.2 B D号 5.已知数列{an}的首项a,=2025,前n项和Sn,满足Sn=n2an，则a2o24=() 1 1 A.2025 1 1 B C. D. 2024 1012 1013 6数列a满足a,且04日a,+aeN,则a,等于( A.19 B.20 C.21 D.22 7.(24-25高二下河南南阳·月考)已知数列an}满足a 2-amn>8 n∈N,若对于任意n∈N都有 a"-7+2,n≤8 an>an1,则实数a的取值范围为() A( c. D. 132 B. 0,2 20’3 10 8.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨月考)数列a,}的通项公式为a,=mm+1,(b}满足：6，=a3,则 数列{b}的最大项是第()项 A.6 B.7 C.8 D.9 9.(2324高二下辽宁大连月考)（多选题）已知函数)=3江一1，设数列a,的通项公式a,=fm,其 2x 中n∈N,则下列说法正确的是() 3 A.Isd,< B.数列{an}为周期数列 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.数列{an}为单调递增数列 D.数列an}为常数列 10.(25-26高二上·甘肃兰州期中)（多选题）已知数列{an}满足a,=-8,an+1-an=2n-8,则() A.a3=-18 B.数列{an}的最小值为-20 C.数列an}为递减数列 D.当an<0时，n的最大值为8 11.(24-25高二下陕西西安·月考)（多选题)已知数列an}满足an=nk"(neN,0<k<1,则() A.当k=二时，数列an}为递减数列 B。当<k<1时，数列a,}一定有最大项 C.当0<k<二时，数列{an}为递减数列 D.当为正整数时，数列a必有两项扫等的最大项 12.(24-25高二上·广东惠州期末)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根 据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1， 4,9,16称为正方形数，第三行的1,5,12,22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是 ，五边形数所构成的数列{a}的通项公式为. 缸 12 22 13.(25-26高二上重庆月考)古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分 数都可写成若干个单分数和的形式例如号石，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如 一十 果每人不够，每人分学余了再格这分发5份，每人符日，这群每人分得+古按照此方法理解，月引 3 可以分解为哪两个单分数的和？ 按此规律，则、2 n≥3，n∈N 2n-1 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(2025高二全国：专题练习)已知在数列a,}中，4=2，对所有的n22,都有aaa,…a,=n,则 15.(2024高二全国专题练习)在数列(a,中，a=1,a,-a,1=-n(neN,m≥2)，则+的最小值 n+1 是 16.(25-26高二上·河南期末)在数列{an}中，如果neN,都有anam+1an+2=K（K为常数)，那么这个数 列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积.已知an}是等积数列，a3=1,a;=2,公积为4，则 a1+a2+…+a2025= 2 3 4 5 7 8 9 an 2 2 2 17.(2025高二全国.专题练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,解决下列问题. (1)若通项公式为an=1,求其前n项和S,; (2)若前n项和S,=n2+n+2,求其通项公式a,; (3)若前n项和S,=4”+1,求其通项公式an; (4)已知a,+2a2+3a,+…+na。=3”,求其通项公式an. 3 创新题型练 1.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即 F(1)=F(2)=1,F(n=F(n-1)+F(n-2)(n≥3，neN),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都 有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2020项的和为() A.672 B.673 C.1346 D.1347 2.已知数列a,满足a,-”+-一k∈R),则数列a,是递增数列的充要条件是() n A.k<0 B.k<1 C.k>0 D.k>1 3.(23-24高二下浙江期中)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解 释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和， 它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18， 24,32,40,50,…,则(） A.数列第16项为144 B.数列第16项为128 10/12