湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测卷（12.23）

黄梅一中高二数学周测卷12.23 一、单选题 1．已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．设抛物线：的焦点为，点在上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 5．“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则Δ的面积为（    ） A． B． C． D．9 7．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（    ） A．点的纵坐标的取值范围是 B．等于点到抛物线的准线的距离 C．圆的圆心到抛物线的准线的距离为2 D．Δ周长的取值范围是 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（    ） A．的离心率为 B．的实轴长为4 C．Δ的面积为1 D． 11．法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．当点为时，直线的方程为 三、填空题 12．若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则 . 13．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 14．已知分别为椭圆的左，右焦点，为C上一点，Δ内切圆的半径为 ． 四、解答题 15．已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 16．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，且，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长，求 (1)椭圆的方程； (2)弦的长度. 17．已知抛物线上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为，．求的值． 18．已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值． 19．（1）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 试卷第4页，共4页 《黄梅一中高二数学周测卷12.23》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D C D B B BCD ACD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】根据双曲线可以得出双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上，且椭圆与双曲线有相同焦点，设标准方程为，将点代入椭圆方程，最后计算结果 【详解】双曲线方程为，有 双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上， 设其标准方程为，因为椭圆与双曲线同焦点，所以. 将点代入椭圆方程， 解得，又因为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 2．B 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意有：抛物线 ：的准线方程为：， 利用抛物线的定义有：， 故选：B. 3．D 【分析】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解. 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 4．D 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又椭圆的焦点为，所以且， 又，所以，解得. 故选：D 5．C 【分析】根据双曲线的渐近线夹角为求出，再根据必要不充分条件的概念进行判断. 【详解】双曲线的两渐近线夹角为， 所以或，所以或. “或”是“”的必要不充分条件. 故选：C 6．D 【分析】结合勾股定理及椭圆的定义求出的值，进而据此求出的面积． 【详解】由题可知，，又， 解得，所以焦距， 因为P在椭圆上，所以， 又因为，所以， 所以， 所以的面积为． 故选：D． 7．B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 8．B 【分析】根据椭圆定义可得，由余弦定理可得，即可联立求解，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，即， 由，结合余弦定理可得 ，即可， 故， 可得， 由，可得,进而，则，解得. 故选：B 9．BCD 【分析】根据题意可知圆心和抛物线的焦点重合，联立两曲线方程可得A错误，由抛物线的定义可得B正确，C正确，利用焦半径公式可判断D正确. 【详解】如下图所示： ∵圆的圆心为，半径， 因此圆与轴正半轴的交点为， ∵抛物线的焦点为，准线方程为， 由，得，故点的纵坐标，故A错误； 由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确； 易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确； 的周长为，故D正确. 故选：BCD 10．ACD 【分析】先根据直线与渐近线平行求出双曲线的，关系，进而求出离心率、实轴长等，再联立直线与双曲线方程求出点坐标，从而计算的面积以及的值. 【详解】双曲线，其渐近线方程为. 已知过的直线与的一条渐近线平行，则，即. 又在直线上，所以，解得. 由，，可得，解得. 离心率，实轴长，选项正确，选项错误. 联立直线与双曲线方程，将代入双曲线方程可得： ，即，解得，则，即. 已知，，则，点到轴的距离即中边上的高. 根据三角形面积公式，可得，选项正确. 根据两点间距离公式，可得： ， . 所以，选项正确. 故选：ACD. 11．BD 【分析】利用椭圆的性质，找特殊位置容易求得圆的方程，结合直线与圆的位置关系，可以推出. 【详解】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为，所以蒙日圆的方程为，故A不正确； 四边形面积为：，只需求出的最小值，而的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为，故B正确； 设,则，故， 所以， 又，当且仅当取等号， 而的最小值，故的最小值8，故等号取不到，故C不正确； 当点为时，点，，，四点共以为直径圆上， 所以这个圆的方程为，与圆方程联立，可得直的方程为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】易错点睛：C选项中等号取不到，容易出错，同时考查推理运算能力. 12． 【分析】根据渐近线相互垂直可得，再根据焦点坐标可求. 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 因为两条渐近线互相垂直，故即， 而双曲线的一个焦点坐标为，故，故， 故答案为：. 13．或 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 14． 【分析】将点代入得出方程，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为： . 15．(1)和 (2)点P 的坐标为，面积最小值为 【分析】（1）设过点的切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况． （2）由圆的几何性质可知，当的面积最小时，，求出OP的方程后即可得到点P的坐标，进一步可求的最小面积． 【详解】（1） 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 （2）由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 16．(1) (2) 【分析】（1）由直线过与，得到的关系式，再结合离心率求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可. 【详解】（1） 由被椭圆截得的弦长为，得，① 又，即，所以.② 联立①②得，所以所求的椭圆的方程为； （2）椭圆的右焦点的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 由韦达定理知，， 从而. 由弦长公式，得， 即弦的长度为. 17．(1) (2)0 【分析】（1）由焦半径公式求C的方程； （2）设直线AB方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出，，代入中化简求值即可. 【详解】（1）设点，则，所以，解得． 因为，所以．所以抛物线C的方程为． （2）由题知，，，直线AB的斜率必存在，且不为零． 设，，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为， 由，得． 所以，， 且，即． 所以 所以的值为0． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可； （2）设直线l的方程及点的坐标，联立方程利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）设动点,则, 点P到直线的距离， 由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）证明：设直线l的方程为, 联立方程，得消去y并整理，得， 则，且, 所以， 所以 ． 因为,所以，即, 所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值．    【点睛】本题第二问难在计算，设线设点、联立方程、韦达定理计算是解决解析几何问题的常用三部曲，关键在于消元转化，需要多加练习提高计算能力即可. 19．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据椭圆第二定义及点到直线的距离即可化简求解焦半径公式； （2）根据椭圆第二定义可得，即，进而得到线段的中点，进而可知线段的垂直平分线方程，代入点并化简即可求得，进而可知. 【详解】解：（1）由，得，， 又，， 所以， ， 即，. （2）由题意，在椭圆中，，，，. 设，， 则由焦半径公式，得，所以， 所以线段的中点为. 设.由题意知，直线与坐标轴不平行，且直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为. 代入，得 ， 解得，所以. 答案第12页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $