2.5 直线与圆的位置关系 同步练习题 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.5 直线与圆的位置关系 同步练习题 一、单选题 1．在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 2．如图，是的直径，切于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 4．如图，是的直径，C，D是上的点，过点C作的切线交的延长线于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（    ） A． B．3 C．4 D． 6．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在四边形中，，分别与扇形相切于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 9．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C． D．2 二、填空题 11．若点M在内，则过M点的直线与的公共点个数为 ． 12．如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为 ． 13．如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 14．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 15．如图，是⊙O的直径，点C是弧上的点，与相切，连接，，于点E，交于点F，的延长线交于点G．则下列结论一定正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④若，则． 三、解答题 16．如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 17．如图，是直径，C为上一点，连接． (1)尺规作图：在上找一点D，使得点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，已知于点E，求证：是的切线． 18．如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 19．如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． 20．如图，是的直径，在的延长线上，为上一点，且． (1)求证：与相切； (2)若，，点在上，且，连接交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.5 直线与圆的位置关系 同步练习题2025-2026学年苏科版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A C A D A D B 1．B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．通过计算圆心到y轴的距离，与半径比较，判断圆与y轴的位置关系，即可作答． 【详解】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质，是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵切于点， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定理，面积法求三角形的高，是解本题的关键． 过点C作于点D，设的半径为r，求出，，比较， ， ，即得答案． 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理；由切线的性质构造直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴． 设半径为， 在中， ， 解得． 所以的半径等于． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质等，连接，过点作于，可得，，进而由勾股定理得，再证明四边形是矩形，得到，，即得，设，则，，在中利用勾股定理求出的值即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于，， ∵分别与扇形相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 9．D 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， ∵与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 10．B 【分析】解题方法是利用切线长定理得，结合角度证为等边三角形，再通过切线垂直半径、勾股定理求线段长度；解题思路：由切线长定理得，证为等边三角形，结合求，再通过等腰三角形三线合一求，进而得． 【详解】解：∵是的切线， ∴，平分（切线长定理）， 又∵， ∴是等边三角形，， 如图，连接，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴，． 在中，． 在中，， 设，则， 由勾股定理： 解得 ∴， ∴的长为． 故选：． 【点睛】本题考查圆的切线性质、等边三角形与直角三角形的应用，涉及知识点：切线长定理、切线与半径垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理，解题关键是构造直角三角形并利用特殊角的性质，易错点是忽略切线与半径的垂直关系． 11．2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点M在内，则过点M的直线与圆相交，有两个公共点，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵点M在内， 则过点M的直线与圆相交， 即过M点的直线与的公共点个数为2， 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，． 故答案为： ． 13．10 【分析】本题主要考查了切线长定理．直接利用切线长定理得出，进而求出的长． 【详解】解：∵切于点A，B，切于点E， ， 的周长是20， ， ， ， ， 故答案为：10． 14． 【分析】本题重点考查切线的性质，圆的切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，熟练掌握定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，即可求出的周长，即可完成求解． 【详解】解：∵、分别切于、， ∴， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：16． 15．①②④ 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质定理、全等三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和切线长定理是解题的关键． 连接，根据与相切可得，进而证得，证得和，从而证得；根据和可得，进而得到；根据可得，进而求出和，从而得到． 【详解】解：连接，如图： 是的切线， 是⊙O的直径 故①正确； 、 故②正确； 与不满足全等三角形的判定条件， 故③不一定正确； 故④正确， 故答案为：①②④． 16．(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，由切线的性质，可得，结合已知可得，可得，由等边对等角，等量代换，可得，即可证得结论； （2）作于点，四边形是矩形，可得，，由已知可得，，从而可得，根据勾股定理可得，即可得，用勾股定理解，即可得的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵点在上，是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：作于点，则， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是的直径，C在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，勾股定理． 17．(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，切线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据点D到、的距离相等，得到平分，尺规作的角平分线，交于点即可； （2）连接，证明，推出，即可得证； 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：连接，则：， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30度角直角三角形的性质以及勾股定理等知识， （1）连接，欲证明是的切线，只要证明，由即可解决问题； （2）先证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ． 19．(1)6 (2)， 【分析】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，点和圆的位置关系，解题的关键是根据题意得出点是在定圆上运动，从而根据点和圆的位置关系确定的取值范围． （1）只需证四边形是平行四边形即可； （2）连接，根据角所对的直角边等于斜边的一半，先求出，再根据勾股定理求出，最后在中求出即可;根据点运动过程中，始终有，确定点在圆上运动，然后确定定圆圆心的位置并求出半径，然后根据点到圆的最近距离及最远距离确定的取值范围． 【详解】（1）解：是的直径， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）连接， 与圆相切， ， ， 在中，， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ，， ， ， 在中，； ， ，即， 在点运动过程中，始终有， 点在一个定圆上运动， 又是的一条弦，当点与点重合时，弦的最大， 此时是定圆的直径，设定圆的圆心为， 当时，，，即， 的直径为，半径为，如图所示， 连接，， 的最短距离为，最大距离为， ． 20．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】(1)连接，根据圆周角定理可知，根据可证，根据为上一点，可证与相切； (2)根据等角对等边可知，根据直角三角形的性质可知，根据三角形外角的性质可证，等量代换可得，根据圆周角定理可知，根据等角对等边可得，根据含角的直角三角形的性质可证． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 与相切； （2）解：， 理由如下， ，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是根据角之间的关系判断边之间的关系． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $