数学好玩—包装的学问（教案）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

该教案聚焦多个相同长方体叠放的表面积最小策略，从生活包装情境导入，引导学生发现“节约包装纸即表面积最小”，通过两盒糖果探究建立基础，再拓展到四盒磁带，形成从简单到复杂的学习支架。 以动手操作为特色，通过“想一想、摆一摆、画一画”活动发展空间观念，从两盒到四盒的递进探究培养推理意识，用思维导图总结知识形成模型意识。学生提升空间想象与解决问题能力，教师获得可操作的探究式教学方案，落实核心素养。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 五年级 学期 春季 课题 包装的学问 教学目标 1.结合实际生活经验，感知生活中包装中的学问与数学的密切关系。 2.运用表面积等有关知识，探索多个相同的长方体叠放的方法以及使其表面积最小的策略，进一步发展学生的空间观念,体验解决问题策略的多样化。 3.学生通过动手操作、讨论、交流等实践活动,体验解决问题的基本过程和方法，提高解决问题的能力，感受数学与生活的密切联系。 教学重难点 教学重点：让学生通过动手操作，自己感悟，能找出各种包装方案中的最优方案，探索多个相同的长方体叠放的方法以及使其表面积最小的策略。 教学难点：通过动手操作等实践活动，找出各种包装方案，得出节约包装纸的最佳策略。学具准备：铅笔、尺子、橡皮、4个大小相同的长方体纸盒或牛奶盒。 教学过程 一、创设情境，导入新课 1.出示课件，引入新知。 师：包装在我们生活中应用广泛，想一想，如果你自己包装一些物品，你会考虑哪些因素呢？ 预设：包装时要考虑是否美观、便于携带，还要考虑节约材料和包装的接口问题。 2.谈话揭示课题。 师：原来包装里还有这么多学问呢，这节课我们就从数学的角度来研究《包装的学问》 【设计意图】要建立从培养目标到课程标准再到教学目标的层级化树人目标体系，培养学生的数学思维。所有的问题都来源于学生已有的数学现实，因此本节课从“生活中的包装入手，引发学生思考：在生活中包装物品时可能会遇到哪些问题，然后共同探讨与包装有关的数学知识。 二、自主探究，学习新知 （一）探究包装两盒糖果的问题 1.抛出问题，畅谈理解。 课件出示课本例题： 儿童节快到了，淘气要给小朋友寄糖果，两盒糖果包成一包，怎样包才能节约包装纸呢？（接口处不计，单位：cm） 教师带领学生理解题意，明确包装中的“接口处不计”该如何理解。 预设：就是包装时，多余出来的包装纸不算。 教师引发学生思考：怎样包才能节省包装纸呢？ 预设：节约包装纸就要使包装后的表面积最小。 预设：把所有的包装方法都找到，计算一下。 【设计意图】五年级的学生已经学过长方体的表面积或者体积相关知识，出示例题后，让学生理解一下题意，有助于学生解决问题。明确包装就是要节省材料，使得表面积最小，并且接口处不计，直接用长方体的表面积公式求出即可。 2.师带领学生明确以下活动要求，让学生在活动中探索包装方案。 （1）想一想：这两盒糖果包成一包，可以怎样包？ （2）摆一摆：借助学具动手操作摆出不同包装方案。 （3）说一说：每种方案是怎样包装的。 3.交流汇报。 预设学生可能会出现以下包装方法: ①上下叠放 ②中等大小面重合 ③左右拼接 4.辨析包装方案中的异同。 相同点：都把两个相同的面重合起来。 不同点：重合面的大小不一样。 【设计意图】这一环节是本节课的核心环节之一。通过有序思考，激发学生的学习兴趣。在学生经历明确题意、交流包法和比较异同这些环节后，自主探索两盒糖果包装的方案，更容易使学生找出最优化的包装方案，为接下来的计算包装表面积做好铺垫，以此建立学习情境，简化复杂情境的探索路径。 5.计算不同包装方案的表面积。 预设学生可能会出现以下方法： 第一种包法： 思路：用新长方体的长、宽、高进行计算。组合后新长方体长宽高分别是20cm,15cm,10cm,算式：（20×15＋20×10＋15×10）×2＝1300（cm²）。 第二种包法： 思路：用两个长方体的表面积之和，减去重叠两个面的面积。 算式：（20×15＋20×5＋15×5）×2×2＝1900（cm²）， 1900-20×5×2=1700（cm²） 第三种包法： 思路：求出10个小长方形面积之和。 算式： 20×15×4+15×5×2+20×5×4=1750（cm²） 通过计算三种包装方案所需包装纸的大小，让学生观察并交流体会。 发现：①第1种包装方案的表面积最小，并且重叠的面积越大，用的包装纸就越少。 ②新长方体的长宽高越接近，表面积越小，就最节约包装纸。 【设计意图】本节课的核心环节二，意在让学生会运用不同的方法计算两盒糖果包装后的表面积，体现算法多样性。让学生经历计算包装表面积的过程，并得出且验证重叠面积越大，包装表面积越小这个结论。计算作为学生最熟悉的方法，活动出现后，学生肯定能够第一时间想到用计算的方法来解决问题，并找出最优化的包装方案。 6.合情推理，快速的找到最优化的方案。 师带领学生探寻除计算以外的方法。并在此时设置疑问，让学生提出不用计算表面积，为什么一看就知道哪种方案最节约包装纸？ 上下叠放 前后拼接 左右拼接 ( 隐藏了2个长15㎝，宽5㎝的小面 ) ( 隐藏了2个长15㎝，宽5㎝的中面 ) ( 隐藏了2个长20㎝，宽15㎝的大面 ) 依据：“藏起来的面积越大，组合后长方体的表面积越小。” 7.师生小结包装两盒糖果的发现。 小结：当两个长方体重合在一起时，肯定有两个面重合起来。 （1） 重合面的面积越大，用的包装纸就越少。 （2） 组合后新长方体的长宽高越接近，包装的表面积就越小。 （3）计算时，用新长方体的长宽高求表面积更简便。也可以用组合前长方体的总面积-重叠面积计算包装表面积。 【设计意图】策略意识的形成和数学思想的感悟，必须贯穿在整个数学学习的全过程中，只有让学生亲身经历，感受才会深刻。两个长方体的包装方案是本节课教学的重点，也是三个、四个或者多个长方体拼摆、包装的基础。学生通过动手操作，亲身经历解决问题的全过程，经历探究、思考、表达、归纳的数学化过程，既培养了学生科学、严谨的学习态度，又让学生对策略意识更加深入，有助于把数学核心素养的要求落到实处。 （2） 拓展应用：探究包装四盒磁带的问题 课件出示题目：将四盒磁带包成一包。你能想出几种包装方法？ 1.明确四盒磁带包装的动手操作活动要求。 （1）想一想：4盒磁带可以怎样包？ （2）摆一摆：有序的摆出4盒磁带不同的包装方案。 （3）画一画：尝试画草图，并说一说每种方案是怎样包装的。 2.交流探讨包装方案及其表面积。 预设学生可能会出现以下包装方案。 （1）这四盒磁带一共有6种包法。如下图： 第一种：6个大面重叠。 第二种：6个中面重叠。 第三种：6个小面重叠。 第四种：4个大面4个小面重叠。 第五种：4个大面4个中面重叠。 第六种：4个中面4个小面重叠。 【设计意图】在前面的学习中会发现，学生能够快速找出两个长方体叠放成一个长方体的所有叠放方式，有了这个经验，学生在解决此问题时，可以将未知转化为已知，探究方法就有法可循了。 （2）探讨对六种方法中，哪种方法最节约包装纸。 预设学生会认为以下两种最节约： 6个大面重叠 4个大面4个中面重叠 （3）具体分析哪种包法最节约。 预设学生会算一算每种方法的表面积。 课件出示一盒磁带长110㎜、宽70㎜、高16㎜，请同学们借助计算器分别算出各种方法所需包装纸的大小。（接口处不计，单位：㎜） 学生汇报每种方法的表面积： 师生小结：第一种包法最节约，包装时要综合考虑重叠面的数量以及重叠面的大小关系，做到具体问题具体分析。 （4）探讨不计算表面积，哪种包法最省包装纸。 学生思考并交流汇报想法。 预设：首先把这6种包装方案分成两大类，第一类“相同的面重叠”第二类“不同的面重叠”。然后用“重叠的面越大，表面积越小，越节约包装纸”这一结论来排除掉肯定不是最节约包装纸的方案，接下来只比较这两种方案。因为6个大面重叠与4大和4中面重叠都可以减去4个大面的面积，也就是比较2个大面的大小和4个中面的大小， 同时除以2相当于只比较1个大面和2个中面的大小。通过计算，我知道1个大面＞2个中面，所以方案一最节约包装。（思路如下） 预设：把所有方案的重叠面积都算出来，用重叠面面积越大，包装表面积就越小，就最省材料来解决。 【设计意图】给学生提供一个自由发展的舞台，基于两个长方体叠放求包装表面积的计算，来寻求四个长方体叠放在一起的最优化策略，让学生经历带着问题进行活动，提高了学生操作活动的有效性。通过摆一摆、画草图等方探究活动，进一步发展学生的空间观念和探究能力。 3.学生反思，畅谈体会。 师：通过上面的活动，你有什么体会想跟大家分享吗？ 学生交流并分享活动中的体会。 （1）包装有多种方案，可以重叠相同的面，也可以重叠不同的面。 （2）怎样才能节约包装纸，包装时重叠的面积越大，表面积就越小。 （3）用不同方法求包装后，组合后新长方体的表面积。 三、课堂知识小结 师生共同小结：包装里有很多学问，（1）包装时不仅需要考虑美观，还要考虑是否便携、稳固节约等。（2）包装时表面积最小的摆放策略是：①重合面越大，表面积越小。②包装后长宽高越接近，表面积越小。（3）比较包装后的表面积大小方法有： ①比较重叠面的大小。②包装表面积=总面积-重叠面，计算比较。③长方体的表面积公式计算比较。 【设计意图】在课的结束环节以思维导图的形式让孩子明晰本节课的学习内容,从中提炼出学习的方法,从而为以后的学习提供更多更有效的学习手段。同时可以鼓励学生在以后的总结中也可以用思维导图帮助记忆。 四、作业设计 题目：探究六盒牛奶包装在一起，（接口处不计） 有几种包装方法？怎样最节省包装纸？ 【设计意图】通过包装6盒牛奶，培养学生的探究意识，提高学生的核心素养，让学生感受包装在我们的生活中无处不在，包装问题与数学这门学科紧密相连，让学生充分感受包装在生活中的运用，体会学好数学、用好数学的重要性。 板书设计 包装的学问 教学反思 本节课以学生动手操作为手段，以观察对比为方法，以问题探究为主线，以培养学生的能力探究为核心；遵照教学中教师主导学生主体的教学原则，遵循特殊到一般的认知规律。我在引导学生探究知识的过程中，始终以学生为主体，把主动权交给学生，让他们自主探究新知，进一步体会包装中的学问。有效的培养学生的合作交流、独立思考问题解决问题的能力。但在小组活动前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生回答代替了其他孩子的思考，掩盖了其他学生的疑问。 学科网（北京）股份有限公司 $