2.7弧长及扇形的面积同步练习题2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.7 弧长及扇形的面积 同步练习题 一、单选题 1．下列图形不是扇形的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正六边形内接于，边长，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的两条弦，于点H，连接，若，的半径为6，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，某小区拟修建一个自行车棚，从侧面看，棚顶的支撑杆可看成．已知所在圆为，且，．则一根支撑杆的长度为（   ） A． B． C． D． 9．“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮迅速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，则此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（） A． B． C． D． 10．如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11． 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的 ． 12．如图，扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 （结果保留）． 13．如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 14．如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是上的两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 （结果保留）． 15．点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ． 三、解答题 16．如图是一个含水平地面的圆形隧道截面，其截面半径为，截面中水平地面部分弓形的高为． (1)若在隧道顶上装一个探照灯，恰好可以照到整个水平地面，求探照灯覆盖的光束角度范围（即求的度数）； (2)求截面中水平地面弓形的面积． 17．有一破损的水管，截面图为一个不完整的圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规补全这个圆；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若水管直径为20cm，水面宽度，求劣弧的长．（结果保留π） 18．如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 19．如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且，与相交于点M． (1)求证：是的切线． (2)求的半径及阴影部分的面积． (3)F为弧上的一个动点（不与D，E重合），过点F作的切线，分别与边交于点G，H，连接．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变，请你判断他说法是否正确，并说明理由． 20．如图1~图3，半圆的直径，弦在半圆上滑动（点，可以分别与，两点重合），且． (1)连接，，，，当时，如图1，求证：； (2)如图2，求阴影部分的面积； (3)点是的中点，过点作于点，如图3． ①当时，求的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.7 弧长及扇形的面积 同步练习题2025-2026学年苏科版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D D C D C C A 1．B 【分析】本题考查了扇形的定义，扇形是由一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形是扇形，故该选项不符合题意； B、该图形不是扇形，故该选项符合题意； C、该图形是扇形，故该选项不符合题意； D、该图形是扇形，故该选项不符合题意； 故选：B 2．B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵半圆AB绕点A顺时针旋转，点B旋转到C的位置， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角 【详解】解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了图形的变换—旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解决问题的关键．根据旋转的性质得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴点转过的路径长为． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查正六边形的性质与扇形面积计算，涉及知识点：正六边形的中心角、扇形面积公式．利用正六边形的中心角为，结合扇形面积公式计算，解题关键是确定扇形的圆心角． 【详解】正六边形内接于圆，其中心角，且半径． ∴． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 7．D 【分析】本题主要考查了弧长的计算、勾股定理、垂径定理及圆周角定理，熟知圆周角定理及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，先求出的度数，再根据圆周角定理得出的度数，最后根据弧长的计算公式即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵的半径为6， ∴劣弧的长为：． 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式（其中n为圆心角的度数，r为圆的半径）是解题的关键． 直接运用弧长公式求得的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴，即一根支撑杆的长度为． 故选C． 9．C 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵阴影部分的周长， ∴阴影部分的周长． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式并能运用它来求解． 根据扇形弧长公式，分析圆心角和半径变化后的新弧长与原来弧长的比值． 【详解】解∶设原来扇形的圆心角为，半径为， 则弧长． 变化后，圆心角扩大为原来的2倍， 即， 半径缩短为原来的， 即． 新弧长． 因此，新弧长是原来弧长的． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式． 利用扇形面积公式可得． 【详解】解：扇形面积公式为． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴这块扇形玉石的周长是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查圆的性质、弧长公式以及动点问题，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接，先证明，可得当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处，当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，再根据弧长公式计算路径长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接， ∵是的直径， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处， 当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的， 已知，则半圆的半径， 点运动路径是以为圆心，为半径的， 所以点的运动路径长为． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角定理，解直角三角形，勾股定理及扇形面积公式等知识点． （1）连接，，，过点O作交于点D，利用垂径定理和圆心角定理即可求得的度数； （2）先分别计算扇形和三角形的面积，最后用扇形的面积减去三角形的面积即可得到弓形面积． 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作交于点D， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 同理可得，则， ∴， 由圆心角定理可知，． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 17．(1)作图见详解 (2) 【分析】本题考查了弦的垂直平分线性质，线段垂直平分线的作法，垂径定理，勾股定理及弧长公式的应用． （1）作的垂直平分线，交于点C，交圆于点D，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆即可； （2）连接、，根据已知条件利用勾股定理求出的长度，此时，进而证得是等边三角形，进而根据圆心角的度数及弧长公式求得劣弧的长度． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∴弧的长为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得，结合，可推出，即可证明； （2）证明四边形是菱形，得到，，即，可知，，则是等边三角形，根据勾股定理求出，作，根据30度角的性质得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， 又， ， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 即， ∴ 即，， ， 是等边三角形， 即， ∵ ∴ 如图，作， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，30度角的性质，扇形面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)2， (3)正确，理由见解析 【分析】（1）如图∶连接．由切线的性质得到．再证明得到，即．则可证明是的切线； （2）证明得到，再根据阴影部分的面积列式计算即可； （3）如图：连接，先证明可得，同理可得：，则．证明，则，即的度数不变． 【详解】（1）证明：如图∶连接． ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即圆的半径为2， ∴阴影部分的面积为． （3）解：正确，理由如下： 如图：连接， ∵都与相切， ∴， ∵， ∴， ∴ 同理可得： ， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数不变． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、求不规则图形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 20．(1)见详解 (2) (3)①，②3 【分析】（1）根据等弧对等弦，证得，然后利用边边边证明三角形全等即可； （2）连接，利用阴影部分的面积求解即可； （3）①连接，先证明中，，再根据勾股定理求出，最后根据求解即可；②连接，取的中点，连接，则，当点共线时，取得最大值． 【详解】（1）证明：在半圆中，， ，即， ， ， ； （2）连接， 半圆的直径，且， ， ， ， 过点作于， ，， ， 阴影部分的面积; （3）①连接， 由（2）中的结论可知，是等边三角形， ， ， 于点， ， ， ； ②连接，取的中点，连接， 点是的中点， ， 在中，， 于点， ， 在中，， ， 当点共线时，的最大值为． 的最大值为3． 【点睛】本题考查了圆的性质，等弧对等弦，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式，直角三角形的性质，三角形三边关系等知识，作圆的半径构造等腰三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $