1.2 矩形的性质与判定（十三大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2 矩形的性质与判定 题型一 利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则 ．   3．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作于点，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，求的度数． 题型二 利用矩形的性质求线段长 4．将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，矩形中，平分，交于点E，连接，过点E作交于点F，若，，则的长为 ． 6．如图，四边形是矩形，连接对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的作图下，若，求的长． 题型三 利用矩形的性质求面积 7．如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作于点，连接，若，则矩形的面积为 ． 9．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使得，延长至点H，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的面积． 题型四 利用矩形的性质证明 10．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是 ． 12．如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点正好落在边上，连接，，且交于． (1)求证：平分； (2)过作于，补全图形，并证明：为中点； (3)若，，求的长． 题型五 求矩形在坐标系中的坐标 13．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 题型六 矩形与折叠问题 16．四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点B恰好落在边的中点E处，折痕为．若，则AF等于（    ） A． B． C． D．8 17．如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则 ． 18．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 题型七 斜边的中线等于斜边的一半 19．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 20．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，，则的长为 ． 21．如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 题型八 矩形的判定定理理解 22．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 24．如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接    (1)求证：． (2)判断四边形形状，并说明理由． 题型九 添一条件使四边形是矩形 25．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，在四边形中，，，要使四边形是矩形，可添加的条件为 ．（写出一个即可） 27．如图，四边形是平行四边形，延长至，使，连接． (1)求证：． (2)添加一个适当条件，使四边形是矩形，并说明理由． 题型十 证明四边形是矩形 28．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 30．如图，在中，点、分别在边、的延长线上，且，连接、，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，过点作于点，若，求的长． 题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 31．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 32．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 33．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 34．如图，在边长为8的菱形中，为锐角，E是边上一点，过点E作与边交于点F，与边交于点G，且，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（      ） A．6 B．8 C． D． 35．如图，已知梯形中，，，，，，把线段绕点逆时针旋转到位置，连接，则的长为 ． 36．如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 37．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 38．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 39．如图，四边形是平行四边形． (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 矩形的性质与判定 题型一 利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则 ．   【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，根据等边对等角得到，利用平行线的性质求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作于点，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）菱形的性质，得到，进而得到，平行线的性质推出，，得到，即可得证； （2）菱形的性质求出的度数，矩形的性质结合等边对等角，求出的度数，对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． （2）∵四边形为菱形，， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴． ∴． 题型二 利用矩形的性质求线段长 4．将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，由四边形是矩形，得，所以，由旋转的性质可知，，利用勾股定理求即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴在中，由勾股定理得，， 故选：． 5．如图，矩形中，平分，交于点E，连接，过点E作交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先由矩形的性质得出，，再由角平分线的定义得出，接着用等量代换可证得，得，设，则，，即可求出的长． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ，．， 平分， ， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ． ， ． 设， 则，． ， ， 解得， ． 故答案为 ：4． 6．如图，四边形是矩形，连接对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的作图下，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理． （1）作的垂直平分线，交于，连接即可； （2）根据矩形的性质得到，设，则，即，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵，四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 即． 题型三 利用矩形的性质求面积 7．如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理的运用是解题的关键．先根据矩形性质和折叠性质求出线段的长度，再根据勾股定理求出线段，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点是矩形的中心， ∴，， 由折叠性质可知：， ∴， 在中，， ∴矩形的面积为， 故选：D． 8．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作于点，连接，若，则矩形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 根据矩形性质可得，由，可得，所以是的中位线，得到，再根据勾股定理可得的长，即可得到，进而可得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：24． 9．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使得，延长至点H，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：点D是的中点， ． 在和中， ， ， ， 同理可得． ． 在中， 点分别为边上的中点， ， ， ． ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）得，， ． ， ． ， ． 题型四 利用矩形的性质证明 10．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 11．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，由矩形的性质可得，即得，又由直角三角形的性质得，即得，即可判定①；由得是等边三角形，即得，再根据等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；由矩形的性质得，，即可判定③；设，则，利用勾股定理可得，得到，即得到，又可得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∴，故①正确； ②由①可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③∵，， ∴，故③错误； ④设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的序号是①②④， 故答案为：①②④． 12．如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点正好落在边上，连接，，且交于． (1)求证：平分； (2)过作于，补全图形，并证明：为中点； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在矩形中，由平行得内错角相等，又由旋转得对应边相等，进而由等边对等角得，等量代换得，从而题目得证； （2）由角平分线性质和旋转性质证明，再根据三角形全等性质得对应边相等，即得为中点，题目得证； （3）先由勾股定理算出的长，进而得到的长，再利用勾股定理算出的长，进而计算的长． 【详解】（1）证明：在矩形中， ， ， 由旋转得， ， ， 平分； （2）证明：由（1）得平分， ，， ， 由旋转得，， ，， 又， ， ，即为中点； （3）解：，， 中，， ， ， 中，， ． 题型五 求矩形在坐标系中的坐标 13．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，函数图像上点的坐标特征， （1）根据矩形的性质及轴可得轴，再由平移的性质可得结论； （2）确定当直线分别经过点和时所对应的的值，可得结论； 确定直线经过特殊点所对应的的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴，，，，， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴点向右平移得到点，再向上平移得到点；点向上平移得到点， ∴、、； （2）当直线经过点时， 得：， 解得：； 当直线经过点时， 得：， 解得：； ∴直线与长方形有交点，的取值范围为． 题型六 矩形与折叠问题 16．四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点B恰好落在边的中点E处，折痕为．若，则AF等于（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识. 由图形折叠的性质得到，，由是的中点可求出的长，再求出的长，从而用表示出，在中利用勾股定理求出的长，进而再利用勾股定理即可求得答案. 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质得，，， ∵，为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得： ∴. 故选：C． 17．如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质． 由折叠可知，，，证明，设，，根据勾股定理，即可得． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：3． 18．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，且，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据折痕平分，或根据角平分线的性质定理尺规作图即可； （3）由勾股定理得到，连接，过点B作于点，由等面积法得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，为线段的中点， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是矩形； （2）解：根据折叠得到，折痕平分，则尺规作的角平分线即可，如图所示， ； 或根据折叠得到，，以点D为圆心，以为半径画弧交于点，过点F作的垂线即可，如图所示， ； （3）解：∵， ∴， ∵点O是中点， ∴， 如图所示，连接，过点B作于点， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 题型七 斜边的中线等于斜边的一半 19．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：C． 20．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形对角线平分得，由直角三角形斜边中线得，利用勾股定理可得，菱形面积两种算法列等式即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，根据菱形的判定得出即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明其是矩形，接着证明菱形是正方形，四边形是矩形，得到，然后推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，最后证明，得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 题型八 矩形的判定定理理解 22．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接    (1)求证：． (2)判断四边形形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由中位线的性质得，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可作答． （2）先由是的中位线，是的中线，得出，证明四边形为平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴； （2）解：四边形为矩形，理由是： ∵是的中位线，是的中线， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 题型九 添一条件使四边形是矩形 25．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 26．如图，在四边形中，，，要使四边形是矩形，可添加的条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定、平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 由题意可证四边形是平行四边形，再添加其中一个角是即可证四边形是矩形． 【详解】解：可添加的条件为：， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 27．如图，四边形是平行四边形，延长至，使，连接． (1)求证：． (2)添加一个适当条件，使四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加条件（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定；熟练运用矩形判定方法是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，再得出，结合已知条件，由即可判定； （2）由现有条件可证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法，添加条件（答案不唯一）即可证明是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， （2）解：添加条件（答案不唯一）． 理由：四边形是平行四边形， ，又， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 题型十 证明四边形是矩形 28．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 29．如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 30．如图，在中，点、分别在边、的延长线上，且，连接、，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，过点作于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可； （2）证明四边形是矩形，得，，求得，由勾股定理可求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 31．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 32．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 33．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 34．如图，在边长为8的菱形中，为锐角，E是边上一点，过点E作与边交于点F，与边交于点G，且，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（      ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的面积公式可求，等腰直角三角形的判定和性质可得出，由可证，可得，通过证明四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，过点E作于H，于N， ∵菱形的面积为48，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 35．如图，已知梯形中，，，，，，把线段绕点逆时针旋转到位置，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作交的延长线于，于，证明四边形是矩形，所以，，根据旋转的性质可知，，，，则可证明，故有，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作交的延长线于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 根据旋转的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，易得四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质、矩形的性质证明是等边三角形，再说明，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 37．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 38．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 39．如图，四边形是平行四边形． (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】（1）以点A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接，交于E，交的延长线于F，再连接； （2）先根据平行四边形的性质得出，故可得出，再根据角平分线的定义得，从而证得四边形是矩形，再由矩形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图，、即为所求； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $