精品解析：广西壮族自治区邕衡教育·名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学试题（北师大版）

邕衡教育·名校联盟 广西2027届（高二）秋季学期12月联合测试 数学试卷（北师大版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（ ） A B. C. D. 3. 抛物线的焦点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 圆D：和圆E：位置关系是（ ） A. 外切 B. 相交 C. 外离 D. 内含 5 若直线与直线互相平行，则实数（ ） A. B. 或 C. D. 6. 若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. ， 7. 某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的标准方程为，直线与抛物线交于，两点，取线段的中点为，过作直线的垂线，垂足为，则下列结论中正确的个数为（ ） ①若直线过抛物线的焦点，则；②若，，则；③若以为直径的圆过原点，则面积的最小值为. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确是（ ） A. 直线l：与圆相交 B. 过点且与圆相切的直线的方程为和 C. 圆与圆相交，且相交弦所在直线方程为 D. 过点作圆切线，切点为A，B，则直线AB的方程为 11. 在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且，则（ ） A. B. 面 C. 异面直线所成角正切值为 D. 在四边形内（含边界）存在唯一的点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则______. 13. 椭圆的焦距为2，则______. 14. 已知函数图象可由某双曲线绕原点逆时针旋转得到，则曲线C：的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式展开式. （1）和的值； （2）求的值. 16. 在平面直角坐标系中，，，直线过原点O，且与直线平行，圆C是的外接圆. （1）求直线l的方程和圆C的方程； （2）P是圆C上的动点，求P到直线距离的最大值. 17. 一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. （1）小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； （2）已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； （3）记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 18. 在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求锐二面角余弦值的最小值. 19. 已知：，，，以原点为端点的射线OP分别与圆及圆交于R、S.过点R作x轴的垂线为l，过点S作x轴的平行线为m，设直线l与直线m的交点为T. （1）当，求的面积； （2）求动点T的轨迹C的方程； （3）若过的动直线与轨迹C交于异于，的P、Q两点，直线与直线交于M，问动点M是否在一条直线上?如果不在一条直线上，请说明理由；如果在一条直线上，请求出此直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邕衡教育·名校联盟 广西2027届（高二）秋季学期12月联合测试 数学试卷（北师大版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系即可得到答案. 【详解】设其倾斜角为，则，因为， 则. 故选：B. 2. 在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的特点即可得到答案. 【详解】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数， 则点N坐标为. 故选：B. 3. 抛物线的焦点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】因为抛物线变形得. 易知，所以，抛物线开口向上，所以焦点坐标为. 故选：C. 4. 圆D：和圆E：位置关系是（ ） A. 外切 B. 相交 C. 外离 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心，再根据两圆位置关系判断即可得到答案. 【详解】两圆的圆心分别为，，，， . 故选：A. 5. 若直线与直线互相平行，则实数（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 故选：B. 6. 若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程的定义求得答案. 【详解】依题有，所以，解得或 故选：C. 7. 某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先将女生排好，再利用插空法，排列男生，并根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 8. 抛物线的标准方程为，直线与抛物线交于，两点，取线段的中点为，过作直线的垂线，垂足为，则下列结论中正确的个数为（ ） ①若直线过抛物线的焦点，则；②若，，则；③若以为直径的圆过原点，则面积的最小值为. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义及梯形中位线性质可知判断①；取特殊情况直线斜率不存在，因为直线不过定点，即可知道的值的情况，判断②；设坐标，由题意得，由此方程并解得，然后由三角形面积公式求得，然后由基本不等式求得其最小值，即可求得面积的最小值，判断③；然后即可求得命题正确的个数. 【详解】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为， 由抛物线的定义可知， 且在梯形中，∴，①正确； 当直线斜率不存在时，因为直线不过定点，∴没有定值，②错误； 依题设，，由AB是直径可知，， ∴，∴， ∵ ∴ ， ∵，即， 即，∴，当且仅当时等号成立，③正确. 故下列结论中正确的个数为：2. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可. 【详解】对A选项，，A正确； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l：与圆相交 B. 过点且与圆相切的直线的方程为和 C. 圆与圆相交，且相交弦所在直线方程为 D. 过点作圆的切线，切点为A，B，则直线AB的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】判断圆心到直线的距离与半径的关系，即可判断A选项；讨论斜率存在和不存在，从而得到直线方程，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，解得切线方程，判断B选项；比较两圆的圆心距与半径差的大小关系，得到圆与圆的位置关系，判断C选项；由切点弦公式可直接写出结果，判断D选项. 【详解】对于A，圆心到直线的距离，A正确； 对于B，过的斜率不存在的直线的方程为， 则圆心到直线的距离，此时与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线距离， ∴，即， ∴，即，B正确； 对于C，两圆心为，，半径为，， 两圆心距离，两个圆内含，C错误； 对于D，由切点弦方程得得，D正确； 故选：ABD. 11. 在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且，则（ ） A. B. 面 C. 异面直线所成角正切值为 D. 在四边形内（含边界）存在唯一的点，使得平面 【答案】AD 【解析】 【分析】由空间向量的和差计算得结果判断A选项；在正方体中由线面垂直得到线线垂直，然后得到过点且与直线垂直的平面，所得平面与不重合，判断B选项；由异面直线夹角定义求得平面角，然后由直角三角形边角关系求得角的正切值，判断C选项；方法一：过点作平面平行于平面，通过线线平行证明所做平行平面与平面的交线经过点且平行于，即可得到满足题意的点的个数，判断D选项；方法二，以正方体棱为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长后得到点坐标，设所求点坐标，然后得到向量坐标，通过向量的数量积求得平面的法向量，再由数量积建立方程，解得满足题意的点坐标的关系式，再结合坐标的取值范围求得点坐标，判断D选项. 【详解】，所以选项A正确； 在正方体中，平面，平面，∴， 同理，，且平面，平面， ∴平面，根据过空间一点作直线的垂面有且只有一个可知， ∴不与面重合的面不能垂直于，故选项B错误； 连接因分别为的中点，故，所以是异面直线与所成角或其补角. ∵平面，∴平面，所以，设正方体棱长为6，则，， 所以，易知，∴，所以选项C错误； 连接，则易知，在上取点，连接，使，，平面与平面重合，平面，设过且平行于平面的平面，与平面交于直线，则平行于，显然与四边形有且只有一个交点为，故D正确. 对D选项解法二 以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为6，则，，，， 则设，，， 且，，， 面的一个法向量为，则，令， 解得面的一个法向量为，∵面，∴， ∴，∴，∵，， ∴，∴只有一组解为， 即坐标具有唯一性为，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以， 由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为， 所以，所以. 故答案为：. 13. 椭圆的焦距为2，则______. 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求解. 【详解】椭圆的半焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 所以或. 故答案为：2或4 14. 已知函数的图象可由某双曲线绕原点逆时针旋转得到，则曲线C：的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断曲线的图象是对勾函数的图象，然后确定曲线的两条渐近线为轴和直线，然后求出曲线焦点所在直线与渐近线夹角，进而求出离心率. 【详解】∵，∴，所以曲线C的图像是对勾函数的图像， 当x为正数且趋向于正无穷大时，图象不断接近于直线，所以曲线C的两条渐近线为y轴和直线， 曲线焦点所在直线与渐近线夹角为，∴， ∴， ∴， ∴. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式展开式. （1）和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理进行求解即可. （2）利用赋值法和，进行化简计算即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 令，得， 令，得， . 16. 在平面直角坐标系中，，，直线过原点O，且与直线平行，圆C是的外接圆. （1）求直线l的方程和圆C的方程； （2）P是圆C上的动点，求P到直线距离的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，进而可求出直线的方程，然后确定为圆C的直径，进而可求出圆C的方程. （2）根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 易知，依题知，直线的方程为. 是直角三角形，圆C是的外接圆，所以为圆C的直径， ∴圆心C为，半径为， ∴圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知直线l的方程为 ∴圆心C到直线l的距离， ∴P到直线l距离的最大值为. 17. 一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. （1）小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； （2）已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； （3）记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据概率加法公式求得概率即可. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出，然后根据条件概率公式求出结果即可. （3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算. 【小问1详解】 小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. 【小问2详解】 记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. 【小问3详解】 依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 18. 在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求锐二面角余弦值的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明平面； （2）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和直线的方向向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果即可； （3）先利用坐标法求出平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式列出锐二面角余弦表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 证明：取中点O，连接， ∵，∴易知四边形为等腰梯形 ∵G，O为上下两底中点，∴，∵F为正方形的边中点， ∵与相交于点O，∴平面，∴ 【小问2详解】 由（1）知，∵平面平面于， ∴平面，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系 在等腰梯形中，，，如图作，易知， ∴，，，， ∴，， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则，，∴， ∴ 设直线BC与平面所成角为，则. 【小问3详解】 设M为，∴， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则， ∴ ∵，∴设锐二面角的大小为，令 令， 因为，所以，而在内单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为. 此时取最小值为. 19. 已知：，，，以原点为端点的射线OP分别与圆及圆交于R、S.过点R作x轴的垂线为l，过点S作x轴的平行线为m，设直线l与直线m的交点为T. （1）当，求的面积； （2）求动点T的轨迹C的方程； （3）若过的动直线与轨迹C交于异于，的P、Q两点，直线与直线交于M，问动点M是否在一条直线上?如果不在一条直线上，请说明理由；如果在一条直线上，请求出此直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）在， 【解析】 【分析】（1）先联立方程求出的坐标，然后求出的值，进而求出的面积. （2）由三角函数的定义得，，，进而求得轨迹方程. （3）设过F的动直线方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，即可求出结果. 【小问1详解】 当OP方程为，代入得，，， ，同理当OP方程为时，， ∴的面积为：. 【小问2详解】 如图：设，由三角函数的定义得，，， ∵，∴轨迹C的方程为：. 【小问3详解】 设过F的动直线方程为：，代入， 整理得，. 设，， 由韦达定理有，，则. 的方程为：①；的方程为：②； ∵代入①可得：，同理由②可得：， ∴， 解得. 所以交点M直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $