第四章 数列单元综合测试-2025-2026学年高二上学期数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

该高中数学数列单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了数列的知识体系，将等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等核心内容按“概念-公式-性质-应用”的逻辑层级呈现，并用对比表格归纳了等差与等比数列的异同点，突出递推关系转化、数列单调性分析等重难点的内在联系。 讲义的亮点在于分层练习设计与数学思维培养，基础题如第3题通过递推关系求数列项夯实运算能力，综合题如第17题证明等差数列并求前n项和培养逻辑推理能力。融入古代数学“衰分问题”引导学生用数学眼光观察现实世界，分层题型满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

第四章 数列单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等比数列满足，则（  ） A． B．5 C．10 D．25 【答案】D 【解析】在等比数列中，由，得． 故选：D 2．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 3．数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为，故为奇数，故， 而为偶数，，因为偶数，故， 故选：B. 4．已知数列，，，3，…，则是这个数列的第（  ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】由题意可得根号下为奇数，则数列的通项， 验证：，，，，符合题意. 令，解得. 故选：B. 5．设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】数列中，，且，则， ，因此数列是周期为4的数列， 所以. 故选：C 6．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 7．已知等差数列的前项和为，若，，，则使成立的最小的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为等差数列的前项和为，若，，，所以， 因为，， ， 所以使成立的最小的值是. 故选：B. 8．设Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因是公差为的等差数列，则， 则，，两式相减，得， 即，可得，因，可得， 故得为常数列，从而，即得,故A错误； 对于C，由上文求得的通项公式可知，，故C正确； 对于B,由上分析，即，故B错误； 对于D，因，则， 则，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列满足且公差，则该数列中一定不为零的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由，则，可得， ∴且， 则必有，都不为0. 故选：ACD 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【解析】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 11．已知数列为等差数列，p，q，s，t是满足的正整数，若在平面直角坐标系中有，共4个点，则下列选项一定成立的是（   ） A．直线AC与直线BD的斜率相等 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A： 设等差数列的公差为， 那么直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，A正确； 对于B： ，. 因为，所以，所以，B正确； 对于C： ，. 因为，大小不确定，所以无法判断的大小，C错误； 对于D： ，. 因为，所以，所以，D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列中，前项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】因为等差数列中，前项和为，， 所以. 故答案为： 13．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 【答案】 【解析】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 14．若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 【答案】100 【解析】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1） 又， 故，故， 因此 （2）， 由于， 故为等差数列，且公差为2， 故 16．（15分） 设是等差数列，，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【解析】（1）因为，且，，成等比数列， 所以， 解得， 所以. 即的通项公式为； （2）因为，， 所以， 可知当或时，最小， 最小值为. 17．（15分） 已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 【解析】（1）因为，所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 因为，所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， 于是， 则， 故． 18．（17分） 已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由， 得，化简得，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，得， 所以 ； （3）因为的最小正周期为， 所以计算一个周期内（）的的和， ，， ， ， 所以， 所以 . 19．（17分） 已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【解析】（1）因为函数， 所以，    又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，                 所以. （3）由（2）可知：， 所以由，                              因为， 所以由，                         设， 由，      由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有，     因此实数k的最大值. 第2页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等比数列满足，则（  ） A． B．5 C．10 D．25 2．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．已知数列，，，3，…，则是这个数列的第（  ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 5．设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 6．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，若，，，则使成立的最小的值是（   ） A． B． C． D． 8．设Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列满足且公差，则该数列中一定不为零的项为（    ） A． B． C． D． 10．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 11．已知数列为等差数列，p，q，s，t是满足的正整数，若在平面直角坐标系中有，共4个点，则下列选项一定成立的是（   ） A．直线AC与直线BD的斜率相等 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列中，前项和为，若，则 ． 13．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 14．若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（15分） 设是等差数列，，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 17．（15分） 已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 18．（17分） 已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 19．（17分） 已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $