4.4 数学归纳法（思维导图+3大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦数学归纳法核心知识点，系统梳理其原理（两步证明：归纳基础与递推依据）、步骤（验证n=n0成立，假设n=k成立推n=k+1成立），并关联数列、不等式、整除性、几何等应用类型，构建解决正整数命题的学习支架。 资料特色为题型分类系统（含原理理解、增项问题等七类），结合思维导图与变式练习，培养数学思维的推理严谨性和数学眼光的抽象能力。例如证明不等式时通过归纳假设递推，几何问题中分析图形变化，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识。

4.4 数学归纳法 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、数学归纳法的原理 4 知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧 5 知识点三、用数学归纳法证题的类型： 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：对数学归纳法原理的理解 7 题型二：增项问题 9 题型三：利用数学归纳法证明不等式 11 题型四：利用数学归纳法证明等式 15 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 18 题型六：证明整除性问题 21 题型七：证明几何问题 23 知识点一、数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 知识点诠释： 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础． 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据． 但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 3、数学归纳法的功能和适用范围 （1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程． （2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 3、用数学归纳法证题的关键： 运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 知识点三、用数学归纳法证题的类型： 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题． 由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要． 题型一：对数学归纳法原理的理解 【例题1】对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 【例题2】（2025·高二·辽宁沈阳·月考）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 【方法技巧与总结】 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 【变式1】（2025·高二·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 【变式2】（2025·高二·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 【变式3】设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 题型二：增项问题 【例题3】用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 【例题4】（2025·高二·广西桂林·期中）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 【方法技巧与总结】 在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别． 【变式4】用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【变式5】（2025·高二·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 【变式6】用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 题型三：利用数学归纳法证明不等式 【例题5】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【解析】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 【例题6】设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有 【解析】由不等式得知，知当n=1时，所得的不等式成立． 假设n=k时，不等式成立，即有，要证n=k+1时，不等式也成立． 分两种情况考虑： 在情况（1）之下，我们有， 在情况（2）之下，由于显然有，我们有， 所以无论何种情况，所证不等式都对n=k+1成立． 故知对一切正整数n，不等式都成立． 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明不等式的四个关键 （1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则． （2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． （3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． （4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 【变式7】已知在数列，中，，，，为数列的前项和，求证： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）证法1：，所以． 证法2：由知． （2）证法1：记，则，原命题等价于证明， 用数学归纳法证明：当时，显然成立； 假设当时，成立， 则当时，构造函数，则在上单调递增， ， 综上知成立，即原命题成立． 证法2：因为， 所以，，…，. 各式相加，可得： 又，所以 所以，，…，， 累加得：，， 所以， 所以， 从而有， 于是，即成立． （3）证法1：由得， ，即， 累加可得， ，所以． 证法2：，则， 所以，，…，. 各式相加得： 即，于是． 【变式8】（2025·高二·安徽亳州·期末）数学归纳法证明：． 【解析】（ⅰ）当时，左边=，右边=，左边<右边，即不等式成立； （ⅱ）假设时，不等式成立，即， 则当时，左边=， 问题可通过证明来实现. 要证， 只需证，只需证 只需证，只需证， 只需证，∵显然成立，∴， 即当是不等式也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的，不等式恒成立. 【变式9】已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 【解析】用数学归纳法证明如下： ①当时，，有，所以不等式成立； ②假设时不等式成立，即设为非负实数，为正实数， 若，则. 则当时，需证：设为非负实数，为正实数， 若，则， 因为，所以，且，所以 ， 所以 因为，所以 ， 所以由归纳假设可得 ， 从而， 又由， 所以 ，故当时不等式成立. 由①②知，对一切正整数，所推广的命题成立. 题型四：利用数学归纳法证明等式 【例题7】（2025·高二·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【解析】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 【例题8】（2025·高二·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【解析】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【变式10】是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【解析】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 【变式11】用数学归纳法证明：． 【解析】证明：当时，等式显然成立， 假设当时，等式成立，， 则当时， ， 这说明当时，等式成立， 因此，对任意的，. 【变式12】用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 【例题9】已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【解析】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 【例题10】（2025·高二·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【解析】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 【方法技巧与总结】 （1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． （2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 【变式13】（2025·高二·北京房山·月考）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 【解析】（1）由题，； ；. 则推测； （2）证明：. 当时，结论显然成立； 假设成立，则， 则. 即成立时，也成立，又时，结论成立， 则结论对所有正整数均成立，则. 【变式14】在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解析】（1）由已知条件得， 所以 ，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 下面用数学归纳法证明： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 【变式15】已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解析】，，，，…， 猜想：． 证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立． 题型六：证明整除性问题 【例题11】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【解析】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 【例题12】用数学归纳法证明：能被整除（） 【解析】当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【变式16】设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 【解析】（1）由，，得； ；； ． （2）由（1）猜想：当时，能被8整除． ①当时，有，能被8整除，命题成立； ②假设当时命题成立，即能被8整除， 则当时， ， 显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除， 又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立， 由①②知，当时，能被8整除. 【变式17】（2025·高三·全国·中职高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【解析】，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 【变式18】求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【解析】证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 题型七：证明几何问题 【例题13】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【解析】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 【例题14】平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【解析】n＝2时，f（2）＝2＝1×2， n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)， 则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【变式19】已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【解析】设这些圆将平面分成的区域数为， ，，，， 猜想. 数学归纳法证明如下： （1）当 时，一个圆将平面分为内部和外部两部分，即 ，结论成立； （2）假设当 （）时，结论成立， 即 个圆将平面分为的区域数为：. 考虑 个圆，添加第 个圆，该圆与已有的 个圆都相交， 由于任意两圆相交于两点，且任意三圆不共点，第 个圆与每个已有圆相交于两点，且这些交点互异. 因此，第 个圆上共有 个交点， 这 个交点将第 个圆分为 段弧（因为 个互异点将圆分为 段弧）， 每段弧穿过一个已有的区域，并将该区域分割成两个新区域，因此每段弧增加一个新区域， 所以添加第 个圆增加的区域数为 . 于是区域总数：， 代入归纳假设：， 故当时，结论也 成立. 由（1）（2）知对任意正整数 ， 个圆（任意两圆相交于两点，任意三圆不共点）将平面分为的区域数为：. 【变式20】求凸n边形的对角线的条数． 【解析】因为三角形没有对角线，即；四边形有2条对角线，即；五边形有5条对角线，即； 猜想，下面利用数学归纳法证明： 【变式21】当时，，命题成立； 【变式22】假设当时命题成立，即凸k边形的对角线的条数； 【变式23】当时，边形时在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点， 则增加的对角线是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，增加的对角线条数为， 所以， 可知：当时，命题成立，所以猜想正确； 综上所述：凸n边形的对角线的条数. 【变式24】一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于的自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： (1)，其中． (2)，其中，． 【解析】（1）①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. （2）①当时，左边，右边，不等式成立； ②假 设 当 时不等式成立， 即， 由于， 当时，单调递增，则，所以， 那么，， 即当时不等式也成立. 由①②知，不等式对任何都成立. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 数学归纳法 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、数学归纳法的原理 4 知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧 5 知识点三、用数学归纳法证题的类型： 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：对数学归纳法原理的理解 7 题型二：增项问题 8 题型三：利用数学归纳法证明不等式 9 题型四：利用数学归纳法证明等式 10 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 11 题型六：证明整除性问题 13 题型七：证明几何问题 14 知识点一、数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 知识点诠释： 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础． 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据． 但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 3、数学归纳法的功能和适用范围 （1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程． （2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 3、用数学归纳法证题的关键： 运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 知识点三、用数学归纳法证题的类型： 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题． 由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要． 题型一：对数学归纳法原理的理解 【例题1】对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【例题2】（2025·高二·辽宁沈阳·月考）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 【变式1】（2025·高二·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【变式2】（2025·高二·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 题型二：增项问题 【例题3】用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高二·广西桂林·期中）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【方法技巧与总结】 在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别． 【变式4】用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·上海青浦·月考）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【变式6】用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用数学归纳法证明不等式 【例题5】用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【例题6】设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明不等式的四个关键 （1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则． （2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． （3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． （4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 【变式7】已知在数列，中，，，，为数列的前项和，求证： (1)； (2)； (3)． 【变式8】（2025·高二·安徽亳州·期末）数学归纳法证明：． 【变式9】已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 题型四：利用数学归纳法证明等式 【例题7】（2025·高二·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【例题8】（2025·高二·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【变式10】是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【变式11】用数学归纳法证明：． 【变式12】用数学归纳法证明： (1)； (2)． 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 【例题9】已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【例题10】（2025·高二·河南·月考）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【方法技巧与总结】 （1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． （2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 【变式13】（2025·高二·北京房山·月考）已知数列满足，， (1)计算，，，并推测的通项公式； (2)证明你所得到的结论. 【变式14】在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式15】已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 题型六：证明整除性问题 【例题11】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【例题12】用数学归纳法证明：能被整除（） 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【变式16】设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 【变式17】（2025·高三·全国·中职高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【变式18】求证：对任何正整数n，数都能被8整除 题型七：证明几何问题 【例题13】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【例题14】平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【变式19】已知平面上有个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论． 【变式20】求凸n边形的对角线的条数． 【变式24】一个与自然数有关的命题，如果： ①当时，命题成立； ②在假设“当时，命题成立”的前提下，能够推出“当时，合题成立”． 那么，命题对于任何不小于的自然数成立． 上述方法，称为“数学归纳法”． 例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的个圆将平面至多分为个区域，其中． 注意1个圆将平面分为2个区域．当时，． 所以，当时，命题成立． 假设当时，命题成立，即平面内的个圆将平面至多分为个区域． 在此基础上，增加1个圆． 为使区域最多，应使增加的圆与前个圆均相交，于是增加了个交点，个交点将增加的圆分为段弧，段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了个区域． 从而，平面内的个圆将平面至多分为个区域． 当时，． 所以，当时，合题成立． 综上，命题对于任何成立． 利用“数学归纳法”证明： (1)，其中． (2)，其中，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $