第06讲：数学归纳法【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第06讲：数学归纳法 【考点梳理】 · 考点一：数学归纳法的定义 · 考点二：数学归纳法证明恒等式 · 考点三：数学归纳法证明整除问题 · 考点四：数学归纳法证明数列问题 · 考点五：数学归纳法证明不等式 · 考点六：推理证明探究问题 【知识梳理】 知识点一：数学归纳法 1．数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 【题型归纳】 题型一：数学归纳法的定义 1．（24-25高二·上海）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海青浦）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 题型二：数学归纳法证明恒等式 4．（24-25高二上·全国）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 5．（22-23高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 题型三：数学归纳法证明整除问题 7．（22-23高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 8．（22-23高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 9．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 题型四：数学归纳法证明数列问题 10．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 11．（24-25高二·上海）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 12．（24-25高二上·全国）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 题型五：数学归纳法证明不等式 13．（2023高三·全国·专题练习）设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有 14．（20-21高二·全国）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 15．（2020高三·上海·专题练习）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列.记. （1）求数列和的通项； （2）当时，比较与大小并证明结论. 题型六：推理证明探究问题 16．（21-22高二·全国） （1）分别计算：，，的值； （2）根据（1）的计算，猜想的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想． 17．（21-22高二·全国）请观察下列三个式子： ①； ②； ③． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 18．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·全国）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 20．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 21．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 22．（22-23高二下·全国）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 23．（2022高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 24．（22-23高二下·陕西西安·期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（    ） A．当时，成立 B．当时，成立 C．当时，成立 D．当时，成立 25．（22-23高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．（2023高二上·江苏·专题练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 27．（21-22高二下·辽宁大连）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 28．（22-23高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 29．（20-21高二·全国）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ） A．若对成立，则对所有正整数都成立 B．若对成立，则对所有正偶数都成立 C．若对成立，则对所有正奇数都成立 D．若对成立，则对所有自然数都成立 三、填空题 30．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 31．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 32．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 33．（22-23高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ． 34．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）已知，则中共有 项. 四、解答题 35．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 36．（22-23高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 37．（23-24高二上·上海·课后作业）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． (1)设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． (2)设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 38．（23-24高二上·上海） （1）依次计算下列各式的值：，，，． （2）根据第（1）题的计算结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论． 39．（24-25高二上·上海）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 40．（24-25高二上·上海）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：数学归纳法 【考点梳理】 · 考点一：数学归纳法的定义 · 考点二：数学归纳法证明恒等式 · 考点三：数学归纳法证明整除问题 · 考点四：数学归纳法证明数列问题 · 考点五：数学归纳法证明不等式 · 考点六：推理证明探究问题 【知识梳理】 知识点一：数学归纳法 1．数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 【题型归纳】 题型一：数学归纳法的定义 1．（24-25高二·上海）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由数学归纳法的证明步骤可得答案. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知： 当时，等式的左边是. 故选：D． 2．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 3．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 题型二：数学归纳法证明恒等式 4．（24-25高二上·全国）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【详解】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 5．（22-23高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法进行证明，先证成立，再假设当时不等式成立，证得也成立，从而得证. 【详解】当时，左式，右式，显然等式成立， 假设当时，等式成立，即， 则当时， ， 故当时，等式也成立， 所以成立. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【详解】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 题型三：数学归纳法证明整除问题 7．（22-23高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 8．（22-23高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【答案】存在，且的最大值为 【分析】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 【详解】解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 9．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法，先验证时，结论成立，再证明当时，结论成立，可推出时也成立，即可证明结论成立. 【详解】用数学归纳法证明： ①当时， ，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 题型四：数学归纳法证明数列问题 10．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据，令代入即可求解. （2）利用数学归纳法的证明即可. 【详解】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 11．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【分析】（1）计算出数列的前几项， 由此猜想的一个通项公式； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)；；． (2)当时，，证明见解析． 【分析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【详解】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 题型五：数学归纳法证明不等式 13．（2023高三·全国·专题练习）设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的步骤进行证明，要证n=k+1时，需要分和两种情况考虑 【详解】由不等式得知，知当n=1时，所得的不等式成立． 假设n=k时，不等式成立，即有，要证n=k+1时，不等式也成立． 分两种情况考虑： 在情况（1）之下，我们有， 在情况（2）之下，由于显然有，我们有， 所以无论何种情况，所证不等式都对n=k+1成立． 故知对一切正整数n，不等式都成立． 14．（20-21高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【答案】证明见解析 【分析】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可. 【详解】(1)当n＝1时，左边右边， 即当n＝1时，原不等式成立， (2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立， 即1+++…+≤+ k， 则当n=k+1时， 1+++…++++…+<+k+=+(k+1)， 即当n=k+1时，不等式成立， 综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立. 15．（2020高三·上海·专题练习）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列.记. （1）求数列和的通项； （2）当时，比较与大小并证明结论. 【答案】（1）；（2）；证明见解析； 【分析】（1）由1，，，，，，成等比数列，结合等比数列的性质可得，，从而可求；1，，，，，，2这个数成等差数列．利用等差数列的性质可得从而可求． （2）由（1）可求，，转化比较，的大小，先取，8，9代入计算，观察与的大小，做出猜想，利用数学归纳法进行证明． 【详解】（1），，，，，2成等比数列， ， ， ． ，，，，，2成等差数列， ， ． 所以，数列的通项，数列的通项． （2），， ，， 要比较和的大小，只需比较与的大小， 也即比较当时，与的大小． 当时，，，得知， 经验证，时，均有命题成立． 猜想当时有．用数学归纳法证明． ①当时，已验证，命题成立． ②假设时，命题成立，即， 那么， 又当时，有， ． 这就是说，当时，命题成立． 根据①、②，可知命题对于都成立． 故当时，． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识和性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 题型六：推理证明探究问题 16．（21-22高二·全国） （1）分别计算：，，的值； （2）根据（1）的计算，猜想的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】（1），，；（2）（）；（3）证明见解析 【分析】（1）直接计算； （2）观察规律，猜想出结论（）； （3）用数学归纳法证明． 【详解】（1），，； （2）猜想：（）； （3）证明： （i）时，，成立； （ii）假设时，命题成立，即， 则时，，命题也成立， 综上，对一切且，成立． 17．（21-22高二·全国·课后作业）请观察下列三个式子： ①； ②； ③． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 【答案】，证明见解析 【分析】观察各个式子左右两边的关系以及与正整数的关系，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明． 【详解】． 证明：①当时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边． ②假设当时，命题成立， 即； 则当时， ， 所以当时命题立，由①②知，命题成立． 18．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2)猜想，证明见解析 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·全国）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【详解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 20．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【详解】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 21．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【详解】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D 22．（22-23高二下·全国·课后作业）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 左边增加的项为，共项. 故选：D 23．（2022高二下·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将、分别代入等式左边的代数式，相除即可得解. 【详解】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 24．（22-23高二下·陕西西安·期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（    ） A．当时，成立 B．当时，成立 C．当时，成立 D．当时，成立 【答案】C 【分析】根据，结合数学归纳法的证明步骤，即可求解. 【详解】根据题意，证明的结论为“”， 所以第二步的假设应写出：假设时命题成立，即成立. 故选：C. 25．（22-23高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 计算和时左边式子，再作差即可判断. 【详解】依题意当时左边， 当时左边， 所以 ， 故从递推到时，不等式左边需添加的项为. 故选：C 二、多选题 26．（2023高二上·江苏·专题练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 27．（21-22高二下·辽宁大连·阶段练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 【答案】BC 【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当时，可得；当时，可得； 即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确； 当时，可得； 当时，可得； 两式相减得：， 所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误； 故选：BC. 28．（22-23高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】ABC 【分析】根据题设结论逐项分析判断. 【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误； 对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误； 对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误； 对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确； 故选：ABC. 29．（20-21高二·全国·课后作业）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ） A．若对成立，则对所有正整数都成立 B．若对成立，则对所有正偶数都成立 C．若对成立，则对所有正奇数都成立 D．若对成立，则对所有自然数都成立 【答案】BC 【分析】由推理关系，可知需分为奇数和偶数两种情况讨论，再结合首项成立，即可判断选项. 【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立. 故选：BC 三、填空题 30．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 【答案】 【分析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案. 【详解】当时，左边式子为， 当时，左边式子为， 故左边增乘的因式是． 故答案为：． 31．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 【答案】 【分析】根据已知写出，从而可求得结果. 【详解】因为 ， ∴. 故答案为： 32．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 33．（22-23高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别写出和时，等式的左端的表达式，进而得到答案. 【详解】由， 当时，等式的左端， 当时，等式的左端， 所以从“第步到步”时，两边应同时加上. 故答案为：. 34．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）已知，则中共有 项. 【答案】 【分析】根据解析式的组成特点及各项分母的特征，即可得解. 【详解】因为，我们观察解析式的组成特点，是由，，，，组成， 其中每一项的分母为，，，，组成等差数列，且首项为，公差为1，最后一项为； 所以它的项数为，即为的项数为． 故答案为：． 四、解答题 35．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得到之间的等式关系，再证明时，符合题意，而后假设时，所证成立，最后再根据之间的关系，推出时所证成立即可； （2）根据（1）的结论，结合，可得出当时，的通项公式，再验证时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。 【详解】（1）证明：因为，，成等差数列，所以， 因为，所以上式可化简为， 将带入上式可得：， 当时，，符合， 假设当时，有成立， 则当时，， 因为，所以, 所以,符合， 故有成立； （2）由（1）可得，， 当时，， 因为，符合， 故。 36．（22-23高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 【详解】当，则成立， 若且时，成立， 令，则， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 37．（23-24高二上·上海·课后作业）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． (1)设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． (2)设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【详解】（1）本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 38．（23-24高二上·上海·课后作业）（1）依次计算下列各式的值：，，，． （2）根据第（1）题的计算结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论． 【答案】（1）；；；；（2），证明见解析. 【分析】（1）直接计算各式的值即可； （2）根据（1）的数字规律可猜想得到；验证成立后，假设时猜想成立，利用该结论证得时成立即可. 【详解】（1）；；；； （2）由（1）可猜想：； 证明如下： 当时，左边，右边；等式成立； 假设当时，成立， 那么当时，， 即当时，等式成立； 综上所述：当时，. 39．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【详解】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 40．（24-25高二上·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）赋值法，结合奇偶性定义可解； （2）数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数. （2）①时，左边右边. ②假设当时，有， 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$