4.3.2 等比数列的前n项和公式（思维导图+3大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式核心知识点，系统梳理公式推导（等比性质、错位相减法）、函数特征及性质（片段和、奇偶项和等），构建从原理到应用的学习支架，衔接公式推导与10类题型（如基本量计算、错位相减法、实际应用）的解题脉络。 资料特色在于融合思维导图可视化知识结构，通过实际应用题（如沙漠治理、5G技术占比）培养用数学眼光观察现实世界的能力，题型分类含例题与变式，结合方法总结（如错位相减步骤）发展数学思维，课中助教师系统授课，课后供学生针对性练习查漏补缺。

4．2．2 等比数列的前n项和公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等比数列的前项和公式 4 知识点二、等比数列前项和的函数特征 4 知识点三、等比数列前项和的性质 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基本量计算 6 题型二：递推公式的实际应用 8 题型三：等比数列前n项和的性质问题 14 题型四：最值问题 16 题型五：错位相减法 18 题型六：实际应用 22 题型七：与的关系 24 题型八：片段和性质问题 26 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 28 题型十：恒成立与范围问题 30 知识点一、等比数列的前项和公式 等比数列的前项和公式 推导过程： （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或． 即 知识点二、等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 知识点三、等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 题型一：基本量计算 【例题1】（2025·高二·浙江湖州·月考）已知数列满足，，则（   ） A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 【答案】B 【解析】因为，，故，， 依次可得，，，，，， 故 故选：B 【例题2】（2025·高二·浙江·月考）记正项等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由等比数列前项和的性质，，根据题设，，可得：，即， 因为是等比数列，设公比为（，正项数列），则， 代入上式得：， 由于，两边同时除以得：，整理为，即， 因为，所以， 根据等比数列前项和公式得：， 因此. 故选：A. 【方法技巧与总结】 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式1】（2025·高三·河北邢台·期中）已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以．由题意，得， 解得，则或． 因为，所以． 当时，，解得， ， 满足，， 所以，； 当时，，解得， ， 满足，， 所以，． 故A，B，D错误，C正确． 故选：C． 【变式2】（2025·高二·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 【变式3】（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， 由，得， 又，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：B. 题型二：递推公式的实际应用 【例题3】（2025·高二·江苏苏州·月考）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【解析】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 【例题4】“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【解析】（1）由题意时， ， 所以，. （2）数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． （3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 【方法技巧与总结】 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论． 【变式4】我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【解析】（1）由题意得 ， 所以． （2）由（1）得， ． 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 即． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 【变式5】（2025·高二·广东汕尾·期末）如图，正方形的边长为1，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，以此方法一直继续下去． (1)求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； (2)假设第n（）个正方形的面积为，求数列的前n项和． 【解析】（1）正方形边长为1，正方形边长为，因为任意两个正方形是相似的，其面积的比是边长的平方比， 因此从正方形开始，所作各正方形面积依次排成一列得等比数列，其首项为1，公比为， 所以连续10个正方形的面积之和. （2）由（1）知，数列为等比数列，，，有， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 【变式6】（2025·高二·山东威海·期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元. (1)求，； (2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年. 【解析】（1）当时， ， 所以， 由题意知，， 所以 ， 相加得，               当时也满足上式，所以. （2）当时，，，可得， 因此当或时，不可能出现兼并收购的情况， 当时，，，所以， 由题意知，甲企业可能兼并收购乙企业， 如果出现兼并收购的情况，必满足， 由，化简得， 令， 当时，，所以满足， ， 当时，，即， 所以， 当时，，即， ， 综上可知，当时，， 所以在第年甲企业兼并收购乙企业. 题型三：等比数列前n项和的性质问题 【例题5】（2025·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【答案】A 【解析】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 【例题6】（2025·高二·福建泉州·月考）在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【答案】C 【解析】在等比数列中，由公比， 可得构成公比为的等比数列， 设，则， 因为数列的前87项和， 所以，解得，所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式7】（2025·高三·陕西商洛·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（　　） A．9 B．10 C．12 D．17 【答案】B 【解析】利用已知条件求得，由此求得所求表达式的值.设等比数列的公比为q， 因为 . 所以， 则. 故选：B 【变式8】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】D 【解析】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：， ，， 所以 故选：D. 【变式9】（2025·高二·甘肃白银·期中）已知数列是等比数列，，且，是方程两根，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．-64 【答案】C 【解析】因为是等比数列，所以，则. 又因为，是方程两根，所以. 故选：C. 【变式10】（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等比数列的下标和性质可知， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 题型四：最值问题 【例题7】（2025·高二·河南驻马店·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，则， 因为，则， 所以，， 则， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 【例题8】（2025·高二·北京·期中）设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】当时，，此时显然有最大值， 而没有最大值，这表明条件不是充分的； 当时，由于，故是递增数列，从而没有最大值.   又由于，故是递减数列， 从而有最大值，这表明条件不是必要的. 故选：D. 【方法技巧与总结】 寻找正、负项的分界点，利用或来寻找． 【变式11】（2025·高二·江苏南京·期末）已知数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等比数列，首项为，公比为，设，为数列的前项和，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意得：，， ， 则数列为递增数列， 其前项和 ， 当时，， 当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【变式12】（2025·高二·山西长治·期末）已知数列的前n项和为，当时，，且，，则满足的n的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为，且，所以各项均不为0， 所以数列为等比数列，设公比为， 则，解得， 所以，则，解得，即， 因为，所以n的最大值为7. 故选：C. 【变式13】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【解析】若，则，，所以，与矛盾； 若，则因为，所以，，则，与矛盾， 因此，所以A正确． 因为，所以，因此，即B正确． 因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误． 因为当时，，当时，， 所以的最大值为，即D正确． 故选：C 【变式14】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知数列的首项，前项的和为，且满足，则满足的的最大值为（    ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】根据可求出的通项公式，然后利用求和公式求出，结合不等式可求的最大值.相减得，，；则是首项为1，公比为的等比数列，，，则的最大值为9. 故选：C 题型五：错位相减法 【例题9】（2025·高二·陕西西安·月考）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 【解析】（1）因为，所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 因为，所以数列的通项公式为； （2）由（1）得，， 于是， 则， 故． 【例题10】（2025·高二·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【解析】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 【方法技巧与总结】 错位相减法的适用范围及注意事项 （1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【变式15】（2025·高二·浙江湖州·月考）已知数列满足：，，数列的前n项和满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【解析】（1）由题可知：， 所以 ， 所以； 当时，， 当时，，满足上式， 所以； （2）； 则， ， 所以 所以. 【变式16】（2025·高三·河北唐山·期中）已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． (1)求及； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）由题意成等比数列，得， 即，解得，               所以数列的通项公式为；               当时，，                      当时， ，     验证当时，满足上式 ，              所以数列的通项公式为； （2）由（1）知．                             ，                 则，        两式相减得，          所以 【变式17】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的通项公式，已知，可得， 解得或，又因为，所以，代入，所以，故， 又已知数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，符合上式，∴． 因此数列的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）知，,所以令 所以，① 两边同乘以得： ，② 由①②，将两式错位相减得： 解得， 因此数列的前项和. 题型六：实际应用 【例题11】（2025·高三·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】因为正方形的边长为， 所以正方形的对角线为， 所以第二个正方形的边长为， 所以第二个正方形的对角线为， 所以第三个正方形的边长为， 所以这些正方形的边长为为首项，为公比的等比数列， 所以这些正方形的面积为为首项，为公比的等比数列 因此前6个正方形面积和为， 故选：C 【例题12】（2025·高二·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【解析】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 【方法技巧与总结】 解答数列应用题的步骤 （1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意． （2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征． （3）求解——求出该问题的数学解． （4）还原——将所求结果还原到实际问题中． 【变式18】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 【答案】C 【解析】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元， 2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元， 2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元， 所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元， 故选：C. 【变式19】（2025·高二·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B 【变式20】（2025·高二·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 题型七：与的关系 【例题13】（2025·高二·河北邢台·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以． 时，，所以前的系数和常数项互为相反数， 所以，所以． 故选：D 【例题14】（2025·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（    ） A．一定单调递减 B．一定单调递增 C．式子-≥0恒成立 D．可能满足=，且k≠1 【答案】D 【解析】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0， 所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确； 由0＜q＜1，＜0知， 所以，故一定单调递减，故A正确； 因为当时，，，所以，即-，当时， ，综上，故C正确； 若=，且k≠1，则，即，因为，故， 故矛盾，所以D不正确. 故选：D 【方法技巧与总结】 与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【变式21】（2025·高二·广东珠海·期末）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，， 故当时，， 因为数列为等比数列，易知该数列的公比为，则，即， 解得. 故选：C. 【变式22】已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等比数列的前项和为，， 当时，可得，可得， 当时，，则 因为为等比数列，所以，解得 故选：． 【变式23】（2025·高二·河南信阳·期中）一个等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，则，显然与题设不符； ∴，即等比数列不是常数列， ∴，则，可得． 故选：B． 题型八：片段和性质问题 【例题15】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 【例题16】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【解析】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 【方法技巧与总结】 连续项的和依然成等比数列，即，，，…成等比数列． 【变式24】（2025·高三·河北沧州·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【答案】C 【解析】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 【变式25】（2025·高二·湖南邵阳·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【解析】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 【变式26】（2025·高三·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴. 故选：C. 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 【例题17】（2025·高三·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【解析】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【例题18】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】由题意可知：， 所以． 故选：D. 【方法技巧与总结】 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【变式27】（2025·高二·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 【变式28】（2025·贵州·模拟预测）在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意得，，，即， 所以当为奇数时，；当为偶数时，； 设的前n项和为，则，. 若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意； 当为偶数，则 ，即，所以. 故选：B 【变式29】（2025·高二·全国·学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 题型十：恒成立与范围问题 【例题19】（2025·高二·福建莆田·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 所以对任意的正整数恒成立， 即， 设在为增函数， 所以. 故实数的取值范围为 【例题20】（多选题）（2025·高二·江苏南通·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 【答案】BD 【解析】由于为正项等比数列，所以， 由，得， 所以， 若，则为单调递减的等比数列，由于，所以， 此时不满足，故A错误， 当时，此时，显然不满足， 当，则为单调递增的等比数列，由于和可得， ，因为，所以，所以B正确； 对于C,当时，，当时，， 则的最小值为，故对任意的正整数，有，故C错误， 对于D，又，则，故， ，，所以使得的最小正整数为4047，故D正确． 故选：BD． 【方法技巧与总结】 分类讨论. 【变式30】（多选题）等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．使成立的最小自然数等于2021 【答案】AD 【解析】由．得或，又，，则，，所以，故A正确． 由，又，所以，故B错误． 由、，，可知当时，；当时，，所以的最大值，故C错误． 因为；，所以使成立的最小自然数等于2021，故D正确． 故选：AD． 【变式31】（2025·高二·甘肃金昌·月考）设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【解析】（1）设的公差为，的公比为，则， 由， 可得，解得（舍去）， 所以，. （2）由（1）知，可得， 则， 所以数列的前项和． （3）由（1），， 由，，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值，则 解得，而，则，此时取得最小值， 由于，则数列在时取最小值， 所以，则实数的最大值为． 【变式32】（2025·高二·北京西城·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，不等式恒成立，直接写出实数的最大值. 【解析】（1）因为①， 故当时，，得； 当时，②， ①－②得，，即. 由，得，所以数列为等比数列，公比. 因为，所以. 设等差数列的公差为. 由于， 所以，解得. 所以. （2）由题意知， 所以. （3）由得，， 得， 令， 则， 当时，， 当时，， 即， 则当时，取得最小值为：， 故， 即实数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．2．2 等比数列的前n项和公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等比数列的前项和公式 4 知识点二、等比数列前项和的函数特征 4 知识点三、等比数列前项和的性质 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基本量计算 6 题型二：递推公式的实际应用 7 题型三：等比数列前n项和的性质问题 8 题型四：最值问题 9 题型五：错位相减法 10 题型六：实际应用 12 题型七：与的关系 13 题型八：片段和性质问题 14 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 14 题型十：恒成立与范围问题 15 知识点一、等比数列的前项和公式 等比数列的前项和公式 推导过程： （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或． 即 知识点二、等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 知识点三、等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 题型一：基本量计算 【例题1】（2025·高二·浙江湖州·月考）已知数列满足，，则（   ） A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 【例题2】（2025·高二·浙江·月考）记正项等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式1】（2025·高三·河北邢台·期中）已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高二·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【变式3】（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二：递推公式的实际应用 【例题3】（2025·高二·江苏苏州·月考）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【例题4】“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【方法技巧与总结】 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论． 【变式4】我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【变式5】（2025·高二·广东汕尾·期末）如图，正方形的边长为1，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，以此方法一直继续下去． (1)求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； (2)假设第n（）个正方形的面积为，求数列的前n项和． 【变式6】（2025·高二·山东威海·期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元. (1)求，； (2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年. 题型三：等比数列前n项和的性质问题 【例题5】（2025·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【例题6】（2025·高二·福建泉州·月考）在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【方法技巧与总结】 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式7】（2025·高三·陕西商洛·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（　　） A．9 B．10 C．12 D．17 【变式8】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 【变式9】（2025·高二·甘肃白银·期中）已知数列是等比数列，，且，是方程两根，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．-64 【变式10】（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知正项等比数列满足，则（    ） A． B． C． D． 题型四：最值问题 【例题7】（2025·高二·河南驻马店·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题8】（2025·高二·北京·期中）设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【方法技巧与总结】 寻找正、负项的分界点，利用或来寻找． 【变式11】（2025·高二·江苏南京·期末）已知数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等比数列，首项为，公比为，设，为数列的前项和，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式12】（2025·高二·山西长治·期末）已知数列的前n项和为，当时，，且，，则满足的n的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式13】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【变式14】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知数列的首项，前项的和为，且满足，则满足的的最大值为（    ）. A．7 B．8 C．9 D．10 题型五：错位相减法 【例题9】（2025·高二·陕西西安·月考）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 【例题10】（2025·高二·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【方法技巧与总结】 错位相减法的适用范围及注意事项 （1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【变式15】（2025·高二·浙江湖州·月考）已知数列满足：，，数列的前n项和满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【变式16】（2025·高三·河北唐山·期中）已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． (1)求及； (2)求数列的前项和． 【变式17】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知等比数列的公比，且满足．数列的前项和． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型六：实际应用 【例题11】（2025·高三·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 【例题12】（2025·高二·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【方法技巧与总结】 解答数列应用题的步骤 （1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意． （2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征． （3）求解——求出该问题的数学解． （4）还原——将所求结果还原到实际问题中． 【变式18】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 【变式19】（2025·高二·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【变式20】（2025·高二·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 题型七：与的关系 【例题13】（2025·高二·河北邢台·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【例题14】（2025·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（    ） A．一定单调递减 B．一定单调递增 C．式子-≥0恒成立 D．可能满足=，且k≠1 【方法技巧与总结】 与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【变式21】（2025·高二·广东珠海·期末）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式22】已知等比数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式23】（2025·高二·河南信阳·期中）一个等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 题型八：片段和性质问题 【例题15】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【例题16】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【方法技巧与总结】 连续项的和依然成等比数列，即，，，…成等比数列． 【变式24】（2025·高三·河北沧州·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【变式25】（2025·高二·湖南邵阳·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【变式26】（2025·高三·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 【例题17】（2025·高三·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【例题18】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【方法技巧与总结】 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【变式27】（2025·高二·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【变式28】（2025·贵州·模拟预测）在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式29】（2025·高二·全国·学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 题型十：恒成立与范围问题 【例题19】（2025·高二·福建莆田·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【例题20】（多选题）（2025·高二·江苏南通·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 【方法技巧与总结】 分类讨论. 【变式30】（多选题）等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．使成立的最小自然数等于2021 【变式31】（2025·高二·甘肃金昌·月考）设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【变式32】（2025·高二·北京西城·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，不等式恒成立，直接写出实数的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $