4.3.2 等比数列的前n项和公式（10大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

4．3．2 等比数列的前n项和公式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基本量计算 2 题型二：递推公式的实际应用 3 题型三：等比数列前n项和的性质问题 5 题型四：最值问题 6 题型五：错位相减法 7 题型六：实际应用 9 题型七：与的关系 10 题型八：片段和性质问题 12 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 13 题型十：恒成立与范围问题 13 02 重难点拓展 17 题型一：基本量计算 1．（2025·高二·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设的公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 2．（2025·高二·甘肃兰州·月考）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题知，所以. 故选：C. 3．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 【答案】D 【解析】由题意有：， 所以， 故选：D. 题型二：递推公式的实际应用 4．（2025·高二·福建厦门·期末）某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元． (1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和； (2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？ 【解析】（1）由题意得是等差数列，， 所以，由题意得， 所以， 所以是首项为250，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）是数列的前项和，所以， 是数列的前项和减去600， 所以， ， 又当时，函数单调递增， 所以函数单调递增，且时，时， 所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 5．如图（1），四边形是一边长为14cm的正方形．，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．依循相同的规律，，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形，…，，…．      (1)求． (2)求． (3)一蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图（2）所示，证明：该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21cm． 【解析】（1）依题意，， 则，所以； （2）由（1）可得，，则， 所以. （3）由（2）可知，同理可得， 设，则，， 即是以为首项，为公比的等比数列，设其前项和为， 则，所以该蚂蚁所爬行的总距离不能大于. 6．（2025·高二·四川绵阳·月考）某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元． (1)写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列； (2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，） 【解析】（1）由题意知． 即，所以． 由题意知， 所以数列的首项为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知数列的首项为1500，公比为． 所以，所以． 当，得． 两边取常用对数得，所以， 所以，因为，所以． 即至少经过年，该项目的资金达到翻一番． 题型三：等比数列前n项和的性质问题 7．（2025·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 【答案】B 【解析】由题意可知. 故选：B 8．（2025·高三·安徽·开学考试）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】因为是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，， 又，所以，所以. 故选：B 题型四：最值问题 9．（2025·高二·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 10．（2025·高三·北京·期中）已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， ，或（舍去）， 所以. 由，， ，所以的最小值为. 故选：B 11．（2025·高二·湖南岳阳·期中）等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，则，解得， 又，解得， 所以，则，即是首项为，公差为的等差数列， 令，则，易知， 所以， 故当或6时，取最小值，最小值为， 故选： 题型五：错位相减法 12．（2025·高二·天津·月考）已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，. (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，其前n项和为，求. 【解析】（1）因为，且. 则，解得， 所以； 因为数列是各项均为正数的等比数列，设公比为， 因为，则， 即，可得， 所以. （2）由（1）可得：， 则， 可得， 两式相减得 ， 所以. 13．（2025·高二·福建厦门·月考）已知等差数列满足，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为. 【解析】（1）等差数列满足，可得，即， ，，，即； 由数列满足， 可得，则 ，，， 即， （2）证明：， 数列的前项和, 相减可得 ， . 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)令，求的前项和． 【解析】（1）因为数列的前项和，且满足， 所以，当时，， 所以， 经验证时，满足，故， 因为数列为公比大于0的等比数列，且，， 设公比为，所以，解得， 所以，. （2）由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以. 题型六：实际应用 15．（2025·高二·陕西西安·期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由1个初始感染者经过第一轮传染，感染人数为，经过第二轮感染，感染人数为，…… 设第轮感染人数为，所以数列为等比数列，首项，公比. 所以经过轮后感染人数为， 若感染人数由1个初始感染者增加到1000人 则，因为且 又因为，所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染. 故选：B 16．（2025·高二·黑龙江·月考）复印纸张按照幅面的规格分为系列，系列，系列，其中系列的幅面规格分为，所有规格的纸张的长度和幅宽的比例关系都为．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，如此对开至规格．现有 纸各一张，若纸的幅宽为，则这张纸的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为纸的幅宽为，则的长宽分别为，由题意可得的长宽分别为， 的长宽分别为，…， 因此，…， 则纸的面积构成以为首项，为公比的等比数列， 所以这10张纸的面积之和为. 故选：C. 17．（2025·高二·河南南阳·期中）小明每年末存入银行1000元，年利率为，按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为（    ）（参考数据：） A．5000元 B．5526元 C．5856元 D．6000元 【答案】B 【解析】由题可得按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为 元. 故选：B 题型七：与的关系 18．（2025·高二·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 19．（2025·高二·陕西渭南·月考）等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在等比数列中，由前n项和，则， 当时，由， 所以，即. 故选：D 20．（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的首项为，公比为， A选项，时，，图象符合. B选项，时，，图象符合. C选项，时，，图象符合. D选项，由图可知，都是负数，所以， 但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合. 故选：D 题型八：片段和性质问题 21．（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 22．（2025·高二·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为是等比数列，所以成等比数列， 因，则，故，解得. 故选：B 23．（2025·高二·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【答案】D 【解析】解法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，①，②， 由①②可得，，所以. 解法二：因为，，成等比数列，即，解得：. 故选：D. 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 24．（2025·高二·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 25．（2025·高二·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 26．（2025·高三·全国·月考）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 题型十：恒成立与范围问题 27．（多选题）（2025·高二·河南·开学考试）已知等比数列的前项积为，公比，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．当时，最大 【答案】BC 【解析】对于选项AB：由题意知，由，得， 所以，得，，所以，且，， 所以，故A错误，B正确． 对于选项CD：因为，，，， 所以数列为递增数列，且当时，，当时，， 所以当时，最小，故C正确，D错误． 故选：BC． 28．（多选题）（2025·高三·湖南·月考）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．使的最小正整数n为13 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，由，当时，， 当时，， ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C正确； 对于D，，时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当或4时，取得最小值为，故D正确． 故选：BCD. 29．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 【解析】（1），，又，， 解得：或，，， ，解得：，. （2）由（1）知：； （i），， ， . （ii）令， ， 当时，；当时，； ， 若不等式恒成立，则， 即实数的取值范围为. 1．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A．264 B．520 C．521 D．265 【答案】B 【解析】因为数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以， 数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 所以， 所以. 故选：B 2．（2025·高二·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 【答案】D 【解析】设每年1月1日到银行存入万元（一年定期），年利率保持不变，且，， 由题意得， 2036年1月1日将所有存款及利息全部取回为：万元. 故选：D 3．（2025·高二·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 【答案】B 【解析】因为， 所以 . 故选：B 4．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】因为数列是公比为3的等比数列，所以， ， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A. 5．（多选题）（2025·高二·甘肃酒泉·月考）数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 6．（多选题）（2025·高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，解得， 当时，， 所以，即，当时也满足该式， 故，是等比数列，不是等差数列，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以为等比数列， 则其前100项和为，故C正确； 对于D，数列的前10项和为， 由于，故选项D错误． 故选：BC． 7．（多选题）（2025·高二·福建龙岩·期中）已知函数，数列满足，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C．数列的前项和为 D． 【答案】AC 【解析】由题意可知，所以， 因为，所以是首项为2，公比为3的等比数列，所以， 则， 所以不是常数，所以不是等比数列； 数列的前项和为，故A，C均正确，B，D均错误. 故选：AC. 8．（2025·高二·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【解析】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 9．（2025·高二·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【解析】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 10．（2025·高二·全国·专题练习）求的和． 【解析】①， ②， 得：， 整理得：. 方法二（对通项进行裂项相消）： 令，所以，所以，，. 方法三（对和式进行待定系数）： 因为，故， 则，所以， 代入，，所以. 对比以上三种，解法二显然最简单，解法一则不能搞定的求和，解法三计算量比解法二大，但是处理一些复杂的求和优势大． 11．（2025·高二·全国·专题练习）求和：…． 【解析】因为，所以， 则 ． 12．（2025·高二·湖南·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意即， 解得 所以， . （2）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， 因为， ， 所以数列的前项和. 13．（2025·高二·江西上饶·期中）在数列中，，设． (1)求证：为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）由，又，所以 因为，所以， 所以，因．则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 可得； （2）由（1）知，记数列的前项和为， ． 14．（2025·高三·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 【解析】（1）， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即： （2）由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 15．（2025·高二·福建宁德·期中）已知等比数列的前项和. (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意得：. 因为是等比数列，所以， 即，解得， 故. 当时，， 当时，满足上式， 故. （2）由（1）得，，所以， 则 . 16．（2025·高二·福建宁德·期中）已知数列的前项和为，__________.请在①；②成等比数列，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求的取值范围. 【解析】（1）选条件①： 由，得. 当时，， 由得， 当时，满足上式. 故. 选条件②： 由，得，即， 所以是公差的等差数列. 由题知，即，解得， 所以. （2）记. . 因为，所以，即. 因为在上单调递增，所以. 综上，的取值范围是. 17．（2025·高二·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证: ，并求数列 的通项公式: (2)求数列 的前 项和 : (3)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【解析】（1）因为， 所以，即， 所以数列 为等差数列， 故， （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上， （3）， 所以①， 则②。 ①②得， ， 18．（2025·高二·宁夏·月考）已知等比数列的首项，且是和的等差中项．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设数列的公比为， 由题意可知，即，解得 ∴， 当时，， 当时，， 验证当时，， ∴ （2） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．3．2 等比数列的前n项和公式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基本量计算 2 题型二：递推公式的实际应用 2 题型三：等比数列前n项和的性质问题 3 题型四：最值问题 3 题型五：错位相减法 4 题型六：实际应用 5 题型七：与的关系 5 题型八：片段和性质问题 6 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 6 题型十：恒成立与范围问题 6 02 重难点拓展 8 题型一：基本量计算 1．（2025·高二·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 2．（2025·高二·甘肃兰州·月考）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 3．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 题型二：递推公式的实际应用 4．（2025·高二·福建厦门·期末）某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元． (1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和； (2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？ 5．如图（1），四边形是一边长为14cm的正方形．，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．依循相同的规律，，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形，…，，…．      (1)求． (2)求． (3)一蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图（2）所示，证明：该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21cm． 6．（2025·高二·四川绵阳·月考）某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元． (1)写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列； (2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，） 题型三：等比数列前n项和的性质问题 7．（2025·黑龙江大庆·一模）已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 8．（2025·高三·安徽·开学考试）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型四：最值问题 9．（2025·高二·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．（2025·高三·北京·期中）已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 11．（2025·高二·湖南岳阳·期中）等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：错位相减法 12．（2025·高二·天津·月考）已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，. (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，其前n项和为，求. 13．（2025·高二·福建厦门·月考）已知等差数列满足，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为. 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)令，求的前项和． 题型六：实际应用 15．（2025·高二·陕西西安·期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 16．（2025·高二·黑龙江·月考）复印纸张按照幅面的规格分为系列，系列，系列，其中系列的幅面规格分为，所有规格的纸张的长度和幅宽的比例关系都为．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，如此对开至规格．现有 纸各一张，若纸的幅宽为，则这张纸的面积之和为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·高二·河南南阳·期中）小明每年末存入银行1000元，年利率为，按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为（    ）（参考数据：） A．5000元 B．5526元 C．5856元 D．6000元 题型七：与的关系 18．（2025·高二·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 19．（2025·高二·陕西渭南·月考）等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 20．（2025·高二·浙江绍兴·期末）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 题型八：片段和性质问题 21．（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 22．（2025·高二·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 23．（2025·高二·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 题型九：奇数项和与偶数项和的关系 24．（2025·高二·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 25．（2025·高二·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（2025·高三·全国·月考）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 题型十：恒成立与范围问题 27．（多选题）（2025·高二·河南·开学考试）已知等比数列的前项积为，公比，则（    ） A． B． C．当时，最小 D．当时，最大 28．（多选题）（2025·高三·湖南·月考）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．使的最小正整数n为13 D．的最小值为 29．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 1．（2025·高二·江苏泰州·月考）已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A．264 B．520 C．521 D．265 2．（2025·高二·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 3．（2025·高二·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 的值为（   ）. A．2045 B．2046 C．2047 D．2048 4．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知数列满足，，是公比为3的等比数列，则（   ） A． B．2 C． D．3 5．（多选题）（2025·高二·甘肃酒泉·月考）数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 6．（多选题）（2025·高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 7．（多选题）（2025·高二·福建龙岩·期中）已知函数，数列满足，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C．数列的前项和为 D． 8．（2025·高二·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 9．（2025·高二·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 10．（2025·高二·全国·专题练习）求的和． 11．（2025·高二·全国·专题练习）求和：…． 12．（2025·高二·湖南·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. (1)分别求的通项公式； (2)求数列的前项和. 13．（2025·高二·江西上饶·期中）在数列中，，设． (1)求证：为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的前项和． 14．（2025·高三·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 15．（2025·高二·福建宁德·期中）已知等比数列的前项和. (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（2025·高二·福建宁德·期中）已知数列的前项和为，__________.请在①；②成等比数列，两个条件中任选一个补充在上面横线中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)记，求的取值范围. 17．（2025·高二·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证: ，并求数列 的通项公式: (2)求数列 的前 项和 : (3)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 18．（2025·高二·宁夏·月考）已知等比数列的首项，且是和的等差中项．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $