第11讲 函数的零点 讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点核心考点，涵盖函数与方程、函数模型应用两大考向，按考情分析、知识再现、题型分类逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建从定义到应用的解题框架，体现复习系统性与针对性。 资料以考情为导向，创新采用“题型-方法-真题”三阶突破策略，如将零点个数判断转化为函数图象交点问题，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导，提升学生应考能力。

艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第11讲 函数的零点题型总结 一、考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点 1：函数与方程 2025 年天津卷：函数零点所在区间；2024 年新课标 Ⅰ 卷：曲线交点个数；2024 年新课标 Ⅱ 卷：曲线交点求参数；2024 年新课标 Ⅱ 卷：函数性质判断（零点等）；2024 年新课标 Ⅱ 卷：三角函数性质（零点等）；2024 年天津卷：函数恰有一个零点求参数范围；2024 年全国甲卷：曲线交点求参数范围；2023 年新课标 Ⅱ 卷：函数极值相关零点条件；2023 年新课标 Ⅰ 卷：函数零点求参数范围；2023 年天津卷：函数恰有两个零点求参数范围；2022 年北京卷：函数零点求参数及函数值；2022 年天津卷：函数零点求参数范围；2021 年天津卷：分段函数零点求参数范围； 1. 函数零点问题常与函数单调性、零点存在性定理结合，涉及零点所在区间、零点个数判断。2. 曲线交点问题多转化为函数零点问题，常结合函数图象、奇偶性等性质，求参数范围是重点。3. 分段函数零点问题需分段讨论，结合不同区间函数特点分析。 考点 2：函数模型及其应用 2025 年北京卷：对数函数模型应用；2024 年上海卷：对数函数模型解不等式及求参数范围；2023 年上海卷：函数模型与零点结合求参数范围；2023 年新课标 Ⅰ 卷：对数函数模型应用（声压级）； 1. 函数模型多涉及指数函数、对数函数、二次函数等，常与实际问题结合，如疫情、销售、工程等场景。2. 应用问题重点在于建立函数关系，利用函数性质求解实际问题中的量，如时间、参数范围等。 二 知识再现 一、函数的零点与方程的根 1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、等价定义 （1）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （2）函数的零点就是方程的实数根． 二、零点存在定理 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得。 2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. 三、函数零点个数判断的一般方法 1、直接法：直接求零点，令，求出它的解，但是要注意零点是否有相同的部分. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 【常用结论】 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.零点不是点喔，是一个数！(偷偷告诉你，极值点也不是点，是数来着) 题型一 求函数的零点 一、单选题 1．已知函数，则的零点为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点. 【详解】解：对于函数，令，即， 解得或，所以的零点为和.故选：B 2．已知函数则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和解方程即可得函数的零点，进而可得零点的个数. 【详解】当时，令可得， 当时，令可得：或， 综上所述函数的零点为，，，有个，故选：D. 3．函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据零点的定义列式运算求解. 【详解】令，解得，故函数的零点是.故选：B. 4．函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【答案】C 【分析】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域. 【详解】由题意可得：，解得，故的定义域为， 令，得，则，解得或， 又∵，所以．故选：C. 题型二 比较零点的大小关系 5．设方程的两个根为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设 ，则， 所以 ，所以， 所以 ．故选D 6．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：在同一坐标系中作出的图象， 由图象知：，故选：B 7．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x， 由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x， 作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图： ∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b， ∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b， 由图象知a＜1＜b，故选A． 题型三 求零点的和 8．已知函数，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点定义求出零点后可得． 【详解】时，由得， 时，由得或，所以四个零点和为．故选：D． 9．函数的零点之和为（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和. 【详解】函数 当时，，设其零点为，则满足，解得； 当时，，设其零点为，则满足，解得； 所以零点之和为故选:A. 10．函数与，两函数图象所有交点的横坐标之和为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】首先分析函数解析式的特征，得到其对称性，结合根的个数，求得结果. 【详解】函数与两函数图象交点的横坐标之和， 可以转化为方程为方程的根之和； 和均关于x=2对称， 且两个图像有2个交点，两个交点横坐标之和为4．故选：D． 11．函数在上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的零点，然后利用等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由得，， 故在上的零点从小到大排成首项为、公差为的等差数列． 由得，即该数列共有项，所以所有零点之和为，故选：D． 12．函数在区间上的所有零点之和等于（    ） A． B．0 C．3 D．2 【答案】D 【分析】直接求出所以零点，然后求和即可. 【详解】令，则，得，因为，所以，所以所有零点之和为.故选：D 题型四 根据零点个数求参数范围 13．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】令， 由于当时，，，且； 当时，，，且， 作出函数的图象如图所示， 则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根， 的取值范围是．故选：C． 14．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】函数有两个不同的零点，即为函数与直线有两个交点， 函数图象如图所示： 所以，故选：D. 15．设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，利用数形结合即得. 【详解】因为有三个不同的实数根，等价于与有3个不同的交点， 画出与的图象， 所以，即实数的取值范围是.故选：B. 16．若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可. 【详解】由题意知， 令，解得， 得函数的3个相邻的对称点分别为， 因为函数在内仅有一个零点， 所以，， 解得，，当时，，得.故选：C. 17．已知函数（），若在上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的范围，数形结合得到关于的范围，求出的取值范围. 【详解】，，则， 故，解得：.故选：A 题型五 判断零点所在区间 18．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案. 【详解】在上单调递增，， 所以的零点在区间.故选：B 19．已知方程的解在内，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算. 【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点， ∵， ∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，故.故选：B. 20．在下列区间中，函数的零点所在区间为（    ） A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4） 【答案】A 【分析】根据函数的单调性及零点的存在定理判断零点所在区间. 【详解】由连续函数在定义域上单调递减，，且，故函数的零点所在区间为.故选：A． 21．函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解. 【详解】依题意，函数的定义域为， 而在为单调递减函数，在为单调递减函数， 因为，所以，即所以， ，所以， 所以由零点存在性定理可知，函数在区间有零点.故选：C. 22．函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，先判断函数的单调性，然后根据选项进行赋值运算，利用零点存在性定理即可判断零点所在的区间. 【详解】函数，其定义区域为， 所以，所以函数在上单调递增，，，， 所以的零点所在区间为.故选：B. 23．函数在区间上的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简函数，再令y=0求解判断. 【详解】解：，，，  令，得，， ，，在上的零点为故选：B 二、多选题 24．已知函数，则以下结论正确的是（    ） A． B．函数是定义域上的增函数 C．函数有个零点 D．方程有两个实数解 【答案】AC 【分析】直接计算的值，可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；解方程可判断C选项；解方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B错； 对于C选项，当时，由，可得， 当时，由，可得. 综上所述，函数有个零点，C对； 对于D选项，当时，由可得， 当时，由，可得，解得或. 综上所述，方程有三个实数解，D错.故选：AC. 25．已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．有三个零点 C．曲线与直线只有一个公共点 D．函数为奇函数 【答案】ABC 【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案； 对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案； 对于C，根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得答案； 对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案. 【详解】由函数，则求导可得， 令，解得或，可得下表： 极大值 极小值 则是的极小值点，故A正确； ，， 由，， 显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确； 联立，消去可得，化简可得， 则该方程组存在唯一实根，故C正确； 令， ，故D错误.故选：ABC. 26．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可. 【详解】令、，则、， 在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像， 因为函数的零点为，函数的零点为， 所以，，解方程组， 因为函数与互为反函数， 所以由反函数性质知、关于对称， 则，，所以， 当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC 27．已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则．故选：ABD. 28．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】BD 【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解. 【详解】作出函数在时的图象，如图所示， 设， 则关于的方程的方程等价于 解得：或， 如图，当时，即对应一个交点为， 方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为8； （2），即对应3个交点，且 ， 此时4个实数根之和为， 综上，4个实数根之和为或. 故选：BD. 29．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，若函数有三个零点，则 C．若函数恰有2个零点，则 D．若存在实数m使得函数有3个零点，则 【答案】ABD 【分析】A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出与的图象，得到要想有三个零点，则，进而得到，，求出的范围即可；C选项，求出当时，函数零点的个数，即可判断；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，从而求出的范围. 【详解】对于A，当时，， 当时，令，解得， 当时，令，解得或， 综上，当时，函数有3个零点，故A正确； 对于B，当时，， 令，则， 如图，画出与的图象如下： 要想有三个零点，则， 不妨设，则，， 故，则， 则，故B正确； 对于C，因为时，，或4时，， 当时，不存在零点，而有两个零点， 此时函数恰有2个零点， 则当时，函数也恰有2个零点，故C错误； 对于D，画出与的图象如下： 要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，故D正确.故选：ABD. 30．已知，若恰有3个零点，则的可能值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AD 【分析】由得，利用数形结合即可得到结论. 【详解】由得，作出函数，|的图像，如图所示． 当，满足条件， 当时，此时与有三个交点， 故符合条件的满足或． 故选：AD 31．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BCD 【分析】首先根据题意画出函数的图象，结合图象可知：当时，直线与的图象有2个交点，当直线与曲线相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案. 【详解】函数的图象，如图所示： 由题意知，直线与的图象有2个交点． 当直线过点时，， 当直线过点时，． 结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点， 如图所示： 又当直线与曲线相切在第一象限时， 直线与的图象也有2个交点，如图所示： ，化简可得，由，得， 又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合. 综上，实数a的取值范围是.故选：BCD． 32．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为16 【答案】ABD 【分析】作出函数的大致图象，由图象分析可得，，可判断A，B；由解出可判断C；又因为，然后表示出，利用基本不等式求出的最小值可判断D. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示： 要使直线与的图像有四个不同的交点，则，故A正确； 当时，对称轴为，所以，故B正确； 由，得或，则， 又，所以， 所以，故C错误； 所以，且， ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为， 故D正确.  故选：ABD 高考真题再现 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 3．（2010·天津·高考真题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2） 【答案】B 【详解】试题分析：因为函数f(x)=在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用． 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 4．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 6．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 课后作业 一、单选题 1．下列函数在区间内有零点且单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据基本初等函数的单调性以及零点的定义判断可得出合适的选项. 【详解】对于A，在上为减函数，不符合题意； 对于B，在上为增函数，令，解得，不合乎题意； 对于C，在上没有定义，不符合题意； 对于D，在上有零点，且在为增函数，符合题意.故选：D． 2．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先运用判断是否为奇函数，再求零点判断即可. 【详解】A选项：，函数不是奇函数，故A选项错误； B选项：，函数是奇函数，但不存在零点，故B选项错误； C选项：，函数是奇函数，且，故C选项正确； D选项：，函数不是奇函数，故D选项错误；故选：C. 3．已知函数，则函数的零点为（    ） A． B．，0 C． D．0 【答案】D 【分析】函数的零点，即令分段求解即可. 【详解】函数 当时，令，解得 当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0故选：D． 4．函数在上的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由，数形结合即可得解. 【详解】由，得，作出函数在上的图象如图所示， 因为， 所以由图可知直线与图象有3个交点，从而在上有3个零点.故选：B 5．已知函数有两个零点，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二次函数的性质和基本不等式进行判断即可 【详解】由题意得，且，是方程的两个根，故，所以，当且仅当时等号成立.若，则，反之，若，则，当，时，，但故“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 6．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果. 【详解】由的图象如下： 由图知：当时，，D可能； 当时，，B可能； 当时，，A可能.故选：C 7．已知函数的零点依次为，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，转化为函数，与函数的交点坐标，在同一平面直角坐标系结合函数图象，数形结合判断，的取值范围，由是的零点，直接求，然后与，进行比较大小 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝－x，的图象，结合函数y＝2x与y＝－x的图象可知其交点横坐标小于0，即a<0；结合函数与y＝－x的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即0<b<1；令log2x－2＝0，得x＝4，即c＝4.因此有a<b<c，选A. 8．已知函数，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点定义求出零点后可得． 【详解】时，由得， 时，由得或，所以四个零点和为．故选：D． 9．已知函数，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得到，把转化为，利用函数单调性求出最小值. 【详解】 函数的图像如图所示，作出交两点，其横坐标分别为a、b，不妨设. 由可得：，解得：， 所以 记， 任取，则。 因为，所以，所以， 所以 则在上单调递减，所以 故选：C 10．函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得． 【详解】解：因为，令，即，当时显然不成立， 当时，作出和的图象，如图， 它们关于点对称， 由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．故选：C． 11．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案. 【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则.故选：A. 12．已知函数若的图象上至少有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得当时，关于轴对称的图象所对应的函数解析式为，将问题转化为与至少有2个交点，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：当时，，则其关于轴对称的图象所对应的函数解析式为. 由题意知当时，与的图象至少有两个公共点， 即方程在区间,内至少有两个实根. 令， 在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，如图： 由图可知，若直线与曲线至少有两个公共点，则. 故实数的取值范围是.故选：C. 13．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，即可得到，令，则与有两个交点，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到，从而求出参数的取值范围. 【详解】解：令，即，所以， 即方程有两个不相等实数根， 令，则与有两个交点， 因为，则当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，则，当时，则， 所以，解得，即.故选：A 14．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得 ，即可解决. 【详解】由题可知，， 先将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得， 当时，， 因为在上恰有2个零点，所以，解得. 所以的取值范围为，故选：B 15.已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由第4个正零点小于1，第4个正最值点大于等于1可解 【详解】， 因为，所以， 又因为函数在内恰有个最值点和4个零点， 由图像得：，解得：， 所以实数的取值范围是.故选：A 16．下列区间中，函数一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 可得，由零点的存在性定理，可得函数一定存在零点的区间是.故选：B. 17．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由零点存在性定理运算即可得解. 【详解】由题意，函数是增函数并且是连续函数， 因为，，， ，所以，所以函数的零点在区间．故选：B． 18．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断在上单增，再用零点存在定理判断零点所在的区间. 【详解】函数定义域为，且在上单增. 因为，， 所以零点所在区间为.故选：B 19．设函数，则在下面区间中函数不存在零点的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：采取间接法，，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点； ，而，即，因此，故在上一定存在零点；虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，不能选B，C，D，那么只能选A． 考点：1.函数的零点；2.诱导公式；3.正弦函数的性质． 【一题多解】在同一坐标系中画出与的图象，如下图示：由图可知与的图象在区间上无交点， 由图可知函数在区间上没有零点，故选A． 20．已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据零点存在定理判断，从而可得结果. 【详解】因为在定义域内递增，且，， 由零点存在性定理可得，根据表示不超过实数的最大整数可知，故选：B. 二、多选题 21．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】BC 【分析】函数在定义域的零点个数可转化成的根的个数，根据偶函数的图像关于轴对称，只需考虑时的根的个数，从而可得结论. 【详解】当时， 当时，令，解得或2共有两个解； 当时，令，即，当时，方程无解； 当时，，符合题意，方程有1解； 当时，，不符合题意，方程无解； 所以当时，有2个或3个根，而函数是定义在R上的偶函数，所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6.故选：BC 22．设函数，则下列判断正确的是（　　） A．存在两个极值点 B．当时，存在两个零点 C．当时，存在一个零点 D．若有两个零点，则 【答案】BD 【分析】利用导数与极值点的关系可判断A，利用与图像结合条件可判断BC，根据零点的概念结合不等式的性质可判断D. 【详解】因为函数的定义域为， ， 设，， 且方程的两根之积为， 在上有一个正根，设为， 在上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减， 所以存在一个极大值点，A错误； 令，即， 函数的零点即为与的交点， 如图所示： 函数图像与轴的交点为， 当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确； 当时，与有两个不同的交点， 所以当时，存在一个零点，此说法不正确，C错误； 若有两个零点，假设， 则有即 两式相减得：，，则， ，，所以，即，D正确.故选：BD. 23．已知分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，根据可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到的范围即可判断D选项. 【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标， 如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确； 由反函数的性质可得，因为单调递增，， 所以，所以，故C错； 当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为 ，所以， 所以的范围为，那么，而，所以，故D正确. 故选：ABD. 24．设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．99 D．100 【答案】BC 【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可. 【详解】如图所示： 因为关于的方程有四个实数解，且， 所以. 的对称轴为，所以. 因为，所以，即，. 因为，所以.所以， 因为，为减函数，所以.故选：BC 25．已知函数在上恰有三个零点，则（    ） A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点 C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】利用函数在上有三个零点可求得的取值范围，可判断A选项；利用极值点的定义可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，当时，， 由函数在上恰有三个零点，所以，，解得， 所以，的最小值为，A错； 对于B选项，由A选项知，， 则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，B对； 对于C选项，当时，函数在上只有一个极大值点，C错； 对于D选项，当时，， 因为，所以，， 所以，函数在上单调递增，D对.故选：BD. 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第11讲 函数的零点题型总结 一、考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点 1：函数与方程 2025 年天津卷：函数零点所在区间；2024 年新课标 Ⅰ 卷：曲线交点个数；2024 年新课标 Ⅱ 卷：曲线交点求参数；2024 年新课标 Ⅱ 卷：函数性质判断（零点等）；2024 年新课标 Ⅱ 卷：三角函数性质（零点等）；2024 年天津卷：函数恰有一个零点求参数范围；2024 年全国甲卷：曲线交点求参数范围；2023 年新课标 Ⅱ 卷：函数极值相关零点条件；2023 年新课标 Ⅰ 卷：函数零点求参数范围；2023 年天津卷：函数恰有两个零点求参数范围；2022 年北京卷：函数零点求参数及函数值；2022 年天津卷：函数零点求参数范围；2021 年天津卷：分段函数零点求参数范围； 1. 函数零点问题常与函数单调性、零点存在性定理结合，涉及零点所在区间、零点个数判断。2. 曲线交点问题多转化为函数零点问题，常结合函数图象、奇偶性等性质，求参数范围是重点。3. 分段函数零点问题需分段讨论，结合不同区间函数特点分析。 考点 2：函数模型及其应用 2025 年北京卷：对数函数模型应用；2024 年上海卷：对数函数模型解不等式及求参数范围；2023 年上海卷：函数模型与零点结合求参数范围；2023 年新课标 Ⅰ 卷：对数函数模型应用（声压级）； 1. 函数模型多涉及指数函数、对数函数、二次函数等，常与实际问题结合，如疫情、销售、工程等场景。2. 应用问题重点在于建立函数关系，利用函数性质求解实际问题中的量，如时间、参数范围等。 二 知识再现 一、函数的零点与方程的根 1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、等价定义 （1）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （2）函数的零点就是方程的实数根． 二、零点存在定理 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得。 2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. 三、函数零点个数判断的一般方法 1、直接法：直接求零点，令，求出它的解，但是要注意零点是否有相同的部分. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 【常用结论】 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.零点不是点喔，是一个数！(偷偷告诉你，极值点也不是点，是数来着) 题型一 求函数的零点 一、单选题 1．已知函数，则的零点为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．已知函数则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．4 4．函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 题型二 比较零点的大小关系 5．设方程的两个根为，则 A． B． C． D． 6．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 题型三 求零点的和 8．已知函数，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 9．函数的零点之和为（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 10．函数与，两函数图象所有交点的横坐标之和为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 11．函数在上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 12．函数在区间上的所有零点之和等于（    ） A． B．0 C．3 D．2 题型四 根据零点个数求参数范围 13．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知函数（），若在上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 判断零点所在区间 18．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 19．已知方程的解在内，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．在下列区间中，函数的零点所在区间为（    ） A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4） 21．函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 22．函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 23．函数在区间上的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 24．已知函数，则以下结论正确的是（    ） A． B．函数是定义域上的增函数 C．函数有个零点 D．方程有两个实数解 25．已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．有三个零点 C．曲线与直线只有一个公共点 D．函数为奇函数 26．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（       ） A． B． C． D． 27．已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 28．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（    ） A．4 B． C． D．8 29．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，若函数有三个零点，则 C．若函数恰有2个零点，则 D．若存在实数m使得函数有3个零点，则 30．已知，若恰有3个零点，则的可能值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 31．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 32．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为16 高考真题再现 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（2010·天津·高考真题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是（ ） A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2） 4．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 6．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 课后作业 一、单选题 1．下列函数在区间内有零点且单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的零点为（    ） A． B．，0 C． D．0 4．函数在上的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知函数有两个零点，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的零点依次为，则 A． B． C． D． 8．已知函数，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 11．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数若的图象上至少有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．下列区间中，函数一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 17．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 18．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 19．设函数，则在下面区间中函数不存在零点的是 A． B． C． D． 20．已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 21．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 22．设函数，则下列判断正确的是（　　） A．存在两个极值点 B．当时，存在两个零点 C．当时，存在一个零点 D．若有两个零点，则 23．已知分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 24．设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．99 D．100 25．已知函数在上恰有三个零点，则（    ） A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点 C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $