精品解析：浙江省嘉兴市第五高级中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性测试数学试题

嘉兴市第五高级中学2025学年第一学期阶段性测试 高一年级 数学 试题卷 （2025.12） 考生须知： 1.本试卷为试题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 3.考试结束，上交答题卷. 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 6 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数图象经过点，则（ ） A. B. 的图象经过点 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为______． 13. 函数的单调递减区间为______. 14. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正常数，污染物的初始含量为______；如果在前消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费______小时（精确到）.（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知集合． （1）求集合； （2）求． 16. 在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值. （3）求的值. 17. 已知. （1）化简； （2）若，且，求值； （3）若，求的值. 18. 已知函数． （1）求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数； （2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有两根，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴市第五高级中学2025学年第一学期阶段性测试 高一年级 数学 试题卷 （2025.12） 考生须知： 1.本试卷为试题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 3.考试结束，上交答题卷. 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式，求解即可. 详解】由诱导公式，且， 可得，即. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性排除部分选项，再由，排除部分选项求解. 【详解】函数的定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数，即可排除A， 当时，，排除， 故选：B． 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，则， 由， 两边平方可得， 即，则. 故选：D 7. 设函数，则下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：A. 8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， ，因为，其中， 所以，，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理. 二、选择题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 的图象经过点 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可. 【详解】由幂函数的图象经过点， 则，得，所以幂函数，所以A正确； 又，即的图象经过点，B正确； 且在上单调递增，C正确； 不等式，即，解得，D错误. 故选：ABC. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，则，A错误； 对于B选项，取，，则，B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D选项，因为，当且仅当时， 即当时，等号成立， 所以，，D正确. 故选：CD. 11. 设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得可判断A；由可得，列方程组，解出可判断B；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C；由得可判断D. 【详解】选项A：因为为奇函数，所以， 即关于对称，又是定义在上的函数，则，故A正确； 选项B：由可得，则有， 故B正确； 选项C：因为，所以，即的周期为4； 因为，即， 所以； 因为关于对称，所以， 则，故C错误； 选项D：由得， 即为偶函数，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由扇形的面积公式求解即可． 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，所以，，解得：． 故答案为：2． 13. 函数的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用变量代换，令， 求解. 【详解】因为函数的单调递减区间为，， 令， ， 解得：， ， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 14. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正常数，污染物的初始含量为______；如果在前消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费______小时（精确到）.（参考数据：） 【答案】 ①. ②. 57 【解析】 【分析】①利用特殊值代入法，当时间 时，指数项 ，因此直接得到初始含量为 即可； ②先通过已知条件（前消除10%）建立方程（将指数形式转化为线性形式），解得衰减系数 ，再利用对数运算（换底公式）将自然对数转化为常用对数，结合已知条件计算出时间即可. 【详解】①当 时，，因此初始含量为； ②因为前消除10%，即剩余90%，因此： ，化简得 ， 两边取自然对数：，即 ， 又因为污染物减少70%，即剩余30%，此时 ，代入公式： ，化简得 ， 取自然对数：， 将 代入，得：， 利用换底公式 ，化简为： ， 代入 ： （小时） 故填：； 57. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知集合． （1）求集合； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得出集合A； （2）先由得出，再应用并集定义计算求解. 【小问1详解】 由，解得：或，所以； 【小问2详解】 ，， . 16. 在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值. （3）求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，结合，即可求得实数及的值； （2）利用齐次式，即可求得结果； （3）利用可将原式化为齐次式，即可求得结果； 【小问1详解】 ∵角与单位圆交于点，∴，， 又角为第二象限角，且，∴， ∴. 【小问2详解】 . 小问3详解】 . 17. 已知. （1）化简； （2）若，且，求值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由题设可得，进而求得，再结合求解即可； （3）结合诱导公式代值计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）知， 则， 因为，所以，则. 【小问3详解】 由，， 则 . 18. 已知函数． （1）求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数； （2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：对于函数，则，可得， 所以，函数的定义域为， 证明单调性：设， 则有， ， 由于，所以，，， 并且 ，则， 于是， 所以，即：， 所以函数在定义域上单调递增． 【小问2详解】 解：当时，， 所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立， 等价于在恒成立． 由可得，所以，， 则， 于是实数的取值范围是． 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有两根，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数，的解析式 ； （2）令，则，原不等式等价于在上恒成立，分三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数的取值范围，综合三种情况可得答案； （3）先通过换元结合韦达定理，可得满足，， 则可化为，再利用二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以函数的反函数是， 可知，. 【小问2详解】 由（1）可证且， 因此， 令，可知， 即在上恒成立， 令， 当，可知在上单调递增， ，可知， 当时，易知不符合， 当时，可知， 只需要且， 即且， 可知， 综上：或 【小问3详解】 由可知：， 即有两根，， 令，，， 则有两根，， 满足，， 可知，， 因此 =， 令，再令， 则，， 易知当时，，故最小值为 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $