2025-2026学年人教版数学八年级上学期期末模拟试卷（南通地区适用，范围：新教材八年级上册+二次根式与勾股定理）

2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 参考答案与试题解析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试范围：新教材人教版八年级上册+下册的二次根式、勾股定理 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A D A C D C 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.） 1．（2025秋•利津县期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：D选项中的图形是轴对称图形，符合题意； A、B、C选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 2．（2025秋•长沙期中）下列运算中，正确的是（　　） A．（﹣3a）3＝﹣9a3 B．a6•a4＝a10 C．（﹣a2）3＝a5 D．a8÷a2＝a4 【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法和除法法则进行逐项分析即可． 【解答】解：A、（﹣3a）3＝（﹣3）3•a3＝﹣27a3≠﹣9a3，不符合题意； B、a6•a4＝a6+4＝a10，符合题意； C、（﹣a2）3＝（﹣1）3•（a2）3＝﹣a6≠a5，不符合题意； D、a8÷a2＝a8﹣2＝a6≠a4，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法和除法法则，熟知以上知识是解题的关键． 3．（2024秋•东莞市期末）使分式的值为零的x的值是（　　） A．x＝2 B．x＝±2 C．x＝﹣2 D．x＝﹣2或x＝﹣1 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴x2﹣4＝0且x2+3x+2≠0． 由x2﹣4＝0得：x＝±2． 由x2+3x+2≠0得：x≠﹣1且x≠﹣2． ∴x＝2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键． 4．（2025秋•美兰区期中）如果关于x的二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么常数m的值是（　　） A．13 B．﹣12 C．﹣12或12 D．﹣11或13 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式（完全平方和、差公式）乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵4x2+（m﹣1）x+9是完全平方式， ∴（m﹣1）x＝±2×3×2x， ∴m﹣1＝±12， ∴m＝13或﹣11， 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是理解完全平方式的定义． 5．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（　　） A．5cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2 【分析】根据勾股定理先求出斜边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积． 【解答】解：∵5厘米， ∴带阴影的矩形面积＝5×1＝5平方厘米． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和长方形的面积公式． 6．（2025春•甘南州期末）一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（　　） A．4 B． C．4或 D．2 【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论． 【解答】解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4； ②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是． 故选：C． 【点睛】注意此类题一点要分情况进行讨论，熟练运用勾股定理进行求解． 7．（2025秋•宁乡市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连接BD，若△ABC的周长为20，CE＝4，则△ABD的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出CD＝BD，求出△ABD的周长＝AC+AB，代入求出即可． 【解答】解：∵CE＝4，DE是线段BC的垂直平分线， ∴BC＝2CE＝8，BD＝CD， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+AC＝20﹣BC＝20﹣8＝12， ∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AC+AB＝12． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质得出BD＝CD是解此题的关键． 8．（2024春•高新区月考）如图，AD是△ABC角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠EOD的度数为（　　） A．20° B．30° C．10° D．15° 【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°， ∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴， ∴∠ADE＝30°+50°＝80°， 又∵OE⊥BC， ∴∠EOD＝90°﹣80°＝10°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和定理的应用． 9．（2024秋•莒南县期中）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．8 C．6或8 D．以上都不对 【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可． 【解答】解：∵|m﹣2|0， 又∵|m﹣2|≥0，0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， 解得：m＝2，n＝4， 当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10， 当4是底时，2，2，4不能构成三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 10．（2025秋•西安期中）如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．12 B．13 C．25 D．36 【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据直角三角形的边长求解即可． 【解答】解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1， ∴四个直角三角形的面积和是13﹣1＝12，即， 即2ab＝12，a2+b2＝13， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，关键是相关定理的熟练掌握． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（2025•舟山三模）因式分解：x2﹣2025x＝ x（x﹣2025）　 ． 【分析】提取公因式x进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝x（x﹣2025）， 故答案为：x（x﹣2025）． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．（2025秋•金牛区期中）在平面直角坐标系中，点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称，则　　 ． 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：∵点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称， ∴， 解得：， 则． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 13．（2024秋•阜宁县期末）一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是　50°或80°　 ． 【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． 【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°； （2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°． 故填50°或80°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 14．（2024秋•北流市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，4），在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为 　（2，0）或（2，4）　 ． 【分析】依题意得OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，因此有以下两种情况，①在x轴的正半轴上取一点C，使OC＝OA＝2，连接BC，则△BOC≌△BOA，此时点C（2，0）；②过点C作BC⊥y轴，且BC＝OA＝2，连接OC，则△OBC≌△BOA，此时点C（2，4），综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， 又∵∠AOB＝90°， ∴在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等时，有以下两种情况， ①在x轴的正半轴上取一点C，使OC＝OA＝2，连接BC，则△BOC≌△BOA，如图1所示： 理由如下： 在△BOC和△BOA中， ， ∴△BOC≌△BOA（SAS）， ∵OC＝OA＝2， ∴点C的坐标为（2，0）； ②过点C作BC⊥y轴，且BC＝OA＝2，连接OC，则△OBC≌△BOA，如图2所示： 理由如下： ∵BC⊥y轴， ∴∠CBO＝∠AOB＝90°， 在△OBC和△BOA中， ， ∴△OBC≌△BOA（SAS）， ∵BC⊥y轴，且BC＝OA＝2， ∴点C的坐标为（2，4）， 综上所述：点C的坐标为（2，0）或（2，4）． 故答案为：（2，0）或（2，4）． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，坐标与图形，理解坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 15．（2025春•武威期末）已知是正整数，则正整数n的最小值是 　2　 ． 【分析】由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案． 【解答】解：3， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的性质，理解|a|是解题关键． 16．（2025秋•祁阳市期中）若1＜x＜2，则化简　3﹣2x ． 【分析】根据二次根式的性质解答． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣2＜0，1﹣x＜0， ∴原式 ＝|x﹣2|﹣|1﹣x| ＝2﹣x﹣x+1 ＝3﹣2x． 【点睛】解答此题，要弄清二次根式的性质：|a|，去绝对值的方法． 17．（2025•金华模拟）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A，B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P．AB＝6，AC＝8，BC＝10．则CP的长度是 　　 ． 【分析】根据题意得出P为Rt△ABC的重心，连接CP并延长交AB于点F，勾股定理求得CF，进而根据重心的性质，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接CP并延长交AB于点F， ∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 依题意，P为Rt△ABC的重心， ∴， 在Rt△ACF中，， ∴CP， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，勾股定理，熟记三角形重心的性质，勾股定理是解题的关键． 18．（2025秋•雁塔区月考）在△ABC中，∠BAC＝40°，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点M、N分别是线段BD、BC上的动点，且BM＝CN．当AM+AN的值最小时，∠MAD的度数为　10°　 ． 【分析】在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'，则AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上，推出∠A'AC＝∠A'＝30°，所以∠BAM＝30°，即可得到∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝40°﹣30°＝10°． 【解答】解：在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'． 则∠NCA'＝∠MBA，AM＝A'N． ∴AM+AN＝A'N+AN≥AA'， 即AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上． ∵∠BAC＝40°，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝70°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠NCA'＝50°， ∴∠ACA'＝70°+50°＝120°， ∴∠A'AC＝∠A'＝30°， ∴∠BAM＝∠A′＝30°， ∴∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝40°﹣30°＝10°， 故答案为：10°． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（2024春•灯塔市期末）（1）解方程：1； （2）先化简，再求值：•，其中a1． 【分析】（1）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可； （2）先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（1）方程两边同乘（x+1）（x﹣1）， 得（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1）， 整理得2x﹣2＝0， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， 所以原方程无解； （2）• • ， 当a1时， 原式1． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式的化简求值等知识点，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（2）的关键． 20．（10分）（2025秋•岳阳期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解：（1） ＝﹣1+4﹣2+1 ＝2； （2） 3 ＝24﹣3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．（8分）（2024秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD． 求证：△CDO是等腰三角形． 【分析】根据BC＝DB和∠DEF＝30°可求得∠BDC和∠BCD的值，根据∠ACB＝45°即可求得∠DOC的值，即可解题． 【解答】证明：∵在△BDC 中，BC＝DB， ∴∠BDC＝∠BCD． ∵∠DBE＝30°， ∴∠BDC＝∠BCD＝75°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠DOC＝30°+45°＝75°． ∴∠DOC＝∠BDC， ∴△CDO是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，本题中求证∠DOC＝∠BDC是解题的关键． 22．（12分）（2025•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 　（3，2），（4，﹣1）　 ； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°； ②在图2中，作出△ABO的高AQ． 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可； （2）①构造等腰直角三角形解决问题即可； ②取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接AJ延长AJ交OB于点Q，线段AQ即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）； （2）①如图1在，点P即为所求（答案不唯一，（2，2），（0，﹣1）也满足条件）； ②如图2中，线段AQ即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 23．（12分）（2024春•东昌府区期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1＝a2﹣b2 ，S2＝　（a+b）（a﹣b）　 ；写出上述过程所揭示的乘法公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （2）应用公式计算： ①已知，，求的值． ②2024×2026﹣20252． 【分析】（1）用代数式表示图中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式将，写成（3xy）（3xy）＝12，再代入计算即可； ②根据平方差公式将原式形成＝（2025﹣1）（2025+1）﹣20252进行计算即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）①∵， ∴（3xy）（3xy）＝12， ∵， ∴12÷4＝3； ②原式＝（2025﹣1）（2025+1）﹣20252 ＝﹣20252﹣1﹣20252 ＝﹣1． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 24．（10分）（2024秋•河西区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （Ⅰ）这项工程的规定时间是多少天？ （Ⅱ）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作共同完成．则该工程施工需要多少天？ 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，根据由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天，列出分式方程，解方程即可； （2）设该工程施工需要m天，根据该工程由甲、乙两队合作共同完成，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成， 根据题意得：（）×151， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定时间是30天； （2）由（1）可知，3x＝90， 设该工程施工需要m天， 由题意得：（）m＝1， 解得：m＝22.5， 答：该工程施工需要22.5天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 25．（14分）（2025秋•青山湖区月考）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）AD的取值范围是C ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE＝2AD． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，此时用测角仪恰好测得∠ADE＝90°，并量得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，则AE的长为　31　 ． 【分析】（1）由中线可得BD＝CD，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果； （2）将AC转化为BE，利用三角形三边关系可知AB﹣AC＜AE＜AB+AC； （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造△BDM≌△CDA，再利用已知条件证明△ABM≌△ECA即可证出AE＝AM＝2AD； （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造△CDM≌△BDA可得AB＝CM，再证明△MED≌△AED可得AE＝EM，计算长度即可． 【解答】（1）解：∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∵∠BDE＝∠ADC，ED＝AD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， 证明方法为SAS． 故选：B． （2）解：由（1）得BE＝AC＝6， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴2＜AE＜14， ∵， ∴1＜AD＜7． 故选：C． （3）证明：延长AD至点M，使DM＝AD，连结BM， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵∠BDM＝∠CDA， ∴△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC，∠MBD＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠BCA， ∴∠MBD＝∠BAC， ∴∠MBD+∠DBA＝∠BAC+∠DBA， ∴∠MBA＝∠ECA， ∵AB＝CE，∠ABM＝∠ACE，BM＝AC， ∴△ABM≌△ECA（SAS）， ∴AE＝AM＝2AD． （4）解：延长AD至点M，使DM＝AD，连结CM， ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∵∠ADB＝∠CDM，AD＝MD， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴CM＝AB， ∵AD＝MD，∠ADE＝∠MDE＝90°，ED＝ED， ∴△AED≌△MED（SAS）， ∴AE＝EM＝EC+CM＝EC+AB＝20.2+10.8＝31． 【点睛】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． 26．（14分）（2024秋•恩施市期中）如图，点A（﹣4，0），B（0，3）在平面直角坐标系中的坐标轴上，点P（﹣1，1）为△AOB内一点，AB＝5． （1）求点P到AB的距离； （2）如图1，射线BP交OA的垂直平分线于点C，试判断线段AC与线段PC的关系，并说明理由； （3）如图2，Q（m，0）为x轴正半轴上一点，将AQ沿PQ所在直线翻折，与y轴，线段AB分别交于点F，G，试探究△BFG的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求△BFG的周长． 【分析】（1）过点P作PE⊥x轴于点E，PK⊥y轴于点K，PH⊥AB于点H，则PE＝PK＝OE＝OK＝1，再由三角形面积求出PH＝1，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质和角平分线定义求出∠PBA+∠PAB＝45°，则∠APC＝∠PBA+∠PAB＝45°，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥y轴于点N，再证Rt△ACM≌Rt△OCN（HL），得∠CAM＝∠CON，然后证∠COP＝∠CPO，得PC＝OC，即可解决问题； （3）过点P作PE⊥x轴于点E，PM⊥y轴于点M，PN⊥AB于点N，PR⊥QG于点R，连接PG、PF，由角平分线的性质得PE＝PM＝PN＝OE＝OM＝1，则BM＝OB﹣OM＝2，再证Rt△BPN≌Rt△BPM（HL），得BN＝BM＝2，同理可证Rt△PMF≌Rt△PRF（HL），得FM＝FR，同理Rt△PGN≌Rt△PGR（HL），得GN＝GR，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∵∠AOB＝90°， ∴S△AOBOA•OB4×3＝6， 如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，PK⊥y轴于点K，PH⊥AB于点H， ∵点P（﹣1，1）， ∴PE＝PK＝OE＝OK＝1， ∵S△ABP+S△AOP+S△BOP＝S△AOB， ∴AB•PHOA•PEOB•PK＝6， 即5•PH4×13×1＝6， 解得：PH＝1， 即点P到AB的距离为1； （2）线段AC与线段PC的关系为：AC＝PC，AC⊥PC；理由如下： ∵射线BP交OA的垂直平分线于点C， ∴AC＝OC， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， 由（1）可知，PE＝PK＝PH＝1， ∴BP平分∠ABO，AP平分∠BAO，OP平分∠AOB， ∴∠PBA＝∠PBO∠ABO，∠PAB∠BAO，∠AOP＝∠BOP＝45°， ∴∠PBA+∠PAB（∠ABO+∠BAO）90°＝45°， ∴∠APC＝∠PBA+∠PAB＝45°， 如图1﹣1，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥y轴于点N， 则∠CMA＝∠CNO＝90°， ∵BP平分∠ABO， ∴CM＝CN， 在Rt△ACM和Rt△OCN中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△OCN（HL）， ∴∠CAM＝∠CON， ∵∠CON+∠COB＝180°， ∴∠CAM+∠COB＝180°， ∴∠ABO+∠ACO＝360°﹣180°＝180°， 即2∠PBA+∠ACO＝180°， ∵AC＝OC， ∴∠COA＝∠CAO， ∵∠COA+∠CAO+∠ACO＝180°， ∴2∠COA+∠ACO＝180°， ∴∠PBA＝∠COA， ∵∠CPO＝∠BOP+∠PBO＝45°+∠PBA，∠COP＝∠AOP+∠COA＝45°+∠COA， ∴∠COP＝∠CPO， ∴PC＝OC， ∴AC＝PC， ∴∠APC＝∠PAC＝45°， ∴∠ACP＝90°， ∴AC⊥PC； （3）△BFG的周长不会发生变化；理由如下： 如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，PM⊥y轴于点M，PN⊥AB于点N，PR⊥QG于点R，连接PG、PF， 由（2）可知，点P为△AOB的三条内角平分线的交点， ∴PE＝PM＝PN＝OE＝OM＝1， ∵OB＝3， ∴BM＝OB﹣OM＝2， 在Rt△BPN和Rt△BPM中， ， ∴Rt△BPN≌Rt△BPM（HL）， ∴BN＝BM＝2， ∵将AQ沿PQ所在直线翻折，与y轴，线段AB分别交于点F，G， ∴∠PQA＝∠PQF， ∵PE⊥AQ，PR⊥QG， ∴PE＝PR， ∴PR＝PM＝PN， 同理可证：Rt△PMF≌Rt△PRF（HL）， ∴FM＝FR， 同理：Rt△PGN≌Rt△PGR（HL）， ∴GN＝GR， ∴△BFG的周长＝BG+GF+BF＝BG+GR+RF+BF＝BG+GN+FM+BF＝BN+BM＝2+2＝4， 即△BFG的周长不会发生变化，为定值4． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定、翻折的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学期末模拟试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 参考答案与试题解析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试范围：新教材人教版八年级上册+下册的二次根式、勾股定理 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.） 1．（2025秋•利津县期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•长沙期中）下列运算中，正确的是（　　） A．（﹣3a）3＝﹣9a3 B．a6•a4＝a10 C．（﹣a2）3＝a5 D．a8÷a2＝a4 3．（2024秋•东莞市期末）使分式的值为零的x的值是（　　） A．x＝2 B．x＝±2 C．x＝﹣2 D．x＝﹣2或x＝﹣1 4．（2025秋•美兰区期中）如果关于x的二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么常数m的值是（　　） A．13 B．﹣12 C．﹣12或12 D．﹣11或13 5．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（　　） A．5cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2 6．（2025春•甘南州期末）一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（　　） A．4 B． C．4或 D．2 7．（2025秋•宁乡市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连接BD，若△ABC的周长为20，CE＝4，则△ABD的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（2024春•高新区月考）如图，AD是△ABC角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠EOD的度数为（　　） A．20° B．30° C．10° D．15° 9．（2024秋•莒南县期中）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．8 C．6或8 D．以上都不对 10．（2025秋•西安期中）如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．12 B．13 C．25 D．36 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（2025•舟山三模）因式分解：x2﹣2025x＝ 　 ． 12．（2025秋•金牛区期中）在平面直角坐标系中，点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称，则　 ． 13．（2024秋•阜宁县期末）一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是　 ． 14．（2024秋•北流市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，4），在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为 　 ． 15．（2025春•武威期末）已知是正整数，则正整数n的最小值是 　 　 ． 16．（2025秋•祁阳市期中）若1＜x＜2，则化简　 ． 17．（2025•金华模拟）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A，B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P．AB＝6，AC＝8，BC＝10．则CP的长度是 　 ． 18．（2025秋•雁塔区月考）在△ABC中，∠BAC＝40°，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点M、N分别是线段BD、BC上的动点，且BM＝CN．当AM+AN的值最小时，∠MAD的度数为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（2024春•灯塔市期末）（1）解方程：1； （2）先化简，再求值：•，其中a1． 20．（10分）（2025秋•岳阳期中）计算： （1）； （2）． 21．（8分）（2024秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD． 求证：△CDO是等腰三角形． 22．（12分）（2025•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 　 ； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°； ②在图2中，作出△ABO的高AQ． 23．（12分）（2024春•东昌府区期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1＝ ，S2＝　 　 ；写出上述过程所揭示的乘法公式 　 ． （2）应用公式计算： ①已知，，求的值． ②2024×2026﹣20252． 24．（10分）（2024秋•河西区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （Ⅰ）这项工程的规定时间是多少天？ （Ⅱ）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作共同完成．则该工程施工需要多少天？ 25．（14分）（2025秋•青山湖区月考）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）AD的取值范围是 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE＝2AD． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，此时用测角仪恰好测得∠ADE＝90°，并量得旗杆高度AB＝10.8m，教学楼高度CE＝20.2m，则AE的长为　 ． 26．（14分）（2024秋•恩施市期中）如图，点A（﹣4，0），B（0，3）在平面直角坐标系中的坐标轴上，点P（﹣1，1）为△AOB内一点，AB＝5． （1）求点P到AB的距离； （2）如图1，射线BP交OA的垂直平分线于点C，试判断线段AC与线段PC的关系，并说明理由； （3）如图2，Q（m，0）为x轴正半轴上一点，将AQ沿PQ所在直线翻折，与y轴，线段AB分别交于点F，G，试探究△BFG的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求△BFG的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $