课时作业72 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

班级： 姓名： 课时作业72 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 (总分：100分) 基础巩固 C.P(A+B)= 13 20 1.(5分)(2024·山东烟台三模)一袋子中装有5个除 D.P(AB)-5 1 颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球， 5.(5分)(2024·山东滨州二模)已知随机事件A,B 从中不放回地每次取出1个小球，连续取两次，则 发生的概率分别为P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下 取出的这两个小球颜色不同的概率为 ( 列说法正确的是 () 3 A.0 A.若P(AB)=0.9,则A,B相互独立 B.若A,B相互独立，则P(A1B)=0.6 e号 C.若P(A1B)=0.5,则P(AB)=0.25 2.(5分)(2024·辽宁丹东二模)一个口袋中装有大 D.若B二A,则P(B|A)=0.8 小、形状相同的3个红球和2个白球，从中不放回 6.(5分)(2024·湖南邵阳三模)甲、乙两个工厂代加 地抽取3个球，已知口袋中剩下的2个球颜色相同 工同一种零件，甲加工的次品率为5%，乙加工的 的条件下，抽取的3个球颜色不同的概率为( 次品率为8%，加工出来的零件混放在一起.已知 甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的40%， 60%,任取一个零件，如果取到的零件是次品，则 1 c.2 号 它是乙工厂加工的概率为 () 3 3.(5分)(2025·山东临沂一模)长时间玩手机可能 A.20 影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学 c 号 生每天玩手机超过1h,这些人近礼率约为7，其余 7.(6分)（多选）(2024·江苏镇江三模)同时抛甲、乙 两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A, 学生的近视率约为 8,现从该校任意调查一名学 “乙正面向上”为事件B,“甲、乙至少一枚正面向 上”为事件C,则下列判断正确的是 () 生，他近视的概率大约是 A.A与B相互对立 B.A与B相互独立 C.PC)- nP(BO=号 c n专 8.(6分)（多选）(2024·山东济南三模)某同学投篮 两次，第一次命中率为号若第一次命中，则第二 45分)(2024·福建莆田二模)若P(AB)=0 P=号P(B)=子则 1 次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率 A.事件A与B互斥 为2·记A,(i=1,2)为第i次命中，X为命中次数， B.事件A与B相互独立 则 红对勾·讲与练 420 高三数学 班级： 姓名： 2 4 (3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生 A.P(A,)= B.E(X)= 面试的概率. CD(X)-号 D.PA1A)-号 9.(5分)(2024·山东济宁三模)甲和乙两个箱子中 各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白 球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一 个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出 的球是白球的概率为· 得分 10.(6分)(2024·天津和平区二模)为铭记历史、缅 怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团 知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、 丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回 答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为 号：甲、丙两人都回答正确的概率为行，乙、丙肉 人都回答正确的概率为若规定三名同学都回 答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人 回答正确的概率为 :若规定三名同学抢 答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率 分别为片行子·则这个间题日谷上确的气车为 得分 11.(14分)为了选拔培养有志于服务国家重大战略 需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教 育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强 基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过 强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲、 乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答 对第一题的概率分别是5了子谷对第二题的 概率分别是1,12 2’3’3 得分 (1)求甲考生通过强基招生面试的概率； (2)求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过 强基招生面试的概率； (横线下方不可作答)421☐ 第十章计数原理、概率 12.(16分)某校学生会文艺部有男生4人，女生2人 素养提升 得分 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女 13.(6分)（多选）(2024·山西吕梁二模)甲、乙两名 生互不相邻，这样的排法有多少种？ 同学分别从a,b,c,d四门不同的选修课中随机 (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演 选修两门.设事件X=“a,b两门选修课中，甲同 学至少选修一门”，事件Y=“乙同学一定不选修 活动. c”,事件Z=“甲、乙两人所选选修课至多有一门 ①求男生甲被选中的概率； 相同”，事件W=“甲、乙两人均选修d”,则 ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件 下，求女生乙被选中的概率 A.P(X)-P(Z) B.P(Y)=P(W) C.X与Y相互独立D.Z与W相互独立 14.(6分)（多选）(2024·福建三明三模)假设甲袋中 有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个 红球.现从甲袋中任取2个球放人乙袋，混匀后再 从乙袋中任取2个球，则下列选项正确的是 A.从甲袋中任取2个球是1个红球、1个白球的概 车为号 B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率 为员 C.从乙袋中取出的2个球是红球的概幸为3 50 D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中 取出的也是2个红球的概率为， /创新训练 15.(5分)有以下6个函数：①f(x)=√x-4+ 1 -f(r)-f()-sinif(r)- cos 2() 1-x ；⑥f(x)=2x十3.记事 件M为“从中任取1个函数是奇函数”，事件N为 “从中任取1个函数是偶函数”，事件M,N的对 立事件分别为M,N,则 () A.P(M)=P(M+N)-P(N) B.P(MN)=P(M)P(N) C.P(M+N)=P(M)+P(N) D.P(MI N)=P(MI N) 红对勾·讲与练 422 高三数学 ■降雨量 70 110 140 160 200 220 3 1 3 频率 7 20 5 20 20 1 (2)根据题意得Y=460+ X-70 10 5= 2 +425, 故P(发电量低于490万千瓦时或超 过530万千瓦时)=P(Y<490或 Y>530)=P(X<130或X> 210)=P(X=70)+P(X=110)+ P(X=220)= 1 3 20 20 +品 T10 故今年六月份该水力发电站的发电 量低于490万千瓦时或超过530万千 3 瓦时的概率为」 12.解：(1)设甲袋中的红球为r1,r2,白 球为心，蓝球为b,乙袋中的红球为 R,白球为W,蓝球为B1,B2,则从两 袋中各取一球，所有情况如下： (r1,R),(r1,W),(r1,B1),(r1,B2) (,R),(e,W),(,B1),(,B2), (r2,R),(r2,W),(r2,B1),(r2,B2), (b,R),(b,W),(b,B1),(b,B2),共 16种. 设A为“取到的两球颜色相同”，则A 含有的情况如下： (r1,R),(r2,R),(,W),(b,B1), (b,B2),共5种，则P(A)= 161 (2)如(1)中所设，从甲袋中随机取两 球，从乙袋中随机取一球，所有情况 如下： (r1r2,R),(r1r2,W),(r1,r2, B1),(r1r2,B2),(r1,R),(r1, ,W),(r1,e,B1),(r1,B2) (r1b,R),(r1b,W),(r1b,B1), (r1,b,B2),(r2,b,R),(r2,b,W), (r2,b,B1),(r2,b,B2),(r2,w,R), (r2,e,W),(r2,,B),(r2,, B2),(b,,R),(b,,W),(b,, B1),(b,,B2),共24种， 设B为“取到至少一个红球”，其对立 事件设为C,则C为“没有取到红球”， C含有的情况如下：(b,心，W),(b,, B1),(b,,B2),共3种， 故P(C)= =日故PB)=1- 24 P(C)=1- 1 7 8 81 13.B由0,1,2,3四个数字组成的没有 重复数字的四位数，由于0不能出现 在千位，则0的位置有C种情况，再 排其他三个数字，共有A种情况，即 可以组成没有重复数字的四位数共 有C·A=18(种)情况.若该四位 2树勾·讲与练·高三数学 数为偶数，可以分为两类，当个位数 字是0时，有A种情况，当个位数字 是2时，有CA种情况，所以该四位 数为偶数共有A十CA:=10(种)情 况.设事件A表示从0,1,2,3四个数 字组成的没有重复数字的四位数中 任取一个数，该数是偶数，则P(A)= 吕-名成选取 10 14.C方法一任意抽取3张，其中有1 张样式二的邮票的概率P,= S-器-子其中有2张林式一 C 的邮票的概率P,=CC=4 C 6 三，其中有3张样式二的邮票的概率 户是-斋品肉以少东1亲 样式二的邮票的概率P=P1十P2十 13.故选C P%=1 方法二任意抽取3张，全部都是样 C好1 式一的邮素的概率为己=，所以 至少有1张样式二的邮票的概率为 1一13.故选C. 1-4=14 5 15.36 解析：由题意得n1,n2∈1,2,3,4,5， 6,n1十n2∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10， 11,12},记每个样本点为(n1,n2), 甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次， 共有6×6=36（个）样本点.（2x+ ):的展开式中只有第4项的二 项式系数最大，则当n1十n2=6时， (2:+兰)广共有7项，其中只有第4 项的二项式系数最大，当1十n2为其 他值时，均不满足只有第4项的二项 式系数最大，当n1十n2=6时，有(1， 5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5个 样本点满足要求，故甲胜的概率为石、 课时作业72事件的相互独立性 与条件概率、全概率公式 1.D由题意，第一次取出的可能为红球 或黑球，故连续取两次，则取出的这两 个小球颜色不同的概奉为子×子 2、33 行X=后故选D 2.A设事件A=“口袋中剩下的2个球 颜色相同”，事件B=“抽取的3个球颜 色不同”，所以事件A共有C号十C号= -634- 4(个)样本点，事件AB共有CC= 3(个)样本点，所以P(BA)= =子故选A n(A) 3.C设事件A为“任意调查一名学生， 每天玩手机超过1h”,事件B为“任意 调查一名学生，该学生近视”，则P(A)= 号P(BA)=PBA)=令， 所以P(A)=1-PA)=专，则 P(B)=P(A)P(BA)+P(B A). P(A)= 选C. 4BPA)-1-号-台从而P(a PB)-号×--PAB≠0 故A错误，B正确；P(A十B)= 1 P(A)-P(B)-P(AB)= 0=20,故C错误，P(AB)=P(B) 111 PAB)=}。-品长D民故 选B. 5.D因为P(AB)≠P(A)P(B),所以 A与B不相互独立，故A错误；若A,B 相互独立，则P(A1B)=P(AB P(B) P(A)P(B)=P(A)=0.5,故B错 P(B) 、误：因为P(AB)三P,所以 P(AB)=P(B)P(A B)=0.4X 0.5=0.2,故C错误：若B二A,则 P(AB)=P(B)=0.4,所以P(B A--等=08裁D五 故选D. 6.D设事件M=“任取一个零件，取到 的零件是次品”，N,=“任取一个零 件，来自甲工厂”，N2=“任取一个零 件，来自乙工厂”，由题意得P(N1)= 0.4,P(V2)=0.6,P(MV1)=0.05, P(MN2)=0.08.因为P(M)= P(N)·P(MIN)+P(N2)· P(MN2)=0.4×0.05+0.6× 0.08=0.068,所以P(N2「M)= P(MN2_P(N)P(MI N2 P(M) P(M) 0.6×0.08=12.故选D. 0.068 -17 7.BD由题意可知，事件A与事件B有 可能同时发生，即“甲正面向上且乙正 面向上”，故事件A与事件B不是互斥 事件，当然也不是对立事件，故A错 误：依道意PA)=P(B)= P(AB)-2X2 1=P(A)P(B), 所以事件A与事件B相互独立，故B正 确：P(C)=1-×=是，为 1 B二C,所以P(BC)=P(B 0= 2 P(BC) 2 2 所以P(BC)= P(C) 3 4 故D正确，C错误，故选BD. 8.ABD )易知P(A2)=P(A1)P(A2 A,)+pA,)PA:A,)=号x 号X号-号故A正璃：易知PA A,)= P(AA2) 3 = 4 3 ，故 P(A2) 2 4 3 D正确；易知X可取0,1,2，则P(X= 0)=1 2 3X 1 1 4 3 3,PX=2)=2 3 1 4 所以E(X)=0X日+1X 13 +2 ×号=专Dx)=(0 号)厂广×之=号故B正确，C皓误，故 选ABD. 9号 解析：依题意，取出的球是白球的事件 A是选甲箱并取出白球的事件A,与选 乙箱并取出白球的事件A,的和，显然 事件A1与A2互斥，P(A1)= 1 1 ,所 6 3 以P(A)=P(A)+P(A2)= 1 2 10. 7 37 72 解析：根据题意，设甲回答正确为事 件A,乙回答正确为事件B,丙回答正 确为事件C,则P(A)= 2,P(AC)= P(A)P(C)=1,P(BC)=P(B). 3 P(C)= 日所以P0, 3 P(B)=子，若规定三名同学都回谷 这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至 少有1人回答正确的概率P,=1一 PABC)=1-(1-3)×(1 )×(1-子)=日，若规定三名同 学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答 题机会的能条分州为宁·日日利这 1 个问题回答正确的概率P:=2X 1.解：(1)甲考生通过考核进入面试环 1 节，答对第一题的概率是了，答对第 1 二题的概率是2一甲考生通过强基 招生面试的概率为P:=3 (2)乙考生通过强基招生面试的概率 1 1 为P=2X3=6 .甲、乙两位考生中有且只有一位考 生通过强基招生面试的概率为 p=日×(1-)+(1-)× 1 5 6=18 (3)丙考生通过强基招生面试的概率 1 21 为P=×3=6 甲、乙、丙三人中至少有一人通过 强基招生面试的概率为P'=1一 (-6)×(-)×(1-日) 91 216 12.解：(1)先将4名男生全排列，形成5 个空，再从5个空中选出2个位置排 列2名女生， 所以2名女生互不相邻的排法有A· A=480(种). (2)①设事件A表示“男生甲被选 51 中”则P(A)三C=15=3 ②设事件B表示“被选中的两人为一 男一女”，事件C表示“女生乙被选 中”，则P(B)= C C8 C 15】 P (BC)=C C F=5,所以P(C1B)= 4 4 P(BC)15_1 P(B)=8 =2 所以在要求被选中的两人中必须一 男一女的条件下，女生乙被选中的概 率为2 -635- BAC国为PX)=1-名-号 P(Y)= C C2 P(2)=1 1 品w-器- C 故A正确，B错误；因为P(XY)= (CC。+C号)C 5 C号C 二=P(XPY) P(ZW)= CC CC 所以X与Y相互独立，Z与W不相互 独立，故C正确，D错误.故选AC. 14.ACD设从甲袋中取出2个球有i个 红球的事件为A,,i=0,1,2,从乙袋 中取出的2个球是红球的事件为B, 则P(A。)= 会：OP(A)● 1 CC C P)- C 3 -10' P(BA。)= 5P(B1A)= C 1 C_2.从甲 =5PBA,)== 袋中任取2个球是1个红球、1个白球 的概率为P(A)三，A正确：从甲 乙两袋中取出的2个球均为红球的概 牵为PA,P(BA,)=品×号 ,B错误：从乙袋中取出的2个球是 红球的概率P(B)= P(A,)· 1 1 3 P(BA,)=0×+亏X方+ 品×号品C三确：考从乙袋中取 出的是2个红球，则从甲袋中取出的 也是2个红球的概率P(A,|B)= P (A:B)P(B A:)P(A2) P(B) P(B) 3 = 37 37D正确.故选ACD, 150 15.D对于①，f(x)=√-4+ √4-x2, 新8#好 x=士2，所以f(x)=0,其定义域为 {x|x=士2}，故为偶函数且为奇函 数：对于@)=是为奇高数对 于③，f(x)=sinx为奇函数；对于 ④，f(x)=c0s2x为偶函数；对于 Ofx)=二三的定义战为红 x≠1}，为非奇非偶函数；对于⑥， 参考答案·2。 f(x)=2x十3为非奇非偶函数.则 事件M为①②③，事件M为④⑤⑥， 事件N为①④，事件N为②③⑤⑥， 事件M+N为①②③④，事件M+N 为@，所以P(M）=号=： 1 PN==Pm)= 合PW)-音-是PM+N =子PM+N)=名=所 以P(M)≠P(M+N)-P(N), P(M+N)≠P(M)+P(N),故A, C错误；又事件MN为①，所以事件 MN为②③④⑤⑥，所以P(MN)= 名则P)≠P)p.放B 错误：又PM1N)=,PM N)=是=合所以P丽N》 P(M|N),故D正确.故选D. 课时作业73离散型随机变量的 分布列及其数字特征 1.B由已知得E(Y)=2,D(Y)=0.04, 则E(5Y十1)=5×E(Y)十1=11， D(5Y+1)=25×D(Y)=1.故选B. 7 2.D由题可知，3十m十6 -2m=1, 解得m2,则E(X)=0X二+2 3 6 了故选D 1 1 3.A由题意可知a十3十5a十6 =1, 1 解得a=2,所以离散型随机变量y 的概率分布列为 Y -1 1 3 5 1 5 P 1 12 3 12 6 所以P(Y≥3)=P(Y=3)十P(Y= 51 7 5)=2十6=2故选A 4.A由题意得λ十2入十3λ十4λ=1，解 得A=故EX)=1×品+2× 1 品+8×是+4x合-3，D0X) 1 .2 1-3)°×0+(2-3)×0+ (3-3)×昌(4-3)×号=1故 4 选A 5.D由分布列可得E(X)=6X0.07十 7×0.22+8×0.38+9×0.30+10× 0.03=8,E(Y)=6×0.09+7X 红对勾·讲与练·高三数学 0.24+8×0.32+9×0.28+10× 0.07=8,D(X)=(6-8)2×0.07十 (7-8)2×0.22+(8-8)2×0.38+ (9-8)2×0.30+(10-8)2×0.03= 0.92,D(Y)=(6-8)2X0.09+ (7-8)2×0.24+(8-8)2×0.32+ (9-8)2×0.28+(10-8)2×0.07= 1.16,所以E(X)=E(Y),D(X) D(Y).故选D. 6.A根据随机变量分布列的性质可知 1 2二a+子+b=1,所以b3a,所 3 以E(X)=0x2g0+1X号+2b- 3 日1+2a.所以D0)=广0 1+ax2号-1-1- 3 1×1+2- 1 72 3 1+2a)× 3 4 8 2 2 1)+3,因为0<a<1,所以D(X) 单调递增.故选A. 7.ACD由题意得2a十0.25十a=1→ a=0.25,所以E(X)=-2×0.5十 1×0.25+3×0.25=0,D(X)= (-2-0)×0.5+(1-0)2×0.25+ (3-0)2×0.25=4.5,P(0.5<X< 3.5)=P(X=1)+P(X=3)= 0.25十0.25=0.5.故选ACD. 8.AD若用方案甲，设化验次数为X, 则X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7，所 7 以P(X=1)=8P(X=2)=8X 7=8,A正确：若用方案乙，设化验 11 次数为Y,若Y=3,有两种情况：①头 C31 4只均为阴性，则P=C×X了 日，@大4只有和准，则P,=cC× C 子×号=日所以化验欢我为3的疑 111 率为P(Y=3)=8十8=，B错 误；若用方案甲，则P(X=3)= P(X=4)=P(X=5)=P(X= 6=日P(X==1=所 以E(X)=(1+2+3十4十5+6)× 日十7×是=曾C得误若用方案 乙，y可取23,4，PY=2)=S× C C 子PY=)=1-X2=号所以 -636- B)）=2×号+3x子+4×2= .因为E(X)>EY),所以方案乙 比方案甲好，D正确.故选AD. 1 6 9.105 解析：依题意，的可能取值为0,1,2， -:=》= P(g=0)=S CC C 号P=2)--品所 3 以B)=0X品+1x号+2x 3 6 5 5 10. 解析：由P(ξ=x)=ax十b(x= -1,0,1)可得P(=-1)=b-a, P(g=0)=b,P(ξ=1)=b十a, 所以b一a十b十a十b=3b=1,则 b= 3,又E()=-1X(6-a)+ 0×b+1X(a+b)=2a=3,则a= ,所以随机变量的分布列为 1 -1 0 1 1 1 6 3 所以D()=日×(1-号) 3)十 日x-）”+×(-)- 5 11.解：(1)甲同学过关有两种情况，分别 为事件A:前两个问题一对一错，第三 个问题答对，事件B:三个问题均答 对，其概率分别为P(A)=子×× 是×子×号=子所以甲同学过关 的概率为P(A)十P(B)=4十8 5 (2)由题意可知，X的所有可能取值 为-5,0,5,10,15,20，