课时作业16 函数模型及其应用-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

班级： 姓名： 课时作业16 函数模型及其应用 (总分：100分) /基础巩固 P=fw.当p,S不变，v比原来提高10%时，下列说 法正确的是 1.(5分)(2024·山东泰安模拟)青少年视力问题是 A.若C不变，则P比原来提高不超过30% 社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测 B.若C不变，则P比原来提高超过40% 量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数 C.为使P不变，则C比原来降低不超过30% 据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V D.为使P不变，则C比原来降低超过40% 满足L=5+1gV.已知小明和小李视力的五分记 5.(5分)(2024·北京丰台区一模)按国际标准，复印 录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力 纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以 的小数记录法的数据分别为V,V,则兰的值所 A0,A1,·来标记纸张的幅面规格，具体规格 标准： 在区间是 ( ①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 A.(1.5,2) B.(2,2.5) 1:√2； C.(2.5,3) D.(3,3.5) ②将Ai(i=0,1,…,9)纸张平 A8 A6 2.(5分)某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与 行幅宽方向裁开成两等份，便成A A4 A5 A2 可见叶片数x进行分析研究，其关系可以用函数 为A(i+1)规格纸张（如图）. A3 R=15ex(a为常数)表示.若玉米幼穗在伸长期可 某班级进行社会实践活动汇报， 见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四 要用A0规格纸张裁剪其他规格 分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为 纸张.共需A4规格纸张40张， (参考数据：ln2≈0.7，ln5.5≈1.7) A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述 ( A.15 要求，至少提供A0规格纸张的张数为 B.16 A.6 B.7 C.17 D.18 C.8 D.9 3.(5分)(2024·四川凉山州三模)工厂废气排放前 6.(5分)(2024·广东韶关二模)在工程中估算平整 要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染 块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算 物含量y(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的 公式是W=(长+4)×（宽十4），在不测量长和宽 关系为y=yoe(yo,a均为正的常数).已知前5 的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000 小时过滤掉了10%污染物，那么污染物过滤掉 平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场 50%还需要经过（最终结果精确到1h,参考数据： 地所需的最少费用（单位：元）是 1g2≈0.301，lg3≈0.477) A.10000 B.10480 A.43h B.38h C.10816 D.10818 C.33h D.28h 7.(6分)（多选）周末，自 y/米 4.(5分)(2024·北京朝阳区二模)假设某飞行器在 行车骑行爱好者甲、2500 空中高速飞行时所受的阻力∫满足公式f= 乙两人相约沿同一路1500 )CS,其中p是空气密度，S是该飞行器的迎风 线从A地出发前往B 0525 86x/分钟 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑 面积，是该飞行器相对于空气的速度，C是空气 行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以 阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该 飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B (横线下方不可作答) 297 第二章 函数的概念与基本初等函数 地，乙一直保持原速前往B地.在此过程中，甲、乙 11.(15分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励 两人相距的路程y(单位：米)与乙骑行的时间 方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润 x(单位：分钟)之间的关系如图所示，则下列说法 的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若 正确的是 () 超出A万元，则超出部分按21og2(A+5)进行奖 A.乙的速度为300米/分钟 励，记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单 B.25分钟后甲的速度为400米/分钟 位：万元) 得分 C.乙比甲晚14分钟到达B地 (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； D.A,B两地之间的路程为29400米 (2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他 8.(6分)（多选）(2024·河南郑州一模)溶液酸碱度 的销售利润是多少万元？ 是通过pH来计量的.pH的计算公式为pH= 一1g[H],其中[H]表示溶液中氢离子的浓度， 单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为 107摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时， 溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH= 7(例如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水 的pH值在6.5~8.5之间，则下列选项正确的是 (参考数据：1g2≈0.3) () A.若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度 为108摩尔/升 B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×102摩尔/升， 则胃酸的pH约为1.6 C.若海水的氢离子浓度是纯净水的1016倍，则海 水的pH是8.6 D.若某种水中氢离子的浓度为4×107摩尔/升， 则该种水适合饮用 9.(5分)(2024·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时 间的国际单位，“阿托秒”等于1018秒，原子核内 部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄 子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不 竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此 法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的 长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数 据：光速为3×103米/秒，1g2≈0.3,1g3≈0.48) 得分 10.(5分)某单位帮助农户销售当地特色产品，该产 品的成本是30元/千克，产品的日销售量P(单 位：千克)与售价x(单位：元/千克)满足关系式 162-3x,30≤x<50, P(x)= 要使农户获得 112-2x,50≤x≤56， 日利润最大，则该产品售价为 元/千克. 得分 红对勾·讲与练 298 高三数学 班级： 姓名： 12.(16分)某旅游开发公司计划2025年开发新的游 定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量 玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目 大于或者等于20mg/100mL.某课题小组研究 在2025年有x万游客，则需另投入成本P(x)万 发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 2x2+24x-380,0<x<10, mI)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关 元，且P(x) 4800 50m 63x+ -860,x≥10， ×(-t2+2t+1),0≤t<1, W 系式V(t)= 该游玩项目的每张门票售价为50元，政府为鼓励 1×) -1 ,t≥1， 企业更好发展，每年给该旅游开发公司财政补贴 10x万元. 得分 其中W为饮酒者的体重（单位：kg),m为酒精摄 (1)求2025年该旅游公司开发的游玩项目的利润 入量（单位：mL).根据上述关系式，已知某驾驶 L(x)(单位：万元)关于人数x(单位：万人)的函 员体重75kg,他快速饮用了含150mL酒精的白 数关系式；（利润=收入一成本） 酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（参考数据： (2)当2025年的游客为多少时，该游玩项目所获 ln2≈0.69，ln3≈1.1，ln5≈1.61)() 利润最大？最大利润是多少？ A.12小时后 B.24小时后 C.26小时后 D.28小时后 14.(6分)（多选）(2024·湖南长沙模拟)氚，亦称超 重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质 子和两个中子组成，并带有放射性，会发生B衰 变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随 时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N。·2血， 其中N。表示氚原有的质量，则（参考数据：lg2≈ 0.301) () A.t=12.431ogN。 B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来 的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N。,则 x>16 15.（6分)（多选）(2024·安徽蚌埠模拟)科学研究表 明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的. 如果物体的初始温度为01℃，空气温度0。℃保 持不变，则t分钟后物体的温度0（单位：℃）满足： 0=0。十(01-0。)e.若空气温度为10℃，该 物体温度从01℃(90≤01≤100)下降到30℃， 大约所需的时间为t1,若该物体温度从70℃， 素养提升 50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2, 13.(5分)在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故 t3,则（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）() 达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大 A.t2=20 B.28≤t1≤30 “杀手”《中华人民共和国道路交通安全法》中规 C.t1≥2tg D.t1-t2≤6 (横线下方不可作答) 299 第二章 函数的概念与基本初等函数 ■■以1-√2≤1-a≤5，解得-4≤a √2.故选D. 课时作业16 函数模型及其应用 5.0=5十lgV2, 1.D 依题意，得 两式 4.5=5+1gV1, V 相减得0.5=lgV,-lgV1=1g ,解 得 2=105=√10∈(3,3.5).故 选D. 2.C 由题意知30=15ea,∴.e=2,则 等式两边同时取自然对数得7a= ln2≈0.7，a≈0.1，.R=15er 82.5=15er,.ea1x=5.5,∴.0.1z= ln5.5≈1.7，.x≈17.故选C 3.D令t=0,得y=y0,又前5小时过 滤掉了10%污染物，.(1-10%)y%= 9 10 In yoei,则a= 10 9 5 5 当 污染物过滤掉50%时，(1-50%)y0= In- 1 2 In 2 5In 2 yoe,则t= -a a 10 In 9 51g 2 51g 2 ≈33(h),.污染物 10 1-21g3 过滤掉50%还需要经过33一5= 28(h).故选D. 4.C 由题意，f=号CS0P=,所 以P=2Cs0,C=2D S5,对于A, 当p,S,C不变，v比原来提高10%时， 则P1=2CS(1+10%)'w= 1 1 1 2pCS(1.1)'v=1.331·2pCS0, 所以P比原来提高超过30%，故A错 误；对于B,由A的分析知，P,= 1.331·2pCS,所以P比原来提高 不超过40%，故B错误；对于C,当 p,S,P不变，v比原来提高10%时， 2P C1= 1.1pSv 2P 1.331pSu ≈0.75. 2P ,,所以C比原 来降低不超过30%，故C正确：对于D, 由C的分析知，C比原来降低不超过 30%,故D错误.故选C 5.C依题意1张A0规格纸张可以裁剪 出2张A1,或4张A2或16张A4,设一 张A0规格纸张的面积为x,则一张A1 1 规格纸张的面积为2x,一张A2规格 纸张的面积为 x,一张A4规格纸张 的面积为61，依题意总共需要的纸张 1 1 的面积为40×16x十10×4x十5× 1 1 2x=7x十2，所以至少需要提供8 张A0规格纸张，其中将3张A0裁出5 张A1和2张A2;将2张A0裁出8张 A2:将剩下的3张A0裁出3×16= 48(张)A4,即共可以裁出5张A1、10 张A2、48张A4.故选C. 6.C设矩形场地的长为x米，则宽为 1000米，w=(x+4(1000+4)= x x 4000+10016≥2λ/4红· 40000 4x+ x x 10016=10816,当且仅当4x= 40000 ,即x=100时，等号成立，所以 平整这块场地所需的最少费用为1X 10816=10816(元).故选C. 7.ABD因为乙比甲早出发5分钟，由题 图知乙的速度为1500 5 =300(米/分 钟)，故A正确；设题甲的原速度为V, 由图可知25X300-(25-5)V= 2500,解得V=250米/分钟，所以25 分钟后甲的速度为250X 8=400(米1 分钟)，故B正确；根据题图当x=86 时，甲到达B地，此时乙距离B地还有 250×20十400×(86-25)-300× 86=3600(米)，所以还常要°300 12(分钟)，所以乙比甲晚12分钟到达 B地，故C不正确；利用甲行驶的路程 计算可得，A,B两地之间的路程为 250×20+400×(86-25)= 29400(米)，故D正确.故选ABD. 8.ABC对于A,若苏打水的DH是8，即 pH=-lg[H门=8，所以[H]= 108,即苏打水中的氢离子浓度为108 摩尔/升，所以A正确；对于B,若胃酸 中氢离子的浓度为2.5×102摩尔/升， 则pH=-lg(2.5×102)=-lg2.5- lg102=2-(1g10-1g4)=1+ 2lg2≈1.6，所以B正确；对于C,若海 水的氢离子浓度是纯净水的101倍， 则海水的氢离子浓度是1016.107= 1086,因此pH=-lg1088=8.6,即 海水的pH是8.6，所以C正确；对于D, 若某种水中氢离子的浓度为4×10？ 摩尔/升，则pH=-lg(4×10-1)= -lg4-1g10-1=7-21g2≈6.4，而 6.4不在6.5一8.5范围内，即可得该 种水不适合饮用，所以D错误.故 选ABC -555- 9.31 解析：依题意，光在2“阿托秒”内走的 距离为2×10-18×3×108=6× 100(米)，经过n天后，剩余的长度 f(n)= 米，由f(n)<6× 10,得（）》” <6×101°，两边同时 取对数，得n>log1(6X10)= lg6×10)=10=1g6= 1 1g lg 2 10-(g2+lg32≈10-0.78≈30.73， 1g2 0.3 而n∈N”,则n=31,所以至少需要经 过31天才能使其长度小于光在2“阿托 秒”内走过的距离 10.42 解析：由题意可知农户的日利润W= (x-30)·P(x)= -3(x-42)2+432,30≤x<50, {-2(x-43)2+338.50≤x≤56， 由二次函数的单调性可知：若30 x<50,则当x=42时，Wx=432: 若50≤x≤56，则当x=50时， Wx=240<432.故x=42时，日利 润取得最大值432元. 11.解：(1)根据题意可知，当0≤x≤20 时y=0.1x; 当x>20时，y=0.1×20十2log2(x- 20+5)=2+21og(x-15). 所以可得奖金y关于销售利润x的关 系式为y= 10.1x,0≤x≤20， 2+21og(x-15),x>20. (2)易知当0≤x≤20时，奖金不可 能为10万元， 所以令2+21og2(x-15)=10,即 1og2(x-15)=4,解得x=31. 即业务员老江的销售利润是31万元. 12.解：(1)依题意得 L(x)=50.x+10x-P(x)-500= 60x-P(x)-500, 又P(x)= 12x2+24x-380,0<x<10, (63.x+4800 860,x≥10， 所以当0<x<10时，L(x)=60x P(x)-500=60x-500-(2x2+ 24x-380)=-2x2+36.x-120, 当x≥10时，L(x)=60x-P(x) 500=60z-500-(63z+4800 860）=-（3z+4800)+360. x 所以L(x)= 1-2x2+36.x-120,0<x10, -(3x+4800)+360,x≥10. 参考答案‘☑· (2)当0<x<10时，L(x)=-2x2+ 36.x-120=-2(x-9)2+42, 所以当x=9时，L(x)x=42; 当x≥10时，L(x)=-（3x十 4800+360≤-2√3x.4800 360=120, 当且仅当3x=480,即x=40时， L(x)x=120. 因为120>42， 所以当x=40时，L(x)取得最大值 120,即当2025年的游客为40万人时， 该游玩项目所获利润最大，最大利润 是120万元. 13.B当0≤t<1时，V(t)= 50m W (-t2+2t+1)= 5-1y 2],所以V(t)≥V(0)= 50×150 75 100>20,不能合法驾驶车辆，当t≥ 1时，令V(t)= 10×(0) W 200× 9 10 <20,中(0) In 2+In 5 0,所以1-1>n2+1n5-2n3 23,所以t>24.故选B. 14CD由题意得N=N。·2,故有 =2血，左右同时取对数得 N t 1og:。=12.43故得t -123e心故A得送：方4 21.8 24.86时，V=N。·2m=22. N,=子N故B错误：而当f- i2.19 62.15时，N=V。·22=25. N,=2N,得到经过62.15年后，样 1 本中的氣元素变为原来的2，故C正 确；由题意得0.4N。=V。·2,化 0.4N 简得x=-12.43log:N。 2 -12.43log号=-12.43og2 l0g25)=-12.43(1-1og25)= -12.48(1-09》=-128(1 1g2,将1g2≈0.301代入其中， 1-1g2 可得x≈-12.431-10301)≈ 0.301 16.44>16,故D正确.故选CD. 2对勾·讲与练·高三数学 15.BC由题意可知，0=10十(01 10)e005,当0=30时，30=10+ (01-10e0,即e 20 20 0-10-0.054=1n0,-10则 4-201n9,-10 ,t1随B1的增大而 20 增大，当01=90时，t1=20ln 90-10 20 20ln4=40ln2≈28，当01=100时， 9 41=2o1ln100-10=20ln号= 20 20(2ln3-1n2)≈30，则28≤t1≤ 30,故B正确；当01=70时，t2= 201n7010=201n3≈2，故A错 20 误：当01=50时，t4=201n50-10 20 20ln2≈14，此时满足t1≥2t3,t1 t2≥6，故C正确，D错误.故选BC 第三章 一元函数的 导数及其应用 课时作业17导数的概念 及其意义、导数的运算 1.B由题意知，'(x)=2x- ,则 f')=1,所以imf1+△)-f △r 2△x 号limf0+ar）-f △x 号fD=号旅选B 2.C由已知得 、f(x。+△x)-fx。-Ax） lim △x--0 △x f(ro+Ar)-f(ro)+f(ro)-f(ro-Ar) m+) △x △x mfa）-。-a)_ △x 2f'(xo)=2a.故选C 3.A因为f'(x)=3f'(1)-2x,令 x=1,得(1)=3'(1)一2→ f'(1)=1.故选A. 4.C由f(x)=e一3x,得f'(x)= e-3,则f(0)=1,f'(0)=-2,所以 曲线y=f(x)=e一3x在点(0， f(0)处的切线方程为y=-2x十1. 令y=0,得x=2令x=0,得y 1,故该切线与两坐标轴所围成的三角 彩的西我为号×号×1=子这心 1 5.B由题意可知f'(x）=元 十1，设切 点为P(xo,lnx。十xo),则切线方程为 y=(日+1)x-)+lnx。+xo, -556- 因为切线过原点，所以0=( 1)(-xo)十lnxo十xo=lnx。-1,解 得x。=e,则P(e,e十1).故选B. 6Afu)=1+2,则f1)=1中a: 因为曲线y=f(x)在，点(1,1)处的切 线与直线y=2x平行，所以∫(1)= 1十a=2,解得a=1.故选A. 7.ABD对于A,根据导数公式表可知 (e)'=e,所以A正确；对于B,易知 血+2)}=如+3xy 1-5×6H=2-县浙以 B正确：对于C,利用导数的除法法则 可知(n）'= (sinx)'x-sinx·(x)y' r cos x一sin工，所以C错误；对于D, 利用复合函数求导及导数的乘法法则 (3"sin 2x )'=(3")'sin 2x+ 3"(sin 2x)'=3"In 3.sin 2x+ 3*cos 2x (2x)'=3'(In 3.sin 2x+ 2cos2x),所以D正确.故选ABD. 8.AC对于A,若y=e的图象与直线 y=x十1相切，设切点为(x1y1),易 知y'=e,则e1=1,解得x1=0,即 切，点为(0,1)，切线方程为y=x十1，A 正确；对于B,若y=nx的图象与直 线y=x十1相切，设切点为(x2y2), 易知Y=ax=,则子=1，解 1 得x?=1,即切点为(1,0)，切线方程 为y=x-1,B错误；对于C,若y= sinx十1的图象与直线y=x十1相 切，设切点为(x3y),易知y= cosx,则c0sx=1,解得x3=2kπ， k∈Z,当k=0时，切点为(0,1)，切线 方程为y=x十1，C正确；对于D,易知 y=x十1的图象与直线y=x十1有 三个交点(0,1)，(1,2)，(-1,0)，又 y=3x2,显然在三个交点处的切线斜 率均不是1，所以直线y=x十1不是 切线，D错误.故选AC 1 9.一2 解析：将x=1代入切线方程x一2y十1= 0,得y=1,故f(1)=1,由切线方程可知 fI)=于h'(x)=fx）-fx) x 故'0)=f0)二f①=- 1 12 10.x2十x(答案不唯一) 解析：由题知f(0)=0,f(x)=cosx, f'(0)=1,若g(x)与f(x)在x=0