课时作业11 幂函数及几类常见的特殊函数-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

班级： 姓名： 课时作业11 幂函数及几类常见的特殊函数 (总分：100分) /基础巩固 A.f(x)是周期函数 B.f(x)的值域是[0,1] 1.(5分)十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学 C.f(x)在(0,1)上是增函数 领域成就卓著，函数f(x)= 1,x∈Q, 被称为 D.Hx=R,[f(x)]=0 0,x∈CRQ 7.(6分)（多选）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国 狄利克雷函数.狄利克雷函数是无法画出图象的， 数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：R(x) 但它的图象却客观存在，若点（√2，y)在其图象 [，x=2,,g∈N,2为既约真分数， 上，则y的值是 ( 注：分 A.0 B.1 C.-2D.√2 0,x=0,1或(0,1)上的无理数 子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下 2.(5分)(2024·山东日照二模)已知幂函数的图象 列结论正确的是 () 过点(2,4)，则函数的解析式为 ) A.y=2 B.y=x2 ARg)=君 C.y=logzx D.y =sin x B.黎曼函数的定义域为[0,1] 3.(5分)如图，已知幂函数y=x“,y=x y=x,y=x在(0，十o∞)上的图 /y=x9 C黎曼函数的最大值为 象分别是下降，急速上升，缓慢上 y=x D.若f(x)是奇函数，且f(1一x)=f(x),当x∈ 升，则 () A.c<b<a [0,1时，(x)=Rx),则f()+f+ B.a<c<b C.c<a<b 6=号 D.a<b<c 8.(6分)（多选）设函数f(x)=x一1 n∈N*),则 4.(5分)已知函数f(x)=x(x>0),a为实数， f(x)的导函数为f'(x),在同一直角坐标系中， f(x)与f'(x)的大致图象不可能是 A.f(x)在(0，十∞)上单调递减 ( B.当n为偶数时，(x)为偶函数 C.f(x)有两个零点 D.当n为奇数时，f(x)在（一∞，0）上单调递增 B D 9.(5分)因为函数f)=x+子1>0)的图象形状 5.(5分)已知a=0.3101,b=0.312,c=0.32.1,则 像对勾，我们称形如“f(x)=x+上(1>0)”的函 ( A.a >b>c B.b>a>c 数为“对勾函数”.若对勾函数f(x)=x十(t> C.c>b>a D.c>a>>b 6.(5分)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者 0)对于任意的&∈工，都有f-号)≤k+ 之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表 示不超过x的最大整数，y=[x]也被称为“高斯 ）,则实数1的最大值为 得分 函数”，例如：[-3.5]=一4，[2.1]=2.已知函数 10.(5分)高斯，德国著名数学家、物理学家和天文学 f(x)=[x十1]一x,下列说法中正确的是 家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之 美称.函数y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示 (横线下方不可作答) 287 第二章函数的概念与基本初等函数 不超过实数x的最大整数，例如：[一3.4]=一4， [2.7]=2,当x∈(-3.5,7]时，函数y= 素养提升 。的值城为 13.(5分)(2024·湖北荆州三模)任取一个正整数， 得分 若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将 11.(16分)已知幂函数f(x)=x3m(m∈Z)为偶函 该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次 数，且在区间(0，十∞)上单调递增，函数g(x)满 步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学 足g(x-2)=f(x). 得分 史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如 (1)求函数f(x)和g(x)的解析式： 取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→ (2)对任意实数x∈[一3,0)，g(x)-f(x)≥ 10→5→16→84→2→1，共需经过8个步 ax2恒成立，求a的取值范围. 骤变成1（简称为8步“雹程”）.我们记一个正整数 n(n≠1)经过K(n)次上述运算法则后首次得到 1(若n经过有限次上述运算法则均无法得到1， 则记K(n)=+∞)，以下说法正确的是() A.K(n)可看作一个定义域和值域均为N*的 函数 B.K(n)在其定义域上不单调，有最小值，有最 大值 C.对任意正整数n(n≠1)，都有K(n)K(2)= K(2n)-1 D.K(2”-1)≤K(2"+1) 14.6分)（多选）对于函数fx)=1+xx∈ R),下列结论中正确的是 () 12.(16分)对于定义域分别为D,Dg的函数y= A.f(-x+1)+f(x-1)=0 f(x),y=g(x),规定：函数h(x)= B.当m∈(0,1)时，方程f(x)=m有唯一实数解 f(x)·g(x),x∈Dr且x∈Dg, C.函数f(x)的值域为(-∞，十∞) f(x),x∈Dr且x任Dg, 得分 f(x1)-f(x2) g(x),x∈Dg且x氏D D.Hx1≠x2, x1一x2 70 (1)若y=f(x),其中fx)=x-y=gx), 15.(5分)数学上的符号函数可以返回一个整型变 量，用来指出参数的正负号，一般用sgn(x)来表 其中g(x)=x2,求y=h(x); 〔-1，x<0 (2)对(1)中的h(x),求y=h(x)的值域. 示，其解析式为sgn(x)=0,x=0, 已知函数 1,x>0. f(x)=2sinx·sgn(cosx),给出下列结论： ①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)的单调递增区间为 kπ(k∈Z); ③函数f(x)的对称中心为(kπ，0)(k∈Z); ④在[-2π，2π]上函数g(x)=xf(x)一1的零 点个数为4. 其中正确结论的序号是 得分 红对勾·讲与练 288 高三数学 ■f(x)=(2x-4)(2x2-8.x十3)， f'(4)=12,f(4)=0,所以函数 f(x)的图象在x=4处的切线方程 为12x-y-48=0,故D正确.故 选AD. 1s2-5】 解析：函数∫(x)的图象如图所示， 2 02-22+2 f(x)图象的对称轴为直线x=2, f(2)=2,f(0)=f(4)=2;当 f(x)=0时，x=2士√2，(1)当a> 4时，Moal=f(a),Ma2a1=f(2a), 依题意，f(a)≥2f(2a),而函数在 x≥2十√2时是增函数，此时a2a, f(a)<f(2a),故不可能； (2)当a≤4时，Moa=2,依题意， 2≥2Ma,2a1,即M2al≤1，令 f(x)=1,解得x1=2-5,x2=1, x8=2十5，x1=3,则有a≥2-√5 并且2a<1,解得2-5≤a≤ 或者a≥3并且2a≤2+√5，无解.综 上，2-5<a≤2 课时作业11幂函数及几类 常见的特殊函数 1,x∈Q 1.A因为函数f(x)= lo,x∈CRQ, √2∈CRQ,于是得y=0,所以y的值 是0.故选A. 2.B设幂函数的解析式为y=x,由于 函数过点(2,4)，故4=2，解得a=2, 该幂函数的解析式为y=x2.故选B. 3.B由题意结合图象可知a0<c 1b.故选B. 4.C由f(x)=x,可得'(x)= ax,对于A,当a=一1时，在 (0,十∞)上，f(x)=x1单调递减， ）士子单调远球且因 象在第四象限，故A符合：对于B,C, D,f(x)与f'(x)的图象在(0，十∞) 上都单调递增，故a>0且a-1>0, 则a>1,又由f(x)=f'(x)可得 x=a>1,即f(x)=x“与f'(x)= ax的图象交点横坐标应大于1，显 然C不符合，B,D均符合.故选C. 5.D由y=0.31单调递减可知 0.311>0.312,即a>b;由y= x1单调递增可知0.321>0.311， 即c>a,所以c>a>b.故选D. 6.A由题意可得部分定义域内的函数 -1,-2≤x<-1, 0,一1x0, y=[x+1]= 1,0≤x<1, 2,1≤x<2, 所以部分定义域内的函数f(x)= [x+1]-x= -1-x,-2x<-1, -x,-1≤x<0, 1-x,0≤x<1, 2-x,1≤x<2, 可画出图象，如图， y -2-1012 可得到函数f(x)是周期为1的函，数， 且值域为(0,1]，在(0,1)上单调递减， 故A正确，B,C错误；x=一1， (-1)=1,则[f(-1)]=1,故D错 误.故选A 7.BC R(g)=R(保)=子A错误。 因为p,9∈N”,卫是既约真分教， x=卫，0,1或(0,1)上的无理数，所以 黎曼函数的定义域为[0,1]，B正确.又 力9∈N,卫为既约真分数，所以】 的最大值为号，C正确.因为f1 x)=f(x),所以f(-x)=f(x十1). 所以f(一x一1)=f(x十2).因为 f(x)是奇函数，所以f(一x一1)= -f(x+1)=-f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(x+2),即f(x)是以2为周 期的周期画数()=(18 )=()=-()=青 f(√32+6)=f(4V2)=f(42 》=-f6-4)=0,所以f(） f(V原+6)=日，D错误，截选C 8.BCD对于A,因为n∈N”,所以y= 在0，+0)上单调递增y=子在 (0,十∞)上单调递减，所以f(x)在 (0,十∞)上单调递增，故A错误；对于 B.当n为祸数时)=”一子的 定义域为{xx≠0，且f(-x)= -==f -547- 所以f(x)=x”一1为偶函数，故B 正确；对于C,令f(x)=0,则x” =0,则x=1,所以x=1或 1 x”=一1，当n为偶数时，由x”=1,解 得x=士1，由x”=一1，方程无解；当 n为奇数时，由x”=1,解得x=1,由 x”=-1,解得x=-1.综上可得 f(x)有两个零，点1，一1，故C正确；对 于D,当n为奇数时f(x)三x”一”的 定义域为{xx≠0，且f(-x)= 1 (-x)” 1 =x -f(x),所以f(x)=x”- 为寺 函数，又f(x)在(0，十∞)上单调递 增，所以f(x)在（一∞，0）上单调递 增，故D正确.故选BCD. 34 解析：因为f(k-)≤f(+2): 则f(-)-f(+）)≤0k t 2 1 k一2 -1≤0，即t 1,当 6- -<0，即-<<号时，因 为k∈7则k=01>≥-子，当k2 子>0，即k>号时<-子恒 上可得-<≤，所以实载：的最 大值为年 3 10.{-2,-1,0,1,2 解析：由x∈(-3.5,7]，得-1.5< 1≤2，当-1.5<1<-1 3 3 时，y= =-2;当-1≤ 号<0时y-[]-1 0s之1 3 <1时，y= 当1≤-1 <2时，y= 1;当1 3 =2时，y= 所以函数y 的值域为 {-2,-1,0,1,2 参考答案‘☑ 11.解：(1)依题意幂函数f(x)为偶函 数，且在区间(0，十∞)上单调递增， 可得3一m>0,解得-√3< m<√3， 由于m∈Z,故m=0,1,-1, 当m=0时，3一m=3,此时 f(x)=x3为奇函数，不符合题意， 当m=1或-1时，3-m2=2,此时 f(x)=x2为偶函数，符合题意， 故f(x)=x2; 由g(x-2)=f(x),可得g(x 2)=x2,令x-2=t,则x=t十2， 所以g(t)=(t+2)2=t2十4t十4， 故g(x)=x2十4x十4. (2)由x∈[-3,0)，g(x)-f(x)≥ a恒成立，可得a≤兰十兰上 [-3,0)恒成立. 又号+=4（+）-1，所以 x 当上=一2时：兰十兰取得最个值 -1, 故a≤-1，即a的取值范围为 (-0∞，-1]. 12.解：1)由函数f(x)=1 7的定义 域为x∈（一∞，1）U(1,十∞)，函数 g(x)=x2的定义域为R, 所以当x∈(-∞，1)U(1,十∞)时， h()=f(x)·g(x)=x -i 当x=1时，h(x)=g(x)=1. 综上所述，h(x)= z-x∈-∞，1)U(1,+0), 1,x=1. (2)由(1)得当x∈(-∞，1)U 0y=片 设t=x一1，则t∈(-o∞，0)U 1十2 （0,+o∞)，y=t十1)=t十车 t 当∈(0，+0)时y=1++2> …+2=4,当且仅当：= 2… 即t=1时等号成立， 1十2 当t∈(-o∞，0)时，y=t十 即-y=(-)+(）-2≥ 20(2)-2=0,即y≤0 当且仅当-1=一，即1=-1时， 等号成立， 2对勾·讲与练·高三数学 即当x∈(-∞，1)U(1,十∞)时， y∈(-o∞，0]U[4,+o∞)； 当x=1时，y=1, 综上所述，y的值域为（一∞，0]U {1}U[4,+∞). 13.C对于A,依题意，K(n)的定义域 是大于1的正整数集，A错误：对于B, 由K(4)=2,K(5)=5,K(8)=3, 得K(n)在其定义域上不单调，而 K(2)=1,K(n)∈N”,则K(n)有 最小值1，由n经过有限次角谷运算 均无法得到1，记K(n)=十o∞，得 K(n)无最大值，B错误；对于C,对任 意正整数n(n≠1)，K(2n)= K(n)+1,而K(2)=1,因此 K(n)K(2)=K(n)=K(2n)-1,C 正确；对于D,由K(22-1)= K(3)=7,K(2+1)=K(5)=5,知 K(2”-1)≤K(2”十1)不正确，D错 误.故选C. 14.ABD因为f(-x)十f(x)= 1+-x+1+1x=0,故f(x) 为奇函数，令t=x一1，即f(一t)十 f(t)=0,故A正确；当x>0时， 1 fx)=1中=1-1十x所以 f(x)在(0，十∞)上单调递增，又 f0)=0.fx)=<1.且 f(x)是奇函数，所以f(x)的值域为 (-1,1),所以f(x)的单调递增区间 为(-∞，十∞)，所以对Hx1卡x2, f(x1)一f(x）>0,故B,D正确，C x1-x2 错误.故选ABD. 15.①④ 解析：函数f(x)=2sinx·sgn(cosx)= (-2sin x ,cos<0, 0,c0sx=0, 画出函数的图 2sin z,cos >0, 象，如图所示， 0 732㎡70m2m司 f(x十π)=2sin(x十π)·sgn(cos(x十 π))=-2sinx·[-sgn(cosx)]= 2sin z.sgn(cos x)=f(x), 结合函数图象可知，函数f(x)的最 小正周期为π，结论①正确；由 f(受十kx）=0,k∈Z,结合画数图 象可知，函数f(x)的单调递增区间 为（受十，受十）质∈，结 -548- 论②错误：结合函数图象可知，函数 f)的对整中心为（经o) Z),结论③错误；函数g(x)= xf(x)-1的零点，即方程xf(x) 1=0的根，x=0时方程不成立，方程 等价于f(x)= 如图，函数∫(x 与画数y=1的图象在[-2x,2x]上 有4个交，点，所以在[一2π，2π]上函数 g(x)=xf(x)-1的零点个数为4， 结论④正确. 1 -2 不 v=fx) 课时作业12指数与指数函数 D根据题意可得2a=1→a三7' 一(b十3)=0→b=一3，则a (仔)=8故选D. 2 2.A将x十x1=3两边平方，得x2十 x2十2=9，即x2十x2=7,所以 x2十x1+3- x3十x3十2 x2+x2+3 (x十x1)(x2十x2-1)+2 7+3 1 3×(7-1)+2=2,故选A 3.A由题意fx)=工 1 x>0. 、1 所以当x<0时， ex<0, (x)三单调递增，且f(x)<0 当x>0时，f)=号单调遥减，且 f(x)>0,且当x从左边趋于0时， fx)=一1趋于-1，当工从右边趋 于0时，f(x)=趋于1，故选A e 4.B因为y=x7在(0，十o∞)上为增画 数，1.3<1.6，所以a<b,因为y= 1.6在(0，十∞)上为增画数，3 4 3,所以b<c,所以a<b<c.故 选B. 5.D由于函数f(x)=|2-1|在 (一∞，0)上是减函数，在(0，十∞)上 为增函数，由于a<b<c,而f(a)>