课时作业8 函数的奇偶性、周期性-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

(2)证明：由(1)可知f(x)=x x+x1z:∈(-1，+o),且 1 x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1 1 、1 +中=x1, x2十1x1十1 =x1-x2十 x1一x2 (x2+1)(x1十1) 1 (x1-x)1+xg+1D(x1+D]' 因为x1<x2,所以x1一x2<0, 又x1,x2∈(-1，+∞)，所以1十 (x2+1)(x1+1) >0,所以 (x1-x,)1++1D(x1+D 1 0,即f(x1)一f(x2)<0,所以 f(x1)<f(x2), 所以函数y=f(x)在区间(-1， +∞)上单调递增. 12.解：(1)证明：对任意的x1>x2>0, fx)-f:)=x1+4-a +÷-a) (x1一xg）(x1x2-4) x172 当0<x2<x1<2时，x1-x2>0, 0<x1x2<4, 则1-r)x1x-<0. x1X2 即f(x1)<f(x): 当x1>x2>2时，x1-x2>0, x1x2>4, 则1-x)(x12-4 ->0, xIx2 即f(x1)>f(x2). 故f(x)在(0,2)上单调递减，在 (2,十∞)上单调递增. (2)由(1)可知f(x)在(0，+∞)上 的最小值是f(2)=4-a. 当x≤0时，f(x)=x2-2ax十a2 a,其图象的对称轴是直线x=a. ①若a≥0，f(x)在(-∞，0]上单调 递减，则f(x)在（一∞，0]上的最小 值是f(0)=a2-a, ②若a<0,f(x)在(-∞，a)上单调 递减，在(a,0]上单调递增，则f(x)在 (-∞，0]上的最小值是f(a)=-a. 4-a,a>2, 综上，f(x)=a2-a,0≤a≤2， -a,a<0. 因为f(x)的最小值是6，所以 a>2, 解得a=-6. 2对勾·讲与练·高三数学 13.D由题意可知f(x)-x3-2x十1 是一个常数，设f(x)一x8一2x十 1=t,则f(x)=x3十2x十t一1，因 为f(f(x)-x3-2x+1)=13,所以 f(t)=t3+3t-1=13,因为f(t)= t3十3t一1在R上单调递增，且 f(2)=13,所以t=2,所以f(x)= x3+2x+1,则f(5)=53+2×5+ 1=136.故选D. 14.(-∞，4) 解析：函数f(x)=x3十2.x一1在 (一∞，1]上单调递增，又f(x)= √x十3在(1，十∞)上单调递增，且 当x=1时，1十2-1=/1十3=2， 所以f(x)在R上单调递增.设 g(x)=f(x十2)十f(x-4),可得 g(x)在R上单调递增.又g(4)= f(6)十f(0)=3-1=2,所以原不等 式可化为g(x)<g(4),所以原不等 式的解集为(-∞，4). 15(m,-)u(子+) 解析：由f(x1x2)-x1-x2=x1f(x2)十 x,f)-1,得f1x)+1 x1T2 f(x)+1+f(x)+1 ,设g(x)= f(x)+1 ,则g(x1x2)=g(x1)十 g(x2),取x1=x2=1,得g(1)=0, 取x1=x2=-1,得g(-1)= 281)=0:取x1=xx2=-1,得 1 g(-x)=g(x),所以g(x)是偶函数， 所以g(x)=g(|x),因为当x1> x>0时，f）-f2>-1, x1-x2 两边同时乘x1一x2,得x1f(x2)一 x2f(x1)>x2一x1,两边同时除以 xx·得fz>1-1即 x)+1>fx)+ ,即g(x2)> g(x1),所以g(x)在(0，十oo)上单调递 减.由g(-1)=0,得f(-1)=-1,由 f(2)=-3,得g(2)=-1,g(4)=-2, 所以c+1)++2> f-1可化为g()>2= 即(）>，所以 1 +1<4,解得x> 王<早，所以不等式G中 -542- 1D/(十)十x十2>-1)的解 案为(-0，-）u(至+∞). 课时作业8函数的奇偶性、 周期性 1.B对于A,函数f(x)=tanx是奇函 数，A错误；对于B,函数f(一x)= e十e=f(x),所以函数为偶函数， f'(x)=c-e=e-1 e e-1D(e+D,令f'(x)=0,得 e x=0,当x∈(-0o,0)时，0<e 1,f'(x)<0,f(x)在x∈(-o∞，0) 上是减函数，B正确；对于C,函数 f(x)=cosx为偶函数，在x∈ (一○，0)上单调性有增也有减，C错 误：对于D,函教f(-x)=(一x)景 工号=f(x),所以函数为偶画数， 1-8)=-8)=子-0 (-1)=1,f(-8)<f(-1),函数 在x∈（一∞，0）上一定不是减函数，D 错误.故选B. 2.B依题意，f(-x)=f(x),即 -ax十ln(ex+1)=ax+ln(e十 1D,整理得2ar十1nc+=0,即 “ex+1 2ax十Hne=0,则有(2a+1)x=0, 因为x不恒为0，所以必有2a十1=0， 解得Q=一子故选B 3.A设F(x)=f(x)-1,则F(x)十 F(-x)=0,即f(x)-1十f(-x)一 1=0,即f(x)十f(-x)=2,所以 f(1)+f(-1)=2.因为F(0)= f(0)-1=0,所以f(0)=1,f(-1)+ f(0)十f(1)=2+1=3.故选A. 4.A因为对任意的x1,x2∈[0，十o∞)， 且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1) f(x2)]<0,所以由函数单调性的定 义可知f(x)在[0，十∞)上单调递减， 所以f(3)<f(2)<f(1),又f(x)是 偶函数，f(2)=f(-2),所以f(3)< f(-2)<f(1).故选A. 1 5.B因为fx+2)=fa,所以 fx+4)=一fx+2) 1 1 =f(x),所以f(x)是以4 -f(x) 为周期的周期函数，所以f(99)= f(3十96)=f(3)=1+1og33=2.故 选B. 6.Af(x)=|3-31,定义域为R, 又f(-x)=3-3=f(x),故 y=f(x)为偶函数；又当x>0时， y=3,y=一3均为单调增函数，故 令g(x)=3-3,则g(x)为 (0,十∞)上的单调增函数；又g(0)= 0,故当x>0时，g(x)>0,则此时 y=f(x)=g(x)为(0，十o∞)上的单 调增函数，故x<0时，y=f(x)为单 调减函数；f(2x-1)一f(x)>0,即 f(2x-1)>f(x),则2x-1> x,即(2x-1)2>x2,整理得3.x2 4.x十1>0，则(3x-1)(x-1)>0,解 得x∈(，)U+故 选A 7.CD函数fx)={x-4xx>0, 一xx0, 对 于A,由f(x)=0,得x=0或x=4, A错误；对于B,f(-4)=4,而f(4)= 0,f(-4)十f(4)≠0，函数f(x)不是 奇函数，B错误；对于C,函数∫(x)在 (一∞，0]上单调递减，在(0,2)上单调 递减，且f(0)=0,因此f(x)在 (一∞，2)上单调递减，C正确；对于D, 当x0时，f(x)=一x≥0，当x 0时，f(x)=(x-2)2-4≥-4，当且 仅当x=2时取等号，因此函数f(x) 的最小值为一4，D正确.故选CD. 8.AB对于A,由题意f(x)= -f(-x),f(2-x)=f(x),从而 f(x)=f(2-x)=-f(x-2)= f(x一4)，这表明4是f(x)的一个周 期，故A正确：对于B,由A可知4是 f(x)的一个周期，且注意到函数y= f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(6)=f(2)=f(2-0)=f(0)=0, 故B正确；对于C,由题意f(1)= f(-3)=-f(3),而f(3)不一定等 于0，事实上，我们可以构造满足题意 π 的函数f(x)=sin2x,但f(3）= 一1≠0，即一f(3)≠f(3),故C错误； 对于D,显然f(x一2)的定义域是全体 实数，且f(x-2)=f(x+2)= -f(-x-2),即f(x-2)为奇函数， 事实上可构造反例fu)=sin受x满足 题设，但是显然f(x-2)=-sin2x 还是奇函数，故D错误，故选AB. 9.2 解析：奇函数如果存在最值，则最大值 和最小值之和为0，所以函数f(x)最 大值和最小值之和为0，则函数y= 2∫(x)十1的最大值和最小值之和 为2. 10.6 解析：因为g(x+1)=xf(x十1)， g(x十1)是偶函数，y=x为奇函数， 所以y=∫(x十1)为奇函数，所以 f(1-x)=-f(1十x),即f(-x)= -f(x十2)，因为f(x)是定义域为R 的偶函数，所以∫(-x)=∫(x),所 以f(x+2)=-f(x),f(x+4)= -f(x十2)=f(x),所以函数y= f(x)的周期为4，由函数g(x十1)是 偶函数，可得g(-x十1)=g(x十 1),即g(-x)=g(x十2)，所以 g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)= 1.5f(-2.5)=1.5f(-2.5+4× 2)=1.5f(5.5)=6. 11.解：(1)证明：：f(x+2)=-f(x), .f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)x∈[2,4]，.-x∈[-4， -2],.4-x∈[0,2]， .f(4-x)=2(4-x)-(4- x)2=-x2十6x-8. :f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. 12.解：(1)因为3+1≠0，所以f(x)的 定义域为R, 又函数f(x)= 2 3+1 十a是奇函数， 2 所以f(0=3+ ,十a=0,解得 2 a=-1,可得fx)=3十-1， 当x∈R时，f(-x)= 。2 3+1 一1= 2×3-3-13-1 3*+1 3+1 3+12=1-中 2 =-f(x), 3x+1 所以f(x)是奇函数，故a=一1. (2)因为∫(x)是奇函数，所以 f(-x)=-f(x), 由2[f(x)≤f(-x)得2Lf(x)≤ -f(x), 可得f(x)[2f(x)十1]≤0，解得 2≤f(x)≤0， 1 即-≤3+1 1 2 -1≤0， 1 2 可得 2 3+1 -1≤0， -543- 解得0≤x≤1， 所以不等式2[f(x)]≤f(-x)的 解集为[0,1]. 13.B对于A,取x=1.1,y=1.9,则 [x+[y]=1+1=2,[x+y]=3, 显然[x]+[y]≠[x十y],所以A错 误；对于B,函数f(x)是以1为周期 的函数，故B正确；对于C,f(x)= x-[x],因为f(0.1)=0.1-0= 0.1,f(-0.1)=-0.1-(-1)= 0.9,所以f(0.1)≠f(一0.1)，所以 f(x)不是偶函数，故C错误；对于D, f(0.1)=0.1,f(1.1)=0.1,所以 f(0.1)=(1.1),所以(x)不是增 函数，故D错误.故选B. 14.D令x=y=0,则f(f(0))= f(0)十f(0),f(0)=1,所以f(1)= 2,令y=-x,则f(f(0)=f(x)十 f(-x),即f(1)=f(x)十f(-x), 所以2=f(x)十f(一x),所以函数 f(x)的图象关于点(0,1)对称，所以 f(x+1)的图象关于点(-1,1)对 称，故A不正确；f(x)十1的图象关 于，点(0,2)对称，故B不正确；由A可 知|f(x十1)|的图象不关于y轴对 称，故C不正确；由A可知f(x)-1 的图象关于点(0,0)对称，故f(x)一 1为奇函数，所以|∫(x)-1|为偶函 数，故D正确.故选D. 15.-1 解析：令x=1,y=0,则f(1)十 f(1)=2f(1)=f(1)f(0),因为 f(1)=1,所以f(0)=2,令x=y= 1,则f(2)十f(0)=f(1)f(1),得 f(2)=-1,令y=1,则f(x+1)+ f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即 f(x-1)=f(x)-f(x十1)，所以 f(x)=f(x十1)-f(x十2)，所以 f(x-1)=f(x+1)-f(x十2) f(x十1)=-f(x十2)，所以f(x十 2)=-f(x+5),所以f(x-1)= f(x十5)，即f(x)=f(x+6),f(x) 是以6为周期的周期函数，所以 f(2024)=f(337×6+2)=f(2)= -1. 课时作业9函数的对称性及应用 L.D因为曲线y=32r关于直线x=a 的对称曲线为y=3220),即y= 3u-2r,y=3a-2x与y=312r对比系数 1 可知4如=1，解得Q=,所以函数 y=32与y=3-x的图象关于直线 立=子对称故选D 参考答案“2。班级： 姓名： 课时作业8 函数的奇偶性、周期性 (总分：100分) 基础巩固 7.(6分)（多选）(2024·贵州遵义一模)已知函数 一x,x≤0， f(x)= 则下列结论中正确的是 1.(5分)(2024·北京大兴区三模)下列函数中，是偶 -4x,x>0, 函数，且在（一∞，0）上是减函数的是 () () A.f(x)=tan x B.f(x)=e +e* A.函数f(x)有且仅有一个零点 C.f(x)=cos x D.f(z)=x B.函数f(x)是奇函数 2.(5分)(2024·安徽准北二模)若函数f(.x）=a.x+ C.f(x)在(-∞，2)上单调递减 ln(e+1)是偶函数(e是自然对数的底数)，则实 D.函数f(x)的最小值为一4 8.(6分)（多选）已知函数y=f(x)是定义在R上的 数a的值为 奇函数，满足f(2一x)=f(x),则 c A.4是f(x)的一个周期 3.(5分)(2024·河北保定二模)若函数y=f(x) B.f(6)=0 1是定义在R上的奇函数，则f(-1)十f(0)+ C.f(1)=f(3) f(1)= ( D.f(x一2)为偶函数 A.3 B.2 C.-2 D.-3 9.(5分)(2024·陕西榆林三模)已知函数y=f(x) 4.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意 为奇函数，且最大值为1，则函数y=2f(x)+1的 的x1x2∈[0，十∞)，且x1≠x2,都有(x1 最大值和最小值的和为 得分 x2)·[f(x1)-f(x2门<0，则 10.(5分)(2024·湖北武汉模拟)已知f(x)是定义 A.f(3)<f(-2)<f(1) 域为R的偶函数，f(5.5)=4,g(x)=(x一 B.f(1)<f(-2)<f(3) 1)f(x),若g(x十1)是偶函数，则g(-0.5) C.f(-2)<f(1)<f(3) 得分 D.f(3)<f(1)<f(-2) 11.(16分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任 5.(5分)(2024·陕西榆林二模)已知定义在R上的 意实数x,恒有f(x+2)=一f(x).当x∈[0， 2]时，f(x）=2x-x2. 得分■ 函数f(x)满足f(x+2)= f,当x∈(2. 1 (1)求证：f(x)是周期函数； 4)时，f(x)=1+1ogx,则f(99)= ( (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式. A.1 B.2 C.-7 D.-2 6.(5分)(2024·吉林长春模拟)已知函数f(x)= |3一31，则不等式f(2x一1)一f(x)>0的 解集为 () A.(←∞，3）U1,+o) B() c(分 D.(1,+∞) (横线下方不可作答)281□第二章函数的概念与基本初等函数 12.(17分)已知函数f(x)= 2 十a是奇函数. 3x+1 素养提升 得分 13.(5分)(2024·山东青岛三模)定义[x]表示不超 (1)求a; 过x的最大整数.例如：[1.2]=1，[一1.2]=-2， (2)求不等式2[f(x)]≤f(-x)的解集. 则 () A.[x]+[y]=[x+y] B.f(x)=x一[x]是周期函数 C.f(x)=x一[x]是偶函数 D.f(x)=x一[x]是增函数 14.(5分)(2024·浙江绍兴三模)已知函数f(x)满 足对任意实数xy,都有f(f(x十y)=f(x)十 f(y)成立，且f(0)=1,则 () A.f(x+1)为奇函数 B.f(x)+1为奇函数 C.If(x+1)|为偶函数 D.|f(x)一1|为偶函数 15.(5分)(2024·山西临汾三模)已知函数f(x)的 定义域为R,且f(x+y)十f(x一y)= f(x)f(y),f(1)=1,则f(2024)= 得分 红对勾·讲与练 282☐ 高三数学 ■